Lista3_CET148

Prévia do material em texto

UFRB
UFRB - Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
CETEC - Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas
DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral III CURSO:
PROFESSOR: Gilberto Pina DATA: / /
NOME: TURMA:
Lista de Exercícios III
Atualizada em 18 de outubro de 2014
Questões:
EP 1. Resolva as seguintes equações diferenciais:
(a) xy′′′ = 2
(b) xy′′ − y′ = x2ex
(c) x2y′′ + xy′ = 1
(d) xy′′ + y′ = 0
(e) (x+ 1)y′′ − (x+ 2)y′ + x+ 2 = 0
(f) 2yy′′ = 1 + (y′)2; y(1) = 2, y′(1) = 1
(g) yy′′ + (y′)2 = (y′)3; y(0) = 1, y′(0) = 1
(h) yy′′ − (y′)2 = y4; y(0) = 1, y′(0) = 0
(i) xy′′′ + y′′ = 1
(j) y′′ − 4y′ + 4y = 0
EP 2. Dado o P.V.I. abaixo, encontre sua solução, o valor máximo desta solução e em que ponto ela
se anula.
(
2y′′ − 3y′ + y = 0,
y(0) = 2, y′(0) = 1/2.
EP 3. Mostre que y1(x) = 1 e y2(x) = x
1/2 são soluções da equação diferencial yy′′+(y′)2 = 0, x > 0.
Mostre também que a combinação linear dessas soluções não é, em geral, solução dessa equação.
EP 4. Prove que, se y = φ(x) é uma solução da equação diferencial y′′ + p(x)y′ + q(x)y = g(x), onde
g(x) não é identicamente nula, então y = c · φ(x), onde c é qualquer constante diferente de 1, não é
solução.
EP 5. Sendo W o Wronskiano, obtenha a função g para os casos abaixo:
(a) W (f , g)(x) = 3e4x, onde f(x) = e2x (b) W (f , g)(t) = t2et, onde f(t) = t
EP 6. Se W (f , g) é o Wronskiano de f e g, e se u = 2f − g, v = f + 2g, encontre o Wronskiano de
u e v em função de W (f , g).
EP 7. Se Wronskiano de f e g é t cos t − sen t, isto é, W (f , g) = t cos t − sen t, e se u = f + 3g e
v = f − g, encontre W (u, v).
EP 8. Mostre que as funções y1 e y2 são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um
conjunto fundamental de solução?
(a) y′′ + 4y = 0; y1(t) = cos 2t, y2(t) = sen 2t
(b) x2y′′ − x(x+ 2)y′ + (x+ 2)y = 0, x > 0; y1(x) = x, y2(x) = xex
(c) (1− x cotg x)y′′ − xy′ + y = 0, 0 < x < π; y1(x) = x, y2(x) = senx
EP 9. Para cada equação diferencial abaixo, sendo y1 uma solução particular, determine uma outra
solução, y2, LI com y1:
(a) xy′′ − (x+ 2)y′ + 2y = 0, y1 = ex
(b) xy′′ − y′ = 0, y1 = 1
(c) xy′′ + (x+ 2)y′ + y = 0, y1 =
1
x
(d) xy′′ + 2y′ + xy = 0, y1 =
senx
x
(e) x2(ℓnx− 1)y′′ − xy′ + y = 0, y1 = x
(f) xy′′ + (x− 1)y′ − y = 0, y1 = e−x
EP 10. Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é y = c1e
−x/2 + c2e−2x.
EP 11. Resolva as seguintes equações diferenciais:
(a) y′′ + y′ − 2y = 0
(b) y′′ − 10y′ + 25y = 0
(c) y′′ − 5y′ + 4y = 0, y(0) = 5, y′(0) = 2
(d) y′′ + 4y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2
(e) y′′ + 2y′ = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0
(f) y(4) + y = 0, y1 = e
−x
(g) y′′′ − 3y′′ + 4y = 0
(h) y′′ − 9y′ + 9y = 0
(i) 6y′′ − 5y′ + y = 0, y(0) = 4, y′(0) = 0
(j) 4y′′ − y = 0, y(−2) = 1, y′(−2) = −1
EP 12. Resolva as seguintes equações diferenciais lineares não homogêneas:
(a) xy′′ − y′ = x2
(b) y′′ + y = cotg x
(c) y′′ + 4y = sec(2x)
(d) y′′ − 6y′ + 9y =
e3x
x2
EP 13. Resolva as seguintes equações diferenciais lineares não homogêneas, sabendo que a função y1
é uma solução particular da equação homogênea associada:
(a) xy′′ + (x+ 2)y′ + y = e−x; y1 = 1/x
(b) x2y′′ − 2xy′ + 2y = x3; y1 = x2
(c) x2y′′ − xy′ = 3x3; y1 = 1
(d) xy′′−y′+4x3y = 4x3, x > 0; y1 = sen(x2)
EP 14. Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(a) y′′ + y = tg x, 0 < x < π2
(b) y′′ + 9y = 9 sec2 3x, 0 < x < π6
(c) y′′ + 4y′ + 4y = x−2e−2x, x > 0
EP 15. Verifique que as funções dadas y1 e y2 satisfazem a equação homogênea associada, depois
encontre uma solução particular da equação não-homogênea dada.
(a) x2y′′ − 2y = 3x2 − 1, x > 0; y1(x) = x2 e y2(x) = x−1
(b) x2y′′ − x(x+ 2)y′ + (x+ 2)y = 2x3, x > 0; y1(x) = x e y2(x) = xex
(c) x2y′′ − 3xy′ + 4y = x2 ℓnx, x > 0; y1(x) = x2 e y2(x) = x2 ℓnx
(d) x2y′′ + xy′ + (x2 − 0, 25)y = 3x3/2 senx, x > 0; y1(x) = x−1/2 senx e y2(x) = x−1/2 cos x
Lista de Exercícios III # Cálculo Diferencial e Integral III 2
EP 16. Usando o método dos coeficientes a determinar, determine as soluções gerais das seguintes
equações diferenciais não-homogêneas:
(a) y′′ − 5y′ + 6y = 2ex
(b) y′′ + 2y′ + y = (x+ 1)ex
(c) y′′ + 9y = x2e3x + 6
(d) y′′′ − 4y′′ + 5y′ − 2y = 2x+ 3
(e) y′′′ − 2y′′ + y′ + 6y = 2ex + x3
(f) y′′′ − y′ = xe−x + 2cos x
(g) y′′ − 7y′ + 6y = senx
(h) y′′ + 9y = (x+ 1)e3x
EP 17. Dê apenas a forma da solução geral das seguintes equações diferenciais:
(a) y(4) − y′′′ − y′′ + y′ = x2 + 4 + x senx
(b) y(4) + 2y′′′ + 2y′′ = 3ex + 2xe−x + e−x cos x
EP 18. Determine a equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes, de menor ordem,
que admite como solução particular a função:
(a) y = 2ex − xe−3x
(b) y = 3x+ 5e2x senx
EP 19. Para cada uma das equações diferenciais a seguir, assumindo x > 0, encontre a solução geral:
(a) x2y′′ + 2xy′ − 6y = 0
(b) 2x2y′′ − xy′ + y = 0
(c) (x− 1)2y′′ + 3(x− 1)y′ + y = 0, x > 1
(d) x2y′′ + xy′ + y = 0
EP 20. Considere uma equação de Euler-Cauchy arbitrária,
x2
d2y
dx2
+ a1x
dy
dx
+ a2y,
onde a1, a2 ∈ R.
(a) Supondo x > 0 e usando a mudança de variáveis x = et, prove que a equação de Euler-Cauchy
se reduz à equação
d2y
dt2
+ (a1 − 1)
dy
dt
+ a2y = 0,
que é uma equação diferencial linear com coeficientes constantes, na variável t.
(b) Usando o item (a), conclua que o sistema fundamental de soluções da equação de Euler-Cauchy
é do tipo: {xr1 , xr2} ou {xr1 , xr1 ℓnx} ou {xa cos(b ℓnx), xa sen(b ℓnx)}.
(c) Usando o item (a), encontre a solução geral da seguinte equação diferencial
x2y′′ + 5xy′ + 3y = 4 ℓnx, x > 0.
EP 21. Resolva as seguintes equações diferenciais:
(a) x2y′′ − 2xy′ + 2y = x3 (b) x2y′′ − xy′ = 3x3
Lista de Exercícios III # Cálculo Diferencial e Integral III 3
Gabarito e Sugestões
1. (a) y = x2 ℓnx+ c1x2 + c2x+ c3 (b) y = (x− 1)ex + c1x2 + c2 (c) 2y = (ℓnx)2 + c1 ℓnx+ c2 (d) y = c1 + c2 ℓnx
(e) y = (c1ex + 1)x + c2 (f) 4y = x2 + 2x+ 5 (g) y = x+ 1 (h) y = secx (i) 2y = x2 + c1x ℓnx+ c2x+ c3 (j)
y = c1e2x + c2xe2x
2. y = −ex + 3ex/2; O valor máximo ocorre em y = 9/4, para x = 2 ℓn(3/2); (3 ℓn3, 0)
3.
4.
5. (a) g(x) = 3xe2x + ce2x (b) g(t) = tet + ct
6. W (u, v) = 5W (f , g)
7. W (u, v) = −4(t cos t− sen t)
8. (a) Sim (b) Sim (c) Sim
9. (a) y2 = x2 + 2x+ 2 (b) y2 = x2 (c) y2 =
e−x
x
(d) y2 =
cos x
x
(e) y2 = ℓnx (f) y2 = x− 1
10. 2y′′ + 5y′ + 2y = 0
11. (a) y = c1e−2x + c2ex (b) y = c1e5x + c2xe5x (c) y = 4ex + e4x (d) y = sen 2x (e) yg = 1
(f) y = e
x√
2
€
c1 cos
€
x√
2
Š
+ c2 sen
€
x√
2
ŠŠ
+ e
−x√
2
€
c3 cos
€
x√
2
Š
+ c4 sen
€
x√
2
ŠŠ
(g) y = c1e−x + c2e2x + c3xe2x (h)
y = c1e[
(9+3
√
5)x/2] + c2e[
(9−3
√
5)x/2] (i) y = 12ex/3 − 8ex/2 (j) y = −e
[(x+2)/2] + 3e[−(x+2)/2]
2
12. (a) y =
x3
3
+ c1x2 + c2 (b) y = c1 cos x + c2 senx + senx ℓn(cossec x − cotg x) (c) y = c1 cos (2x) + c2 sen (2x) +
x
2
sen (2x) +
1
4
cos (2x) ℓn(cos (2x)) (d) y = c1e3x + c2xe3x − e3x ℓnx
13. (a) y = c1
1
x
+ c2
e−x
x
− e−x (b) y = c1x+ c2x2 +
x3
2
(c) y = c1 + c2x2 + x3 (d) y = c1 sen(x2) + c2 cos(x2) + 1
14. (a) y = c1 cos x+ c2 sen x− (cos x) ℓn(tg x+ secx) (b) y = c1 cos 3x + c2 sen 3x + (sen 3x) ℓn(tg 3x + sec 3x) − 1 (c)
y = c1e−2x + c2xe−2x − e−2x ℓnx
15. (a) yp =
1
2
+ x2 ℓnx (b) yp = −2x2 (c) yp = 16x2(ℓnx)3 (d) yp = −
3
2
√
x cos x
16. (a) y = c1e2x + c2e3x + ex (b) y = c1e−x + c2xe−x +
xex
4
(c) y = c1 cos 3x+ c2 sen 3x+

x2
18
− x
27
+
1
162
‹
e3x +
2
3
(d) y = c1ex + c2xex + c3e2x − x− 4 (e) y = c1ex + c2xex + c3 + x2ex +
x4
4
+ 2x3 + 9x2 + 24x (f) y = c1ex + c2e−x +
c3 +

x2 + 3x
4
‹
e−x − senx (g) y = c1ex + c2e6x +
5 sen x+ 7 cos x
74
(h) y =c1 cos 3x+ c2 sen 3x+
�
x
18
+
1
27
�
e3x
17. (a) yg = c1 + c2ex + c3xex + c4e−x + Ax3 +Bx2 + Cx+ (Dx+E) cos x+ (Fx+G) sen x
(b) yg = c1 + c2x+ c3e−x cos x+ c4e−x senx+Aex + (Bx+ C)e−x + xe−x(D cos x+ E senx)
18. (a) y′′′ + 5y′′ + 3y′ − 9y = 0 (b) y(4) − 4y′′′ + 5y′′ = 0
19. (a) y = c1x2+c2x−3 (b) y = c1x+c2
√
x (c) y = c1(x−1)−1+c2(x−1)−1 ℓn (x− 1) (d) y = c1 cos (ℓn x)+c2 sen (ℓnx)
20. (a) ??? (b) ??? (c) yg = c1x−1 + c2x−3 +
4
3
ℓnx− 16
9
21. (a) y = c1x+ c2x2 +
x3
2
(b) y = c1 + c2x2 + x3
“Daqui a alguns anos estará mais arrependido pelas coisas que não
fez do que pelas que fez. Solte as amarras! Afaste-se do porto seguro!
Agarre o vento em suas velas! Explore! Sonhe! Descubra!”
Mark Twain
Lista de Exercícios III # Cálculo Diferencial e Integral III 4