AULA 02 REVISÃO TOPOGRAFIA

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TOPOGRAFIA
AULA 02 - REVISÃO
Profº Esp Pedro Andrade
freire.andrade@gmail.com
1
Revisão Matemática
1) TRIGONOMETRIA
Características no triângulo retângulo
Observe as principais relações e os elementos que fazem parte dessas relações. 
Trigonometria
2
O significado da palavra trigonometria, vem do grego e resulta da conjunção de três palavras:
Tri – três
Gonos – ângulo
Metrein - medir
Trigonometria significa, o estudo das medidas dos triângulos.
Trigonometria no triângulo retângulo
3
4
Algumas aplicações da Trigonometria 
5
6
Triângulo retângulo
7
Triângulo retângulo é todo triângulo que apresenta um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90°.
cateto
cateto
hipotenusa
cateto
cateto
hipotenusa
A hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo retângulo;
Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre 180°;
Como num triângulo retângulo um dos ângulos é reto, a soma dos outros dois ângulos agudos (menores que 90º) é sempre 90°;
Quando a soma de dois ângulos internos é igual a 90°, dizemos que esses ângulos são complementares. 
Teorema de Pitágoras
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Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.
c = 4
b = 3
a = 5
Aplicação do Teorema de Pitágoras
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Teorema de Tales
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Um feixe de retas paralelas, intersectado por duas transversais, determina, sobre essas transversais segmentos proporcionais.
Exemplo de aplicação:
11
Solução:
Relações Trigonométricas num triângulo retângulo
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Seno
13
Exemplo de aplicação:
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Cosseno
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Exemplo de aplicação:
16
Tangente
Exemplo de aplicação:
17
Cálculo de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis
Seno, cosseno e tangente de 30° e 60º
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2
Seno, cosseno e tangente de 45°
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Construção da Tabela Trigonométrica
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Relações entre seno, cosseno e tangente
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Trigonometria em um Triângulo Qualquer
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Observe a situação a seguir:
Um fio elétrico será instalado entre um poste P e uma casa, separados por um lago em um terreno plano. Como calcular o comprimento do fio necessário para a instalação? 
Pela necessidade de solucionar problemas relacionados a triângulos que não são retângulos, se desenvolveram formas de trabalhar com senos e cossenos de ângulos obtusos ( maiores que 90°). 
Teorema ou Lei dos Senos
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A lei dos senos pode ser utilizada em qualquer triângulo. No caso de triângulos retângulos, basta considerar sen 90° = 1. 
Aplicação da Lei dos Senos
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A Lei dos Senos é geralmente usada, quando são conhecidos 2 ângulos internos e a medida do cateto oposto a um desses ângulos.
Teorema ou Lei dos Cossenos
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A Lei dos Cossenos é geralmente usada, quando são conhecidas as medidas de dois lados e o ângulo formado por eles.
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Exemplo:
Área de um triângulo
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Existem problemas em que se deseja calcular a área de um triângulo e não são conhecidas as medidas da base e altura. Nesses casos, a área pode ser calculada de duas maneiras diferentes:
1ª maneira: Área de um triângulo em função da medidas de dois lados e do ângulo compreendido entre eles. 
30
2ª maneira: Fórmula de Heron 
30
1) Um topógrafo necessita determinar a distância entre A e B como na figura abaixo. 
Infelizmente seu MED está quebrado. Devido a isto, marcou no terreno o ãngulo de 90º, determinou o C91,44m a montante do rio como na figura, e mediu o ângulo em C encontrando 54º 18’ . Calcule a distância AB.
Exercícios
30
02) Um topógrafo determinou o lado AB do triângulo mostrado a seguir com comprimento igual a 96,82m e o ângulo interno do vértice A de 35º 17’. Determine o comprimento dos outros lados do triângulo. 
Exercícios
Revisão Matemática
2) ÂNGULOS
É o nome dado à abertura formada por duas semi-retas que partem de um mesmo ponto. 
Ângulo Ângulos importantes: 
Ângulo reto: 90º 
Ângulo raso: 180º
Ângulo de uma volta: 360º
Ângulo agudo: é o ângulo cuja sua medida é menor que a de um ângulo reto. 
Ângulo obtuso: é o ângulo cuja sua medida é maior que a de um ângulo reto e menor que a de um raso
Revisão Matemática
2) ÂNGULOS
Medida de Ângulo: Graus (o), minutos(’) e segundos(”)
Ângulos Complementares Ângulos Complementares - soma é 90º 
30º e 60º 
50º e 40º 
80º e 10º 
Ângulos Suplementares Ângulos Suplementares - soma é 180 
120º e 60º 
100º e 80º 
70º e 110º 
Revisão Matemática
2) ÂNGULOS
Medida de um ângulo 
A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. A unidade padrão de medida de um ângulo é o grau , cujo símbolo é º
Tomando um ângulo raso ou de meia-volta e dividindo-o em 180 partes iguais, determinamos 180 ângulos de mesma medida. 
Cada um desses ângulos representa um ângulo de 1º grau
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Revisão Matemática
2) ÂNGULOS
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Revisão Matemática
2) ÂNGULOS
Para medir ângulos utilizamos um instrumento denominado transferidor .
O transferidor já vem graduado com divisões de 1º em 1º. Existem dois tipos de transferidor: Transferidor de 180º e de 360º. 
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Revisão Matemática
2) ÂNGULOS
1º=60' (1 grau é igual a 60 minutos)
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Revisão Matemática
2) ÂNGULOS
1’=60” (1 minuto é igual a 60 segundos)
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Revisão Matemática
2) ÂNGULOS
Quando um ângulo é medido em graus, minutos e segundos, estamos utilizando o sistema sistema sexagesimal (baseados no número 60).
			
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Revisão Matemática
2) ÂNGULOS
Leitura de um ângulo Leitura de um ângulo 
Observe as seguintes indicações de ângulos e suas respectivas leituras:
 
15º (lê-se "15 graus'') 
45º50' (lê-se ''45 graus e 50 minutos'') 
30º48'36'' (lê-se ''30 graus, 48 minutos e 36 segundos'') 
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Revisão Matemática
2) ÂNGULOS
Transformação de unidades Transformação de unidades 
Como vimos, quando trabalhamos com medidas de ângulos, utilizamos o sistema sexagesimal. sistema sexagesimal. sistema sexagesimal. 
Observe nos exemplos como efetuar transformações nesse sistema:
 
• Transforme 30º em minutos. 
 Sendo 1º = 60', temos: 
30º = 30 . 60'= 1.800’
Logo, 30º = 1.800’
• Transforme 5º35' em minutos. 
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Revisão Matemática
2) ÂNGULOS
• Transforme 5º35' em minutos.
 5º = 5 . 60' = 300' 
300' + 35'= 335' 
Logo, 5º35'= 335'. 
• transforme 8º em segundos. 
Sendo 1º = 60', temos: 
8º = 8 . 60'= 480’ 
Sendo 1'= 60'', temos: 
480'= 480’ . 60'' = 28.800'' 
Logo, 8º = 28.800''. 
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Revisão Matemática
2) ÂNGULOS
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Revisão Matemática
2) ÂNGULOS
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Revisão Matemática
2) ÂNGULOS
Subtração
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Revisão Matemática
2) ÂNGULOS
Subtração
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Revisão Matemática
2) ÂNGULOS
Subtração
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Revisão Matemática
2) ÂNGULOS
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Revisão Matemática
2) ÂNGULOS
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Revisão Matemática
3) CONVERSÕES DE UNIDADES
O sistema métrico trouxe algo de muito bom com relação aos múltiplos e submúltiplos: uma escala decimal de grandezas . 
Raciocinar de 10 em 10 é muito mais fácil para o ser humano, que na pior das hipóteses pode usar os dedos da mão para ajudar a raciocinar.: 
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Revisão Matemática
3) CONVERSÕES DE UNIDADES DE COMPRIMENTO
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Revisão Matemática
4) CONVERSÕES DE ÁREAS
As medidas de superfície fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano: 
• Qual a área desta sala? 
• Qual a área desse apartamento? 
• Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir essa piscina? 
• Qual a área dessa quadra de futebol de salão? 
• Qual a área pintada dessa parede? 
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Revisão Matemática
4) CONVERSÕES DE ÁREAS
Superfície e área 
Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número. 
Metro Quadrado 
A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado. 
O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado. 
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Revisão Matemática
4) CONVERSÕES DE ÁREAS
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Revisão Matemática
4) CONVERSÕES DE ÁREAS
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Revisão Matemática
4) CONVERSÕESDE ÁREAS
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QUESTÕES
3 – ENEM 2011(PROVA AMARELA)
QUESTÕES
RESOLUÇÃO:
Noção de Escala – Relação entre a distância no mapa e a correspondente distância real.
6) ESCALAS
Revisão Matemática
Conversão de Escalas
Converter escalas numéricas em escalas gráficas
 
Relembra:
Medidas de comprimento:
Kilómetro (km) ; Hectómetro (hm) ; Decâmetro (dam) ; Metro (m) 
Decímetro (dm) ; Centímetro (cm) ; Milímetro (mm)
1:100 000 = 1000 m = 1 Km
 CM
 0 1 2 3 4 Km
Tipos de Escalas
Numéricas
Gráficas
1: 250 000
1/10 000
0 70 140Km
0 2,5 5 Km
0 100 200m
1
7 000 000
Tipos de Escalas
Numéricas
Gráficas
 0 10 20 30 40m
 0 5 10 15 20 Km
 0 2 4 Km
1
5 000 000
1:100 000
1/ 25 000
Comparação de Mapas a Escalas Diferentes
 Aumenta a escala, aumenta o pormenor
Diminui a escala, diminui o pormenor
Áreas da Europa vistas em escalas diferentes
Problemas de Escalas
Relembra: Noção de Escala – Relação entre a distância no mapa e a correspondente distância real.
Os problemas de escala têm sempre três elementos:
E – Escala Numérica
D – Distância Real
d – Distância no mapa
QUESTÕES
ENEM 2011(PROVA AMARELA)
QUESTÕES
RESOLUÇÃO:
Logo teremos 1 : 25 000 000
GABARITO: E
Cálculo de Distâncias no Mapa
Enunciado: A distância real entre Lisboa e Madrid é de 600 Km. A que distância se encontram separadas estas duas cidades num mapa de com Escala de 1/20 000 000?
Resolução:
Cálculo de Distâncias Reais
Enunciado: A distância medida no mapa entre Viseu e Beja é de 5 cm. Sabendo que a Escala do mapa é de 1/7 000 000, calcula a Distância Real.
Resolução:
Cálculo da Escala
Enunciado: Sabendo que a distância real entre o Funchal (Madeira) e Lisboa é de 900 km, calcula a Escala do mapa onde a distância entre essas duas cidades é de 2 cm.
Resolução:
ESCALAS – NBR 8196
 ESCALA - É a relação entre a medida em que uma peça foi desenhada e a sua dimensão real.
 As ESCALAS terão seus títulos representados sob a forma de razões numéricas.
 A ESCALA NATURAL é aquela em que o desenho é executado na dimensão da peça: 1:1.
 
ESCALAS – NBR 8196
 Tamanho real é a grandeza que as coisas têm na realidade. Mas, nem todos os objetos podem ser representados no papel em tamanho real. Alguns são muito grandes para caber numa folha de papel. Outros são tão pequenos, que se os reproduzíssemos em tamanho real seria impossível analisar seus detalhes.
 Para resolver tais problemas, é necessário reduzir ou ampliar as representações destes objetos.
 Manter, reduzir ou ampliar o tamanho da representação de alguma coisa é
possível através da representação em escala. 
 
ESCALAS
1)
2)
30
03) Uma estrada rural foi representada por uma linha de 15cm. A escala utilizada foi de 1:5.000. Qual o comprimento da estrada?
a. 75m 
b. 7500m 
c. 75000m
d. 75km
e. 750m
Exercícios
30
4) Se a avaliação de uma área resultou em 2540cm2 na escala 1:500, no terreno esta área corresponderá em m2:
a. 1270000
b. 63500
c. 31750
d. 12700
e. 127
Exercícios
30
Tendo-se uma carta na escala 1/40.000, e medido-se uma distância na carta igual a 4 mm, determinar a distância correspondente no terreno em metros.
Exercícios
30
Exercícios
Tomando-se como base a figura que mostra o Brasil em três escalas diferentes, é INCORRETO afirmar que: 
a) Quanto menor for a escala, maior é o tamanho do mapa e consequentemente maior é a riqueza de detalhes.
b) Quanto maior for a escala, maior é o tamanho do mapa e consequentemente maior riqueza de detalhes.
c) Quanto menor for a escala, menor o tamanho do mapa e consequentemente menor é a riqueza de detalhes.
d) Quanto maior a escala melhor é a observação dos detalhes
30
7) Tem-se um mapa topográfico na escala de 1:30.000, com dimensões de 60 cm de comprimento por 30 cm de largura. Deseja-se fazer uma redução de escala a 1/3 da escala original. Em relação ao novo mapa, a escala, as dimensões reduzidas do mapa, em cm, e a área representada, em km2, respectivamente, 
serão:
a. 1:90.000 ; 20 x 10 e 162
b. 1:10.000 ; 60 x 30 e 162
c. 1:90.000 ; 60 x 30 e 1458
d. 1:10.000 ; 20 x 10 e 54
e. 1:90.000 ; 20 x 10 e 28
Exercícios
ESCALAS – NBR 8196
 A escala é uma forma de representação que mantém as proporções das
medidas lineares do objeto representado.
 Em desenho técnico, a escala indica a relação do tamanho do desenho da
peça com o tamanho real da peça. A escala permite representar, no papel, peças de qualquer tamanho real.
 Nos desenhos em escala, as medidas lineares do objeto real ou são mantidas, ou então são aumentadas ou reduzidas proporcionalmente.
As dimensões angulares do objeto permanecem inalteradas. Nas representações em escala, as formas dos objetos reais são mantidas.
ESCALAS – NBR 8196
As escalas de redução e ampliação recomendadas pela NBR 8196 são:
Tipos de escalas
	
a) Escala natural: 
		Indica que o objeto foi desenhado com suas medidas iguais as suas medidas reais.
	Obs.: Como d = D, o objeto ou elemento é representado em sua verdadeira grandeza.
	Obs.: Escala 1:1 (lê-se, escala um para um).
Escala natural:
	
		
Figura 1
Figura 2
b) Escala de redução: 
		Escala expressa na forma 1:X, onde os desenhos são feitos em tamanho reduzido.
	Exemplos: 1:2; 1:5; 1:10; 1:20; 1:50; 1:100; 1:200; 1:500; 1:1000, etc. (NBR 8196 – ABNT, 1992).
c) Escala de ampliação: 
		Escala expressa na forma X:1, onde os desenhos são feitos em tamanho ampliado.
	Exemplos: 2:1; 5:1; 10:1; 20:1; 50:1; 100:1; 200:1; 500:1; 1000:1, etc. (NBR 8196 – ABNT, 1992).
ESCALAS – NBR 8196
Observações importantes:
As medidas a serem cotadas serão sempre as medidas reais da peça e nunca as medidas desenhadas, caso a escala empregada não tenha sido 1:1. 
A escala deverá vir sempre indicada, normalmente no espaço destinado a tal , na legenda.
Ângulos não são representados em escala.
Existindo em uma mesma folha, desenhos feitos em diferentes escalas, estas deverão vir indicadas abaixo em cada desenho.
A indicação da escala do desenho é feita pela abreviatura da palavra escala: ESC , seguida de dois numerais separados por dois pontos. 
O numeral à esquerda dos dois pontos representa as medidas do desenho técnico. O numeral à direita dos dois pontos representa as medidas reais da peça.
ESCALAS – NBR 8196
6 ) Na indicação da escala natural os dois numerais são sempre iguais. Isso porque o tamanho do desenho técnico é igual ao tamanho real da peça. A relação entre o tamanho do desenho e o tamanho do objeto é de 1:1 (lê-se um por um). A escala natural é sempre indicada deste modo: ESC 1:1.
ESCALAS – NBR 8196
DETALHES EM ESCALA:
Quando em um desenho, algum detalhe pela sua reduzida dimensão não ficar perfeitamente compreensível, este detalhe poderá ser desenhado à parte, em escala de ampliação, especificada.
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A NBR 8196, que trata do emprego de escalas, afirma que a escala a ser adotada em um determinado desenho depende do grau de complexidade do desenho e da finalidade dessa representação.
Uma restrição é que a escala selecionada deve ser suficientemente grande para permitir uma interpretação fácil e clara das informações e representações.
A escala e o tamanho da área em questão definem o formato da folha para o desenho.
Emprego de escalas
O Tamanho da Área do Terreno Levantado - TOPOGRAFIA
Quando a área levantada e a ser projetada é bastante extensa e, se quer representar convenientemente todos os detalhes naturais e artificiais a ela pertinentes, procura-se, ao invés de reduzir a escala para que toda a área caiba numa única folha de papel, dividir esta área em partes e representar cada parte em uma folha. É o que se denomina representação parcial.
 A escolha da escala para estas representações parciais deve
seguir os critérios abordados no ítem anterior.
Principais Escalas esuas Aplicações 
ESCALA
EMPREGO
1/100
Detalhes de edifícios,
Terraplenagem, etc.
1/200
1/250
1/500
Planta de fazenda
1/1000
Planta de uma vila
1/2000
Planta de uma propriedade, planta cadastral
1/1250
Antigo cadastro
1/2500
1/5000
Planta pequena cidade
1/10.000
Planta de grande propriedade
1/50.000
Carta de diversos países
1/100.000
Carta de grandes países
1/200.000
Carta aeronáutica
1/500.000
Carta reduzida (grande carta inter-
Nacional do mundo)
1/1.000.000
 	As escalas de redução recomendadas pela NBR 6492 para a representação de projetos de arquitetura são:
 	
	1:2; 1:5; 1:10; 1:20; 1:25; 1:50; 1:75; 1:100; 1:200; 1:250; 1:500.
ESCALAS UTILIZADAS NA ARQUITETURA
 
ESCALAS USUALMENTE ADOTADAS
 
ESCALAS USUALMENTE ADOTADAS
SITUAÇÃO
LOCAÇÃO
PLANTA BAIXA
DETALHAMENTO
 O escalímetro é um instrumento de desenho técnico utilizado para desenhar objetos em escala ou facilitar a leitura das medidas de desenhos representados em escala. Podem ser planos ou triangulares, como o apresentado na figura. 
	O escalímetro, escala ou régua triangular, é dividido em três faces, cada qual com duas escalas distintas. Pode-se, nesse caso, através da utilização de múltiplos ou submúltiplos dessas seis escalas, extrair um grande número de outras escalas.  
 O escalímetro convencional utilizado na engenharia e na arquitetura é aquele que possui as seguintes escalas 1:20; 1:25; 1:50; 1:75; 1:100; 1:125.
 
 Cada unidade marcada nas escalas do escalímetro correspondem a um metro. Isto significa que aquela dada medida corresponde ao tamanho de um metro na escala adotada.
escalímetro
ESCALÍMETRO
No escalímetro tridimensional podemos observar seis tipos de escalas diferentes: 
- 1: 20 -um por 20 
- 1: 25 -um por 25 
- 1: 50 - um por 50 
- 1:75 - um por 75 
- 1: 100- um por 100 
- 1: 125- um por 125
	Cada unidade marcada nas escalas do escalímetro correspondem a um metro. Isto significa que aquela dada medida corresponde ao tamanho de um metro na escala adotada. 
ESCALÍMETRO
ESCALÍMETRO 
FACE TRIÃNGULAR
ESCALÍMETRO 
MEDIDA DE ESCALA
ESCALÍMETRO
	No escalímetro podemos aumentar ou diminuir a escala conforme necessário. 
		Ex: 1:100 pode ser usado como 1:1 ou ainda 1:1000, dependendo do caso.
	Para se aprender a trabalhar com o Escalimetro, basta aprender um pouco sobre as escalas e suas aplicações. 
ESCALÍMETRO
	
	Para se trabalhar com a escala, basta multiplicar o valor da medida indicada no desenho do objeto, pelo valor numérico da escala . 
ESCALÍMETRO
De acordo com a NBR 8196, as escalas utilizadas na engenharia são, em geral: 
1:5
1:75
1:10
1:2
1:25
1:50
1:100
1:20
1:250
1:500
1:200
2:1
5:1
10:1
20:1
50:1
Escala de redução:
Escala de ampliação:
Escala natural:
1:1
ESCALÍMETRO
Contudo, em geral, costuma-se utilizar as escalas 1:20; 1:25; 1:50; 1:75; 1:100; 1:125, uma vez que o escalímetro comumente empregado na representação de peças e desenhos da engenharia utilizam tais escalas. Exceção a essa regra deve ser feita para a Engenharia Cartográfica, uma vez que as escalas normalmente empregadas são bem inferiores as apresentadas (1:500; 1:1000; dentre outras). 
Exercícios
Qual o conceito de escala? 
Quais os tipos de escala numérica? Identifique a formula representativa de cada uma.
O comprimento canal de irrigação é 100 m (R), e no desenho esta medida deverá ser representada por 25 cm (d). Qual deve ser a escala do desenho?
O comprimento de um canal de irrigação é 20 m (R), utilizando uma escala 1:200, qual deve ser a medida no desenho (d) em cm?
Escolha da escala
	
			
	- Formato de papel não está definido: a escala selecionada deve permitir uma interpretação fácil e clara da informação representada (clareza);
	- Formato de papel está definido: a escala máxima selecionada é determinada em função das dimensões do formato de papel disponível.
	Obs.: Quanto maior o módulo da escala menor é a escala;