Cálculo Diferencial e Integral II - Lista de Exercícios

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UFPB / CCEN / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - 2011.2
6ª LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Calcule as derivadas parciais ∂z∂x ,
∂z
∂y ,
∂2z
∂x2 ,
∂2z
∂y2 , e
∂2z
∂y∂x .
(a) z  3x2y3 − 5x3y2 (b) z  xyex2y2  (c) z  logx2  y2 (d) z  x
x2  y2
(e) z  arctan yx (f) z  cos 1  x2y4 (g) z  arcsinx2  y (h) z  exp xy
(i) z  esin x y (j) z  x sinx2y (k) z  xyexy (l) z  x siny
cosx2  y2
2. Dada z  fx,y, encontre as derivadas parciais indicadas.
(a) fx,y  arcsinx − y; fx1,1/2 (b) z  x2  y2 ; fxy1,0, fyx1,0
(c) fx,y  x2  y3; ∂f∂x x
2  y2,y e ∂∂x fx
2  y2,y
3. Mostre que as funções dadas satisfazem a equação diferencial parcial zxx  zyy  0,
chamada
equação de Laplace. (a) z  log x2  y2 (b) z  ex siny
4. Mostre que a função u  ux, t  1
t
e −
x2
4kt , t  0 e k constante não-nula, satisfaz
a equação
do calor ut − kuxx  0.
5. Seja f uma função real de uma variável real, derivável até a 2ª ordem. Mostre que a
função z  zx, t  fx − ct, onde c é constante, satisfaz a equação da onda
ztt − c2zxx  0.
6. Sejam u  ux,y e v  vx,y funções com derivadas parciais contínuas até a 2ª
ordem e
satisfazendo ux  vy e uy  −vx. Mostre que, nessas condições, u e v satisfazem a
equação de
Laplace.
7. Considere z  xy2
x2  y2 . Verifique que xzx  yzy  z.
8. Seja  : R → R uma função de uma variável real, derivável e tal que  ′1  4. Seja
gx,y   xy . Calcule (a)
∂g
∂x 1,1 e (b)
∂g
∂y 1,1.
9. Seja z  eyx − y, onde  é uma função diferenciável de uma variável real.
Verifique
que ∂z∂x 
∂z
∂y  z.
10. Seja  : R → R uma função real, de uma variável real, diferenciável. Seja
fx,y  x2  y2 xy . Mostre que x
∂f
∂x  y
∂f
∂y  2f.
11. Encontre as derivadas parciais de 1ª ordem da função fx,y, z,w  exyzw.
12. Considere a função fx,y 
x  y4
x2  y2 se x,y ≠ 0,0
0 se x,y  0,0
.
Determine: ∂f∂x x,y para x,y ≠ 0,0 e
∂f
∂x 0,0;
∂f
∂y x,y para x,y ≠ 0,0 e
∂f
∂y 0,0.
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RESPOSTAS
2.(c) ∂f∂x x
2  y2,y  2x2  y2, ∂∂x fx
2  y2,y  4xx2  y2
12. ∂f∂x x,y 
y2 − x2 − 2xy4
x2  y22 se x,y ≠ 0,0;
∂f
∂x 0,0 não existe
∂f
∂y x,y 
4x2y3  2y5 − 2xy
x2  y22 se x,y ≠ 0,0;
∂f
∂y 0,0  0
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