ENG1031-capitulo2

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Mecânica dos Fluidos 1
Capítulo 2
Luis Fernando Azevedo
Laboratório de Engenharia de Fluidos
DEM/PUC-Rio
A hipótese do meio contínuo
• Uma teoria completa para o movimento de fluidos deveria
levar em consideração a estrutura molecular do fluido.
• A formulação das equações básicas para o movimento de cada
molécula produziria um número muito grande de equações, 
tornando a solução do problema impraticável.
• Para condições normais de temperatura de pressão, existe uma
formulação simplificada que produz excelentes resultados: 
modelo de fluido como um meio contínuo
A hipótese do meio contínuo
• neste modelo assume-se que: o fluido é um meio contínuo, no 
qual qualquer propriedade local do fluido permanece
inalterada, não importando o tamanho da amostra examinada.
• Considere, por exemplo, a propriedade massa específica, ρ, 
definida como,
∀∆∆→∀∆
≡ Mlim
0
ρ
A hipótese do meio contínuo
• A hipótese do contínuo falha quando ∆∀ é da ordem do caminho
livre médio entre colisões moleculares
• Uma idéia de ordem de grandeza destes volumes:
– considere um pequeno volume de gás nas CNTP de 10-6 cm3 (cubo de 
0,1 x 0,1 x 0,1mm).
– este volume é da ordem dos menores sensores disponíveis em
laboratório
– Este volume contém cerca de 1016 moléculas, o que possibilita a 
utilização da hipótese do contínuo
A hipótese do meio contínuo
• Algumas situações onde espera-se que a hipótese do 
meio contínuo falhe:
– movimento de materiais particulados em suspensão
no ar (aerossóis)
– determinação da força de arrasto sobre satélites em
órbita
– número de Knudsen
escoamentodoticacaracterísensãodim
colisõesentremédiolivrehominca
L
Kn == λ
A hipótese do meio contínuo
• Quando utilizamos a hipótese do meio contínuo
– Qualquer propriedade é definida em todo espaço
– Não há vazios no fluido
– As propriedades podem ser representadas por funções
contínuas do espaço e do tempo
– Um ponto no escoamento passa a ser uma região muito
pequena no escoamento, porém grande o suficiente para não
violar a hipótese do meio contínuo
Conceito de campo
• Podemos descrever as propriedades do 
escoamento em termos do conceito de 
campo e utilizar todo o ferramental
matemático existente
• Seja o vetor posição e t o tempo,
é um campo descrevendo o valor 
de uma dada propriedade
– Coordenadas cartesianas,
xr
)t,x(f r
kˆzjˆyiˆxx ++=r
)t,,,r(f)t,z,,r(f)t,z,y,x(f φθθ ==
Exemplos de alguns campos de interesse
• Campos escalares
– Massa específica,
– Temperatura,
– Pressão,
• Campos vetoriais
– Velocidade,
– Aceleração,
– Força, 
• Campos tensoriais
– Tensão,
– Gradiente de velocidade,
– Taxa de deformação,
)t,x( rρ
)t,x(T r
)t,x(p r
)t,x(V r
r
)t,x(a rr
)t,x(T r
)t,x(V r
rv∇
)t,x(F r
r
)t,x(D r
O campo de velocidade: casos particulares
• De uma maneira geral, o campo de velocidade é tri-
dimensional e dependente do tempo,
)t,x(V r
r
escoamento transiente, tri-dimensional
• No caso de não haver dependência do tempo, tem-se o 
escoamento em regime permanente,
)x(V r
r
escoamento permanente, tri-dimensional
• O escoamento é uni, bi ou tri-dimensional, dependendo
do número de coordenadas espaciais necesárias para
descrevê-lo,
O campo de velocidade: casos particulares
• escoamento 1-D,
zzrr eˆVeˆVeˆV)z,,r(V ++= θθθ
r
zz eˆ)r(V)r(V =
r
• escoamento 2-D,
jˆ)y,x(viˆ)y,x(u)y,x(V +=r
kˆ)z,y,x(wjˆ)z.y,x(viˆ)z,y,x(u)z,y,x(V ++=r
Trajetória, linha de corrente e linha de tinta
São linhas que auxiliam a visualização e interpretação do escoamento,
• Trajetória: é a curva que descreve o caminho percorrido por
uma partícula de fluido ao longo do tempo
Para torná-la visível no laboratório, é necessário “marcar” uma
determinada partícula e acompanhar seu movimento através de múltiplas
fotografias
A equação da trajetória pode ser obtida pela solução simultânea das 3 
equações diferenciais representadas por:
)t,x(V
dt
xd rrr = com condições iniciais: 00 == temxx rr
• Linha de corrente: são curvas, passando por um dado 
ponto no espaço, que, para um dado instante de tempo fixo, 
são tangentes ao vetor velocidade em todos os pontos
Imagine um escoamento no plano xy
θ v
u
V
r
x
y
linha de corrente
dx
dy
u
vtan ==θ
w
dz
v
dy
u
dx,assim ==
Obs: 1) não há fluxo de massa através de uma linha de corrente
2) linhas de corrente não se cruzam
• Linha de tinta (linha de emissão)
Suponha que injetamos um corante continuamente em
um ponto do escoamento com coordenadas , começando
em t = T1 e observamos a linha de corante em um tempo 
posterior t= T2>T1
A linha de tinta é a curva formada por todas as partículas de 
fluido que no intervalo T1< t < T2 passaram por
Em regime permanente, trajetória, linha de corrente e linha
de tinta coincidem
1x
r
1x
r
Campo de Tensão
As forças que agem em um elemento de fluido podem
ser de dois tipos:
- Forças de corpo (ou de campo): forças devido à ação de 
campos que agem igualmente em todo o elemento à distância. 
Por exemplo, forças devido à ação do campo gravitacional, 
campos eletromagnéticos
d∀, elemento de volume
aceleração local da gravidade
∀= dgFd B r
r ρ
massa específica
BFd
r
Campo de Tensão
- Forças de superfície: forças devido ao contato do elemento com 
o material que o envolve. Esta força pode existir na fronteira com 
uma superfície sólida, ou quando se separa um elemento de fluido
para estudo.
força por unidade de área
∀d
∀dgρ
)t,nˆ,r(tn
rrnˆdA
Princípio de Cauchy das tensões: em torno de qualquer superfície
imaginária no material existe uma distribuição do vetor cuja
resultante e momento são equivalents àquelas causadas pelo
material que envolve a superfície.
)nˆ(t
r
Campo de Tensão
Pode-se mostrar que o elemento de fluido está em equilíbrio estático
sob a ação das forças de superfície, mesmo quando em movimento
nˆ )nˆ(t
r
)nˆ(t −r
nˆ−
dA
)nˆ(t)nˆ(tdA)nˆ(tdA)nˆ(t −−=∴−−= rrrr
x
)nˆ(t
r
nˆ
y
z
a
b
c
o
dA
face normal área força/área
abc nˆ dA )nˆ(t
r
 
oac jˆ− dAjˆnˆ ⋅ )jˆ(t −r 
obc iˆ− dAiˆnˆ ⋅ )iˆ(t −r 
oab kˆ− dAkˆnˆ ⋅ )kˆ(t −r 
 
Para termos equilíbrio estático,
x
)nˆ(t
r
nˆ
y
z
a
b
c
o
dA
face normal área força/área
abc nˆ dA )nˆ(t
r
 
oac jˆ− dAjˆnˆ ⋅ )jˆ(t −r 
obc iˆ− dAiˆnˆ ⋅ )iˆ(t −r 
oab kˆ− dAkˆnˆ ⋅ )kˆ(t −r 
 
[ ])kˆ(tkˆ)jˆ(tjˆ)iˆ(tiˆnˆ)nˆ(t
)iˆnˆ)(iˆ(t)kˆnˆ)(kˆ(t)jˆnˆ)(jˆ(t)nˆ(t
)nˆ(t)nˆ(t,usando
)dAkˆnˆ)(kˆ(t)dAiˆnˆ)(iˆ(t)dAjˆnˆ)(jˆ(tdA)nˆ(t
rrrr
rrrr
rr
rrr
++⋅=
⋅+⋅+⋅=
−−=
=⋅−+⋅−+⋅−+ 0
[ ])kˆ(tkˆ)jˆ(tjˆ)iˆ(tiˆnˆ)nˆ(t rrrr ++⋅=
tensõesdastensoroéTTnˆ)nˆ(t ⋅=r
,direçõesnasscomponentedostermosemescrevendoe
,kˆejˆ,iˆscoordenadoeixosdosdireçãonanˆPara
3
3
[ ] [ ] [ ])iˆ(tkˆkˆ)iˆ(tjˆjˆ)iˆ(tiˆiˆ)iˆ(t rrrr ⋅+⋅+⋅=
[ ] [ ] [ ])jˆ(tkˆkˆ)jˆ(tjˆjˆ)jˆ(tiˆiˆ)jˆ(t rrrr ⋅+⋅+⋅=
[ ] [ ] [ ])kˆ(tkˆkˆ)kˆ(tjˆjˆ)kˆ(tiˆiˆ)kˆ(t rrrr ⋅+⋅+⋅=
)kˆ(tkˆ)jˆ(tjˆ)iˆ(tiˆT
rrr ++=
[ ] [ ] [ ]+⋅+⋅+⋅= )iˆ(tkˆkˆiˆ)iˆ(tjˆjˆiˆ)iˆ(tiˆiˆiˆT rrr
[ ] [ ] [ ]+⋅+⋅+⋅+ )jˆ(tkˆkˆjˆ)jˆ(tjˆjˆjˆ)jˆ(tiˆiˆjˆ rrr
[ ] [ ] [ ])kˆ(tkˆkˆkˆ)kˆ(tjˆjˆkˆ)kˆ(tiˆiˆkˆ rrr ⋅+⋅+⋅+
[ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=
)kˆ(tkˆ)kˆ(tjˆ)kˆ(tiˆ
)jˆ(tkˆ)jˆ(tjˆ)jˆ(tiˆ
)iˆ(tkˆ)iˆ(tjˆ)iˆ(tiˆ
T
éTdematrizaolog
rrr
rrr
rrr
[ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=
)kˆ(tkˆ)kˆ(tjˆ)kˆ(tiˆ
)jˆ(tkˆ)jˆ(tjˆ)jˆ(tiˆ
)iˆ(tkˆ)iˆ(tjˆ)iˆ(tiˆ
T rrr
rrr
rrr
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
kˆkˆjˆkˆiˆkˆ
kˆjˆjˆjˆiˆjˆ
kˆiˆjˆiˆiˆiˆT
,usualnotação
σττ
τστ
ττσ
+++
++++
+++=
[ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=)kˆ(tkˆ)kˆ(tjˆ)kˆ(tiˆ
)jˆ(tkˆ)jˆ(tjˆ)jˆ(tiˆ
)iˆ(tkˆ)iˆ(tjˆ)iˆ(tiˆ
T rrr
rrr
rrr
[ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
T
σττ
τστ
ττσ
ou seja, na notação xyxx ,τσ , etc, o primeiro índice indica 
a face do cubo onde a tensão atua, o segundo índice indica 
a direção da tensão 
xxσ
xyτ
xzτ
zzσ zxτ
zyτ
yyσ
yxτ
yzτ
xxσ
xyτ
xzτ
x
y
z
[ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
T
σττ
τστ
ττσ
Os planos são considerados positivos de acordo com a sua normal
Convenção de sinais para a tensão:
Tensão positiva quando seu sentido e o plano onde atua são ambos 
positivos ou ambos negativos
nˆ
τ
+
τ
nˆ
É importante conhecermos a relação entre a tensão aplicada e a taxa
de deformação produzida no fluido. 
Considere o elemento de fluido entre 2 placas paralelas infinitas
Força dFx
Velocidade du
dy
N O
y
x
M M’ P P’
dL
dx
dα
elemento de fluido
em t+dt
elemento de fluido
em t
Força dFx
Velocidade du
dy
N O
y
x
M M’ P P’
dL
dx
dα
elemento de fluido
em t+dt
elemento de fluido
em t
y
x
yx dA
dF=τA tensão cisalhante aplicada é:
dt
dαDurante o intervalo de tempo dt, o elemento é deformado de
MNOP para M’NOP’. A taxa de deformação do fluido é dada por:
dtdudL ⋅= αα d)dtan( ≈)dtan(dydL α⋅= αddydL ⋅=Da figura,
dy
du
dt
d =ααddydtdu ⋅=⋅
Qual a relação entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação?
Hipótese: 
Fluido Newtoniano: taxa de deformação é linearmente proporcional à tensão cisalhante. 
ensionaldimuniescoamentopara,
dy
du
yx −= µτ
µ : viscosidade dinâmica ou viscosidade absoluta
[ ] [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⋅=⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅=
sm
kgsPa
m
sN
2µUnidade SI:
scm
g:cpcentiPoise ⋅
−210scm
g:Poise ⋅1Outra unidade:
A viscosidadee varia com a temperatura e com a pressão
↑↓ Tµ Forças intermoleculares de curto alcanceLíquidos:
↑↑ TµGases: Troca de quantidade de movimento entre moléculas em regiões adjacentes
É comum no estudo de mecânica dos fluidos aparecer a razão: ρ
µυ =
Viscosidade cinemática:
[ ] SIno
s
m2=ν
Outra unidade:
s
cm:cStStokescenti
2
210−
s
cm:Stokes
2
1
	Mecânica dos Fluidos 1Capítulo 2
	A hipótese do meio contínuo
	A hipótese do meio contínuo
	A hipótese do meio contínuo
	A hipótese do meio contínuo
	A hipótese do meio contínuo
	Conceito de campo
	Exemplos de alguns campos de interesse
	O campo de velocidade: casos particulares
	O campo de velocidade: casos particulares
	Trajetória, linha de corrente e linha de tinta
	Campo de Tensão
	Campo de Tensão
	Campo de Tensão
	Os planos são considerados positivos de acordo com a sua normalConvenção de sinais para a tensão:Tensão positiva quando se