Aulas de Intro a Estatística Econômica - Prof Alexandre Andrade UFPE

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Introdução à Estatística
Econômica
Parte I
Variáveis & Listas de dados
População (relativa ao problema em questão): é o conjunto
de seres/objetos/indivíduos/elementos que apresentam a
característica que se deseja estudar,
eventualmente delimitado por algum critério de
seleção/restrição.
N Quanto à contagem de elementos: uma população pode ser
finita ou infinita
População (relativa ao problema em questão): é o conjunto
de seres/objetos/indivíduos/elementos que apresentam a
característica que se deseja estudar,
eventualmente delimitado por algum critério de
seleção/restrição.
N Quanto à contagem de elementos: uma população pode ser
finita ou infinita
O conceito de �variável� ... um exemplo:
"variável etária":
atribui a cada pessoa a sua respectiva idade
→possíveis valores resultantes (os estados possíveis):
{0,1,2,3,...,120}'
&
$
%
Para estudar a distribuição de faixas etárias de uma
população...
deve-se usar a �variável etária�
�variável etária� : uma correspondência (na matemática,
"função") entre pessoas e suas respectivas idades...
Visualização da �variável etária� numa pequena
população (exemplo hipotético ilustrativo):
Uma variável assume um �valor� em cada elemento da
população...
Exemplo: No estudo da distribuição da estatura de pessoas de
uma população de um país...
a lista de valores da �variável estatura� seria algo do tipo
1,71 1,68 1,50 1,60 1,72 1,55 1,69 1,59 ...
O conceito de �variável�
Variável estatística:
característica/atributo/medida
a ser coletada dos elementos da população
alguns exemplos:'
&
$
%
"variável etária":
atribui a cada pessoa a sua respectiva idade
"variável altura":
atribui a cada pessoa a sua respectiva altura
O conceito de �variável�
Variável estatística:
característica/atributo/medida
a ser coletada dos elementos da população
alguns exemplos:'
&
$
%
"variável etária":
atribui a cada pessoa a sua respectiva idade
"variável altura":
atribui a cada pessoa a sua respectiva altura
Uma população e seus �valores� - variável etária
Uma população e seus �valores� - variável etária
Uma população e seus �valores� - variável estatura
Uma população e seus �valores� - variável estatura
Uma População e uma Variável
Os dois objetos básicos
que devem estar bem definidos
em qualquer estudo estatístico:'
&
$
%
IA variável do estudo
IA população do estudo
Uma População e uma Variável
Os dois objetos básicos
que devem estar bem definidos
em qualquer estudo estatístico:'
&
$
%
IA variável→
(pode ser entendida como
uma função/correspondência
que atribui
a cada elemento da população
o seu devido valor)
IA população → (pode ser entendida como
o domínio da função acima)
Exemplos de pares População/Variável passíveis de estudo
�
�
�
�
População: trabalhadores brasileiros
Variável: Salário (em moeda corrente)
�
�
�
�
População: hotéis de uma cidade
Variável: número de quartos
�
�
�
�
População: postos de gasolina de uma região
Variável: preço da gasolina
�
�
�
População: domicílios num país
Variável: número de moradores
Medindo a variável na população ou na amostra...
Fixada uma população em estudo
e
fixada uma variável em estudo...
Duas situações:
IObservar a variável em toda a população, registrando a lista
de valores
IObservar a variável somente em uma amostra da população,
registrando a lista de valores
Medindo a variável na população ou na amostra...
Fixada uma população em estudo
e
fixada uma variável em estudo...
Duas situações:
IObservar a variável em toda a população, registrando a lista
de valores
IObservar a variável somente em uma amostra da população,
registrando a lista de valores
Fixada uma variável...
O resultado final da coleta de dados: uma lista com valores
observados da variável...
...a lista de dados... a estrutura primitiva da estatística
clássica�� ��19 ; 20 ; 20 ; 19 ; 21 ; 19 ; 22 ; 20 ; 20 ; 21 ; 22 ; 19. . .
→sequência de valores de uma mesma variável coletadas em uma
determinada população ou amostra
→várias �ocorrências� de uma mesma variável...
...a lista de dados
Partindo de uma lista de dados, há procedimentos padronizados
de como processá-la...
Fixada uma variável...
O resultado final da coleta de dados: uma lista com valores
observados da variável...
...a lista de dados... a estrutura primitiva da estatística
clássica�� ��19 ; 20 ; 20 ; 19 ; 21 ; 19 ; 22 ; 20 ; 20 ; 21 ; 22 ; 19. . .→sequência de valores de uma mesma variável coletadas em uma
determinada população ou amostra
→várias �ocorrências� de uma mesma variável...
...a lista de dados
Partindo de uma lista de dados, há procedimentos padronizados
de como processá-la...
Fixada uma variável...
O resultado final da coleta de dados: uma lista com valores
observados da variável...
...a lista de dados... a estrutura primitiva da estatística
clássica�� ��19 ; 20 ; 20 ; 19 ; 21 ; 19 ; 22 ; 20 ; 20 ; 21 ; 22 ; 19. . .→sequência de valores de uma mesma variável coletadas em uma
determinada população ou amostra
→várias �ocorrências� de uma mesma variável...
...a lista de dados
Partindo de uma lista de dados, há procedimentos padronizados
de como processá-la...
Fixada uma variável...
O resultado final da coleta de dados: uma lista com valores
observados da variável...
...a lista de dados... a estrutura primitiva da estatística
clássica�� ��19 ; 20 ; 20 ; 19 ; 21 ; 19 ; 22 ; 20 ; 20 ; 21 ; 22 ; 19. . .→sequência de valores de uma mesma variável coletadas em uma
determinada população ou amostra
→várias �ocorrências� de uma mesma variável...
...a lista de dados
Partindo de uma lista de dados, há procedimentos padronizados
de como processá-la...
2,3 ; 2,5 ; 2,7 ; 2,9 ; 3,1 ; 3,4 ; 3,6 ; 3,9 ;
4,1 ; 4,3 ; 4,5 ; 4,7 ; 4,9 ; 5,1 ; 5,3 ; 5,6 ;
5,8 ; 6,1 ; 6,3 ; 6,5 ; 6,7 ; 6,9 ; 7,1 ; 7,3 ;
7,4 ; 7,6 ; 7,8 ; 8,0 ; 8,2 ; 8,4 ; 8,6 ; 8,8 ;↖
lista de dados
diagrama de pontos associado↙
2 3 4 5 6 7 8 9
ou, alternativamente,
2 3 4 5 6 7 8 9
2,3 ; 2,5 ; 2,7 ; 2,9 ; 3,1 ; 3,4 ; 3,6 ; 3,9 ;
4,1 ; 4,3 ; 4,5 ; 4,7 ; 4,9 ; 5,1 ; 5,3 ; 5,6 ;
5,8 ; 6,1 ; 6,3 ; 6,5 ; 6,7 ; 6,9 ; 7,1 ; 7,3 ;
7,4 ; 7,6 ; 7,8 ; 8,0 ; 8,2 ; 8,4 ; 8,6 ; 8,8 ;↖
lista de dados
diagrama de pontos associado↙
2 3 4 5 6 7 8 9
ou, alternativamente,
2 3 4 5 6 7 8 9
A estrutura primitiva da estatística básica...
...a lista de dados�� ��x1 ; x2 ; . . . ; xn
em geral, considerar valores em R
em geral, lista desordenada
em geral, possíveis valores repetidos na lista
A estrutura primitiva da estatística básica...
...a lista de dados�� ��x1 ; x2 ; . . . ; xn
em geral, considerar valores em R
em geral, lista desordenada
em geral, possíveis valores repetidos na lista
Medidas sumárias
Medidas sumárias
↗↘
qual o centro
dos dados?
os dados estão
muito ou pouco
espalhados/dispersos?
Medidas de Tendência Central e Medidas de Dispersão
Medidas de Tendência Central:
mediana
média
Medidas de dispersão
desvio médio
variância, desvio padrão, desvio padrão relativo
�Medidas de tendência central�
Obtenção de um valor que indica o �centro
dos dados�...
�Fabricando� um valor central...
A média de uma lista de dados:
pura aritmética
usando os valores da lista
�Somar todos os valores...
(soma com n parcelas)...
...e dividir o resultado por n �
�Fabricando� um valor central...
A média de uma lista de dados:
pura aritmética
usando os valores da lista
�Somar todos os valores...
(soma com n parcelas)...
...e dividir o resultado por n �
�Fabricando� umvalor central...
A média de uma lista de dados:
pura aritmética
usando os valores da lista
�Somar todos os valores...
(soma com n parcelas)...
...e dividir o resultado por n �
�Fabricando� um valor central...
A média de uma lista de dados:
pura aritmética
usando os valores da lista
�Somar todos os valores...
(soma com n parcelas)...
...e dividir o resultado por n �
Exemplo simples
A lista de dados:
0,3 ; 1,2 ; 1,7 ; 3,9 ; 4,0 ; 5,8 ; 6,2 ;
A média:
0,3+1,2+1,7+3,9+4,0+5,8+6,2
7
Exemplo simples
A lista de dados:
0,3 ; 1,2 ; 1,7 ; 3,9 ; 4,0 ; 5,8 ; 6,2 ;
A média:
0,3+1,2+1,7+3,9+4,0+5,8+6,2
7
=
23,1
7
= 3,3
De uma lista, �fabrica-se� um número...
Portanto:
�Para a lista de dados
0,3 ; 1,2 ; 1,7 ; 3,9 ; 4,0 ; 5,8 ; 6,2 ;
a média é 3,3�
Listas de dados: média
Para uma lista de dados genérica
x
1
; x
2
; . . . ; x
n
a média é dada pela fórmula
x
1
+ x
2
+ · · ·+ x
n
n
Propriedades da Média
I o cálculo da média usa apenas
operações aritméticas
I a média é o �centro de equilíbrio�
dos valores da lista de dados
Propriedades da Média
I o cálculo da média usa apenas
operações aritméticas
I a média é o �centro de equilíbrio�
dos valores da lista de dados
1,3 1,6 1,9 2,0 2,4 2,8 3,2 3,5 3,7 3,9
4,1 4,4 4,7 4,9 5,0 5,1 5,3 5,4 5,5 5,8
6,1 6,4 6,6 6,9 7,2 7,4 7,7 8,1 8,4 8,6
; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1,3 1,6 1,9 2,0 2,4 2,8 3,2 3,5 3,7 3,9
4,1 4,4 4,7 4,9 5,0 5,1 5,3 5,4 5,5 5,8
6,1 6,4 6,6 6,9 7,2 7,4 7,7 8,1 8,4 8,6
; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1,3 1,6 1,9 2,0 2,4 2,8 3,2 3,5 3,7 3,9
4,1 4,4 4,7 4,9 5,0 5,1 5,3 5,4 5,5 5,8
6,1 6,4 6,6 6,9 7,2 7,4 7,7 8,1 8,4 8,6
; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1,3 1,6 1,9 2,0 2,4 2,8 3,2 3,5 3,7 3,9
4,1 4,4 4,7 4,9 5,0 5,1 5,3 5,4 5,5 5,8
6,1 6,4 6,6 6,9 7,2 7,4 7,7 8,1 8,4 8,6
; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Média
1,3 1,6 1,9 2,0 2,4 2,8 3,2 3,5 3,7 3,9
4,1 4,4 4,7 4,9 5,0 5,1 5,3 5,4 5,5 5,8
6,1 6,4 6,6 6,9 7,2 7,4 7,7 8,1 8,4 8,6
; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
1,3 1,6 1,9 2,0 2,4 2,8 3,2 3,5 3,7 3,9
4,1 4,4 4,7 4,9 5,0 5,1 5,3 5,4 5,5 5,8
6,1 6,4 6,6 6,9 7,2 7,4 7,7 8,1 8,4 8,6
; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
Média
'
&
$
%
Para cada lista de dados quantitativos
podemos associar um número que representa o �centro de equilíbrio� dos
dados.
Esse número fornece uma informação importante sobre os dados...
Uma síntese sobre os dados...
medida sumária:
número calculado a partir dos �dados� que revela
alguma característica geral/coletiva/global
Medidas sumárias
Medidas de Tendência Central:
média
mediana
Medidas de dispersão
desvio médio
variância, desvio padrão, desvio padrão
relativo
Como medir a dispersão dos dados?
Como chegar a um número
que represente/quantifique a dispersão
Exemplo
20
19
21
26
23
23
28 29 30
31
A lista de dados:
19 ; 20 ; 21 ; 23 ; 23 ;
26 ; 28 ; 29 ; 30 ; 31 ;
A Média:
25
Média é o centro de equilíbrio...
Dados se espalham em torno da média...
A lista de dados:
19 ; 20 ; 21 ; 23 ; 23 ;
26 ; 28 ; 29 ; 30 ; 31 ;
A Média:
25
Média é o centro de equilíbrio...
Dados se espalham em torno da média...
A lista de desvios
(dos dados em relação à média)
A lista de dados:
19 ; 20 ; 21 ; 23 ; 23 ; 26 ; 28 ; 29 ; 30 ; 31 ;
A Média:
25
A lista de desvios:
-6 ; -5 ; -4 ; -2 ; -2 ; +1 ; +3 ; +4 ; +5 ; +6 ;
para cada valor na lista...
�desvio = valor −m�edia�
A lista de dados:
19 ; 20 ; 21 ; 23 ; 23 ; 26 ; 28 ; 29 ; 30 ; 31 ;
A Média:
25
A lista de desvios:
-6 ; -5 ; -4 ; -2 ; -2 ; +1 ; +3 ; +4 ; +5 ; +6 ;
para cada valor na lista...
�desvio = valor −m�edia�
A lista de dados:
19 ; 20 ; 21 ; 23 ; 23 ; 26 ; 28 ; 29 ; 30 ; 31 ;
A Média:
25
A lista de desvios:
-6 ; -5 ; -4 ; -2 ; -2 ; +1 ; +3 ; +4 ; +5 ; +6 ;
para cada valor na lista...
�desvio = valor −m�edia�
A lista de desvios:
-6 ; -5 ; -4 ; -2 ; -2 ; +1 ; +3 ; +4 ; +5 ; +6 ;
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
A lista de desvios:'
&
$
%
Uma lista construída a partir da original,
com mesmo número de elementos,
com resultados das subtrações entre cada valor
original e a média.
A lista de dados:
19 ; 20 ; 21 ; 23 ; 23 ; 26 ; 28 ; 29 ; 30 ; 31 ;
A lista de desvios:
-6 ; -5 ; -4 ; -2 ; -2 ; +1 ; +3 ; +4 ; +5 ; +6 ;
CADA DESVIO:
INDICA DISTÂNCIA AO CENTRO,
COM SINAL INDICANDO O LADO.
NEGATIVOS: VEM DOS VALORES À ESQUERDA DA MÉDIA
POSITIVOS: VEM DOS VALORES À DIREITA DA MÉDIA
Lista de desvios:
-6 ; -5 ; -4 ; -2 ; -2 ; +1 ; +3 ; +4 ; +5 ; +6 ;
Lista de desvios:
-6 ; -5 ; -4 ; -2 ; -2 ; +1 ; +3 ; +4 ; +5 ; +6 ;
Lista de desvios quadráticos:
36 ; 25 ; 16 ; 4 ; 4 ; 1 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ;
(transformação na lista de desvios com a operação de elevar cada valor ao
quadrado)
Lista de desvios:
-6 ; -5 ; -4 ; -2 ; -2 ; +1 ; +3 ; +4 ; +5 ; +6 ;
Lista de desvios quadráticos:
36 ; 25 ; 16 ; 4 ; 4 ; 1 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ;
A �variância� dos dados:
�Média dos desvios quadráticos�
36+25+16+4+4+1+9+16+25+36
10
= 17,2
Lista de desvios:
-6 ; -5 ; -4 ; -2 ; -2 ; +1 ; +3 ; +4 ; +5 ; +6 ;
Lista de desvios quadráticos:
36 ; 25 ; 16 ; 4 ; 4 ; 1 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ;
A �variância� dos dados:
�Média dos desvios quadráticos�
36+25+16+4+4+1+9+16+25+36
10
= 17,2
Lista de desvios:
-6 ; -5 ; -4 ; -2 ; -2 ; +1 ; +3 ; +4 ; +5 ; +6 ;
Lista de desvios quadráticos:
36 ; 25 ; 16 ; 4 ; 4 ; 1 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ;
Variância= 17,2
Desvio Padrão =
√
Variância
' 4,1
20
19
21
26
23
23
28 29 30
31
Média=25,0 Desvio Padrão'4,1
A média
um número
que representa/quantifica o centro dos dados
O desvio padrão:
um número
que representa/quantifica a dispersão dos
dados
lista de dados:
x
1
; x
2
; x
3
; . . . ; x
n
;
Média
µ =
x
1
+ x
2
+ · · ·+ x
n
n
Variância
σ2 =
(x
1
− µ)2 + (x
2
− µ)2 + (x
3
− µ)2 + · · ·
n
Média
µ =
∑
x
i
n
Variância
σ2 =
∑
(x
i
− µ)2
n
Observação
É possível deduzir a seguinte equivalência∑
(x
i
−µ)2
n
=
∑
(x
i
)2
n
− µ2
Distribuição de frequências
Listas de dados: como organizar & resumir
�
�
�
Organização básica de uma lista de dados: distribuição defrequências (D.F.)
Formatos para apresentar uma DF:
Tabela
Gráfico
0,1 ; 0,2 ; 0,2 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,9 ;
0,9 ; 0,9 ; 1,3 ; 1,3 ; 1,3 ; 1,4 ; 1,4 ; 1,4 ; 1,5 ; 1,6 ;
1,7 ; 1,7 ; 1,7 ; 1,8 ; 1,8 ; 2,1 ; 2,1 ; 2,2 ; 2,2 ; 2,5 ;
2,5 ; 2,6 ; 2,6 ; 2,6 ; 2,6 ; 2,7 ; 2,7 ; 2,8 ; 2,8 ; 2,9 ;
2,9 ; 3,1 ; 3,1 ; 3,2 ; 3,3 ; 3,5 ; 3,5 ; 3,5 ; 3,6 ; 3,6 ;
0.5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5
0.02
0.04
0.06
0.08
Lista de dados
↓
Distribuição de Frequências
(ilustrando o caso com lista de dados onde os valores são números inteiros...)
19 ; 20 ; 19 ; 23 ; 20 ;
22 ; 21 ; 21 ; 23 ; 20 ;
23 ; 23 ; 21 ; 20 ; 22 ;
21 ; 19 ; 21 ; 22 ; 22 ;
Ordenar os valores da lista
em ordem crescente
19 ; 20 ; 19 ; 23 ; 20 ;
22 ; 21 ; 21 ; 23 ; 20 ;
23 ; 23 ; 21 ; 20 ; 22 ;
21 ; 19 ; 21 ; 22 ; 22 ;
Ordenar os valores da lista
em ordem crescente
19 ; 20 ; 19; 23 ; 20 ;
22 ; 21 ; 21 ; 23 ; 20 ;
23 ; 23 ; 21 ; 20 ; 22 ;
21 ; 19 ; 21 ; 22 ; 22 ;
A mesma lista, depois de ser ordenada:
19 ; 19 ; 19 ;
20 ; 20 ; 20 ; 20 ;
21 ; 21 ; 21 ; 21 ; 21 ;
22 ; 22 ; 22 ; 22 ;
23 ; 23 ; 23 ; 23 ;
(3 vezes)︷ ︸︸ ︷
19; 19; 19;
(4 vezes)︷ ︸︸ ︷
20; 20; 20; 20;
(5 vezes)︷ ︸︸ ︷
21; 21; 21; 21; 21;
(4 vezes)︷ ︸︸ ︷
22; 22; 22; 22;
(4 vezes)︷ ︸︸ ︷
23; 23; 23; 23
(3 vezes) (4 vezes) (5 vezes)︷ ︸︸ ︷
19; 19; 19;
︷ ︸︸ ︷
20; 20; 20; 20;
︷ ︸︸ ︷
21; 21; 21; 21; 21;
(4 vezes) (4 vezes)︷ ︸︸ ︷
22; 22; 22; 22;
︷ ︸︸ ︷
23; 23; 23; 23
�valor� �repetições�
19 3
20 4
21 5
22 4
23 4 17 18 19 20 21 22 23 24 25
1
2
3
4
5
(3 vezes) (4 vezes) (5 vezes)︷ ︸︸ ︷
19; 19; 19;
︷ ︸︸ ︷
20; 20; 20; 20;
︷ ︸︸ ︷
21; 21; 21; 21; 21;
(4 vezes) (4 vezes)︷ ︸︸ ︷
22; 22; 22; 22;
︷ ︸︸ ︷
23; 23; 23; 23
�valor� �repetições�
19 3
20 4
21 5
22 4
23 4
17 18 19 20 21 22 23 24 25
1
2
3
4
5
Distribuição de frequências
19 ; 20 ; 19 ; 23 ; 20 ;
22 ; 21 ; 21 ; 23 ; 20 ;
23 ; 23 ; 21 ; 20 ; 22 ;
21 ; 19 ; 21 ; 22 ; 22 ;
�valor� �frequência�
19 3
20 4
21 5
22 4
23 4 17 18 19 20 21 22 23 24 25
1
2
3
4
5
Usando símbolos para generalizar...
(3 vezes) (4 vezes) (5 vezes)︷ ︸︸ ︷
19; 19; 19;
︷ ︸︸ ︷
20; 20; 20; 20;
︷ ︸︸ ︷
21; 21; 21; 21; 21;
(4 vezes) (4 vezes)︷ ︸︸ ︷
22; 22; 22; 22;
︷ ︸︸ ︷
23; 23; 23; 23
Usando símbolos para generalizar...
(n
1
vezes) (n
2
vezes) (n
3
vezes)︷ ︸︸ ︷
v
1
; . . . ,v
1
;
︷ ︸︸ ︷
v
2
; . . . ,v
2
;
︷ ︸︸ ︷
v
3
; . . . ,v
3
; . . .
Lista e Distribuição �em símbolos�
A lista de dados:
(n
1
vezes) (n
2
vezes) (n
3
vezes)︷ ︸︸ ︷
v
1
; . . . ,v
1
;
︷ ︸︸ ︷
v
2
; . . . ,v
2
;
︷ ︸︸ ︷
v
3
; . . . ,v
3
; . . .
A distribuição
de frequências:
�valor� �frequência�
v
1
n
1
v
2
n
2
v
3
n
3
.
.
.
.
.
.
n
1
+ n
2
+ n
3
· · · = total de dados!!!
Lista de dados:
(n
1
vezes) (n
2
vezes) (n
3
vezes)︷ ︸︸ ︷
v
1
, . . . ,v
1
,
︷ ︸︸ ︷
v
2
, . . . ,v
2
,
︷ ︸︸ ︷
v
3
, . . . ,v
3
, . . .
n
1
+ n
2
+ n
3
· · · = total de dados!!!
Convencionar um símbolo para ser o total de dados:
Seja �n� o número de dados...
n
1
+ n
2
+ n
3
· · · = n
Lista de dados:
(n
1
vezes) (n
2
vezes) (n
3
vezes)︷ ︸︸ ︷
v
1
, . . . ,v
1
,
︷ ︸︸ ︷
v
2
, . . . ,v
2
,
︷ ︸︸ ︷
v
3
, . . . ,v
3
, . . .
n
1
+ n
2
+ n
3
· · · = total de dados!!!
Convencionar um símbolo para ser o total de dados:
Seja �n� o número de dados...
n
1
+ n
2
+ n
3
· · · = n
Lista de dados:
(n
1
vezes) (n
2
vezes) (n
3
vezes)︷ ︸︸ ︷
v
1
, . . . ,v
1
,
︷ ︸︸ ︷
v
2
, . . . ,v
2
,
︷ ︸︸ ︷
v
3
, . . . ,v
3
, . . .
n
1
+ n
2
+ n
3
· · · = total de dados!!!
Convencionar um símbolo para ser o total de dados:
Seja �n� o número de dados...
n
1
+ n
2
+ n
3
· · · = n
Re-escalando as frequências...
Freq. Absolutas = Frequências (Contagens Usuais)
Freq. Relativas = Re-escalamento das Anteriores
( também podem ser expressas
em percentuais )
= medidas de proporções
( das �partes� em relação
ao �todo� )
D.F.
com frequências
absolutas:
valor frequências
19 3
20 4
21 5
22 4
23 4
3+ 4+ 5+ 4+ 4 = 20
D.F.
com frequências
relativas:
valor freq. relativas
19 3 / 20
20 4 / 20
21 5 / 20
22 4 / 20
23 4 / 20
D.F.
com frequências
absolutas:
valor frequências
19 3
20 4
21 5
22 4
23 4
3+ 4+ 5+ 4+ 4 = 20
D.F.
com frequências
relativas:
valor freq. relativas
19 3 / 20
20 4 / 20
21 5 / 20
22 4 / 20
23 4 / 20
D.F.
com frequências
absolutas:
valor frequências
19 3
20 4
21 5
22 4
23 4
3+ 4+ 5+ 4+ 4 = 20
D.F.
com frequências
relativas:
valor freq. relativas
19 3 / 20
20 4 / 20
21 5 / 20
22 4 / 20
23 4 / 20
D.F.
com frequências
absolutas:
valor frequências
19 3
20 4
21 5
22 4
23 4
3+ 4+ 5+ 4+ 4 = 20
D.F.
com frequências
relativas:
�valor� �freq. relativas�
19 0,15
20 0,20
21 0,25
22 0,20
23 0,20
�Em símbolos...�
�valor� �frequência� �valor� �freq. relativa�
v
1
n
1
v
1
n
1
/n
v
2
n
2
v
2
n
2
/n
v
3
n
3
v
3
n
3
/n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Convenções↙↘
�n�� �f��
para absolutas para relativas
�Em símbolos...�
�valor� �frequência� �valor� �freq. relativa�
v
1
n
1
v
1
f
1
v
2
n
2
v
2
f
2
v
3
n
3
v
3
f
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Convenções↙↘
�n�� �f��
para absolutas para relativas
valor frequências
19 3
20 4
21 5
22 4
23 4
↙ ↘
valor freq. relativas
19 0,15
20 0,20
21 0,25
22 0,20
23 0,20
valor freq. rel. percentuais
19 15%
20 20%
21 25%
22 20%
23 20%
valor freq. relativas
19
0.15
+
20
0.20
+
21
0.25
+
22
0.20
+
23
0.20
↪→1
valor freq. rel. percentuais
19
15%
+
20
20%
+
21
25%
+
22
20%
+
23
20%
↪→100%
Lista de dados (L.D.)
l
Distribuição de Frequências (D.F.)
A partir de lista de dados calcula-se medidas...
A partir de uma distribuição de frequências, também calcula-se medidas...
Cálculo da média usando a distribuição
�valor� �frequência�
v
1
n
1
v
2
n
2
v
3
n
3
.
.
.
.
.
.
Como calcular a média aqui?
Cálculo da média usando a distribuição. Exemplo
�valor� �frequência�
80 3
82 4
86 1
Voltando à lista de dados...
80 ; 80 ; 80 ;
82 ; 82 ; 82 ; 82 ;
86 ;
M �edia =
80+ 80+ 80+ 82+ 82+ 82+ 82+ 86
8
Cálculo da média usando a distribuição. Exemplo
�valor� �frequência�
80 3
82 4
86 1
Voltando à lista de dados...
80 ; 80 ; 80 ;
82 ; 82 ; 82 ; 82 ;
86 ;
M �edia =
80+ 80+ 80+ 82+ 82+ 82+ 82+ 86
8
Cálculo da média usando a distribuição. Exemplo
�valor� �frequência�
80 3
82 4
86 1
Voltando à lista de dados...
80 ; 80 ; 80 ;
82 ; 82 ; 82 ; 82 ;
86 ;
M �edia =
80+ 80+ 80+ 82+ 82+ 82+ 82+ 86
8
Cálculo da média usando a distribuição. Exemplo
�valor� �frequência�
80 3
82 4
86 1
Voltando à lista de dados...
80 ; 80 ; 80 ;
82 ; 82 ; 82 ; 82 ;
86 ;
µ =
(80+ 80+ 80) + (82+ 82+ 82+ 82) + (86)
8
µ =
(80) · 3+ (82) · 4+ (86) · 1
8
Cálculo da média usando a distribuição. Exemplo
�valor� �frequência�
80 3
82 4
86 1
Voltando à lista de dados...
80 ; 80 ; 80 ;
82 ; 82 ; 82 ; 82 ;
86 ;
µ =
(80+ 80+ 80) + (82+ 82+ 82+ 82) + (86)
8
µ =
(80) · 3+ (82) · 4+ (86) · 1
8
Em símbolos...
Lista de dados
n
1
vezes n
2
vezes n
3
vezes︷ ︸︸ ︷
v
1
, . . . ,v
1
,
︷ ︸︸ ︷
v
2
, . . . ,v
2
,
︷ ︸︸ ︷
v
3
, . . . ,v
3
, . . .
Cálculo da média
n
1
parcelas n
2
parcelas n
3
parcelas︷ ︸︸ ︷
v
1
+ . . . + v
1
+
︷ ︸︸ ︷
v
2
+ . . . + v
2
+
︷ ︸︸ ︷
v
3
+ . . . + v
3
+ . . .
n
v
1
· n
1
+ v
2
· n
2
+ v
3
· n
3
+ · · ·
n
Em símbolos...
Lista de dados
n
1
vezes n
2
vezes n
3
vezes︷ ︸︸ ︷
v
1
, . . . ,v
1
,
︷ ︸︸ ︷
v
2
, . . . ,v
2
,︷ ︸︸ ︷
v
3
, . . . ,v
3
, . . .
Cálculo da média
n
1
parcelas n
2
parcelas n
3
parcelas︷ ︸︸ ︷
v
1
+ . . . + v
1
+
︷ ︸︸ ︷
v
2
+ . . . + v
2
+
︷ ︸︸ ︷
v
3
+ . . . + v
3
+ . . .
n
v
1
· n
1
+ v
2
· n
2
+ v
3
· n
3
+ · · ·
n
Em símbolos...
Lista de dados
n
1
vezes n
2
vezes n
3
vezes︷ ︸︸ ︷
v
1
, . . . ,v
1
,
︷ ︸︸ ︷
v
2
, . . . ,v
2
,
︷ ︸︸ ︷
v
3
, . . . ,v
3
, . . .
Cálculo da média
n
1
parcelas n
2
parcelas n
3
parcelas︷ ︸︸ ︷
v
1
+ . . . + v
1
+
︷ ︸︸ ︷
v
2
+ . . . + v
2
+
︷ ︸︸ ︷
v
3
+ . . . + v
3
+ . . .
n
v
1
· n
1
+ v
2
· n
2
+ v
3
· n
3
+ · · ·
n
Em símbolos...
Lista de dados
n
1
vezes n
2
vezes n
3
vezes︷ ︸︸ ︷
v
1
, . . . ,v
1
,
︷ ︸︸ ︷
v
2
, . . . ,v
2
,
︷ ︸︸ ︷
v
3
, . . . ,v
3
, . . .
Cálculo da média
n
1
parcelas n
2
parcelas n
3
parcelas︷ ︸︸ ︷
v
1
+ . . . + v
1
+
︷ ︸︸ ︷
v
2
+ . . . + v
2
+
︷ ︸︸ ︷
v
3
+ . . . + v
3
+ . . .
n
v
1
· n
1
+ v
2
· n
2
+ v
3
· n
3
+ · · ·
n
Cálculo da média a partir de uma distribuição de frequências
Fórmula da Média
µ = v1·n1+v2·n2+v3·n3+···
n
Exemplo
�valor� �frequência�
19 3
20 4
21 5
22 4
23 4
n = 3+ 4+ 5+ 4+ 4 = 20
µ =
= (19) · 3+(20) · 4+(21) · 5+(22) · 4+(23) · 4
20
= 21,1
Exemplo
�valor� �frequência�
19 3
20 4
21 5
22 4
23 4
n = 3+ 4+ 5+ 4+ 4 = 20
µ =
= (19) · 3+(20) · 4+(21) · 5+(22) · 4+(23) · 4
20
= 21,1
Exemplo
�valor� �frequência�
19 3
20 4
21 5
22 4
23 4
n = 3+ 4+ 5+ 4+ 4 = 20
µ =
= (19) · 3+(20) · 4+(21) · 5+(22) · 4+(23) · 4
20
= 21,1
Como calcular a média usando frequências relativas?
�valor� �frequência� �valor� �freq. relativa�
v
1
n
1
v
1
f
1
= n
1
/n
v
2
n
2
v
2
f
2
= n
2
/n
v
3
n
3
v
3
f
2
= n
3
/n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Como calcular a média usando frequências relativas?
�valor� �frequência� �valor� �freq. relativa�
v
1
n
1
v
1
f
1
= n
1
/n
v
2
n
2
v
2
f
2
= n
2
/n
v
3
n
3
v
3
f
2
= n
3
/n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
�valor� �frequência�
80 3
82 4
86 1
�valor� �freq. relativa�
80 3/8
82 4/8
86 1/8
µ =
80 · 3 + 82 · 4 + 86 · 1
8
=
80 · 3
8
+
82 · 4
8
+
86 · 1
8
= 80 ·
(
3
8
)
+ 82 ·
(
4
8
)
+ 86 ·
(
1
8
)
�
�
�
µ =
v
1
·n
1
+v
2
·n
2
+v
3
·n
3
+···
n
OU�
�
�
�
µ = v
1
·
(
n
1
n
)
+ v
2
·
(
n
2
n
)
+ v
3
·
(
n
3
n
)
+ · · ·
OU...
�
�
	µ = v1 · f1 + v2 · f2 + v3 · f3 + · · ·
Fórmula da Média (freq. relativas)
µ = v
1
· f
1
+ v
2
· f
2
+ v
3
· f
3
+ · · ·
Fórmula da Média (freq. relativas)
µ = v
1
· f
1
+ v
2
· f
2
+ v
3
· f
3
+ · · ·
Exemplo...
valor freq. rel. percentual
60 25,00%
61 43,75%
62 31,25%
µ = 60 · 25
100
+ 61 · 43,75
100
+ 62 · 31,25
100
Fórmula da Média (freq. relativas)
µ = v
1
· f
1
+ v
2
· f
2
+ v
3
· f
3
+ · · ·
Exemplo...
valor freq. rel. percentual
60 25,00%
61 43,75%
62 31,25%
µ = 60 · 25
100
+ 61 · 43,75
100
+ 62 · 31,25
100
Fórmulas
µ = v1 n1+v2 n2+v3 n3+···
n
= v
1
f
1
+ v
2
f
2
+ v
3
f
3
+ · · ·
Fórmulas
µ =
∑
v
i
n
i
n
=
∑
v
i
f
i
Lista de dados (L.D.)
l
Distribuição de Frequências (D.F.)
A partir de lista de dados calcula-se medidas...
A partir de uma distribuição de frequências, também calcula-se medidas...
Cálculo da média
Cálculo da variância
lista de dados:
x
1
; x
2
; x
3
; . . . ; x
n
;
Média
µ =
x
1
+x
2
+···+x
n
n
=
∑
x
i
n
Variância
σ2 =
(x
1
−µ)
2
+(x
2
−µ)
2
+···
n
=
∑
(x
i
−µ)
2
n
Média
µ =
∑
x
i
n
µ =
∑
v
i
n
i
n
=
∑
v
i
f
i
Variância
σ2 =
∑
(x
i
−µ)
2
n
σ2 =
∑
(v
i
−µ)
2
n
i
n
=
∑
(v
i
− µ)
2
f
i
Média
µ =
∑
x
i
n
µ =
∑
v
i
n
i
n
=
∑
v
i
f
i
Variância
σ2 =
∑
(x
i
−µ)
2
n
σ2 =
∑
(v
i
−µ)
2
n
i
n
=
∑
(v
i
− µ)
2
f
i
Variância
σ2 =
∑
(x
i
−µ)
2
n
σ2 =
∑
(v
i
−µ)
2
n
i
n
=
∑
(v
i
−µ)
2
f
i
Variância
σ2 =
∑
x
2
i
n
−µ2
σ2 =
∑
v
2
i
n
i
n
− µ2 =
∑
v
2
i
f
i
− µ2
Variância
σ2 =
∑
(x
i
−µ)
2
n
σ2 =
∑
(v
i
−µ)
2
n
i
n
=
∑
(v
i
−µ)
2
f
i
Variância
σ2 =
∑
x
2
i
n
−µ2
σ2 =
∑
v
2
i
n
i
n
− µ2 =
∑
v
2
i
f
i
− µ2
µ =
∑
v
i
n
i
n
=
∑
v
i
f
i
σ2 =
∑
v
2
i
n
i
n
− µ2 =
∑
v
2
i
f
i
− µ2
valor frequência freq. relativa . . .
v
1
n
1
f
1
. . .
v
2
n
2
f
2
. . .
v
3
n
3
f
3
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
Exemplo:
calcular a variância para a seguinte DF...
valor frequência
1 66
2 42
3 38
4 54
valor frequência
1 66
2 42
3 38
4 54
xi
1
2
3
4
xi
2
ni
66
42
38
54
f i
xi ni xi
2
ni xi f i xi
2 f i
valor frequência
1 66
2 42
3 38
4 54
xi
1
2
3
4
xi
2
ni
66
42
38
54
200
f i
xi ni xi
2
ni xi f i xi
2 f i
valor frequência
1 66
2 42
3 38
4 54
xi
1
2
3
4
xi
2
ni
66
42
38
54
200
f i
0,33
0,21
0,19
0,27
xi ni xi
2
ni xi f i xi
2 f i
valor frequência
1 66
2 42
3 38
4 54
xi
1
2
3
4
xi
2
1
4
9
16
ni
66
42
38
54
200
f i
0,33
0,21
0,19
0,27
xi ni xi
2
ni xi f i xi
2 f i
valor frequência
1 66
2 42
3 38
4 54
xi
1
2
3
4
xi
2
1
4
9
16
ni
66
42
38
54
200
f i
0,33
0,21
0,19
0,27
xi ni xi
2
ni xi f i
0,33
0,42
0,57
1,08
xi
2 f i
0,33
0,84
1,71
4,32
valor frequência
1 66
2 42
3 38
4 54
xi
1
2
3
4
xi
2
1
4
9
16
ni
66
42
38
54
200
f i
0,33
0,21
0,19
0,27
xi ni xi
2
ni xi f i
0,33
0,42
0,57
1,08
2,4
xi
2 f i
0,33
0,84
1,71
4,32
7,2
valor frequência
1 66
2 42
3 38
4 54
xi
1
2
3
4
xi
2
1
4
9
16
ni
66
42
38
54
200
f i
0,33
0,21
0,19
0,27
xi ni xi
2 ni xi f i
0,33
0,42
0,57
1,08
2,4
xi
2 f i
0,33
0,84
1,71
4,32
7,2
Média= 2,4
valor frequência
1 66
2 42
3 38
4 54
xi
1
2
3
4
xi
2
1
4
9
16
ni
66
42
38
54
200
f i
0,33
0,21
0,19
0,27
xi ni xi
2 ni xi f i
0,33
0,42
0,57
1,08
2,4
xi
2 f i
0,33
0,84
1,71
4,32
7,2
Média= 2,4 Variância= 1,44
Outra forma de escrever a fórmula da variância...σ2 =
∑
v
2
i
f
i
−
(∑
v
i
f
i
)
2
Interpretando a fórmula da média...
µ =
∑
v
i
f
i
=
somatório de todos os
�valores vezes suas frequências relativas�
(na distribuição)
µ =
∑
v
i
n
i
n
=
∑
v
i
f
i
σ2 =
∑
v
2
i
n
i
n
− µ2 =
∑
v
2
i
f
i
− µ2
valor frequência freq. relativa . . .
v
1
n
1
f
1
. . .
v
2
n
2
f
2
. . .
v
3
n
3
f
3
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
calcular média e variância para a seguinte DF...
valor frequência
0,5 20
0,7 60
0,9 100
1,1 20
µ =
∑
v
i
f
i
σ2 =
∑
v
2
i
f
i
− µ2
vi
0,5
0,7
0,9
1,1
vi
2
0,25
0,49
0,81
1,21
ni f i
0,1
0,3
0,5
0,1
vi ni vi
2 ni vi f i
0,05
0,21
0,45
0,11
vi
2 f i
0,025
0,147
0,405
0,121
Média= Variância=
calcular média e variância para a seguinte DF...
valor frequência
0,5 20
0,7 60
0,9 100
1,1 20
µ =
∑
v
i
f
i
σ2 =
∑
v
2
i
f
i
− µ2
vi
0,5
0,7
0,9
1,1
vi
2
0,25
0,49
0,81
1,21
ni f i
0,1
0,3
0,5
0,1
vi ni vi
2 ni vi f i
0,05
0,21
0,45
0,11
vi
2 f i
0,025
0,147
0,405
0,121
Média= Variância=
calcular média e variância para a seguinte DF...
valor frequência
0,5 20
0,7 60
0,9 100
1,1 20
µ =
∑
v
i
f
i
σ2 =
∑
v
2
i
f
i
− µ2
vi
0,5
0,7
0,9
1,1
vi
2
0,25
0,49
0,81
1,21
ni f i
0,1
0,3
0,5
0,1
vi ni vi
2 ni vi f i
0,05
0,21
0,45
0,11
0,82
vi
2 f i
0,025
0,147
0,405
0,121
0,698
Média= 0,82 Variância= 0,026
Modelos discretos para
distribuições
0.5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5
0.02
0.04
0.06
0.08
Um modelo discreto de distribuição pode ser descrito por
uma função f (x ) tal que
f (x ) é positiva em um conjunto discreto {v
1
,v
2
, . . .}
f (x ) é nula no restante de R
f (v
1
) + f (v
2
) + · · · = 1
Notação.∑
f (x ) = 1
Um modelo discreto de distribuição pode ser descrito por
uma função f (x ) tal que
f (x ) é positiva em um conjunto discreto {v
1
,v
2
, . . .}
f (x ) é nula no restante de R
f (v
1
) + f (v
2
) + · · · = 1
Notação.∑
f (x ) = 1
Seja f (x ) a função de um modelo discreto
∑
f (x ) = 1
média e variância da distribuição
µ =
∑
x f (x )
σ2 =
∑
x
2
f (x ) − µ2
Seja f (x ) a função de um modelo discreto
∑
f (x ) = 1
média e variância da distribuição
µ =
∑
x f (x )
σ2 =
∑
x
2
f (x ) − µ2
Seja f (x ) a função de um modelo discreto
∑
f (x ) = 1
média e variância da distribuição
µ =
∑
x f (x )
σ2 =
∑
x
2
f (x ) − µ2