Acréscimo de Tensão Vertical Provocada por Carregamento

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10a AULA 
ACRÉSCIMOS DE TENSÃO VERTICAL NO SOLO 
PROVOCADOS POR CARREGAMENTOS EXTERNOS 
 
1. Introdução 
 
A determinação do estado de tensões no solo provocado por carregamento externo 
com área carregada finita ou limitada é mais complexa que a do estado de tensões 
provocado pelo peso próprio (8a aula) ou por carregamento externo com área 
“infinita”. 
 
Como exemplo de um carregamento externo de área carregada “infinita” tem-se o 
caso de um aterro de grande extensão lateral. Esse aterro pode ser considerado 
simplesmente como uma camada a mais no perfil do subsolo, provocando um 
acréscimo de tensão constante ∆σv ao longo da profundidade. 
 
aterro, γatzat
terreno natural
P Q
R 
 ∆σv em P = ∆σv em Q = ∆σv em R 
 
Seja σv a tensão vertical total devida ao peso próprio do solo num ponto qualquer P 
do subsolo. A tensão total no mesmo ponto P, após a construção de um aterro 
“infinito” de altura zat e de peso específico γat será σv + ∆σv = σv + γatzat. Observe-se 
que, considerando-se a área carregada infinita, a posição do ponto no perfil pouco 
importa. Qualquer que seja sua posição tanto na direção vertical quanto na direção 
horizontal, o acréscimo de tensão vertical será sempre γatzat. Note-se entretanto que, 
 
 
2
 
como o aterro não é realmente infinito, à medida que o ponto considerado se 
aproxima das bordas do aterro, o erro ao se admitir ∆σv = γatzat aumenta. 
 
Já se a área carregada é finita, a situação é diferente. O acréscimo de tensão ∆σv 
provocado pelo carregamento depende da posição do ponto. 
terreno natural
P Q
R
σ0
 
 ∆σv em P ≠∆σv em Q≠∆σv em R 
 
2. Propagação de Tensões 
 
Quando se aplica um carregamento na superfície do terreno, numa área bem 
delimitada, os acréscimos de tensão numa certa profundidade não se limitam à 
projeção da área carregada, uma vez que ocorrem aumentos de tensão nas laterais da 
área, numa região definida pelo ângulo de espraiamento α. 
 
O ângulo de espraiamento α varia com o tipo de solo: solo mole - α<40o; areia pura - 
α de 40 a 45o; argilas rijas e duras -α ≅ 70o. 
 
 
σ0
α α
Bztgα ztgα
O O'
A A'
z
 
 
 
3
 
Considerando o efeito do espraiamento de tensões, uma estimativa grosseira do 
acréscimo de tensão vertical resultante de carregamento externo pode ser obtida a 
partir das seguintes hipóteses: 
 
- os acréscimos de tensão ficam confinados dentro da região limitada pelas linhas 
OA e O’A’. 
- o diagrama de acréscimo de tensão em qualquer profundidade, tem o formato 
triangular, sendo que o seu valor máximo é encontrado no eixo central da área 
carregada (na realidade o diagrama tem a forma de “sino”). 
 
Para o cálculo de ∆σv, como a carga total aplicada é a mesma em todos os planos 
horizontais, basta fazer-se o equilíbrio de forças. 
 
Exemplo para sapata corrida com largura B: 
 
Seja σ0 a tensão aplicada na superfície e ∆σvm o acréscimo de tensão médio 
provocado por σ0 na profundidade z. Analisando uma faixa de 1m da sapata corrida, 
tem-se: 
 
σ0.B.1 = ∆σvm(B+2ztgα).1 
∆σvm = 
B
B ztg
σ
α
0
2+ 
 
 
4
Se ∆σvmax é o acréscimo máximo de tensão no centro da sapata, tem-se: 
 
σ
σ
σ
σ
αm
max
maxA
A B
B ztg= ⇒ +=2
2
2
0 
 
 
Exemplo para placa circular com diâmetro B: 
 
σ0πB2/4 = ∆σvmπ(B+2ztgα)2/4 
 
∆σvm = 
B
B ztg
2
0
22
σ
α( )+
 
 
Se ∆σvmax é o acréscimo máximo de tensão no eixo da placa, tem-se: 
 
σ
σ
σ
σ
αm
max
maxA
A B
B ztg
= ⇒ =
+3
3
2
2
0
2( )
 
 
 
3. Emprego da Teoria da Elasticidade para Cálculo da Distribuição de Tensões 
 
A Teoria da Elasticidade vem sendo muito empregada para a estimativa das tensões 
atuantes no interior da massa de solo decorrentes de carregamentos aplicados na 
superfície e mesmo no interior do terreno. 
 
Cabe ressaltar entretanto que a utilização da Teoria da Elasticidade aos solos deve 
ser feita com bastante critério. O solo apresenta comportamento aproximadamente 
elástico somente quando o nível de deformação a que o solo é submetido é pequeno 
(tensões menores do que 1/3 da que provoca ruptura no solo). 
 
 
 
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3.1 Carga vertical concentrada aplicada a um ponto da superfície (Boussinesq) 
 
Q
P
∆σv
Rz
r
θ
 
A expressão de Boussinesq é apresentada em três diferentes formas, dependendo da 
variável usada em conjunto com z para expressar a posição do ponto P: 
∆σ v
Q z
R
=
3
2
3
5π
 
∆σ v
Q
z r
z
=
+
3
2
1
1
2 2
2
5
2π ( )
 
∆σv
Q
z
=
3
2 2
5
π
θcos 
 
3.2 Carga vertical distribuída em faixa infinita - sapata corrida (Terzaghi) 
Para este caso, definem-se os seguintes ângulos: 
α - ângulo definido pelos segmentos de reta que unem P às bordas da faixa; 
δ - ângulo formado pela vertical passando por P e pelo segmento de reta que une o 
ponto P à borda da faixa mais próxima de P. 
 
P
∆σv
α
δ
σ0
P
∆σv
α
δ
σ0
 
 β α δ= +2 β
α δ= −2 
 
 
 
6
O ângulo β, expresso pelas expressões anteriores, em função da posição do ponto P, 
interno ou externo à projeção da faixa, é o ângulo formado pela bissetriz de α e pela 
vertical passando por P. 
 
A expressão para cálculo de ∆σv em P é a seguinte: 
 
∆σv = +
σ
π
α α β0 2( sen cos ) 
com α e β em radianos. 
 
 
3.3. Carga distribuída vertical em placa circular (Love) 
 
 P
∆σv
z
σ0
R0
 
 
∆σv R
z
= −
+




















σ0
0 2
3
2
1
1
1 ( )
 
 
A expressão acima é válida somente para pontos P sob o centro da placa. 
 
 
 
 
 
7
3.4. Carga distribuída vertical em placa retangular (Newmark) 
 
O processo descrito abaixo possibilita o cálculo de ∆σv em pontos numa vertical 
passando por um dos vértices do retângulo. 
 
∆σv
z
σ0
P
a
b
 
 
Para o cálculo, são definidos os seguintes coeficientes: 
 
m = a/z 
 
n = b/z 
 
O valor de ∆σv é dado por: 
 
∆σv
mn m n
m n m n
m n
m n
arc
mn m n
m n m n
=
+ +
+ + +
+ +
+ +
+
+ +
+ + +
σ
π
0
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 24
2 1
1
2
1
2 1
1
( sen ) 
 
Como a expressão acima é bastante complexa, o problema é resolvido pelo uso de: 
 
∆σv I= σ σ0 
 
 
 
8
onde Iσ é chamado de fator de influência e determinado na tabela ou no ábaco 
apresentados nas páginas seguintes, a partir dos valores de m e n. 
 
Para o cálculo do acréscimo de tensão em qualquer outro ponto P que não abaixo dos 
vértices da área retangular, usa-se o princípio da superposição dos efeitos. Procede-
se à soma e subtração dos fatores de influência (Iσ) de retângulos, todos com vértice 
na vertical passando por P. A área correspondente a todos os retângulos considerados 
dever ser igual a área da placa retangular. 
 
Exemplo 
Calcular o acréscimo de tensão vertical no ponto P, situado a 10 m de profundidade, 
provocado pela área retangular carregada ABCD (4m x 5m) na superfície, com σ0 = 
100 kN/m2. 
 
3m
A
B
C
D
P
E
F G
H
1m
3m 2m 
Resolução: 
 
I I I I IABCD AEPF ECGP PGDH FPHBσ σ σ σ σ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + + 
 
retângulo AEPF: m = 3/10 = 0,3 n = 3/10 = 0,3→ Iσ(AEPF) = 0,03735 
retângulo ECGP: m = 3/10 = 0,3 n = 2/10 = 0,2→ Iσ(ECGP) = 0,02585 
retângulo PGDH: m = 2/10 = 0,2 n = 1/10 = 0,1→ Iσ(PGDH) = 0,00917 
retângulo FPHB: m = 3/10 = 0,3 n = 1/10 = 0,1→ Iσ(FPHB) = 0,01323 
 
Iσ(ABCD) = 0,03735 + 0,02585 + 0,00917+ 0,01323 = 0,0856 
∆σv I= σ σ0 = 100 x 0,0856 = 8,56 kN/m2
 
 
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3.5. Outras Soluções Baseadas na Teoria da Elasticidade 
 
Soluções para diversos outros tipos de carregamento, também baseadas na Teoria da 
Elasticidade, estão disponíveis em livros como o de Poulos e Davis: “Elastic 
Solutions for Soil and Rock Mechanics”, 1974. 
 
Muitas vezes, essas soluções são apresentadas na forma de “bulbos de tensões”. Na 
figura da página seguinte é apresentado, com a finalidade de ilustrar, o bulbo de 
tensões para placa circular na superfície do terreno. Cada curva do bulbo está 
associada a um certo valor de fator de influência. Por exemplo, pontos situados na 
curva com o valor de 0,5, sofrem um acréscimo de tensão vertical de 0,5 σ0. 
 
Bulbos de tensões para outros tipos de carregamento são apresentados no livro 
mencionado. Além do mais, são disponíveis bulbos para o cálculo de acréscimos de 
tensões horizontais, tensões principais e tensões de cisalhamento. A utilização desse 
tipo de gráfico facilita a solução de inúmeros problemas práticos. 
 
3.6. Ábaco dos setores de anel 
 
A partir da expressão de Love para carga distribuída em placa circular, Newmark 
desenvolveu um processo gráfico para cálculo de acréscimos de tensão ∆σv 
produzidos por quaisquer tipos de carregamento uniformemente distribuído. Como 
visto, a expressão de Love é: 
∆σv R
z
= −
+




















σ0
0 2
3
2
1
1
1 ( )
 
 
ou ainda: ∆σv I= σσ0 
 
 
 
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Bulbo de tensões de placa circular 
 
 
 
15
sendo o fator de influência Iσ função somente da relação R0/z. Calculemos, pela 
expressão de Love, os valores de R0/z para diversos valores Iσ: 
Iσ R0/z 
0,0 0,0 
0,1 0,27 
0,2 0,40 
0,3 0,52 
0,4 0,64 
0,5 0,77 
0,6 0,91 
0,7 1,11 
0,8 1,39 
0,9 1,91 
1 infinito 
 
Da tabela, verifica-se que tomando Iσ = ∆σv/σ0 = 0,1, decorre que R0/z =0,27. Isso 
implica em dizer que uma placa carregada de raio R0 = 0,27z, provoca, num ponto 
situado à profundidade z, sob a vertical pelo centro da placa, um acréscimo de tensão 
∆σv = 0,1 σ0. 
 
Pode-se então começar a desenhar o ábaco dos setores de anel. Na figura a seguir a 
escala é dada pelo segmento AB que corresponde ao valor de z. Assim, se o cálculo 
de ∆σv for feito para a profundidade de 5 m, a escala do ábaco será tal que o 
segmento AB corresponde a 5m; se a profundidade for de 8 m, o segmento AB 
corresponde a 8 m e assim por diante. 
 
Desenha-se então um círculo de raio 0,27z, ou seja, de raio 0,27 vezes o tamanho do 
segmento AB. Como visto, esse círculo carregado com σo na superfície, provoca na 
profundidade z, um acréscimo de tensão de 0,1σo. Se este círculo for dividido em 20 
setores circulares iguais, cada setor contibuirá igualmente com 1/20 de 0,1 σo, ou 
seja 0,005σo. 
 
 
16
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Investiga-se agora o raio do círculo que provoca na vertical passando pelo seu 
centro, à mesma profundidade z, um acréscimo de tensão igual a 0,2 da tensão 
aplicada. A tabela indica que a relação R0/z para este acréscimo é igual a 0,40. 
Desenha-se então no ábaco um círculo de raio 0,40z. Se o carregamento circular com 
raio 0,40z provoca 20% de σ0 e o círculo de raio 0,27z provoca 10% de σ0, conclui-
se que o anel circular externo provoca um acréscimo de tensão de 10% do aplicado à 
superficie. Divide-se esse anel em 20 setores; portanto cada setor contribui também 
com 1/20 de 0,1σo = 0,005 σo. 
 
Usando o mesmo procedimento, poderão ser obtidos outros círculos concêntricos 
(divididos cada um deles em 20 setores) adotando-se Iσ = 0,3; 0,4; 0,5; etc. 
 
Considere-se que se conhece a planta de uma edificação com formato irregular e que 
se deseje conhecer o acréscimo de tensão provocado por ela num ponto do solo, 
situado a uma certa profundidade z. Desenha-se a planta da edificação numa escala 
 
 
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Ábaco dos setores de anel 
 
tal que o segmento AB do ábaco corresponda a z., e faz-se com que o ponto P 
considerado fique no centro do ábaco. Contam-se então quantos 
“quadradinhos”foram ocupados pela planta. Como cada quadradinho provoca no 
ponto 0,005σ0, o número de quadradinhos multiplicado por 0,005σ0 indica a tensão 
provocada pelo carregamento da superfície. 
É conveniente desenhar o ábaco em papel vegetal. Desta forma, deslocando-se o 
ábaco para outra posição, e, contando-se os quadradinhos sobrepostos, determina-se 
a tensão provocada nesta nova posição. O acréscimo de tensão é sempre determinado 
no ponto situado na projeção do centro dos círculos e na profundidade ditada pela 
escala da planta. Para determinar as tensões em outras profundidades, deve-se 
desenhar outra planta da edificação, de maneira a compatibilizar as escalas.