ANALISE COMBINATÓRIA

Prévia do material em texto

III- ANÁLISE COMBINATÓRIA
nanci.oliveira@fatec.sp.gov.br
ANÁLISE COMBINATÓRIA SIMPLES
Estuda 
agrupamentos.Os elementos 
podem 
aparecer 
com ou sem 
repetição.
Estudaremos apenas os 
agrupamentos em que 
não aparecem 
elementos repetidos.
Os agrupamentos podem 
ser formados, levando-se 
em consideração a 
quantidade e a ordem 
dos elementos de um 
conjunto. 
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
2
INTRODUÇÃO - Problema
Em uma empresa com 4 estagiários (Alex, Beatriz, 
Carlos, Donizete) será formada, ao acaso, uma 
comissão de 2 pessoas para realizar um trabalho.
a) De quantas maneiras a comissão poderá ser 
formada?
b) De quantas maneiras a comissão poderá ser 
formada se o primeiro estagiário a ser escolhido 
for o coordenador?
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
3
Solução- Problema
a) 
{A, B, C, D}
Possíveis comissões:
A, B = B, A B, C = C, B C, D = D, C
A, C = C, A B, D = D, B
A, D = D, A
Portanto, há 6 maneiras de se escolher a comissão.
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
4
b) {A, B, C, D}
Possíveis comissões:
A, B  B, A B, C  C, B C, D  D, C
A, C  C, A B, D  D, B
A, D  D, A
Portanto, há 12 maneiras de se escolher a comissão.
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
5
Solução- Problema
ANÁLISE COMBINATÓRIA SIMPLES
Combinação simples
Arranjo simples
Permutação
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
6
COMBINAÇÃO
• Quando interessa a natureza dos elementos, 
sem levar em conta a ordem.
• Em símbolo: Cn,p
lê-se “combinações simples de n elementos tomados p a p”
• O número total de combinações é calculado pela FÓRMULA:
𝐶𝑛,𝑝 =
𝑛!
𝑝! 𝑛−𝑝 !
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
7
ARRANJO
• Quando interessa a ordem dos elementos.
• Em símbolo: An,p
lê-se “arranjos simples de n elementos tomados p a p”
• O número total de arranjos é calculado pela FÓRMULA:
𝐴𝑛,𝑝 =
𝑛!
𝑛−𝑝 !
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
8
PERMUTAÇÃO
• É um caso particular de arranjos, onde o número de 
elementos dos agrupamentos é igual ao número total 
de elementos dado no problema (p = n).
• Em símbolo: An,p
lê-se “arranjos simples de n elementos tomados p a p”
• O número total de arranjos
é calculado pela FÓRMULA: Dedução da fórmula
Pn = n!
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
9
RECONHECIMENTO DO TIPO DE 
AGRUPAMENTO EM UM PROBLEMA
1º) Tomamos uma resposta (um agrupamento) 
qualquer que satisfaça o enunciado do problema.
2º) Invertemos a ordem de colocação de quaisquer 
dois elementos desse agrupamento.
a) Se surgir uma nova resposta, temos um caso de 
arranjo.
b) Se no arranjo p = n, temos um caso de permutação.
c) Se a resposta for a mesma, temos um caso de 
combinação.
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
10
PROBLEMA DA INTRODUÇÃO
a) Temos um caso de combinação, pois a ordem dos 
empregados não importa, pois a comissão será a 
mesma.
b) Temos um caso de arranjo, pois a ordem dos 
empregados importa, pois trocando a ordem dos 
empregados, teremos uma nova comissão (o primeiro 
será o chefe e o segundo, o subordinado).
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
11
EXEMPLO 1
De quantos modos cinco pessoas podem 
sentar em cinco cadeiras em fila, sabendo 
que em cada cadeira só pode sentar uma 
pessoa?
Solução:
É um caso de permutação: Pn = n! 
P5 = 5! = 5x4x3x2x1 = 120
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
12
EXEMPLO 2
Um aluno recebe instruções para responder 
cinco de oito questões propostas. De quantas 
maneiras ele poderá escolher as questões a 
que responderá?
Solução
É uma caso de combinação (não importa a ordem): 
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
13
EXEMPLO 3
Quantos números de três algarismos distintos 
(sem repetição) podem ser formados com os 
algarismos significativos?
Solução
Os algarismos são dez: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Os algarismos significativos são nove: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
É uma caso de arranjo (importa a ordem). Exemplo: 123  132
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
14
EXEMPLO 4
Em uma empresa há 12 economistas e 20 
engenheiros. Quantas comissões podem ser 
formadas:
a) de 3 economistas?
b) de 5 engenheiros?
c) de 8 pessoas, sendo 3 economistas e 5 engenheiros?
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
15
SOLUÇÃO – EXEMPLO 4
Quantas comissões podem ser formadas:
a)de 3 economistas?
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
16
É um caso de combinação
(não importa a ordem, as pessoas são as mesmas):
Quantas comissões podem ser formadas:
b) de 5 engenheiros?
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
17
SOLUÇÃO – EXEMPLO 4
É um caso de combinação (não importa a ordem):
Quantas comissões podem ser formadas:
c) de 8 pessoas, sendo 3 economistas e 5 engenheiros?
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
18
SOLUÇÃO – EXEMPLO 4
É um caso de combinações (não importa a ordem):
EXEMPLO 5
Quantos anagramas (letras diferentes implicam 
em fonemas diferentes) podemos formar com as 
letras da palavra MAIOR?
Solução
n = 5 letras diferentes
É um caso de permutação:
P5 = 5! = 5x4x3x2x1 = 120
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
19
EXEMPLO 6
Quantos anagramas da palavra MAIOR:
a) Começam por M?
b) Possuem o grupo MA, nessa ordem?
c) Possuem o grupo MA, em qualquer ordem (MA ou AM)?
Solução:
a) M _ _ _ _ (A letra M fica fixa no começo, e permutamos as 4 seguintes)
P4 = 4! = 4x3x2x1 = 24
b) MA _ _ _ (MA conta como se fosse uma letra, permutando com as outras 3. 
Logo, temos permutação de 4 elementos ou letras)
P4 = 4! = 4x3x2x1 = 24
c) MA _ _ _ ou AM _ _ _ (ou é considerado como união (), portanto é soma da permutação de 4 elementos 
com permutação de 4 elementos. Ver item b anterior).
P4 + P4 = 4! + 4! = (4x3x2x1) + (4x3x2x1) = 24 + 24 = 48
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
20
EXEMPLO 7
Quantos são os anagramas
da palavra BONECA?
Solução:
ANAGRAMAS são palavras (com significado ou não) extraídas de 
uma palavra qualquer, que também já é um anagrama.
a) BONECA  inverte-se a ordem: OBNECA
b) n = p = 6  permutação simples
c) P6 = 6! = 6x5x4x3x2x1 = 720
Portanto, permutando entre si as letras da palavra BONECA 
podemos formar ao todo 720 anagramas.
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
21
EXEMPLO 8
Quantos são os anagramas da palavra FREVO 
iniciados por V?
Solução:
V F R E O  inverte-sea ordem: V R F E O (V é fixo, não permuta)
Temos um caso permutação simples, onde: n = p = 4 
P4 = 4! = 4x3x2x1 = 24
Portanto, podemos formar ao todo 24 anagramas.
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
22
EXEMPLO 9
Quantos são os anagramas da palavra MODERNA 
em que as letras R e N aparecem juntas?
Solução:
M O D E RN A ou M O D E NR A  inverte-se a ordem: RN M O D E A ou NR M O D E A
(a ordem de RN pode ser trocada também, mas sempre estando juntas na permutação, com se formassem uma única letra)
Temos um caso de uma soma de permutações simples, com:
n = p = 6
P6 + P6 = 6! 6! = (6x5x4x3x2x1) x (6x5x4x3x2x1) = 720 + 720 = 1440
Portanto, podemos formar ao todo 1440 anagramas.
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
23
EXEMPLO 10
Quantos são os anagramas da palavra
MODERNA em que as letras
R e N aparecem juntas, nesta ordem?
Solução:
M O D E RN A inverte-se a ordem: RN M O D E A
Temos um caso de permutação simples, onde: n = p = 6 
P6 = 6! = 6x5x4x3x2x1 = 720
Portanto, podemos formar ao todo 720 anagramas.
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
24
EXEMPLO 11
Quantas comissões de quatro 
indivíduos podem ser formadas 
com um conjunto de nove 
pessoas?
Solução:
É um caso de combinação
(a ordem não importa).
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
25
EXEMPLO 12
Quantos são os números formados por 3 
algarismos ímpares, sem repetição?
Solução: 
Existem 5 algarismos ímpares: 1, 3, 5, 7, 9
É uma caso de arranjo (importa a ordem),
pois 135  153
Portanto, podemos formar ao todo 60 números.
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
26
EXEMPLO 13
De quantas maneiras diferentes podemos 
arrumar numa estante 3 livros de História e 4 
de Matemática de modo que livros da mesma 
matéria permaneçam juntos?
Solução:
H H H e M M M M ou M M M M e H H H
(Permutação de História e permutação de Matemática)
ou
(permutação de Matemática e permutação de História)
(P3 P4 ) + (P4 P3 )= (3!4!) + (4!3!) = 
= (6 x 24) + (24 x 6) = 144 + 144 = 288
Portanto, podemos arrumar os livros de 288 maneiras diferentes.
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
27
EXEMPLO 14
De quantas maneiras 5 pessoas podem se 
arrumar num automóvel com dois lugares na 
frente e três atrás, sendo que apenas uma é 
motorista?
Solução:
Fixamos o motorista e permutamos
as outras 4 pessoas:
P4 = 4! = 24
Portanto, 5 pessoas podem se arrumar num automóvel de 24
maneiras diferentes.
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
28
EXEMPLO 15
De quantas maneiras 5 pessoas podem viajar 
num automóvel com 2 lugares na frente e 3 atrás, 
se apenas 2 são motoristas?
Solução:
Fixamos o 1º motorista e fazemos permutação de 4 (4 pessoas 
para 4 lugares restantes) ou fixamos o 2º motorista e fazemos 
permutação das outras 4 pessoas (para 4 lugares restantes).
Portanto, as 5 pessoas podem viajar de 48 maneiras.
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
29
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
GOULART, Márcio Cintra; Art-Ciência 
Matemática, Vol. 2, CG Editora, São 
Paulo, 1995, p. 161.
FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: 
Logística / Gestão da Produção Industrial
30