Calculo 2 - Exercicios Taxa de derivação

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Cursos de Engenharias e Tecnologias – Cálculo Diferencial 
Professor Leandro Martins da Silva 
 
 1
 
 
Taxa de variação 
Temos a função )(xfy = , então a derivada 
dxdy pode ser interpretada como a taxa de 
variação de y em relação a x. 
A velocidade pode ser vista como uma taxa de 
variação, mais precisamente, a taxa de variação da 
posição em relação ao tempo. As taxas de 
variação também ocorrem em outras aplicações. 
Por exemplo: 
 Um biólogo pode estar interessado na taxa 
com que a quantidade de bactérias de uma 
colônia muda com o tempo. 
 Um engenheiro pode estar interessado na 
taxa com que o comprimento de um cano 
de metal muda com a temperatura. 
 Um economista pode estar interessado na 
taxa com que os custos de produção 
mudam com a quantidade do produto que 
está sendo produzido. 
 Um médico pode estar interessado na taxa 
com que o raio de uma artéria muda com a 
concentração de álcool na corrente 
sangüínea. 
 
Se )(xfy = , então definimos a taxa de variação 
média de y em relação a x no intervalo [ ]10 , xx 
como: 
01
01 )()(
xx
xfxf
x
y
−
−
=
∆
∆
, geometricamente é a 
inclinação da reta secante. 
 
E dizemos que a taxa de variação instantânea de y 
em relação a x é: 
01
01 )()(lim
01 xx
xfxf
dx
dy
xx −
−
=
→
, 
geometricamente é a inclinação da reta tangente. 
 
Exemplo 1: 
 
Sabemos que a área de um quadrado é em função 
de seu lado. Determinar: 
a) a taxa de variação média da área de um 
quadrado em relação ao lado quando este 
varia de 2,5 a 3 m. 
 
b) a taxa de variação da área em relação ao 
lado quando este mede 4m. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
a) 5,5
5,0
75,2
5,0
25,69
5,23
)5,2()3(
==
−
=
−
−
=
∆
∆ AA
l
A
 
b) l
dl
dAlA 22 =⇒= ; como o lado mede 4 m, 
teremos: 84.2 ==
dl
dA
. Portanto, quando l = 4 m, a 
taxa da área do quadrado será de 8 m² . 
 
ATIVIDADES DE FIXAÇÃO 
1- Um reservatório de água está sendo esvaziado 
para limpeza. O volume V de água no interior do 
reservatório (medido em litros) pode ser calculado 
pela seguinte função: 
2
)( 2
2050 





−⋅=
tV t com o tempo medido em 
horas a partir de 08h00min de 2a feira 
a) Encontre a taxa de variação média do 
volume do tanque entre 16h00min e 
23h00min de 2a feira. 
b) Determine quanto tempo o tanque demora 
para se esvaziar completamente. 
l 
l A = l² 
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 2
 
c) Qual a quantidade de água que sai do 
tanque durante as 6 primeiras horas de 
escoamento. 
d) Qual a taxa de escoamento depois de 3 
horas do início do processo? 
2- Analistas de produção de uma fábrica de 
autopeças verificaram que, o número N de 
peças produzidas no decorrer do dia, relaciona-
se com o total t de horas trabalhadas, de 
acordo com a função: 




≤≤+⋅
≤≤+⋅
=
83),1(60
30),(50)(
2
2
tparat
tparatt
tN 
a) Qual é a taxa de variação da produção (em 
unidades/hora) após 2 horas de trabalho? 
b) Quantas peças são produzidas durante a 6a 
hora de trabalho? 
3- Em uma pequena comunidade obteve-se uma 
estimativa que daqui a t anos a população P , 
medida em milhares de habitantes, poderá ser 
calculada pela expressão: 
1
520)(
+
−=
t
tP 
a) Qual é, nos dias atuais, o número de 
habitantes nesta comunidade? 
b) Daqui a 18 meses, qual será a taxa de 
variação da população desta comunidade? 
c) Qual será a variação real da população da 
comunidade durante o 18o mês? 
 
4- Uma peça de carne é colocada em uma câmara 
fria no instante t = 0. Após t horas, sua 
temperatura em graus Celsius é dada pela 
função 4( ) 30 5
1
T t t
t
= − +
+
. Determine: 
a) Qual é a temperatura de peça de carne 
após um tempo de 3 horas? 
b) Qual é a taxa de resfriamento da carne para 
o tempo encontrado no item a? 
c) Qual a taxa de resfriamento médio da peça 
de carne no intervalo que vai desde t = 0 
até t = 3 h? 
d) Qual é o resfriamento real sofrido pela peça 
de carne durante a 3a hora no interior do 
câmara fria? 
5.Um Importador de café brasileiro calcula que 
consumidores locais comprarão aproximadamente 
2
4374)(
p
pD = quilogramas de café por semana, 
quando o preço brasileiro for de p dólares por 
quilograma. Estima-se que daqui a t semanas o 
preço do café brasileiro importado será 
61,002,0)( 2 ++= tttp dólares por quilograma. 
Qual será a taxa de variação da demanda semanal 
de café daqui a 10 semanas? 
 
6. Estima-se que daqui a t anos a população de 
uma certa comunidade suburbana será de 
P(t) = 20 – 6/ (t + 1) milhares de habitantes. 
(a) Deduza a expressão da taxa de variação da 
população em relação ao tempo. 
(b) Qual será a taxa de crescimento da população 
daqui a 1ano? 
(c) Qual será o crescimento da população durante 
o 2º ano? 
(d) Qual será a taxa de crescimento da população 
daqui a 9anos? 
Respostas: 
1) a) -712,5 l/hora b) 40 horas 
c) -5500 litros d) – 925 l/ hora 
2) a) 250 unidades/hora b) 660 peças 
3) a) 15 mil habitantes b) 0,8 milhares de pessoas por 
ano c) 0,068 milhares de pessoas 
4) a) 16 ºC b) -5,25 º C/ hora c)-6 °C/hora 
 d) resfriamento será de 5,333 °C. 
 
5) 6 unidades semanais 
6)a) P’(t) = 6/ (t + 1)2 milhares por ano)b) 1 500 por ano 
c)1000 d) 60