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F A T E C - N A N C I 1 INTRODUÇÃO • Estimação é o processo que consiste em utilizar dados amostrais para estimar parâmetros populacionais desconhecidos, como a média e o desvio padrão de uma população e a proporção populacional. F A T E C - N A N C I 2 EXEMPLOS DE APLICAÇÕES (ESTIMAÇÃO) • Estimativa da proporção de eleitores de determinado candidato. • Estimativa da porcentagem de defeitos num lote de peças em uma empresa. • Estimativa de resistência média, peso médio, duração média, etc., de um produto para testar seu desempenho. • Estimativa (previsão) de procura de diversos artigos em um grande magazine. • A avaliação de novas fontes de energia. • Predições sobre a realização de empreendimentos. F A T E C - N A N C I 3 ESTIMATIVAS PONTUAIS E INTERVALARES • Estimativa pontual: Estimativa única de um parâmetro populacional. • Estimativa intervalar: Dá um intervalo de valores possíveis, no qual se admite esteja o parâmetro populacional. F A T E C - N A N C I 4 INTERVALO DE CONFIANÇA • O intervalo de confiança dá um intervalo (ou âmbito) de valores centrado na estatística amostral (média ou proporção) no qual julgamos estar o parâmetro da população, com erro conhecido. F A T E C - N A N C I 5 FORMA DO INTERVALO DE CONFIANÇA • Qualquer intervalo de confiança compreende duas partes: • um intervalo calculado a partir dos dados • um nível de confiança • O intervalo de confiança, em geral, tem a seguinte forma: ESTIMATIVA margem de erro F A T E C - N A N C I 6 MARGEM DE ERRO • O erro num intervalo de estimação diz respeito ao desvio (diferença) entre a média amostral e a verdadeira média da população. F A T E C - N A N C I 7 GRAU OU NÍVEL DE CONFIANÇA • Indica a probabilidade de o método dar uma resposta correta. • É utilizado, nas fórmulas, em forma decimal. Exemplo: um nível de 95% de confiança corresponde a 0,95. • Podemos escolher o nível de confiança, em geral 90% ou mais, porque desejamos estar bastante certos de nossas conclusões. F A T E C - N A N C I 8 GRAU DE CONFIANÇA PARA AMOSTRA > 30 • Para AMOSTRAS MAIORES QUE 30, utilizamos a aproximação normal, pois o intervalo de confiança baseia-se no fato de que a distribuição amostral da média amostral é, pelo menos aproximadamente, normal. • O grau de confiança desejado aparece nas fórmulas substituindo pelo valor correspondente de Z da tabela de DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA. F A T E C - N A N C I 9 GRAU DE CONFIANÇA E GRAU DE LIBERDADE PARA AMOSTRA ≤ 30 • Para AMOSTRAS MENORES OU IGUAIS A 30, a aproximação normal não é adequada, então, utilizamos a DISTRIBUIÇÃO T DE STUDENT (W. S. Gossett). • Para usar uma tabela t, devemos conhecer: • o nível de confiança desejado • o número de graus de liberdade • O GRAU DE LIBERDADE é dado por n-1, onde n = tamanho da amostra. F A T E C - N A N C I 10 1- ESTIMAÇÃO DA MÉDIA DE UMA POPULAÇÃO • O método usado para estimar a média de uma população depende do fato do desvio padrão da população ser ou não conhecido. Daí a “separação” apresentada no “formulário”. F A T E C - N A N C I 11 EXEMPLOS (VER FORMULÁRIO – INTERVALOS DE CONFIANÇA) 1) Que tamanho de amostra será necessário para produzir um intervalo de 90% de confiança para a verdadeira média populacional, com erro de 1 em qualquer dos sentidos, se o desvio padrão da população é 10? Solução: Desvio padrão da população é conhecido. Logo, temos que usar a DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA. 90% de confiança → z = 1,65 (tabela - slide 14) Tamanho da amostra: (Fórmula - slide 13) F A T E C - N A N C I 12 273=n 27325,272 0,1 10.65,1 n e z n 2 2 2 x 2 ESTIMATIVA de MÉDIAS População Infinita População Finita Média intervalar σ desvio padrão da população Média intervalar s desvio padrão da amostra Tamanho da amostra σ desvio padrão da população Tamanho da amostra s desvio padrão da amostra Erro σ desvio padrão da população 𝒆 = 𝐳∙𝛔 𝐧 𝒆 = 𝐳∙𝛔 𝐧 Erro s desvio padrão da amostra 𝒆 = 𝐭∙𝐬 𝐧 𝒆 = 𝐭∙𝐬 𝐧 F A T E C - N A N C I 13 n σ zX n s tX 1N nN n σzX 1N nN n stX 2 e σz n 2 e st n 1Neσz Nσzn 222 22 1Nest Nstn 222 22 TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL 90% de confiança → 45% distribuídos em torno da média → P(Z) = 0,4500 → valores mais próximos de 0,4500 na tabela: 0,4495 (para menos) 0,4505 (para mais) → z = 1,65 (usamos o valor aproximado para mais) F A T E C - N A N C I 14 2) Determine um intervalo de 95% de confiança para os dados abaixo: a) Média X = 15, desvio padrão da população x = 2, tamanho da amostra n =100 e tamanho da população N = 1000. Solução: (Fórmula – slide 13) (tabela z - slide 14) F A T E C - N A N C I 15 15,37a 14,63 ou 0,37215 11000 1001000 100 0,2 96,10,15 1N nN n zx x b) Média X = 15, desvio padrão da amostra sx = 2, tamanho da amostra n = 16 e tamanho da população N = 200. Solução: População conhecida, desvio padrão da população desconhecido e n 30 devemos utilizar a DISTRIBUIÇÃO t de Student. GRAU DE CONFIANÇA: 95 % = 0,95 → 1 - 0,95 = 0,05 (ou 5%) Área em duas caudas = 0,05 (ou 5%) Área numa cauda = 0,025 (ou 2,5%) GRAU DE LIBERDADE: n-1 = 16-1= 15 Com base no grau de confiança e no grau de liberdade, localizamos t na tabela t de student: t = 2,131 (slide 17) F A T E C - N A N C I 16 TABELA t de Student GRAU DE CONFIANÇA : 95 % = 0,95 1-0,95 = 0,05 (ou 5%) Área em duas caudas = 0,05 (ou 5%) Área numa cauda = 0,025 (ou 2,5%) GRAUS DE LIBERDADE: n-1 = 16-1= 15 Com base no grau de confiança e no grau de liberdade, localizamos t na tabela t de student: t = 2,131. F A T E C - N A N C I 17 Intervalo de confiança para a média: F A T E C - N A N C I 18 16,02a 13,98 ou1,025 15 1200 16200 16 2 131,25 1N nN n tx sx 2- ESTIMAÇÃO DA PROPORÇÃO NUMA POPULAÇÃO Que porcentagem de peças numa grande remessa apresenta defeito? Que proporção de bolas vermelhas há numa urna? Que proporção de eleitores aprova determinado projeto ou candidato? Qual é a probabilidade de um aluno do ensino fundamental não ser vacinado? • Essas perguntas e outras análogas podem ser respondidas utilizando-se dados amostrais para estimar o parâmetro populacional. As estimativas serão pontuais e intervalares. • A estimativa de proporções populacionais é muito semelhante à de médias populacionais. F A T E C - N A N C I 19 • Para construir intervalos de confiança, determinar o tamanho da amostra e calcular erros de estimativas de proporções, vamos trabalhar com um processo que utiliza amostras grandes, ou seja, com n > 40. (Para pequenas amostras é adequado o processo gráfico). F A T E C - N A N C I 20 • Sob condições de COMPLETA INCERTEZA, pode-se admitir inicialmente a proporção (ou 50%), o que revelará maior quantidade de erro possível. F A T E C - N A N C I 21 EXEMPLOS (VER FORMULÁRIO – INTERVALOS DE CONFIANÇA) 1) Determine um intervalo de 98% de confiança para a verdadeira proporção populacional, para Solução: • Intervalo de confiança para a proporção populacional: (fórmula - slide 23) • Grau de confiança de 98% z =2,33 (tabela – slide 24) F A T E C - N A N C I 22 200 50 p F A T E C - N A N C I 23ESTIMATIVA de PROPORÇÕES População Infinita População Finita Proporção Pontual Proporção Intervalar Tamanho da amostra Erro n x p n x p n n x 1 n x z n x 1N nN n n x1 n x z n x 2 2 e n x 1 n x zn n x1 n xze1)(N N n x1 n xz n 22 2 n n x 1 n x ze 1N nN n n x1 n x ze TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL 98% de confiança → 49% distribuídos em torno da média → P(Z) = 0,4900 → valores mais próximos de 0,4900 na tabela: 0,4898 0,4901 (é o mais próximo de 0,4900) → z = 2,33 F A T E C - N A N C I 24 Fórmula – Slide 23 Grau de confiança de 98% z =2,33 (da tabela) Intervalo de confiança para a proporção populacional: F A T E C - N A N C I 25 a 32% 18% 0,32a 0,18 0,07 0,25 ou ou 200 )75,0).(25,0( 33,225,0 200 200 50 1 200 50 33,2 200 50 n n x 1 n x z n x 2) QUAL O TAMANHO DA AMOSTRA NECESSÁRIO PARA OBTER UM INTERVALO DE 95% DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL, SE O ERRO TOLERÁVEL É 0,08? S O L U Ç Ã O : Como não temos informação a respeito da proporção populacional, os cálculos devem se basear no intervalo mais amplo possível, o que ocorre quando o valor amostral é igual a 0,50. Então: Grau de confiança de 95% z=1,96 (da tabela – slide 14 e 24) T A M A N H O D A A M O S T R A : F A T E C - N A N C I 26 151n 150,06 2 2 2 2 )08,0( )50,0)(50,0( )96,1(n e n x 1 n x zn FLUXOGRAMA QUANDO USAR A DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU UMA DISTRIBUIÇÃO T DE STUDENT PARA CONSTRUIR UM INTERVALO DE CONFIANÇA SIM NÃO NÃO SIM n ≥ 30? Use a distribuição normal. Se σ for desconhecido, use s em seu lugar. σ é conhecido? A população tem distribuição normal ou normal aproximada? Você não pode usar a distribuição normal nem a distribuição t. SIM Use a distribuição normal. NÃO Use a distribuição t e n-1 graus de liberdade. REFERÊNCIA MOORE, David. A estatística básica e sua prática. Rio de Janeiro: LTC S.A., 2000. F A T E C - N A N C I 28
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