Unidade 1 Produção 31 03 2014

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Profª. Sónia Maria Fonseca Pereira Oliveira Gomes
Ciências Econômicas
- DLCH -
Microeconomia 2
Slide 1
Tópicos para discussão - Produção
Slide 2
� Tecnologia de produção
� Produção com um insumo variável (trabalho)
� Produção com dois insumos variáveis
� Rendimentos de escala
� Abordaremos o lado da oferta do mercado.
� Comportamento dos produtores
� O modo como as empresas organizam eficientemente a produção
� Como os custos de produção variam à medida que ocorrem 
alterações nos preços dos insumos e nos níveis de produção
T1
Introdução
Slide 3
� A teoria da empresa trata:
� Do modo pelo qual uma firma toma decisões de produção 
minimizadoras de custo
� Do modo pelo qual os custos de produção variam com o nível de 
produção
� De problemas das atividades produtivas em geral
� Quanto usar de cada insumo?
� Para aumentar a produção deve aumentar a quantidade de que fator?
� E o conhecimento a respeito da teoria da produção e do custo 
ajudará a entender as características da oferta do mercado
Slide 2
T1 A seção destacada com a cor azul não existe no livro. Lá, "Isoquantas" está dentro da seção 
"Produção com dois insumos variáveis". Não modifiquei a estrutura dos slides.
Favor verificar se haverá modificação na estrutura dos slides.
Thelma; 26/08/2005
As decisões das empresas sobre produção 
podem ser entendidas em três passos
� Tecnologia de produção: modo prático que descreve como 
os insumos podem ser transformados em produção;
� Restrições de custo: as empresas precisam levar em conta os 
preços dos insumos;
� Escolha de insumos: conforme a tecnologia de produção, a 
empresa escolhe quanto deve usar de cada insumo
Tecnologia de produção
Slide 5
� O processo produtivo
� Combinação e transformação de insumos ou fatores de 
produção em produtos
� Tipos de insumos (fatores de produção) podem ser divididas 
em categorias amplas:
� Trabalho (qualificados; os não-qualificados e os esforços 
empreendedores dos administradores das empresas)
� Matérias - primas (água, energia, etc.)
� Capital (terreno, as instalações, a maquinaria e outros 
equipamentos, etc.)
Tecnologia de produção pode ser 
representada por uma
Slide 6
� Função de produção (exibe a relação entre os insumos do 
processo produtivo e o produto resultante)
� Indica o maior nível de produção (q) que uma firma pode 
atingir para cada possível combinação de insumos, dado o 
estado da tecnologia.
� No caso de dois insumos a função de produção é:
q = F(K,L)
q = Produto, K = Capital, L = Trabalho
Nota: Insumos e produtos são fluxos(ex: Y quantidade por ano)
).....,
,2,1( nxxxfq =
InsumosQuantidade de produto
Tecnologia de produção
Slide 7
� Função de produção
� Essa função depende do estado da tecnologia
� À medida em que a tecnologia se torna mais avançada e a função de 
produção se modifica, uma empresa pode passar a obter maior volume 
de produção dado o mesmo conjunto de produção
� Como a função de produção permite que os insumos sejam 
combinados em proporções variadas , o produto pode ser 
gerado de diversas maneiras
� Mostra o que é tecnicamente viável quando a firma opera de 
forma eficiente.
� Suposição razoável, pois uma empresa comercial certamente não 
desejaria assumir custos de produção desnecessários 
Tecnologia de produção
Slide 8
� Processo de produção:
� É o processo pelo qual uma firma transforma os fatores 
adquiridos em produtos ou insumos.
Insumos Processo de
produção
ProdutoInsumos
Processo de
produção
Insumos Processo de
produção
Insumos Processo de
produção
Insumos Processo de
produção
Insumos Processo de
produção
Tecnologia de produção
Slide 9
� A escolha do processo de produção depende das eficiências:
� Técnica (tecnológica): comparando processos, será aquele que 
permite produzir uma mesma quantidade de produto, utilizando 
menor quantidade física de fatores <= assumimos como dado.
� Econômica: produzir uma mesma quantidade de produto com 
menor custo de produção
Tecnologia ≠ Método de produção
É o estado das artes. É um 
inventário dos métodos de 
produção existente.
Diz respeito às diferentes 
possibilidades de compilação entre 
fatores de produção para produzir
determinada quantidade de 
produção ou serviço
Tecnologia de produção
Slide 10
� Importância da distinção do tempo:
� As firmas não têm condições de ajustar o emprego de todos os seus fatores 
instantaneamente.
� Ajustar os insumos à produção, dosando diferentes quantidades de 
trabalho e capital não é um processo imediato (há necessidade de tempo 
para a construção de uma fábrica, máquinas, para encomendar máquinas, 
etc.).
� Curto prazo:
� Período de tempo no qual as quantidades de um ou mais insumos não podem 
ser modificadas.
� Há sempre pelo menos um fator que não pode modificado.
� Tais insumos são denominados insumos fixos.
Curto prazo versus longo prazoCurto prazo versus longo prazo
Tecnologia de produção
Slide 11
� Longo prazo
� Período de tempo necessário para tornar variáveis todos os insumos.
� Assim, os tipos de decisão que as empresas podem tomar são 
muito diferentes no curto e no longo prazos.
� No curto prazo, as empresas podem variar a intensidade de utilização 
de determinada fábrica e equipamentos;
� No longo prazo, as empresas podem modificar a capacidade da fábrica. 
Curto prazo versus longo prazoCurto prazo versus longo prazo
Produção
� Para análise de condições de produção são necessárias medidas de produtividade
� Produto total
� As vezes fazer é interessante analisar a contribuição de determinado fator de produção 
ao produto total:
� Produto médio (contribuição média do fator ao produto total) ou produtividade média.
� Produto médio: inclinação da linha que vai desde a origem até o ponto específico situado 
sobre a curva de produto total.
ix
nxxxfiPMg
ix
nxxxfiPM
L
nxxxf
L
q
LPM
∆
∆
=
⇐=
==
),....2,1(
 totalproduto do curva à tangentereta da inclinação :Marginal Produto
bicos) sem(" veldiferenciá e 
es)interrupçõ sem(" contínua é produção 
de função a quando aplicável é Só),....2,1(
geral forma deou 
),....2,1(
Produção
� A rigor, o PMgi é definido como o limite da fração acima quando ∆xi
tende a zero.
� Nota: Princípio de tomada de decisões individuais: “PESSOAS 
RACIONAIS PENSAM NA MARGEM”
� Produção de um único fator variável
ix
nxxf
iPMg ∂
∂
=
),.........1(
g(L)L),KF( q ==
Análise de 
curto prazo
Função reduzida
Produção
� Lei dos rendimentos decrescentes ou Lei dos proporções variáveis 
� Fica cada vez mais difícil aumentar o produto através do aumento no emprego 
de um único fator de produção
� Em que é x*i é o valor de xi a partir do qual passa a diminuir o rendimento 
marginal do fator de produção i.
,
*
 0
2
),.........1(
2
ixix
ix
nxxf
ix
iPMg >∀<
∂
∂
=
∂
∂
Produção com um insumo variável (trabalho)
Slide 15
Produto total
Trabalho mensal
Produção
mensal
60
112
0 2 3 4 5 6 7 8 9 101
A
B
Estágio I
Estágio II
Estágio de 
produção 
relevante
Estágio III
Con
ve
xa
Rendimentos 
marginais 
decrescentes
Quando a 
empresa não 
consegue 
aumentar mais a 
produtividade
do L por meio 
de 
especialização
Rendimentos 
marginais 
crescentes
Retornos totais decrescentes
↑ L => ↓ PT: ocorre por conta do 
tamanho fixo da planta. Ex: 
dificuldade de coordenar muitos 
trabalhadores
Condição de máximo: 1ª
derivada=zero. Inclinação 
zero
Côn
ca
va
PT↑
PT↓=>PMg precisa ser 
negativa
Inc
lina
ção
 
va
i se
ndo
 
ca
da 
ve
z m
en
or 
atéatin
gir 
o z
ero
Ganhos com especialização do trabalho. Com L pequeno, um trabalhador pode 
ter que realizar mais de uma tarefa
Estágios de Produção
� Estágio I:
� PM↑=> PT ↑=>A 
eficiência do fator 
variável e a do fator fixo 
estão aumentando. 
Deste último também 
aumenta, pois o 
produto total está
aumentando.
� Estágio II:
� PM↓=> PT ↑=>mas 
ainda não negativa. A 
eficiência do fator 
variável está diminuindo 
e a do fator fixo 
aumentando, pois o 
produto continua a 
aumentar.
� Estágio III:
� PM↓=> PMg ↓ , mas 
também negativa. 
Assim, a eficiência dos 
fatores fixo e variável 
variável está diminuindo.
8
10
20
E
0 2 3 4 5 6 7 9 101
30
Produção
mensal por
trabalhador
Trabalho
mensal
Produto 
médio
Produto 
Marginal
Estágio I Estágio II Estágio III
•Quando o PML é crescente, o PMgL se localiza acima dela.
•Quando o PML atinge o máximo = PML PMgL
•Quando o PML é decrescente, o PMgL se localiza abaixo dela
Concavidade....
A inclinação no ponto é negativa 
e decrescente. 
A inclinação no ponto é negativa 
e crescente. 
(-)
Valor da 
função 
cai com 
↑ de x
A inclinação no ponto é positiva 
e decrescente. 
A inclinação no ponto é positiva 
e crescente. Cresce a taxas 
crescentes
(+)
Valor da 
função 
aumenta 
com ↑
de x
f’(x)
Voltado para baixo
(-) decrescente
Voltado para cima
(+) crescente
f’’(x)
x
f(x)f(x)
x
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
Matematicamente
� Quando h’(L)<0, ou seja, quando a inclinação do PML é negativa=> PMgL< PML ou 
PMgL< PML quando PML é decrescente.
� Quando h’(L)>0, ou seja, quando a inclinação do PML é positiva=> PMgL> PML ou 
PMgL> PML quando PML é crescente.
� Quando h’(L)=0, ou seja, quando a inclinação do PML é nula=> PMgL atinge o seu ponto 
de máximo, PML=PMgL. PMgL atinge o seu ponto de máximo então h’’(L)<0.
)(*)(')(
*)(* 
)()(
)(),(
LhLLh
dL
dq
dL
PTdPMgL
LLhLPMLqEntão
Lh
L
Lf
L
qPML
LfLKPTq
+===
==
===
==
Pq PML atinge o máximo quando se 
iguala a PMgL?
PMLPMgL
L
PMLPMgL
L
L
L
LKf
L
LPMgL
L
LKfLPMgL
L
L
LLKfL
L
LKf
L
L
LKf
L
PML
L
PML
=⇔=
−
−
=
−
=
∂
∂
−∂
∂
=
∂






∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
0
2
),(
*
2
),(*
2
*),(*),(
0
),(
0
Produção
� A empresa quando decide quanto adquirir de um insumo, ela 
terá de comparar o custo com o benefício que obterá
� Daí a importância da perspectiva incremental (qual o produto 
adicional pelo uso de unidade adicional de insumo)
� As vezes fazer comparações na média pode ser mais interessante
Produção com um insumo variável 
(trabalho)
Slide 21
� A contribuição do trabalho ao processo produtivo poderia ser 
descrita como produto médio e marginal do trabalho:
� O produto médio do trabalho mede a produtividade da força de 
trabalho da empresa, em termos de quantos produtos por unidade 
de trabalho produz em média;
� O produto médio do trabalho (PML), ou produto por trabalhador, 
inicialmente aumenta e depois diminui.
L
Q
Trabalho
Produto
 LPM ==
Produção com um insumo variável (trabalho)
Slide 22
• A contribuição do trabalho ao processo produtivo poderia ser 
descrita como produto médio e marginal do trabalho: 
• Volume de produto adicional gerado ao acrescentar uma unidade de
insumo trabalho.
• O produto marginal do trabalho (PMg), ou produto de um 
trabalhador adicional, aumenta rapidamente no início, depois 
diminui e se torna negativo.
L
Q
rabalhoT
rodutoP
 PMgL
∆
∆
=
∆
∆
=
Produção com um insumo variável (trabalho)
Slide 23
0 10 0 --- ---
1 10 10 10 10
2 10 30 15 20
3 10 60 20 30
4 10 80 20 20
5 10 95 19 15
6 10 108 18 13
7 10 112 16 4
8 10 112 14 0
9 10 108 12 -4
10 10 100 10 -8
Quantidade Quantidade Produto Produto Produto
de trabalho (L) de capital (K) total (Q) médio (q/L) marginal 
(∆∆∆∆q/ ∆∆∆∆L) 
Produção com um insumo variável (trabalho)
Slide 24
� Observações:
� Só é possível produzir com ambas as quantidades de insumos 
� A única forma de aumentar a produção é aumentando o insumo 
variável (trabalho)
� Para tomar uma decisão de quanto empregar do insumo 
variável (trabalho)e de quanto produzir é necessário saber 
como o volume de produção, q varia quando o insumo 
variável (trabalho) muda
� À medida que aumenta o número de trabalhadores, o produto (q) 
aumenta, atinge um máximo e, então, decresce.
Produção com um insumo variável (trabalho)
Slide 25
Produto total
Trabalho mensal
Produção
mensal
60
112
0 2 3 4 5 6 7 8 9 101
A
B
C
D
Produção com um insumo variável (trabalho)
Slide 26
� Observações
� O volume de produção aumenta até atingir o valor máximo de 
112 unidades,
� Volumes de produção com mais de 8 unidades de trabalhos por mês 
não são lucrativas
Produção com um insumo variável (trabalho)
Slide 27
Produto médio
8
10
20
Produção
mensal por
trabalhador
0 2 3 4 5 6 7 9 101 Trabalho mensal
30
E
Produto marginal
Observações:
À esquerda de E: PMg > PML & PML crescente
À direita de E: PMg < PML & PML decrescente
E: PMg = PML & PML máximo
Produção com um insumo variável (trabalho)
Slide 28
� Observações
� Quando PMg > PML, PML é crescente (se o produto de um 
trabalhador adicional é maior do que o produto médio de cada 
um dos trabalhadores existentes, o produto médio aumenta)
� Ocorre entre as unidades 1 e 4 de trabalhadores
� Quando PMg < PML, PML é decrescente (vice-versa)
� Ocorre com unidades de trabalho acima de 4
Produção com um insumo variável (trabalho)
Slide 29
� Observações
� Quando o produto marginal está acima do produto médio este é
crescente e quando o produto marginal está abaixo do produto 
médio quando este é decrescente => que o produto marginal 
deverá ser igual ao produto médio quando o produto médio 
atingir o seu valor máximo
� PMg = PML, PML encontra-se no seu nível máximo (ponto E). 
� Quando PMg = 0, PT encontra-se no seu nível máximo
� Nota: o PML só será zero se o PT o for.
Produção com um insumo variável (trabalho)
Slide 30
Trabalho
mensal
Produção
mensal
60
112
0 2 3 4 5 6 7 8 9 101
A
B
C
D
8
10
20
E
0 2 3 4 5 6 7 9 101
30
Produção
mensal por
trabalhador
Trabalho
mensal
PML= inclinação da linha que vai da origem a um ponto sobre a 
curva de PT, linhas B & C.
PMg = inclinação da curva do produto total naquele ponto ( 
tangência em qualquer ponto da curva de TP), linhas A & C.
Relação entre produto marginal e 
produto médio
� No ponto B, PMg (a inclinação da tangente em relação à
curva de produção no ponto B – não mostrada) é maior que 
PML (inclinação da linha OB) => o produto médio aumenta 
quando se desloca de B para C;
� Em C, PML (inclinação da linha OC)= PMg (tangente da 
curva de produção no ponto C) = ponto E;
� Entre C e D, a inclinação da tangente da curva de produção 
em qualquer ponto é menor que a inclinação da linha a partir 
da origem.
� Em D, a tangente é zero 
Produção com um insumo variável (trabalho)
Slide 32
� Lei dos rendimentos marginais decrescentes
� À medida que o uso de determinado insumo aumenta, chega-se a um 
ponto em que as quantidades adicionais de produto obtidas tornam-se 
menores (ou seja, o PMgL diminui).
� Quando a quantidade utilizada do insumo trabalho é pequena, o 
PMgL é grande em decorrência da maior especialização.
� Quando a quantidade utilizada do insumo trabalho é grande, o PMgL
decresce em decorrência de ineficiências.
� Aplica-se geralmente ao curto prazo quando pelo menos um dos 
insumos é fixoProdução com um insumo variável 
(trabalho)
Slide 33
� Pode ser aplicada a decisões de longo prazo relativas à escolha entre 
diferentes configurações de plantas produtivas.
� Exemplo: suponha que apenas dois tamanhos de fábrica sejam viáveis 
e a administração tenha de tomar a decisão de construir uma delas. 
Então a administração desejaria saber em que ponto a lei dos 
rendimentos marginais decrescentes passaria a atuar em cada uma das 
duas alternativas 
� Supõe-se que a qualidade do insumo variável seja constante
Lei dos rendimentos marginais decrescentesLei dos rendimentos marginais decrescentes
Produção com um insumo variável (trabalho)
Slide 34
� Explica a ocorrência de um PMg declinante, mas não 
necessariamente de um PMg negativo
� Supõe-se uma tecnologia constante
Lei dos rendimentos marginais decrescentesLei dos rendimentos marginais decrescentes
Produção com um insumo variável (trabalho)
Slide 35
Trabalho por
período
Produção
por período
50
100
0 2 3 4 5 6 7 8 9 101
A
O1
C
O3
O2
B
A produtividade do trabalho
pode aumentar à
medida que
ocorram melhoramentos
tecnológicos, mesmo que
cada processo
produtivo seja
caracterizado por
rendimentos decrescentes
do trabalho.
Efeito dos avanços tecnológicosEfeito dos avanços tecnológicos
Produção com um insumo variável (trabalho)
Slide 36
� Malthus previu o alastramento da fome em larga escala, que 
decorreria dos rendimentos decrescentes da produção agrícola 
aliados ao crescimento populacional contínuo.
� Por que a previsão de Malthus revelou-se incorreta?
� Apesar de os dados terem mostrado que o crescimento da produção 
excedeu o crescimento populacional.
� Malthus não levou em consideração os efeitos potenciais dos avanços 
tecnológicos, que permitiram o aumento da oferta de alimentos a 
taxas superiores ao crescimento da demanda.
Exemplo: Malthus e a crise de alimentosExemplo: Malthus e a crise de alimentos
Produção com um insumo variável (trabalho)
Slide 37
� As inovações tecnológicas resultaram em excessos de oferta e 
reduções de preços.
� Pergunta
� Por que existe fome no mundo, tendo em vista que há excedentes de 
alimentos?
� Resposta
� Isso se deve ao custo de redistribuição dos alimentos entre as regiões 
produtivas e improdutivas e ao baixo nível de renda das regiões 
improdutivas.
Malthus e a crise de alimentosMalthus e a crise de alimentos
Produção com dois insumos variáveis
Slide 38
� Isoquantas
� São curvas que representam todas as possíveis combinações de 
insumos que geram a mesma quantidade de produto.
� Essa informação permite ao produtor reagir eficientemente às 
mudanças nos mercados de insumos.
� Ela nos diz o que a empresa deseja fazer, dada a função de 
produção, mas não diz o que a empresa pode fazer.
k
L
q=f(k,L) k
L
Mapa de 
isoquanta
q=200
q=300
q=400
Produção com dois insumos variáveis
Slide 39
� Propriedades das isoquantas:
� A inclinação da isoquanta diminui à medida que nos deslocamos para 
baixo e para a direita ao longo da curva. 
� Ou seja, à medida que diminuímos o fator capital serão necessárias 
quantidades cada vez maiores de trabalho.
� As isoquantas são convexas em relação à origem.
� Ou seja, aumentar trabalho para uma mesma quantidade de produto torna os 
trabalhadores menos produtivos.
� Elas permitem definir o estágio de produção relevante.
Produção com dois insumos variáveis
Slide 40
� Propriedades das isoquantas:
� A isoquanta é negativamente inclinada: para aumentar a quantidade de um 
fator tem que diminuir a quantidade de outro;
� Elas não se interceptam 
Q=100
Q=200
Não posso produzir 
duas quantidades 
de produto com a 
mesma quantidade 
de insumo, pois 
uma das 
suposições é de 
que as empresas 
estão empregando 
as técnicas mais 
eficientes
k
L
Produção com dois insumos variáveis
Slide 41
� Propriedades das isoquantas:
� A inclinação da isoquanta diminui à medida que nos deslocamos para 
baixo e para a direita ao longo da curva. 
� Ou seja, à medida que diminuímos o fator capital serão necessárias 
quantidades cada vez maiores de trabalho.
� As isoquantas são convexas em relação à origem.
� Ou seja, aumentar trabalho para uma mesma quantidade de produto torna os 
trabalhadores menos produtivos.
� Elas permitem definir o estágio de produção relevante.
Produção com dois insumos variáveis
Slide 42
� Propriedades das isoquantas:
� Elas permitem definir o estágio 
de produção 
relevante.(desenhar do 
caderno.
B B’
q1
q2
q1
q3
L3L2 L’
K2
K3
A
0 Trabalho
Capital
� Em q3 se ↑L e K3 constante 
=>↓q(ponto B’),. A PMgL é
negativa, pois os acréscimos 
condicionais de L fazem o produto 
cair. 
� Então em B, a PMgL é zero, pois à
esquerda de B, com K fixo, o acréscimo 
de x unidades de L conduz a isoquantas 
mais elevadas => PMgL positiva
� Em B, PMgL=0 => 
TMST=PMgL/PMgK=0/PMgK=0.
� Então OB mostra a quantidade mínima 
de K necessários para as várias 
quantidades de trabalho.
� OA mostra os montantes mínimos de 
L para as várias quantidades de 
capital. 
PMgK=0=>TMST=PMgL/PMgK/
PMgK=0=∞.
Produção com dois insumos variáveis
Slide 43
1 20 40 55 65 75
2 40 60 75 85 90
3 55 75 90 100 105
4 65 85 100 110 115
5 75 90 105 115 120
Capital 1 2 3 4 5
TrabalhoProdução com dois
insumos variáveis
Produção com dois
insumos variáveis
T3
Produção com dois insumos variáveis
Slide 44
Trabalho por mês
1
2
3
4
1 2 3 4 5
5
q1 = 55
As isoquantas são dadas
pela função de produção
para níveis de produto iguais a 
55, 75, e 90.
A
D
B
q2 = 75
q3 = 90
C
E
Capital
por mês Produção com dois
insumos variáveis
Produção com dois
insumos variáveis
Mapa de isoquantas
T6
Produção com dois insumos variáveis
Slide 45
� Substituição entre insumos
� Os gerentes de uma empresa desejam determinar a combinação de 
insumos a ser utilizada. 
� Eles devem levar em consideração as possibilidades de substituição 
entre os insumos.
� A inclinação de cada isoquanta indica a possibilidade de substituição 
entre dois insumos, dado um nível constante de produção.
� Taxa marginal de substituição técnica
� Objetivo: saber como os fatores de produção podem ser substituídos 
entre sí de modo a manter a quantidade produzida.
Slide 43
T3 Favor verificar a tabela 169 do livro. 
Os dados são os mesmos, mas há algumas diferenças. 
Thelma; 26/08/2005
Slide 44
T6 Este gráfico é o mesmo que aparece no slide 43.
Favor verificar se está ok.
Thelma; 26/08/2005
Produção com dois insumos variáveis
Slide 46
� Suposição: A função de produção é diferenciável em relação aos dois 
insumos, ou seja, a substituição é sempre possível toda vez que os dois 
fatores apresentarem PMgs positivos.
� TMST=quantas unidades adicionais de trabalho devem ser empregados 
para compensar o emprego de uma unidade a menos de capital.
 trabalhono /Variaçãocapital no Variação - TMST =
teconslkf
L
K
0K
imL TMST tan),(| =
∆
∆
→∆
=
Produção com dois insumos variáveis
Slide 47
Trabalho por mês
1
2
3
4
1 2 3 4 5
5Capitalpor mês
As isoquantas têm inclinação
negativa e são convexas, 
assim como as curvas de indiferença.
1
1
1
2
1
2/3
1/3
q1 =55
q2 =75
q3 =90
Taxa marginal de substituição técnicaTaxa marginal de substituição técnica
A inclinação dessa curva dá a 
TMST
Produção com dois insumos variáveis
Slide 48
� Observações:
1. A TMST cai de 2 para 1/3 à medida que a quantidade de trabalho 
aumenta de 1 para 5 unidades.
2. Uma TMST decrescente decorre de rendimentos decrescentes e 
implica isoquantas convexas.
� Propriedades:
1. A TMST é igualà relação entre as produtividades marginais dos 
fatores variáveis. 
Ou seja, a TMST decrescente está relacionada com a Lei dos 
Rendimentos Marginais Decrescentes. Pois, à medida que 
aumentamos mais trabalho, este vai se tornando cada vez menos 
produtivo.
Substituição entre insumosSubstituição entre insumos
Produção com dois insumos variáveis
� Prova:
PMgK
PMgL
K
LKf
L
LKf
dL
dKdL
L
LKfdK
K
LKf
dL
L
LKfdK
K
LKf
LKf
=
∂
∂
∂
∂
=−⇔
∂
∂
−=
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
),(
),(
*
),(
*
),(
0*),(*),(
:se- tem),( de função na totalldiferencia o Aplicando
ExemploExemploExemploExemplo: : : : UmaUmaUmaUma funfunfunfunççççãoãoãoão de de de de produproduproduproduççççãoãoãoão paraparaparapara o o o o trigotrigotrigotrigo. . . . Os agricultores 
devem escolher entre técnicas de produção intensivas em capital 
ou intensivas em trabalho.
Slide 50
Trabalho
(horas por ano)
Capital
(horas-
máquina
por ano)
250 500 760 1000
40
80
120
100
90
Produção = 13.800 bushels
por ano
A
B10- K =∆
260 L =∆
O ponto A é mais intensivo em
capital, e o B é mais intensivo
em trabalho.
Isoquanta que descreve a produção de trigoIsoquanta que descreve a produção de trigo
Produção com dois insumos variáveis
Slide 51
� Observações:
1. Operando no ponto A
� L = 500 horas e K = 100 horas de máquina. 
2. Operando no ponto B
� L aumenta para 760 e K diminui para 90;
3. TMST < 1, portanto, o custo do trabalho 
deve ser menor do que o custo do capital para 
que o agricultor substitua capital por trabalho.
4. Se o trabalho for caro, o agricultor usará mais 
capital. (exemplo EUA).
5. Se o trabalho não for caro, o agricultor usará
mais trabalho (exemplo: Índia).
04,0)260/10( −=−=∆∆= LK- TMST
Isoquanta que descreve a produção de trigoIsoquanta que descreve a produção de trigo
Ele precisa de 260 horas de 
trabalho para substituir 10 
horas-máquina
A decisão relativa ao número de 
trabalhadores a srem
contratados e de máquinas a 
serem utilizadas não poderá ser 
completamente resolvida 
enquanto não tivermos 
informações sobre custos.
Elasticidade de substituição
Caso linear
Retornos constantes de escala
Caso Linear
�� �� ��
�
�
=∞
∆% de uma constante é zero
Caso de Proporções Fixas
�
�
�
�
	
��
��
��
b/a
Caso de Proporções Fixas/Cobb Douglas
firma
Cobb Douglas
�� � 
a/b
Função de Produção de Elasticidade 
Substituição Constante (CES)
~
¯
Função de Produção de Elasticidade 
Substituição Constante (CES)
ρ
γ
ρρ



 +== LkLKfq ),(
Função de Produção de Elasticidade 
Substituição Constante (CES)
��
Medição do Progresso Técnico
Nota: historicamente a taxa de crescimento do produto ao 
longo do tempo excede a taxa de crescimento dos insumos
dt
dL
LKf
K
LKf
dt
dK
LKf
K
LKf
A
dt
tdA
q
dt
dq
dt
dL
L
LKf
dt
dK
K
LKf
LKfA
dt
tdA
q
dt
dq
dt
dL
L
LKf
dt
dK
K
LKf
q
LKf
q
q
A
q
dt
tdA
q
dt
dq
dt
dL
L
LKf
dt
dK
K
LKf
LKf
q
A
q
dt
tdA
dt
dq
dt
dL
L
LKf
dt
dK
K
LKf
tA
A
q
dt
tdA
dt
dq
t
LKf
tALKf
dt
tdA
dt
dq
LKftALKftASuponha
),(
),(
),(
),()(
),(),(
),(
1
)(
),(),(),(
)(
:qpor tudoDividindo
),(),(
),(
)(
),(),()()(
),()(),()(
se- tem tempoao
relação em derivada a aplicando e produção de equação a Voltando
),(
q)(),()(q 
∂
∂
+∂
∂
+=






∂
∂
+
∂
∂
+=






∂
∂
+
∂
∂
+=






∂
∂
+
∂
∂
+=






∂
∂
+
∂
∂
+=
∂
∂
+=
=⇔=
)(),( tA
qLKf =
Medição do Progresso Técnico
Nota: historicamente a taxa de crescimento do produto ao 
longo do tempo excede a taxa de crescimento dos insumos
LGLKf
L
L
LKf
KGLKf
K
K
LKf
AGqG
x
dt
dx
L
dt
dL
LKf
L
L
LKf
K
dt
dK
LKf
K
K
LKf
A
dt
tdA
q
dt
dq
dt
dL
LKf
K
LKf
dt
dK
LKf
K
LKf
A
dt
tdA
q
dt
dq
),(
),(
),(
),(
xGpor issodenotar vamos
 tempode unidadepor ocresciment de taxaa é x, variávelcada para que Sabendo
),(
),(
),(
),(
)(
L)por eK por ndomultiplica e dividindo
 ),(
),(
),(
),()(
∂
∂
+
∂
∂
+=
∂
∂
+
∂
∂
+=
∂
∂
+∂
∂
+=
Medição do Progresso Técnico
Fornece a 
importância relativa 
do progresso 
tecnológico
 
residual" ocresciment" co tecnológiocresciment
 de taxaa e insumos dos ocresciment de taxasde soma
 uma em divididoser pode produto do ocresciment de A taxa
oCresciment do Equação
,,
 Então
lho traba 
insumo ao respeito com 
produto do deelasticida
,),(
),(
 que sabendo E
capital 
insumo ao respeito com 
produto do deelasticida
,),(
),(
 que sabendo E
⇔⇐++=
==
∂
∂
==
∂
∂
LqeLGKqeKGAGqG
LqeLKf
L
L
LKf
KqeLKf
K
K
LKf
Rendimentos de escala
Slide 64
� Medição da relação entre a escala (tamanho) de uma empresa e sua 
produção.
1. Rendimentos crescentes de escala: a produção cresce mais 
do que o dobro quando há duplicação dos insumos
� Produção maior associada a custo mais baixo (automóveis)
� Uma empresa é mais eficiente do que muitas empresas (utilidades)
� As isoquantas situam-se cada vez mais próximas
Rendimentos de escala
Slide 65
Trabalho (horas)
Capital
(horas-
máquina)
10
20
30
Rendimentos crescentes:
As isoquantas situam-se cada vez mais próximas
5 10
2
4
0
A
Rendimentos de escala
Slide 66
� Medição da relação entre a escala (tamanho) de uma empresa e 
sua produção.
2. Rendimentos constantes de escala: a produção dobra 
quando há duplicação dos insumos
� O tamanho não afeta a produtividade
� Grande número de produtores
� As isoquantas são espaçadas igualmente
Rendimentos de escala
Slide 67
Trabalho (horas)
Capital
(horas-
máquina)
Rendimentos constantes: 
as isoquantas são
espaçadas igualmente
10
20
30
155 10
2
4
0
A
6
Rendimentos de escala
Slide 68
� Medição da relação entre a escala (tamanho) de uma empresa e 
sua produção.
3. Rendimentos decrescentes de escala: a produção aumenta 
menos que o dobro quando há duplicação dos insumos
� Eficiência decrescente à medida que aumenta o tamanho da 
empresa
� Redução da capacidade administrativa
� As isoquantas situam-se cada vez mais afastadas
Rendimentos de escala
Slide 69
Trabalho (horas)
Capital
(horas-
máquina)
Rendimentos decrescentes:
as isoquantas situam-se
cada vez mais afastadas
5 10
2
4
0
A
20
10
30
Função de produção Homogênea
Slide 70
� Definição: Dado um escalar K, dizemos que uma função real 
f(x1, x2, ......, xn) é homogênea de grau K se 
� Em economia é muito útil o uso de funções homogêneas 
pelas propriedades que apresenta.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
)22132
2
1(
3
2
2
3
132
2
1
32
2
2
132
2
1
222)1(3221
2
2132
2
1 :ex
0 te ,......,2,1 ,......,2,1,......,2,1
xxxxt
xtxxxtxttxtxxttxtxtxtx
xxxx
nxxxnxxxfktntxtxtxf
+=
+=+=+
+
>∀=
Função de produção Homogênea
Slide 71
� Por exemplo para uma função de produção com grau 1, que q=f(x1, 
x2, ......, xn) ou q=f(tx1, tx2, ......,t xn)=t q=f(x1, x2, ......, xn) para 
t>0, então temos que:( ) ( )
( ) ( )
escala de crescentes retornos temosEntão
dobra. que do mais produto o1K Como
 ,......,2,122,......,22,12
2 te 1
dobrasssem insumos os se dobraria que do mais produto o , 1
:2
Escala de Constantes Retornos0 te homogênea) elinearment (função 1K
escala
de constantes retornosproduto o triplicara leva insumoplicar t3
,......,2,122,......,22,12
escala
de constantes retornosproduto oduplicar a leva insumoduplicar 2
:1
1
⇒>
=
=>
>
⇒>=
⇒⇒=
=
⇒⇒=
=
nxxxfKnxxxf
K
K
Exemplo
rit
nxxxfnxxxf
t
Exemplo
k
Função de produção Homogênea
Slide 72
� A homogeneidade garante que a TMST de uma função de produção é
constante ao longo de raios a partir da origem. 
( ) ( )
escala de esdecrescent retornos temosEntão
dobra. que do menos produto o1K Como
 ,......,2,122,......,22,12
2 te 1
dobrasssem insumos os se dobraria que do menos produto o , 1
:3
⇒<
=
=<
<
nxxxfKnxxxf
K
K
Exemplo
x1
x2
w2
w1
Função de produção Homogênea
Slide 73
)0,0(LF
)0,0(kF
-TMST
 )0,0( ponto o para 
)0,0(LF
)0,0(kF
-
)0,0(LF1-kt
)0,0(kF1-kt
-)0,0(tLF
)0,0(tkF
-)1,1(LF
)1,1(kF
-TMST
:a igual é )1,1( de TMSTA 
 )0,0()1,1( que temosgeral caso o Para
).0,0()1,1( e )0,0( 
:Pr
KL
KL
KLE
KL
KL
KL
KL
tKL
tKL
KL
KL
KL
KLktKL
KLtKLKLSejam
ova
=
====
=
=
Função de produção Homogênea
Slide 74
Escala de esdecrescent Re1
Escala de Crescentes Re1
Escala de Constantes Re1
),( :geral Em
),(
111111)()(
),(),(
adeHomogeneid 
10 sconsatante são eA ,1),(
:Douglas-Cobb tipodo produção de função a é utilizado clássico mais 
tornosba
tornosba
tornosba
byaAxyxfq
tqyxtf
ytAxyAxttytxAttytxA
yxfkttytxf
Testar
yAxyxfq
exemploO
⇒<+
⇒>+
⇒=+
==
==
−
=
−−
=
−−
=
−
=
<<−==
αααααααααααα
αααα