Exercício - Soma de Riemann

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1. Dada a função quadráticaf(x) = -x2 + 10x -21 
e seja P={x0 , x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 } uma partição do intervalo [3, 7] , onde:
x0 = 3
x1 = 3.5
x2 = 4
x3 = 5
x4 = 5.2
x5 = 6
x6 = 6.6
x7 = 7
∆x1=0.5 f(c1) = 1.11 f(c1) • ∆x1 =1.11• 0.5=0.555
∆x2=0.5 f(c2) = 3.00 f(c2) • ∆x2 =3.00• 0.5 = 1.5
∆x3=1.0 f(c3) = 3.19 f(c3) • ∆x3 =3.19• 1.0 = 3.19
∆x4=0.2 f(c1) = 3.99 f(c4) • ∆x4 =3.99• 0.2 =0.798
∆x5=0.8 f(c4) = 3.36 f(c5) • ∆x5 =3.36• 0.8 = 2.688
∆x6=0.6 f(c5) = 2.04 f(c6) • ∆x6 =2.04• 0.6 = 1.224
∆x7=0.4 f(c6) = 0.76 f(c7) • ∆x7 = 0.76• 0.4 = 0.304
Logo, usando a fórmula da soma de Riemann, vem:
Resp: A soma de Riemann da função f no intervalo [3, 7] referente à partição P é 10.259
b) Determine o supremo da funçãof em cada caso:
- no intervalo [x0, x1] - no intervalo [x1, x2]
�
- no intervalo [x2, x3] - no intervalo [x3, x4] - no intervalo [x4, x5]
�
- no intervalo [x5, x6] - no intervalo [x6, x7]
�
c)Determine a soma superior da função f no intervalo [3, 7] , ou seja, determine:
Resolução: 
Resp:A soma superior vale 12.719
Observação:Mi significa o supremo da função f no intervalo fechado [xi-1 , xi]
Dessa forma, M1= 1.75 visto que a função f no intervalo [3, 3.5] possui como menor cota superior o valor f(3.5)=1.75
Ressalte-se ainda que a menor cota superior de uma função num intervalo é chamada de supremo da função nesse intervalo.
�
d) Determine o ínfimo da funçãof em cada caso:
- no intervalo [x0, x1] - no intervalo [x1, x2]
�
- no intervalo [x2, x3] - no intervalo [x3, x4] - no intervalo [x4, x5]
�
- no intervalo [x5, x6] - no intervalo [x6, x7]
�
e)Determine a soma inferior da função f no intervalo [3, 7] , ou seja, determine:
Resolução: 
Resp:A soma inferior vale 7.931
Observação:mi significa o ínfimo da função f no intervalo fechado [xi-1 , xi]
O ínfimo de uma função é a maior das cotas inferiores dessa função no intervalo em questão.
�
f) Determine F(x), a integral indefinida de f(x) = -x2 + 10x -21 
Resolução:
Integramos termo a termo usando a fórmula 3:
Resp: 
�
g) Calcule F(7) h) Calcule F(3) 
Resp: F(7) = -16,333333..... + c Resp: F(3) = -27 + c
�
i) Calcule F(7) – F(3) Obs: O resultado de F(7) – F(3) é chamado 
de integral definida de f(x):
 F(3) – F(7) =
 -16,333333..... + c - (-27 + c) = 
 -16,333333..... + c + 27 – c =
 10,666666.....
 
Resp: F(3) – F(7) = 10,666666.....
Observação: Para um intervalo fixado do domínio e escolhida uma partição desse intevalo:
- A soma superior referente à partição P é sempre maior ou igual a integral definida.
- A soma inferior referente à partição P é sempre menor ou igual à integral definida
�
j) Determine a soma superior 
e a soma inferior
de f(x) = -x2 + 10x -21no intervalo [3, 7] , P(1) = P ( {3.2, 4.5, 6.2}. 
Obs: Em Matemática dizemos que P(1)é um refinamento da partição P. 
Resolução:
Formamos a Calculamos o supremo Calculamos o ínfimo
partição P(1): em cada intervalo: em cada intervalo:
x0 = 3
x1 = 3.2
x2 = 3.5
x3 = 4
x4 = 4.5
x5 = 5
x6 = 5.2
x7 = 6
x8 = 6.2
x9 = 6.6
x10 = 7
Calculamos a soma superior referente à partição P(1) e ao intervalo [3, 7]:
Calculamos a soma inferior referente à partição P(1) e ao intervalo [3, 7]:
Resp: A soma superior é 12.22 e a soma inferior é 8.758
k) Observe que quando refinamos uma partição, a soma superior não aumenta e a soma inferior não diminui. Use os resultados obtidos até o momento para exemplificar tal afirmação: 
Deve-se notar que a partição P(1) é mais fina do que a partição P. Observe que a soma superior em relação à partição P é 12,719 , enquanto que, a soma superior em relação à P(1) é 12,220. Observe também que a soma inferior em relação à partição P é 7,931 , enquanto que, a soma inferior em relação à P(1) é 8,758.
�
l) Seja Q= {3, 5, 7}, outra partição de [3, 7]. Determine:
a) 
x0 = 3
x1 = 5 
x2 = 7
Resp: Logo, a soma superior é de 16.
b) 
Resp: Logo, a soma inferior é 0.
a) Determine a SOMA DE RIEMANN da função f no intervalo
 [3, 7] referente à partição P, usando:
c1= 3.3 c2= 4 c3= 4.1 
c4= 5.1 c5= 5.8 c6= 6.4 
c7= 6.8
M7=f(6.6) = 1.44
M6=f(6) = 3
M5=f(5.2) = 3.96
M4=f(5) = 4
M3=f(5) = 4
M2=f(4) = 3
M1=f(3.5) = 1.75
m5= f(6) = 3
m4= f(5.2) = 3.96
m3= f(4) = 3
m2= f(3.5) = 1.75
m1 = f(3) = 0
m7= f(7) = 0
m6= f(6.6) = 1.44
Formamos os (xi
(x1 = 0,2
(x2 = 0,3
(x3 = 0,5
(x4 = 0,5
(x5 = 0,5
(x6 = 0,2
(x7 = 0,8
(x8 = 0,2
(x9 = 0,4
(x10 = 0,4
m1 = 0
m2 = 0.76
m3 = 1.75
m4 = 3
m5 = 3.75
m6 = 3.96
m7 = 3
m8 = 2.56
m9 = 1.44
m10 = 0
M1 = 0.76
M2 = 1.75
M3 = 3
M4 = 3.75
M5 = 4
M6 = 4
M7 = 3.96
M8 = 3
M9 = 2.56
M10 = 1.44
m1 = 0
m2 = 0
(x1 = 2
(x2 = 2
M1 = 4
M2 = 4
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