Vetorial- prova 1 (resolvida)

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Exame N. 1 - vetores geométricos
� Usando vetores geométricos. No trapézio ABCD da …gura
ao lado, M e N são os pontos médios das diagonais AC e BD,
respectivamente.
01. Mostre que
��!
MN = 1
2
��!
AB ���!DC
�
Solução:
Considerando que M e N são pontos médios, temos que
��!
AM +
��!
CM = ~0 e
��!
NB +
��!
ND = ~0. Usando
as operações com vetores, encontramos:
�!
AB ���!DC = �!AB +��!CD = (��!AM +��!MN +��!NB) + (��!CM +��!MN +��!ND) =
= (
��!
AM +
��!
CM) + 2
��!
MN + (
��!
NB +
��!
ND) = 2
��!
MN
e daí segue o resultado.
� Calculando a área de um triângulo. Escolha três pontos A; B e C do espaço, não alinhados.
02. Calcule
�!
AB e
�!
AC:
Solução:
Consideremos os pontos A (0; 0; 0) ; B (1; 0; 0) e C (0; 1; 0). Temos que
�!
AB = ~i e
�!
AC = ~j e como
�!
AB não é múltiplo escalar de
�!
AC, segue que os pontos A; B e C não estão alinhados.
03. Calcule o produto vetorial
�!
AB ��!AC:
Solução:
Temos que
�!
AB ��!AC =~i�~j = ~k.
04. Calcule a área do triângulo ABC:
Solução:
A área do triãngulo ABC é S = 1
2
�!AB ��!AC
 = 12 
~k
 = 1=2
� Construindo uma base ortonormal a partir do vetor ~a =~i�~j + 3~k.
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05. Veri…que se o vetor ~b = 2~i+ 5~j + ~k ortogonal ao vetor ~a:
Solução:
Temos que ~a �~b = 2� 5 + 3 = 0 e, portanto, os vetores ~a e ~b são ortogonais.
06. Encontre um vetor ~c que seja ortogonal aos vetores ~a e ~b, simultaneamente.
Solução:
O vetor ~c = ~a�~b é ortogonal aos vetores ~a e ~b: Um cálculo simples nos dá:
~a�~b =
���������
~i ~j ~k
1 �1 3
2 5 1
��������� = �16
~i+ 5~j + 7~k:
07. Calcule as normas dos vetores ~a; ~b e ~c:
Solução:
k~ak = p1 + 1 + 9 = p11; jj~bjj = p4 + 25 + 1 = p30 e k~ck = p256 + 25 + 49 = p330
08. Construa uma base ortonormal negativa f~u;~v; ~wg, de modo que ~u; ~v e ~w sejam colineares a
~a; ~b e ~c; respectivamente.
Solução:
Consideremos os vetores ~u =
~a
k~ak ; ~v =
~b
jj~bjj
e ~w =
�~c
k~ck . Esses vetores são unitários e mutuamente
ortogonais e, sendo assim, formam uma base ortonormal.
� Sejam ~u e ~v dois vetores ortogonais, sendo ~u unitário e k~vk = p3:
09. Calcule o produto interno (~u+ ~v) � (~u� ~v) :
Solução:
Sendo ~u e ~v dois vetores ortogonais, então ~u �~v = 0 e ~v �~u = 0: Usando as propriedades do produto
escalar, obtemos:
(~u+ ~v) � (~u� ~v) = ~u � ~u� ~u � ~v + ~v � ~u� ~v � ~v = kuk2 � k~vk2 = 1� 3 = �2
10. Calcule k2~u+ ~vk :
Solução:
Mais uma vez usaremos os dados: k~uk = 1; k~vk = p3 e ~u � ~v = 0. Temos que
k2~u+ ~vk2 = k2~uk2 + 2(2~u � ~v) + k~vk2 = 4 k~uk2 + k~vk2 = 4 + 3 = 7
2
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