Subespaços Vetoriais

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Subespaços Vetoriais 
Seja V um espaço vetorial e S um subconjunto, que é fechado para as operações de adição e 
multiplicação por escalar em V, isto é, se u e v ∈ S e a ∈ R, então u + v ∈ S e av ∈ S, então S é 
um subespaço de V. Em particular, S é um EV. 
Propriedades: 
1) O vetor nulo de V está em S. 
2) Se u ∈ S e v ∈ S então u + v ∈ S 
3) Se u ∈ S e 𝛼 𝜖 R então 𝛼𝑢 𝜖 S 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
 
Exemplo 3: 
 Seja S = {(x,y,z) ∈ R3/ x + y + z = 0}, S é um subespaço de R3? 
 
 
Exercícios: 
1. Verificar se W = {(x,y,z)/ y = ax e z = bx} é um subespaço de R3. 
2. Considere os espaços vetoriais reais R2 e R3, verifique se os seguintes conjuntos são 
subespaços vetoriais dos espaços vetoriais, onde estão definidos: 
a) F = { (x,y) ∈ R2/ x= 2y} 
b) G = {(a,b,c) ∈ R3/ b + c = 1} 
c) M = {(x1, x2,x3) ∈ R
3/ x1 = x2
2} 
3. Sejam M(2,2) = 
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
 ; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑅 e S = 
𝑎 𝑏
0 0
 ; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 . Verifique se S é um 
subespaço vetorial de M(2,2). 
4. Verifique se o conjunto-solução de um sistema linear homogêneo a três variáveis é 
um subespaço vetorial de M(3,1). Considerando o sistema homogêneo: 
 
3𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 0
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0
 
 
 
 
Interseção de dois Subespaços Vetoriais 
 Sejam S1 e S2 dois subespaços vetoriais de V. A interseção S de S1 e S2, que se 
representa por S = S1 ∩ S2, é o conjunto de todos os vetores v ∈ V tais que v ∈ S1 e v ∈ S2. 
Teorema 
A interseção S de dois subespaços vetoriais S1 e S2 de V é um subespaço vetorial de V. De fato: 
I) Se u, v ∈ S1, então u + v ∈ S1 
Se u, v ∈ S2, então u + v ∈ S2. 
Logo: 
u + v ∈ S = S1 ∩ S2 
II) Para qualquer 𝛼 ∈ R: 
Se v ∈ S1, então 𝛼 v ∈ S1; 
Se v ∈ S2, então 𝛼 v ∈ S2. 
Logo: 
 𝛼 v ∈ S = S1 ∩ S2 
 
Exemplo: 
 
 
 
2. Seja o espaço vetorial R
3
 = {(a,b,c); a,b ,c ∈ R} e os subespaços 
S 1 = { (a, b, c). a, b,c, ∈ R} e S2 = {(0,0,c} , c ∈ R}. A interseção S1 ∩ S2 é o 
subespaço vetorial S = {(0,0,0)} = {0} 
 
 
 
Soma de dois subespaços vetoriais 
 
Sejam S1 e S2 dois subespaços vetoriais de V. A soma S de S1 e S2, que se representa por 
S = S1 +S2, é o conjunto de todos os vetores u + v de V tais que u ∈ S1 e v ∈ S2. 
 
Teorema 
 
A soma S de dois subespaços vetoriais S1 e S2 de V é um subespaço vetorial de V. 
De fato: 
I) Se u1, u2 ∈ S1, então u1 + u2 ∈ S1. 
Se v1, v2 ∈ S2, então v1 + v2 ∈ S2. 
 
Por outro lado: 
u1 + v1 ∈ S 
u2 +v2 ∈ S 
 
logo: 
(u1 + v1) +(u2 + v2) = (u1 + u2) + (v1 + v2) ∈ S1 + S2 = S 
 
II) Para qualquer 𝛼 ∈ R; 
Se u1 ∈ S1, então 𝛼 u1 ∈ S1. 
Se v1 ∈ S2, então 𝛼 v1 ∈ S2. 
 
Por outro lado: 
u1 + v1 ∈ S 
 
logo: 
 𝛼(u1 + v1) = 𝛼u1 + 𝛼v1 ∈ S1 + S2 = S 
 
Exemplo: 
Sejam os subespaços vetoriais S1 = {(a,b,0); a,b ∈ R} e S2 = {(0,0,c); c ∈ R} do espaço vetorial 
 R3 = {(a,b,c); a,b,c ∈ R}. 
A soma S1 + S2 é o subespaço vetorial S = {(a,b,c); a,b,c ∈ R}, que no caso, é o próprio R
3. 
 
 
 
 
Soma Direta de dois Subespaços Vetoriais 
 
 
Isto é, se o único vetor comum a ambos os subespaços S1 e S2 for o vetor nulo. 
 
Os símbolos ⊙ 𝑒 ⊕ são utilizados para indicar que a adição e a multiplicação por 
escalar não são as usuais. 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
 
 
 
2. Se um sistema linear não for homogêneo, o que acontece com seu conjunto solução? 
Considere o exemplo: 
A = 
2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1
𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0
 
Provar que a soma de dois vetores solução nem sempre é um vetor- solução, e assim o 
conjunto solução não é um subespaço vetorial.