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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA IF-SC CAMPUS FLORIANÓPOLIS DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE CONSTRUÇÃO CIVIL PROFESSORES: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI CURSO TÉCNICO DE EDIFICAÇÕES DESENHO GEOMÉTRICO Aluno(a):_______________________________Turma:_______Data:__/__/__ APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 1 SUMÁRIO CAPÍTULO 1 – DESENHO TÉCNICO 3 NOÇÕES INICIAIS DE DESENHO GEOMÉTRICO 3 NORMAS 3 CONCEITOS E CONVENÇÕES BÁSICAS 4 MATERIAIS BÁSICOS DE DESENHO GEOMÉTRICO 4 EXERCÍCIOS 6 CAPÍTULO 2 – ENTES GEOMÉTRICOS 7 PONTO 7 LINHA 7 RETA 7 PLANO 8 MEDIATRIZ 8 CONSTRUÇÕES DE RETAS PERPENDICULARES E PARALELAS 8 EXERCÍCIOS 9 EXERCÍCIOS 10 CAPÍTULO 3 - ÂNGULOS 11 DEFINIÇÃO 11 CLASSIFICAÇÃO 11 TRANSPORTE DE ÂNGULOS: 12 O TRANSFERIDOR 12 CONSTRUÇÃO DE ÂNGULOS 13 EXERCÍCIOS 14 CAPÍTULO 4 - TRIÂNGULOS 15 DEFINIÇÃO 15 TRIÂNGULOS: 15 CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS 16 LINHAS NOTÁVEIS DOS TRIÂNGULOS 18 EXERCÍCIOS 18 CAPÍTULO 5 - QUADRILÁTEROS 19 ELEMENTOS 19 CLASSIFICAÇÃO 19 CONSTRUÇÕES DE QUADRILÁTEROS 20 EXERCÍCIOS 22 APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 2 CAPÍTULO 6 - CIRCUNFERÊNCIA 23 DEFINIÇÃO 23 LINHAS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA 23 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS 24 CONSTRUÇÕES DE CIRCUNFERÊNCIAS 24 EXERCÍCIOS 26 CAPÍTULO 7 - CONCORDÂNCIA 27 DEFINIÇÃO 27 REQUISITOS 27 EXEMPLOS DE CONCORDÂNCIA 27 EXERCÍCIOS 28 CAPÍTULO 8 - ARCOS 30 DEFINIÇÃO 30 ALGUNS TIPOS DE ARCOS 30 CONSTRUÇÕES DE ARCOS 31 EXERCÍCIOS 32 REFERENCIAS BILIOGRÁFICAS 33 APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 3 CAPÍTULO 1 – DESENHO TÉCNICO NOÇÕES INICIAIS DE DESENHO GEOMÉTRICO 1. Desenho O desenho é a maneira de expressar graficamente a forma de determinado objeto e é definido como a “expressão gráfica da forma”. Todas as coisas que conhecemos e que estamos habituados a ver, como os animais, as plantas, os móveis, as caixas, as casas, tudo, enfim, se apresenta aos nossos olhos como formas geométricas. Umas mais, outras menos definidas, mas, no fim das contas, são todas formas que podem ser associadas às formas geométricas. Quando desenhamos um objeto, estamos representando graficamente a sua forma, respeitando as proporções e medidas que definem tal objeto. Ou seja, todas as coisas que conhecemos, ou estamos habituados a ver no espaço em que vivemos, apresentam-se aos nossos olhos como formas geométricas. O desenho técnico é usado pelos projetistas para transmitir uma ideia de produto, que deve ser feito da maneira mais clara possível. Mesmo associado a procedimentos e regras, o desenho técnico necessita que o projetista use sua criatividade e conhecimento para mostrar, com facilidade, clareza e precisão, todos os aspectos da sua ideia, sem deixar dúvidas. Esses mesmos procedimentos e regras, por outro lado, são necessários para permitir que as pessoas envolvidas no processo possam compreender o desenho e, por fim, o produto que se deseja alcançar. 2. Morfologia geométrica Morfologia geométrica é o estudo das formas a serem representadas que estão, por comodidade, catalogadas em grupos distintos. 3. Elementos fundamentais do desenho geométrico Os elementos fundamentais da geometria são o PONTO, LINHA e o PLANO. 4. Geometria Geometria significa, em grego, “medida da Terra” (Geo = Terra; Metria = medida) NORMAS De acordo com a ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas – a normalização consiste na “atividade que estabelece, em relação a problemas existentes ou potenciais, prescrições destinadas à utilização comum e repetitiva com vistas à obtenção do grau ótimo de ordem em um dado contexto”1. Destacam-se as seguintes normas para o desenho técnico no Brasil: ABNT NBR 8196:1999 - Desenho técnico - Emprego de escalas ABNT NBR 10582:1988 - Apresentação da folha para desenho técnico - Procedimento ABNT NBR 10067 – Princípios gerais de representação em desenho técnico ABNT NBR 10068:1987 - Folha de desenho - Leiaute e dimensões - Padronização ABNT NBR 10126:1987– Cotagem em desenho técnico ABNT NBR 6492:1994 - Representação de projetos de arquitetura ABNT NBR 8402:1994 – Execução de caracteres para escrita em desenho técnico ABNT NBR 8403:1984 – Aplicação de linhas em desenho técnico ABNT NBR 12296:1991 – Representação de área de corte por meio de hachuras em desenho técnico. 1 Disponível em: http://www.abnt.org.br. Acessado em março de 2013. APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 4 CONCEITOS E CONVENÇÕES BÁSICAS 1. Caracteres: Letra técnica Assim como o restante do desenho técnico, as letras e algarismos também seguem uma forma definida por norma. Até pouco tempo atrás, as letras eram desenhadas individualmente com o auxílio de normógrafos e “aranhas”. Hoje, tem-se a facilidade de um editor de texto, no caso do desenho auxiliado por computador, para descrever o desenho. 2. Linhas Cada tipo e espessura de linha desempenham, no contexto onde se encontram, uma função. MATERIAIS BÁSICOS DE DESENHO GEOMÉTRICO Para estudar e praticar o Desenho Geométrico é preciso conhecer os instrumentos destinados a auxiliá-lo. Abaixo, seguem os principais deles: 1. Lápis ou Lapiseira O lápis é um instrumento básico para os traçados de desenhos, podem ser de seção redonda ou hexagonal. Apresentam internamente grafite ou mina, que tem grau de dureza variável, classificado por letras, números ou ambos. Classificação por n° Classificação por letras Classificação por n° e letras N° 1 – macio B – macio 2B, 3B até 9B – muito macio N° 2 – médio HB – médio -- N° 3 – duro H – duro 2H, 3H até 9H – muito duro As lapiseiras apresentam graduação quanto à espessura do grafite, sendo os mais comumente encontrados os de números 0,3; 0,5; 0,7 e 0,9 mm. 2. Papel O papel deve ser de boa qualidade, cadernos ou folhas soltas, sem pauta, vendidos no comércio. O formato usado é baseado na norma NBR-10068, denominada A0 (A-zero). Trata-se de uma folha com 1 m², cujas proporções altura/largura são de 1/√2; assim todos os formatos seguintes são proporcionais, conforme tabela abaixo: Referência Altura mm Largura mm A0 841 1189 A1 594 841 A2 420 594 A3 297 420 A4 210 297 A5 148 210 3. Borracha A borracha para apagar desenho a lápis deve ser macia e flexível e deve ser chanfrada numa das extremidades. APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 5 4. Escala Escala é uma régua graduada podendo ser simples ou triangular, que serve para tomar e aplicar medidas lineares. Portanto, não deve ser utilizada para auxiliar nos traçados de linhas. Para evitar erros, devem ser marcadas as medias a partir do zero. O tipo de escalímetro mais usado é o triangular, com escalas típicas de arquitetura: 1:20, 1:25, 1:50, 1:75, 1:100, 1:125. A escala 1:100 corresponde a 1 m = 1 cm, e pode ser usado como uma régua comum (1:1). Sendo: Escala 1:1 para escala natural Escala X:1 para escala de ampliação (X > 1) Escala 1:X para escala de redução (X > 1) Fonte: Apostila de Desenho Geométrico – UEPA 5. Compassos Compassos são instrumentos utilizados para traçarcircunferências, arcos de circunferências e transportar ângulos. Para traçar arcos e circunferências, dá-se ao compasso uma abertura igual ao raio desejado. Com o auxílio da régua graduada, executam-se os traçados de acordo com a figura 3. Em um compasso ideal, suas pontas se tocam quando se fecha o compasso, caso contrário o instrumento está descalibrado. A ponta de grafite deve ser apontada em “bizel”, com o auxílio de uma lixa. 6. Esquadros Esquadros são instrumentos triangulares utilizados para o desenho de ângulos específicos (a) e também para o traçado de retas paralelas (b). Esquadro de 45°, composto por dois ângulos de 45° e um de 90°; Esquadro de 60°, composto por ângulos de 30°, 60° e 90°. a) b) Apostila de Desenho Geométrico – UEPA 7. Transferidor O transferidor é um instrumento utilizado para medir, construir e transferir ângulos. 8. Flanela A flanela é um pedaço de pano para limpeza dos esquadros, réguas e pranchetas de desenho. Fonte: Apostila de Desenho Geométrico - UEPA APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 6 E X E R C Í C I O S 1) Numa folha em branco, faça as margens e o selo. Após, preencha todo o espaço de desenho construindo linhas paralelas e perpendiculares umas às outras, distando entre elas 1 cm. 2) Transcreva o alfabeto e os algarismos abaixo nas linhas seguintes, utilizando a caligrafia técnica, indicada pela NBR 6492: Letras: Números: APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 7 CAPÍTULO 2 – ENTES GEOMÉTRICOS Os entes geométricos são conceitos primitivos e não tem definição, porém são considerados como elementos fundamentais da geometria, e são: PONTO Graficamente se expressa o ponto pelo sinal obtido quando se toca a ponta do lápis no papel. Geralmente representamos ele através de uma letra maiúscula ou algarismo. LINHA É o resultado da trajetória de um ponto no espaço. A linha tem como dimensão apenas o comprimento. Podemos classificá-las de várias maneiras: a) Sinuosas b) Curvas c) Mistas d) Poligonal ou quebradas e) RETAS f) Ondulada RETA Podemos compreender este ente como o resultado do deslocamento de um ponto no espaço, sem variar sua direção. A reta é nomeada por letras minúsculas e é infinita em ambas as direções, isto é, admite-se que o ponto deslocou-se infinitamente antes e continuará deslocando-se infinitamente. Podemos classificar as RETAS de várias maneiras: Quanto à posição no espaço, em: a) Inclinadas b) Horizontal c) Vertical Quanto à posição relativa, em: a) Paralelas b) Perpendiculares c) Oblíquas Quanto à direção, em: a) Convergentes b) Divergentes Quanto à definição, em: Segmento de reta – É a porção de uma reta, limitada por dois de seus pontos. O segmento de reta é, portanto, limitado e podemos atribuir-lhe um comprimento. O segmento é representado pelos dois pontos que o limitam e que são chamados de extremidades. Ex: segmento AB, MN, PQ, etc. Segmentos colineares– Segmentos que pertencem à mesma reta, chamada de reta suporte. Segmentos consecutivos – Segmentos cujas extremidades coincidem. a) Reta b) Semirreta c) Segmento de reta d) Reta suporte (r) | e) Segmentos colineares e consecutivos (CD e DE) B r r r r s r s s r r s s r r B A A r A A B C D r E APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 8 PLANO Podemos dizer que o plano é infinito, levando-se em consideração que é uma superfície plana que se estende infinitamente em todas as direções. Podemos dizer que por um único ponto passam infinitas retas (a); por dois pontos distintos passa apenas uma reta (b); e por uma reta passam infinitos planos. RETAS COPLANARES São retas que pertencem ao mesmo plano. RETAS CONCORRENTES Retas coplanares que concorrem, isto é, cruzam-se num mesmo ponto. MEDIATRIZ Chama-se de mediatriz o segmento de reta perpendicular a outro segmento, traçado ao meio desse segmento, ou seja, que passa pelo seu ponto médio M. Exemplo: 1°. Centro em uma das extremidades, com abertura maior que a metade do segmento, traça-se o arco que percorre as regiões acima e abaixo do segmento. 2°. Com a mesma abertura, centra-se na outra extremidade e cruza-se com o primeiro arco, nos pontos 1 e 2. 3°. Ligar o ponto 1 a 2. α β β β M A B 1 2 APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 9 CONSTRUÇÕES DE RETAS PERPENDICULARES E PARALELAS 1. Retas Perpendiculares 1.1. Perpendicular a um segmento de reta AB que passe por um ponto C externo. 1°. Com ponta seca do compasso em C e abertura do compasso que ultrapasse o segmento AB, determinar os pontos 1 e 2. 2°. Com abertura do compasso que passa do meio de 1 e 2, determinar o ponto 3. 3°. Unindo o ponto 3 ao C, teremos a solução. 1.2. Perpendicular ao segmento de reta AB passando por um ponto C pertencente a ele. 1°. Com a ponta seca do compasso em C e abertura qualquer do compasso, traçar o ponto 1 e 2. 2°. Com o centro em 1 e 2 e abertura do compasso que passe do meio 1 e 2, determinar o ponto 3 e 4. 3°. A solução dada unindo-se o ponto 3 ao 4. 1.3. Perpendicular por uma das extremidades do segmento de reta AB. 1°. 1° Criar um ponto C qualquer e com a ponta seca traçar um arco que passe por uma das extremidades, em A, por exemplo, determinando M no segmento AB. 2°. 2° Unir ponto M encontrado ao C, determinando o ponto D no arco descrito. 3°. 3° Unindo o ponto A da extremidade do segmento AB ao ponto D achamos a solução. 1.4. Perpendicular por uma das extremidades do segmento de reta AB. 1°. Centro do compasso em A, abertura qualquer, traçar o arco que corta o segmento, gerando o ponto 1. 2°. Mesma abertura e centro em 1, cruza-se o primeiro arco, obtendo-se o ponto 2. 3°. Mesma abertura e centro em 2, cruza-se o primeiro arco, obtendo-se o ponto 3. 4°. Mesma abertura, centra-se em 2 e 3, cruzando estes dois arcos, achando o ponto 4. 5°. Ligar o ponto 4 à extremidade A. E X E R C Í C I O S 1) Construa um segmento de reta AB e com o auxílio do compasso, trace uma reta PERPENDICULAR ao segmento AB, que passe pelo ponto C qualquer fora desse segmento. 2) Construa um segmento de reta AB e com o auxílio do compasso, trace uma reta PERPENDICULAR ao segmento de reta AB, que passe por sua extremidade B. 3) Construa um segmento de reta AB, insira um ponto qualquer C e com o auxílio do compasso, trace uma PERPENDICULAR ao segmento de reta AB que passe pelo ponto C. APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 10 2. Linhas Paralelas 2.1. Dado o segmento de reta AB, traçar uma paralela que passe por um ponto C. 1°. Com a ponta seca do compasso em C e abertura qualquer, traçar um arco determinando M em AB. 2°. Utilizando a mesma abertura no compasso e a ponta seca em M, traçar um arco passando pelo ponto C, determinando o ponto N em AB. 3°. Transportar a medida NC a partir de M, determinando o ponto Q. 4°. Traçar a reta unindo os pontos C a Q, achamos a solução. 2.2. Traçar uma reta paralela ao segmento AB, sem ponto determinado. 1°. Com a ponta seca do compasso em um ponto qualquer do segmento AB, traçar uma semicircunferência.2°. Com o mesmo raio determinar o ponto C e posteriormente o ponto D. 3°. A reta que passa pelos pontos C e D resolve o problema. 2.3. Dividir um segmento de reta AB em “n” partes iguais e proporcionais. 1°. Traçar pela extremidade A uma reta oblíqua s, com um ângulo aproximado de 30°. 2°. Traçar para esta reta s auxiliar, uma unidade qualquer e o número de partes em que se deseja dividir esta reta. No exemplo, em 5 partes. 3°. Unir a extremidade B, com a extremidade das divisões, que neste caso será de número 5. 4°. Posteriormente traçar as paralelas com o auxílio do esquadro, dividindo o segmento AB em 5 partes iguais. E X E R C Í C I O S 1) Construa um segmento de reta AB e, com o auxílio do compasso, trace uma PARALELA com distância de 5 cm de AB. 2) Construa um segmento de reta AB e, com o auxílio do compasso, encontre a reta PARALELA a AB, a partir de seu centro. 3) Construa um segmento de reta AB e, com o auxílio do compasso, divida-o em 7 partes iguais. APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 11 CAPÍTULO 3 - ÂNGULOS DEFINIÇÃO Os ângulos planos são formados por duas semirretas ou dois segmentos de reta que têm a mesma origem ou extremidade. Cada parte do ângulo possui um nome específico: as semirretas ou segmentos formam os LADOS do ângulo; a origem ou extremidade em comum é o VÉRTICE do ângulo; o distanciamento entre os lados forma a ABERTURA do ângulo. A medição da abertura dos ângulos corresponde à divisão da circunferência em 360 partes iguais, chamadas de “graus”. Cada grau é dividido em 60 partes iguais chamadas de “minutos”. Cada minuto é ainda dividido em 60 partes iguais que chamamos de “segundos”. Podemos resumir estas definições através das igualdades ao lado: 1º (um grau) 60’ (sessenta minutos) 1’ (um minuto) 60’’ (sessenta segundos) Exemplo: 45° 22’ 35” CLASSIFICAÇÃO Cada ângulo possui uma representação, uma abertura e posição que o caracterizam: Reto: abertura = 90° Agudo: abertura < 90° Obtuso: Abertura > 90° Raso: abertura = 180° Pleno: abertura = 360° Nulo: abertura = a 0° Congruentes: ângulos com aberturas iguais Convexo: abertura > 0° e < 180° Côncavo: abertura > 180° e < 360° Adjacentes: possuem o vértice e um dos lados em comum. Complementares: Dois ângulos cuja soma é igual a 90°. Suplementares: Dois ângulos cuja soma é igual a 180°. Opostos pelo vértice: seus lados formam dois pares de semirretas opostas. Alternos: duas retas paralelas cortadas por outra oblíqua, formando 4 ângulos agudos iguais e 4 obtusos iguais. Externos 1, 5, 4 e 8 Internos 2, 6, 3 e 7 Lado Vértice Abertura Lado APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 12 TRANSPORTE DE ÂNGULOS: Procedimento de construção de ângulos congruentes com o auxílio do compasso. Com esse procedimento podemos somar ou subtrair ângulos. O TRANSFERIDOR O transferidor é um instrumento utilizado para medir, construir e transferir ângulos. O transferidor pode ser de meia volta (180°) ou de volta completa (360°) e é composto dos seguintes elementos: Graduação ou limbo: corresponde à circunferência ou semicircunferência externa, dividida em 180 ou 360 graus. Linha de fé: segmento de reta que corresponde ao diâmetro do transferidor, passando pelas graduações 0º e 180°. Centro: corresponde ao ponto médio da linha de fé. Para traçarmos ou medirmos qualquer ângulo com o transferidor devemos: a) Fazer coincidir o centro do transferidor com o vértice do ângulo. b) Um dos lados do ângulo deve coincidir com a linha de fé, ajustado à posição 0°. c) A contagem é feita a partir de 0º até atingir a graduação que corresponde ao outro lado (caso da medição) ou valor que se quer obter (caso da construção). d) Neste último caso, marca-se um ponto de referência na graduação e traça-se o lado, partindo do vértice e passando pelo ponto. e) Completa-se o traçado com um arco com centro no vértice e cortando os dois lados com as extremidades em forma de setas. Então, escreve-se o valor do ângulo neste espaço, que corresponde à sua abertura. APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 13 CONSTRUÇÃO DE ÂNGULOS 1. Ângulos – Construções Geométricas 1.1. Bissetriz – Traçar a bissetriz de um ângulo qualquer. 1°. Do vértice A, com raio qualquer, traçar um arco BC. 2°. Com a ponta seca do compasso em B, traçar um arco com a mesma medida no compasso. 3°. Com a mesma medida no compasso e a ponta seca em C, traçar um arco que cruze com o anterior encontrando o ponto D. 4°. Traçar a reta que dividirá o ângulo em duas partes iguais. 1.2. Construção de ângulos – 60°: 1°. Traça-se um lado, posicionando-se o vértice. 2°. Centro no vértice, abertura qualquer, traça-se um arco que corta o lado já traçado, definindo o ponto 1. 3°. Centro em 1, com a mesma abertura, cruza-se o arco já traçado, obtendo-se o ponto 2. 4°. Partindo do vértice e passando pelo ponto 2, traçamos o outro lado do ângulo. 1.3. Construção de ângulos – 30° e 15°: Traça-se um ângulo de 60° e em seguida a sua bissetriz para dividi-lo em 2 ângulos de 30° Traça-se um ângulo de 60° e em seguida a sua bissetriz, obtendo-se 30° e mais uma bissetriz, chegando aos 15°. 1.4. Construção de ângulos – 90° (dois métodos): a) A partir da extremidade: Fazer dois ângulos de 60° consecutivos e depois traçar a bissetriz do segundo ângulo (60°+30° = 90°). b) Em qualquer ponto da reta: Considerá-la como um ângulo raso (180°) e traçar sua bissetriz. 1.5. Construção de ângulos – 45°: Traça-se um ângulo de 90° e em seguida sua bissetriz, obtendo-se assim duas partes de 45° APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 14 1.6. Divisão de um ângulo reto em três partes iguais. 1°. Com centro em O e abertura qualquer do compasso, determinar A e B. 2°. Com a mesma abertura, determinar no arco AB os pontos C e D que, unindo ao ponto O, dará a solução. 1.7. Soma de ângulos. 1°. Criar uma reta r e determinar o ponto E. 2°. Traçar um arco qualquer de raio igual aos arcos M, N, P e Q. 3°. Transportar com o auxílio do compasso, um a um, os arcos dos ângulos A, B, C e D para o ângulo E que tem o arco igual a A, B, C e D. 1.8. Bissetriz de um ângulo de vértice desconhecido. 1°. Traçar uma reta secante AB qualquer, nas retas r e s. 2°. Achar as bissetrizes dos ângulos formados pelas retas convergentes e a secante AB. 3°. O encontro das bissetrizes dará os pontos CD. 4°. A união dará a bissetriz procurada. E X E R C Í C I O S 1) Construir um ângulo de 60° e um ângulo de 45° com o auxílio do compasso, após somar sobre uma reta r qualquer. 2) Construir um ângulo de 75° com o auxílio do compasso. 3) Dado um ângulo agudo qualquer, dividi-lo em, aproximadamente, três partes iguais. 4) Construa um ângulo de 90° com o auxílio do compasso, posteriormente dividi-lo em três partes iguais. APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 15 CAPÍTULO 4 - TRIÂNGULOS DEFINIÇÃO Entende-se por polígonos uma superfície plana limitada por uma linha poligonal fechada, formada por segmentos de reta. O número de lados corresponde ao número de ângulos. Nº Classif. ângulos Classif. lados Figura Nº Classif. ângulos Classif. lados Figura3 Triângulo Trilátero 9 Eneágono Enealátero 4 Quadrângulo Quadrilátero 10 Decágono Decalátero 5 Pentágono Pentalátero 11 Undecágono Undecalátero 6 Hexágono Hexalátero 12 Dodecágono Dodecalátero 7 Heptágono Heptalátero 15 Pentadecágono Pentadecalátero 8 Octógono Octolátero 20 Icoságono Icosalátero TRIÂNGULOS: Elementos de um triângulo: Classificação quanto aos lados: Equilátero: 3 lados iguais Isósceles 2 lados iguais Escaleno: 3 lados diferentes Classificação quanto aos ângulos: Retângulo: possui um ângulo reto Acutângulo: três ângulos agudos Obtusângulo: possui um ângulo obtuso APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 16 CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS 1. Etapas de construção 1.1. Construir um triângulo, conhecendo- se os três lados: 4, 5 e 7 cm. Traça-se um dos lados e, com centro em cada extremidade, com aberturas respectivamente iguais aos outros lados, faz-se o cruzamento dos arcos, determinando o terceiro vértice e definindo a figura. 1.2. Construir um triângulo, conhecendo- se dois lados (7 e 5 cm) e o ângulo que formam entre si (60°). Constrói-se um ângulo de 60° e, sobre cada lado, marcam-se as medidas dos lados conhecidos do triângulo. Unem-se as extremidades, fechando a figura. 1.3. Construir um triângulo, dados: o lado AB=7 cm e os ângulos: Â=75° e B=60°. Traça-se o lado AB e, pelas respectivas extremidades, constroem-se os ângulos de 75° e 60°. O encontro dos lados desses ângulos definirá o vértice que fecha a figura. 1.4. Construir um triângulo isósceles, conhecendo-se os lados iguais (4 cm) e a base (6,5cm). Traça-se a base e, com centro nas extremidades e abertura igual ao lado, faz-se o cruzamento que define o triângulo. APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 17 1.5. Construir um triângulo, conhecendo- se dois lados (7 e 5 cm) e a altura (4 cm). Traça-se uma reta e, num ponto qualquer, levanta-se uma perpendicular, marcando-se sobre esta a medida da altura. Com centro na extremidade da altura e aberturas respectivamente iguais a cada um dos lados, cruzamos estas distâncias sobre a reta, determinando os pontos que correspondem aos vértices que completam a figura. 1.6. Construir um triângulo retângulo, conhecendo-se a hipotenusa (7cm) e um cateto (3cm). Traçam-se duas retas perpendiculares. Sobre uma delas aplica-se a medida do cateto (3 cm). Com centro na extremidade deste e abertura igual à medida da hipotenusa, cruza-se sobre a outra perpendicular, definindo o outro cateto e completando-se a figura. 1.7. Construir um triângulo isósceles, conhecendo-se a base (4 cm) e a altura (5cm). Traça-se a base (4 cm) e sua mediatriz. Sobre esta, marca-se a medida da altura. Une-se a extremidade da altura às extremidades das bases, definindo-se os lados iguais. APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 18 LINHAS NOTÁVEIS DOS TRIÂNGULOS ALTURA É a distância entre um vértice e o lado oposto formando uma reta perpendicular a este. As alturas cruzam-se num ponto comum chamado Ortocentro. MEDIATRIZ Perpendicular que passa pelo ponto médio de cada lado do triângulo. O encontro das mediatrizes denomina-se Circuncentro, um ponto equidistante dos vértices e corresponde ao centro da circunferência que o circunscreve. BISSETRIZ Reta que passa pelo vértice e, divide o ângulo em duas partes iguais. O ponto de encontro das bissetrizes é o Incentro, equidistante dos lados e correspondente ao centro da circunferência inscrita no triângulo. MEDIANA Segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto de um triângulo. O encontro das medianas é o Baricentro, que divide cada uma delas no seu 1/3. Todo baricentro é interno ao triângulo E X E R C Í C I O S 1) Construa um triângulo equilátero de lado correspondente a 4 cm. 2) Construa um triângulo isósceles de base 4 cm e lados 6 cm. 3) Construa um triângulo escaleno de lados: AB = 5 cm / BC = 2,5 cm / CB = 3,7 cm. 4) Construa o triângulo retângulo AB = 3 cm / BC = 4 cm / CB= 5 cm 5) Refaça o triângulo da questão 4, quatro vezes. Encontre, na sequência, o seu ortocentro, circuncentro, incentro e baricentro. APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 19 CAPÍTULO 5 - QUADRILÁTEROS ELEMENTOS CLASSIFICAÇÃO QUADRADO: Quatro lados iguais e quatro ângulos retos (90°). Diagonais iguais e cruzam-se a 90°. Uma diagonal é mediatriz da outra. LOSANGO: lados iguais e ângulos opostos iguais entre si, sempre diferentes de 90°. RETÂNGULO: lados perpendiculares entre si (4 ângulos retos) e iguais dois a dois Diagonais iguais, cortando-se em seus pontos médios, formando um ângulo qualquer, diferente de 90°. PARALELOGRAMO PROPRIAMENTE DITO ou ROMBOIDE: possui lados opostos iguais dois a dois e os ângulos opostos iguais entre si, mas diferentes de 90°. TRAPÉZIO: Quadrilátero com 2 lados paralelos chamados de bases, uma base maior e outra menor. A distância entre as bases é a altura do trapézio. Retângulo Dois ângulos retos Isósceles Lados não paralelos iguais Escaleno Lados diferentes, sem ângulos retos B APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 20 CONSTRUÇÕES DE QUADRILÁTEROS 1. Quadriláteros – Construções Geométricas 1.1. Construir um quadrado de lado igual a 6 cm. Traça-se o lado. Por uma das extremidades, levanta-se um perpendicular e, sobre esta, transporta- se a medida do lado, centrando-se na extremidade, com abertura correspondente ao lado, rebatendo-se a distância sobre a perpendicular. Pela outra extremidade, repete-se todo o processo anterior. Fecha-se a figura unindo as extremidades dos dois lados traçados. 1.2. Construir um quadrado, dada a sua diagonal (5 cm). Traça-se a mediatriz da diagonal. Centra-se no ponto médio, com abertura até uma das extremidades, aplicando-se esta distância numa direção e na outra sobre a mediatriz. Estes dois pontos, junto com as extremidades da diagonal, definem os quatro vértices do quadrado. Traçamos, então, a figura. 1.3. Construir um retângulo conhecendo-se os lados: AB=7 cm e BC=4 cm. Traça-se o lado AB e, por B, levanta-se uma perpendicular. Sobre esta, aplica-se a medida do lado BC (4 cm). Centro em A, abertura BC, traça-se um arco. Centro em C, abertura BA, traça-se o arco que cruza com o anterior, definindo D. Traçam-se os lados restantes. APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 21 1.4. Construir um retângulo, dados: um lado (7 cm) e a diagonal (8 cm). Traça-se o lado. Por uma das extremidades, levanta-se uma perpendicular. Com centro na outra extremidade e abertura igual à medida da diagonal, cruza-se sobre a perpendicular, definindo-se o lado desconhecido e fecha-se a figura. 1.5. Construir um paralelogramo propriamente dito, conhecendo-se os dois lados: (8 e 5 cm) e o ângulo que formam entre si (120°). Traça-se um dos lados e, por uma das extremidades constrói-se o ângulo de 120°. Sobre este, aplica-se a medida do outro lado. Transportam-se, então, com o compasso, as medidas de cada um dos lados a partir das respectivas extremidades, cruzando as distâncias e definindo o vértice que falta. Traçam-se, então, os lados que completam a figura.1.6. Construir um losango, conhecendo-se o lado (6 cm) e uma diagonal (4 cm). Traçamos a diagonal e a partir de suas extremidades, com abertura igual ao lado, centramos e cruzamos os arcos que, dois a dois, definirão os vértices que faltam. Unindo esses vértices às extremidades das diagonais, completamos a figura. APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 22 E X E R C Í C I O S 1) Construa um quadrado de lado igual a 5 cm. 2) Construa um quadrado de diagonal igual a 6 cm. 3) Construa um retângulo conhecendo-se os lados: AB = 6 cm e BC = 5 cm. 4) Construa um paralelogramo propriamente dito de lados AB = 6 e BC = 4 cm e que formam entre si um ângulo de 120°. 5) Construir um losango, conhecendo-se o lado (7 cm) e uma diagonal (5 cm). 6) Construa um paralelogramo propriamente dito, conhecendo-se as diagonais (4, 5 e 3 cm) e o ângulo que formam entre si (45°). 7) Construa um losango, conhecendo-se o lado (3 cm) e uma diagonal (2 cm). 8) Construa um trapézio retângulo, dadas as bases (6 e 3 cm) e uma diagonal (7 cm). 9) Construa um trapézio isósceles, conhecendo-se as bases (4, 5 e 3 cm) e a altura (2 cm). 10) Construir um trapézio escaleno, dadas: a base maior (5 cm), a altura (2 cm) e os lados não paralelos (2,5 e 3 cm). APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 23 CAPÍTULO 6 - CIRCUNFERÊNCIA DEFINIÇÃO Todos os seus pontos pertencem a um plano e estão equidistantes (R) a um ponto fixo denominado o centro da circunferência. A circunferência constitui-se, portanto como uma linha curva, plana e fechada. Círculo: É a parte do plano limitada pela circunferência, seu contorno. O círculo é, portanto, uma superfície onde todos os pontos possuem distância a um ponto fixo “O” menor ou igual a uma distância (R) dada. LINHAS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA a) Raio (AO): Segmento de reta que une o centro a qualquer ponto da circunferência. b) Secante (s): Reta que seca (corta) a circunferência em dois de seus pontos. c) Corda (BC): Segmento de reta que une dois pontos de uma circunferência e tem a secante como reta suporte. d) Diâmetro (DE): É a maior corda de uma circunferência, pois passa pelo seu centro, dividindo-a em duas partes iguais. e) Arco (BC), (BG), (CE), (AD), etc.: É uma parte qualquer da circunferência, compreendida entre dois de seus pontos. A toda corda corresponde um arco e vice-versa. f) Flecha (FG): É o trecho do raio perpendicular a uma corda e limitado pela mesma corda e o arco que lhe corresponde. g) Tangente(t): É a reta que toca a circunferência em um só ponto e é perpendicular ao raio que passa por esse ponto. Este ponto chama-se ponto de tangência. APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 24 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS Secantes Quando têm dois pontos comuns. Tangentes Quando têm um ponto comum. Podem ser: internas ou externas. Internas Externas CONSTRUÇÕES DE CIRCUNFERÊNCIAS 1. Circunferências - Construções geométricas 1.1. Divisão da circunferência em partes iguais: Bion-Rinaldini. 1°. Traça-se a circunferência e seu diâmetro (AB). 2°. Divide-se o diâmetro pelo número de vezes a dividir a circunferência. 3°. Com a ponta seca nas extremidades A e B do diâmetro e com abertura igual a este, faz-se o cruzamento dos arcos em ambos os lados, achando os focos O e O’. 4°. A partir dos focos O e O’, traçam-se retas que passam pelos pontos pares da divisão do diâmetro e cruzam a circunferência no outro lado, achando, assim, os pontos de sua divisão. APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 25 1.2. Traçar uma circunferência que passe por três pontos não alinhados Três pontos não alinhados formam um triângulo. Cada lado do triângulo formado equivale a uma corda da circunferência. Toda mediatriz de uma corda passa pelo centro da circunferência. Traçando-se as mediatrizes de cada lado do triângulo encontramos o Circuncentro que nada mais é do que o centro da circunferência que circunscreve os três pontos (ver Cap. 4). 1.3. Determinar o centro de uma circunferência. Pelo mesmo raciocínio do exercício anterior, dada uma circunferência, traçamos duas cordas quaisquer e suas mediatrizes, que determinarão o centro da circunferência. 1.4. Traçar duas circunferências tangentes entre si. Duas circunferências são tangentes quando têm raios posicionados sobre a mesma reta. Assim, traçamos primeiramente uma reta e assinalamos o centro de uma das curvas, descrevendo-a em seguida. Com centro no cruzamento da curva com a reta e abertura igual ao raio da outra circunferência, determinamos o centro e a descrevemos em seguida. APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 26 1.5. Circunferência de raio 3 cm, tangente a uma reta num ponto dado. Para que haja tangência, é necessário que o raio que contém o ponto de tangência seja perpendicular à reta. Assim, traçamos a reta e, por um ponto qualquer, levantamos uma perpendicular, medindo-se sobre esta, a partir do ponto, a medida do raio, definindo-se o centro. Descrevemos então a circunferência. 1.6. Circunferência tangente a uma reta num ponto dado, passando por outro fora dela. Pelo ponto dado, levanta-se uma perpendicular. Unindo-se o ponto da reta ao ponto fora da mesma, temos um segmento de reta que é uma corda da circunferência a ser traçada. Traçamos, então, a mediatriz deste segmento que, ao cruzar com a perpendicular, define o centro da curva. E X E R C Í C I O S 1) Traçar uma circunferência que passe por três pontos não alinhados quaisquer. 2) Trace uma circunferência e, na sequência, determine seu centro. 3) Trace duas circunferências tangentes entre si. 4) Trace uma circunferência de raio 4 cm, tangente a uma reta num ponto dado. 5) Trace duas circunferências, uma com raio igual a 3 cm e outra com raio igual a 5 cm, com uma corda comum de 4,5 cm. APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 27 CAPÍTULO 7 - CONCORDÂNCIA DEFINIÇÃO É a reunião de duas linhas de forma que não haja inflexões nos pontos de contato, numa aplicação direta da tangência. Dificilmente encontramos nos objetos que manuseamos, quinas e arestas vivas, eles geralmente têm um contorno suave, o qual agrada o nosso tato. Isto nada mais é que o estudo e a aplicação de concordância, a qual é uma aplicação direta de tangência. Se observarmos o contorno do meio-fio em uma esquina, ou prestarmos atenção em nossas estradas, viadutos, rotatórias, pontilhões, ou melhor, na construção de nossas estradas em geral, veremos, mais uma vez, a aplicação direta de concordância entre arcos e também entre retas e arcos. Então podemos concluir que estes tópicos de Desenho Geométrico são, nada mais nada menos, que o nosso dia-a-dia tecnicamente desenhado. Definição: Existe concordância entre uma reta e um arco ou entre dois arcos, quando eles se unem formando uma linha contínua sem quinas ou ângulos. (UEL, 2014) REQUISITOS - Para concordar uma curva com um segmento de reta, é necessário que o centro da curva esteja sobre a perpendicular ao segmento que passa pelo ponto de concordância, ou seja, um arco e uma reta estão em concordância num ponto, quando a reta é tangente ao arco neste ponto. - Para concordar dois arcos, é necessário que o ponto de concordância e o centro deconcordância pertençam à mesma reta, ou seja, quando eles admitem uma tangente comum. Os centros dos dois arcos e o ponto de concordância estão alinhados na mesma reta. EXEMPLOS DE CONCORDÂNCIA APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 28 E X E R C Í C I O S 1) Concordar uma reta dada no ponto A, que deve passar pelo ponto B. 2) Concordar duas retas, r e s, através de um raio R dado. 3) APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 29 3) Concordar uma reta dada r num ponto dado A, com uma reta s por meio de um arco. 4) Concordar um arco AB no ponto B, com outro arco que deve passar por um ponto C dado. APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 30 CAPÍTULO 8 - ARCOS DEFINIÇÃO Peça fundamental no desenvolvimento das técnicas de edificação, a evolução do arco foi paralela à da própria arquitetura, levando à criação da abóbada. Em termos técnicos, o arco se define como um elemento construtivo e de sustentação que, de forma mais ou menos curva, cobre o vão ou espaço, existente entre dois pontos fixos. ALGUNS TIPOS DE ARCOS ARCO PLENO Arco que possui o tamanho da flecha correspondente a seu raio. Ou seja, a medida da flecha é metade de sua base. ARCO ABATIDO Arco que possui a flecha menor que a metade de seu vão, formado por uma sucessão de arcos concordantes. ARCOS OGIVAIS Arcos ogivais que possuem flecha maior que a metade de seu vão. Os arcos que os formam concordam com os suportes e não concordam entre si. São exemplos os equiláteros e os góticos. Arco Ogival Equilátero Arco Ogival Gótico APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 31 CONSTRUÇÕES DE ARCOS 1. Arcos - Construções geométricas 1.1. Arco Ogival Equilátero Trace o segmento AB (vão). Com centro do compasso em B e abertura AB trace um arco. Em seguida, coloque a ponta seca do compasso em B e com abertura AB trace outro arco. O arco gótico eqüilátero é definido pelos pontos A, B e C. 1.2. Arco Pleno (Romano) Trace o segmento AB (vão). Encontre o ponto Médio M do segmento AB (vão) com a mediatriz. Em seguida coloque a ponta seca do compasso em M e com medida MA ou MB trace o arco AB. O arco romano é definido pelos pontos A e B. 1.3. Arco Ogival Superelevado 1°. Trace o segmento AB (vão). 2°. Trace a mediatriz de AB e marque nela a altura MC do arco. 3°. Ligue o ponto C às extremidades do segmento AB formando o triângulo isósceles ABC. 4°. Prolongue AB para os lados; 5°. Trace a mediatriz dos lados AC e BC do triângulo ABC; 6°. Onde elas cruzarem o prolongamento de AB, marque os centros 1 e 2; 7°. Com a ponta seca no centro 2 e abertura igual a 2A ou 2C, trace o arco AC; 8°. Com a ponta seca no centro 1 e com abertura igual a 1B ou 1C e trace o arco CB. APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 32 1.4. Arco Gótico Flamejante Trace o segmento AB (vão). Em seguida trace a altura MC do vão a partir de uma mediatriz. Depois ligue AC e BC. Em seguida, trace uma reta perpendicular ao segmento MC por C. Trace a mediatriz de AC e BC encontrando os pontos T e T' respectivamente nos segmentos AC e BC. Trace as mediatrizes de AT e BT'. Trace as mediatrizes de TC e T'C. Prolongue as mediatrizes de AT e BT' até o segmento AB encontrando assim os centros O 1 e O1'. Prolongue as mediatrizes de TC e T'C até a reta que passa por C encontrando assim os centros O 2 e O 2'. Coloque a ponta seca do compasso em O 1 e com abertura igual a O 1B trace o arco BT'. Depois coloque a ponta seca do compasso em O 2' e com abertura igual a T'C trace o arco T'C. Depois, coloque a ponta seca do compasso em O1' e com abertura igual a O1'A trace o arco AT. Em seguida, coloque a ponta seca do compasso em O2 e com abertura igual a TC trace o arco TC. E X E R C Í C I O S 1) Construa um arco ogival equilátero de vão 5 cm. 2) Construa um arco pleno de vão igual a 4 cm. 3) Construa um arco gótico de vão 6 cm e altura 7 cm. 4) Construa um arco abatido de vão igual a 5 cm e altura igual a 2 cm. APOSTILA DESENHO GEOMÉTRICO – PROFS.: ANELISE C. MACARI, FERNANDA S. SCHUCH E VICENTE NASPOLINI 33 REFERENCIAS BILIOGRÁFICAS Adaptado da Apostila de Desenho da UEPA. Autor: Prof. Jorge Henrique de Jesus Berredo Reis, 2014. UEL, Desenho Geométrico – Concordância, disponível em: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg/dg_7t.php .
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