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INTERVALOS DE CONFIANÇA

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F A T E C - N A N C I 1
INTRODUÇÃO
• Estimação é o processo que consiste em 
utilizar dados amostrais para estimar 
parâmetros populacionais desconhecidos, 
como a média e o desvio padrão de uma 
população e a proporção populacional.
F A T E C - N A N C I 2
EXEMPLOS DE APLICAÇÕES (ESTIMAÇÃO)
• Estimativa da proporção de eleitores de determinado candidato.
• Estimativa da porcentagem de defeitos num lote de peças em uma 
empresa.
• Estimativa de resistência média, peso médio, duração média, etc., 
de um produto para testar seu desempenho.
• Estimativa (previsão) de procura de diversos artigos em um grande 
magazine.
• A avaliação de novas fontes de energia.
• Predições sobre a realização de empreendimentos.
F A T E C - N A N C I 3
ESTIMATIVAS PONTUAIS E INTERVALARES
• Estimativa pontual: Estimativa única de um parâmetro 
populacional.
• Estimativa intervalar: Dá um intervalo de valores 
possíveis, no qual se admite esteja o parâmetro 
populacional.
F A T E C - N A N C I 4
INTERVALO DE CONFIANÇA
• O intervalo de confiança dá um intervalo (ou 
âmbito) de valores centrado na estatística 
amostral (média ou proporção) no qual 
julgamos estar o parâmetro da população, 
com erro conhecido.
F A T E C - N A N C I 5
FORMA DO INTERVALO DE CONFIANÇA
• Qualquer intervalo de confiança compreende duas partes:
• um intervalo calculado a partir dos dados
• um nível de confiança
• O intervalo de confiança, em geral, tem a seguinte forma:
ESTIMATIVA  margem de erro
F A T E C - N A N C I 6
MARGEM DE ERRO
• O erro num intervalo de estimação diz respeito ao 
desvio (diferença) entre a média amostral e a 
verdadeira média da população.
F A T E C - N A N C I 7
GRAU OU NÍVEL DE CONFIANÇA
• Indica a probabilidade de o método dar uma resposta 
correta.
• É utilizado, nas fórmulas, em forma decimal. Exemplo: 
um nível de 95% de confiança corresponde a 0,95.
• Podemos escolher o nível de confiança, em geral 90% 
ou mais, porque desejamos estar bastante certos de 
nossas conclusões.
F A T E C - N A N C I 8
GRAU DE CONFIANÇA PARA AMOSTRA > 30
• Para AMOSTRAS MAIORES QUE 30, utilizamos a 
aproximação normal, pois o intervalo de confiança 
baseia-se no fato de que a distribuição amostral da 
média amostral é, pelo menos aproximadamente, 
normal.
• O grau de confiança desejado aparece nas fórmulas 
substituindo pelo valor correspondente de Z da tabela
de DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA.
F A T E C - N A N C I 9
GRAU DE CONFIANÇA E GRAU DE LIBERDADE
PARA AMOSTRA ≤ 30
• Para AMOSTRAS MENORES OU IGUAIS A 30, a aproximação normal 
não é adequada, então, utilizamos a DISTRIBUIÇÃO T DE STUDENT
(W. S. Gossett).
• Para usar uma tabela t, devemos conhecer:
• o nível de confiança desejado
• o número de graus de liberdade
• O GRAU DE LIBERDADE é dado por n-1, onde n = tamanho da 
amostra.
F A T E C - N A N C I 10
1- ESTIMAÇÃO DA MÉDIA DE UMA POPULAÇÃO
• O método usado para estimar a média de 
uma população depende do fato do desvio 
padrão da população ser ou não conhecido.
Daí a “separação” apresentada no 
“formulário”.
F A T E C - N A N C I 11
EXEMPLOS
(VER FORMULÁRIO – INTERVALOS DE CONFIANÇA)
1) Que tamanho de amostra será necessário para produzir um
intervalo de 90% de confiança para a verdadeira média
populacional, com erro de 1 em qualquer dos sentidos, se o desvio
padrão da população é 10?
Solução:
Desvio padrão da população é conhecido.
Logo, temos que usar a DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA.
90% de confiança → z = 1,65 (tabela - slide 14)
Tamanho da amostra:
(Fórmula - slide 13)
F A T E C - N A N C I 12
273=n 







 27325,272
0,1
10.65,1
n
e
z
n
2
2
2
x
2
ESTIMATIVA de MÉDIAS População Infinita População Finita
Média intervalar
σ desvio padrão da população
Média intervalar
s desvio padrão da amostra
Tamanho da amostra
σ desvio padrão da população
Tamanho da amostra
s desvio padrão da amostra
Erro
σ desvio padrão da população 𝒆 = 𝐳∙𝛔
𝐧
𝒆 = 𝐳∙𝛔
𝐧
Erro
s desvio padrão da amostra 𝒆 = 𝐭∙𝐬
𝐧
𝒆 = 𝐭∙𝐬
𝐧
F A T E C - N A N C I 13
n
σ
zX 
n
s
tX  1N
nN
n
σzX



1N
nN
n
stX



2
e
σz
n 




 

2
e
st
n 




 
  1Neσz
Nσzn 222
22



 1Nest
Nstn 222
22



TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL
90% de confiança
→ 45% distribuídos em torno da média
→ P(Z) = 0,4500
→ valores mais próximos de 0,4500 na tabela:
0,4495 (para menos)
0,4505 (para mais)
→ z = 1,65 (usamos o valor aproximado para mais)
F A T E C - N A N C I 14
2) Determine um intervalo de 95% de confiança para os 
dados abaixo:
a) Média X = 15, desvio padrão da população x = 2, tamanho da amostra 
n =100 e tamanho da população N = 1000.
Solução:
(Fórmula – slide 13)
(tabela z - slide 14)
F A T E C - N A N C I 15
 15,37a 14,63 ou 0,37215 





 
11000
1001000
100
0,2
96,10,15
1N
nN
n
zx x
b) Média X = 15, desvio padrão da amostra sx = 2, tamanho da amostra 
n = 16 e tamanho da população N = 200.
Solução:
População conhecida, desvio padrão da população desconhecido e n  30
devemos utilizar a DISTRIBUIÇÃO t de Student.
GRAU DE CONFIANÇA: 95 % = 0,95 → 1 - 0,95 = 0,05 (ou 5%)
Área em duas caudas = 0,05 (ou 5%)
Área numa cauda = 0,025 (ou 2,5%)
GRAU DE LIBERDADE: n-1 = 16-1= 15
Com base no grau de confiança e no grau de liberdade, localizamos t na tabela 
t de student: t = 2,131 (slide 17)
F A T E C - N A N C I 16
TABELA t de Student
GRAU DE CONFIANÇA : 95 % = 0,95
1-0,95 = 0,05 (ou 5%)
Área em duas caudas = 0,05 (ou 5%)
Área numa cauda = 0,025 (ou 2,5%)
GRAUS DE LIBERDADE: n-1 = 16-1= 15
Com base no grau de confiança e no grau de 
liberdade, localizamos t na tabela t de student:
t = 2,131.
F A T E C - N A N C I 17
Intervalo de confiança para a média:
F A T E C - N A N C I 18
16,02a 13,98 ou1,025 15 






1200
16200
16
2
131,25
1N
nN
n
tx sx
2- ESTIMAÇÃO DA PROPORÇÃO NUMA POPULAÇÃO
 Que porcentagem de peças numa grande remessa apresenta defeito?
 Que proporção de bolas vermelhas há numa urna?
 Que proporção de eleitores aprova determinado projeto ou candidato?
 Qual é a probabilidade de um aluno do ensino fundamental não ser vacinado? 
• Essas perguntas e outras análogas podem ser respondidas 
utilizando-se dados amostrais para estimar o parâmetro 
populacional. As estimativas serão pontuais e intervalares.
• A estimativa de proporções populacionais é muito semelhante à 
de médias populacionais.
F A T E C - N A N C I 19
• Para construir intervalos de confiança, 
determinar o tamanho da amostra e calcular 
erros de estimativas de proporções, vamos 
trabalhar com um processo que utiliza 
amostras grandes, ou seja, com n > 40. (Para 
pequenas amostras é adequado o processo 
gráfico).
F A T E C - N A N C I 20
• Sob condições de COMPLETA INCERTEZA, 
pode-se admitir inicialmente a proporção (ou 
50%), o que revelará maior quantidade de 
erro possível.
F A T E C - N A N C I 21
EXEMPLOS
(VER FORMULÁRIO – INTERVALOS DE CONFIANÇA)
1) Determine um intervalo de 98% de confiança para a 
verdadeira proporção populacional, para 
Solução:
• Intervalo de confiança para a proporção populacional:
(fórmula - slide 23)
• Grau de confiança de 98%  z =2,33 (tabela – slide 24)
F A T E C - N A N C I 22
200
50
p 
F A T E C - N A N C I 23ESTIMATIVA de 
PROPORÇÕES
População Infinita População Finita
Proporção 
Pontual
Proporção 
Intervalar
Tamanho da 
amostra
Erro
n
x
p 
n
x
p 
n
n
x
1
n
x
z
n
x













1N
nN
n
n
x1
n
x
z
n
x
















2
2
e
n
x
1
n
x
zn












 


























n
x1
n
xze1)(N
N
n
x1
n
xz
n
22
2
n
n
x
1
n
x
ze













1N
nN
n
n
x1
n
x
ze
















TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL
98% de confiança
→ 49% distribuídos em torno da média
→ P(Z) = 0,4900
→ valores mais próximos de 0,4900 na 
tabela:
0,4898
0,4901 (é o mais próximo de 0,4900)
→ z = 2,33
F A T E C - N A N C I 24
Fórmula – Slide 23
Grau de confiança de 98% 
 z =2,33 (da tabela)
Intervalo de confiança para a 
proporção populacional:
F A T E C - N A N C I 25
a 32% 18% 0,32a 0,18 0,07 0,25 ou ou
200
)75,0).(25,0(
33,225,0
200
200
50
1
200
50
33,2
200
50
n
n
x
1
n
x
z
n
x




























2) QUAL O TAMANHO DA AMOSTRA NECESSÁRIO PARA OBTER UM 
INTERVALO DE 95% DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO 
POPULACIONAL, SE O ERRO TOLERÁVEL É 0,08?
S O L U Ç Ã O :
Como não temos informação a 
respeito da proporção populacional, 
os cálculos devem se basear no 
intervalo mais amplo possível, o 
que ocorre quando o valor amostral 
é igual a 0,50. Então:
Grau de confiança de 95% 
z=1,96 (da tabela – slide 14 e 24)
T A M A N H O D A A M O S T R A :
F A T E C - N A N C I 26
151n 
150,06















2
2
2
2
)08,0(
)50,0)(50,0(
)96,1(n
e
n
x
1
n
x
zn
FLUXOGRAMA
QUANDO USAR A DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU UMA DISTRIBUIÇÃO 
T DE STUDENT PARA CONSTRUIR UM INTERVALO DE CONFIANÇA
SIM
NÃO
NÃO
SIM
n ≥ 30?
Use a distribuição normal.
Se σ for desconhecido, use 
s em seu lugar.
σ é conhecido?
A população tem distribuição 
normal ou normal aproximada?
Você não pode usar a 
distribuição normal nem a 
distribuição t.
SIM
Use a distribuição normal.
NÃO
Use a distribuição t 
e n-1 graus de liberdade.
REFERÊNCIA
MOORE, David. A estatística básica e 
sua prática. Rio de Janeiro: LTC S.A., 
2000.
F A T E C - N A N C I 28

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