TESTES DE HIPOTESE

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VI- TESTES DE HIPÓTESE
Professora Nanci de Oliveira
nanci.oliveira@fatec.sp.gov.br
1
TESTES DE HIPÓTESE
2
Fazem parte da inferência estatística.
São uma das aplicações da estatística mais usadas.
Um teste de hipóteses é um procedimento que usa 
estatística amostral para testar uma alegação (declaração) 
sobre o valor de um parâmetro da população.
SITUAÇÕES QUE ENVOLVEM
TESTES DE HIPÓTESES
1.Testando hipóteses de pesquisa.
2.Testando a validade de uma afirmação.
3.Testando em situações de tomada de decisão.
3
HIPÓTESE ESTATÍSTICA
• Hipótese estatística: é uma alegação 
(declaração) sobre um parâmetro 
populacional.
• Para testar uma hipótese estatística, deve-se 
estabelecer um par de hipóteses:
Uma hipótese representa uma alegação.
A outra hipótese representa o complemento 
da alegação.
• Quando uma dessas hipóteses é falsa, a 
outra deve ser verdadeira. 4
HIPÓTESE NULA e
HIPÓTESE ALTERNATIVA
• Hipótese Nula é a hipótese que contém uma 
afirmativa de igualdade e é denotada por H0.
• Hipótese Alternativa é o complemento de uma 
hipótese nula é a denotada por Ha ou H1 .
• Ambas as hipóteses, a nula ou a alternativa, 
podem representar a ALEGAÇÃO ORIGINAL.
5
TIPOS DE ERROS
• Não importando qual das hipóteses representa a 
alegação, começamos sempre um teste de hipótese 
assumindo que:
a CONDIÇÃO DE IGUALDADE NA HIPÓTESE NULA É VERDADEIRA.
• Ao final do teste, vamos testar a hipótese, ou seja, vamos ACEITAR ou 
REJEITAR A HIPÓTESE NULA.
• Ao testar uma hipótese, há dois tipos de erros que 
podemos cometer:
Erro do tipo I: ocorre se a hipótese nula for rejeitada 
quando ela for realmente verdadeira.
Erro do tipo II: ocorre se a hipótese nula não for rejeitada 
quando ela for realmente falsa. 6
NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA: α
• Em um teste de hipótese, o nível de 
significância é a probabilidade máxima 
permitida de ocorrer um erro do tipo I. 
• Os níveis de significância mais usados são:
• 𝜶 = 𝟎, 𝟏𝟎
• 𝜶 = 0, 05
• 𝜶 = 𝟎, 𝟎𝟏
7
REGIÕES DE REJEIÇÃO E VALORES CRÍTICOS
• Uma região de rejeição ou região crítica da 
distribuição amostral é o intervalo de valores 
para os quais a hipótese nula não é provável. Se 
uma estatística teste incide nessa região, a 
hipótese nula é rejeitada.
• Um valor crítico separa as regiões de rejeição e 
de não rejeição.
• A região de rejeição e de não rejeição são 
definidas pela natureza do teste, ou seja, vão 
depender do fato do teste ser monocaudal ou 
bicaudal. 8
NATUREZA DE UM TESTE DE HIPÓTESE
O teste de hipótese é bicaudal
(devido ao sinal ≠ no H1)
O teste de hipótese é monocaudal esquerdo
(devido ao sinal < no H1)
O teste de hipótese é monocaudal direito.
(devido ao sinal > no H1)
9





k:H
k:H
1
0





k:H
k:H
1
0





k
k
:H
:H
1
0
Áreas de 
rejeição é 
de Ho
O tipo de teste é indicado pela HIPÓTESE ALTERNATIVA H1.
FLUXOGRAMA –TESTES DE HIPÓTESES
DISTRIBUIÇÃO NORMAL / DISTRIBUIÇÃO t de Student
SIM
NÃO
NÃO
SIM
n ≥ 30?
Use a distribuição normal.
Se σ for desconhecido, use s 
em seu lugar.
σ é conhecido?
A população tem distribuição 
normal ou normal aproximada?
Você não pode usar a 
distribuição normal nem a 
distribuição t.
SIM
Use a distribuição normal.
NÃO
Use a distribuição t 
e n-1 graus de liberdade.
10
• Quando o tamanho da amostra é de pelo menos 30, a distribuição 
amostral para 𝑿 (a média amostral) é normal.
• Para usar o teste z, é necessário obter o valor padronizado:
𝒛 = 𝒎é𝒅𝒊𝒂 𝒂𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍−𝒎é𝒅𝒊𝒂 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕é𝒕𝒊𝒄𝒂𝒆𝒓𝒓𝒐 𝒑𝒂𝒅𝒓ã𝒐
• A estatística teste padronizada é: 𝒛 =
 𝑿−𝝁
𝝈
𝒏
onde 𝝈
𝒏
= 𝒆𝒓𝒓𝒐 𝒑𝒂𝒅𝒓ã𝒐 = 𝝈 𝒙
• Quando n ≥ 30, pode-se usar o desvio padrão amostral s no lugar 
de σ (desvio padrão da população).
• Usa-se a Tabela de Distribuição Normal para encontrar os pontos 
críticos.
11
1- TESTE z PARA MÉDIA
(amostras grandes: n ≥ 30 ou σ conhecido)
2- TESTE t PARA A MÉDIA
(amostras pequenas: n < 30, σdesconhecido)
• O teste t pode ser usado quando:
• a população é normal ou aproximadamente normal
• σ (desvio padrão da população) é desconhecido 
• tamanho da amostra n < 30
• A estatística teste padronizada é t:
t=
 𝑿−𝝁
𝒔
𝒏
• O número de graus de liberdade é g.l. = n – 1
• Usa-se a Tabela de Distribuição t de Student para encontrar 
os pontos críticos, utilizando g.l. e α.
12
Exemplo 1 
Em um anúncio, uma pizzaria alega que o tempo médio de 
entrega é inferior a 30 minutos. Uma seleção aleatória de 36 
tempos de entregas tem uma média amostral de 28,5 minutos e 
um desvio padrão de 3,5 minutos. Há evidências suficientes para 
confirmar a alegação com α = 0,01?
Solução:
A alegação é “o tempo médio de entrega é inferior a 30 
minutos”. Assim, as hipóteses nula e alternativa são:
H0:   30 minutos
H1:  < 30 minutos (alegação)
13
Solução - Exemplo 1 
H0:   30 minutos
H1:  < 30 minutos (alegação) – o teste é monocaudal esquerdo
Nível de significância: α = 0,01 
Temos:
𝜇 = 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 (𝑚é𝑑𝑖𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡é𝑡𝑖𝑐𝑎)
 𝑋 = 28,5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 (𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙)
𝑠 = 3,5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎
n = 36
Como n ≥ 30, usamos 𝝈 ≈ 𝒔 = 𝟑, 𝟓 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔
A estatística teste padronizada é:
𝑧 =
 𝑋−𝜇
𝜎
𝑛
 𝑧 = 28,5−303,5
36
=
−𝟏, 𝟓
𝟑, 𝟓
𝟔
=
−𝟏, 𝟓
𝟎, 𝟓𝟖𝟑𝟑
= −𝟐, 𝟓𝟕𝟏𝟓𝟕𝟓𝟓𝟏𝟗
z = -2,57 (Comparar com o ponto crítico).
14
Solução - Exemplo 1 
• Ponto crítico:
Para obter o escore zo foi utilizada
a tabela de distribuição normal padronizada,
localizando-se a área mais próxima de α = 0,49 (área sombreada = 0,01, 
logo, para usar a tabela, fazemos 0,50 - 0,01 = 0,49):
área mais próxima = 0,4901 → O valor(ponto) crítico é zo = -2,33.
• A área de rejeição é para valores menores que -2,33 e uma vez que 
𝒛 = −𝟐, 𝟓𝟕 está nela , REJEITO H0 ⟹ A alegação da pizzaria deve ser 
verdadeira (o tempo média de entrega é menor que 30 minutos).
Resposta mais elaborada:
• A um nível de significância de 1%, há evidências suficientes para 
concluir que o tempo médio de entrega é menor do que 30 minutos. 15
Exemplo 2
Um processo deveria produzir bancadas com 0,85 m de altura. O 
engenheiro desconfia que as bancadas que estão sendo 
produzidas são diferentes do especificado. Uma amostra de 8 
valores foi coletada e indicou 𝑋 = 0,87. Sabendo que o desvio 
padrão é 𝜎 = 0,01, teste a hipótese do engenheiro usando um 
nível de confiança 𝛼 = 0,05.
Solução
𝑯𝟎: 𝝁 = 𝟎, 𝟖𝟓 (alegação) 
𝑯𝟏: 𝝁 ≠ 𝟎, 𝟖𝟓 (o teste é bicaudal)
𝜇 = 0,85 𝑚 (𝑚é𝑑𝑖𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡é𝑡𝑖𝑐𝑎)
 𝑋 = 0,87 𝑚 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
𝜎 = 0,01 𝑚 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 é 𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 → 𝒖𝒔𝒐 𝒕𝒆𝒔𝒕𝒆 𝒛
n = 8 16
Solução – Exemplo 2
𝑯𝟎: 𝝁 = 𝟎, 𝟖𝟓
𝑯𝟏: 𝝁 ≠ 𝟎, 𝟖𝟓
• Pontos críticos:
𝒛𝜶/𝟐 = 𝑧0,05/2 = 𝑧0,025 = 𝑧0,0250 = 1,96 (0,025 é a probabilidade de se 
obter valores externos a ± 𝑧
(𝑣𝑒𝑟 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎)
0,5 - 0,0250 = 0,4750 é a área 
da tabela de distribuição normal padronizada, de onde acha-se o escore z) 
 𝒛𝜶/𝟐 = 𝟏, 𝟗𝟔 ⟹ Os pontos críticos são -1,96 e 1,96.
• Estatística teste: z =
 𝑿−𝝁
𝝈
𝒏
= 0,87−0,850,01
8
= 5,6568 𝒛 = 𝟓, 𝟔𝟔 (Compara 
com os pontos críticos).
A região de rejeição é para valores menores que -1,96 e para valores 
maiores que 1,96 , e uma vez que 𝒛 = 𝟓, 𝟔𝟔 (estatística teste) está nela, 
REJEITO H0⟹ A alegação do fabricante deve ser falsa.
Resposta mais elaborada:• Não há evidência suficiente a um nível de significância de 5% para 
confirmar a alegação de que as bancadas são produzidas com 0,85 m de 
altura.
17
Exemplo 3 
Uma empresa alega que o nível médio de pH da água em um rio 
próximo é de 6,8. Você seleciona ao acaso 19 amostras de água 
e mede o pH de cada uma. A média amostral e o desvio padrão 
amostral são 6,7 e 0,24, respectivamente. Há evidência 
suficiente para rejeitar a alegação da indústria a um nível de α = 
0,05? Suponha que a população esteja normalmente distribuída.
Solução:
A alegação é “o nível médio de pH é 6,8”. Assim, as hipóteses 
nula e alternativa são:
H0:  = 6,8 (alegação)
H1:  ≠ 6,8 (O teste é bicaudal) 18
Solução - Exemplo 3
H0:  = 6,8 (alegação)
H1:  ≠ 6,8 (O teste é bicaudal)
Nível de significância: α = 0,05 
Temos:
𝜇 = 6,8 (𝑚é𝑑𝑖𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡é𝑡𝑖𝑐𝑎)
 𝑋 = 6,7 (𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙)
𝑠 = 0,24 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎
n = 19 (n < 30 e σ é desconhecido → uso o teste t de Student)
A estatística teste padronizada é:
t =
 𝑋−𝜇
𝑠
𝑛
 𝑧 = 6,7 −6,80,24
19
=
−𝟎,𝟏
𝟎,𝟐𝟒
𝟏𝟗
=
−𝟎,𝟏
𝟎,𝟎𝟓𝟓𝟎𝟔𝟎
= −𝟏, 𝟖𝟏𝟔𝟐
t = -1,82 (Comparar com os pontos críticos)
19
Solução - Exemplo 3
• O nível de significância é α = 0,05
• g.l. = n – 1 = 19 – 1 = 18 graus de liberdade
• Os valores críticos são:
−𝑡0 = −2,101 𝑒 𝑡0 = 2,101.
• As regiões de rejeição são: t < -2,101 e t > 2,101.
• As regiões de aceitação são: -2,101 < t < 2,101.
• Comparando a estatística teste padronizada t = -1,82 com os 
valores críticos: -2,101 < -1,82 < 2,101 𝑨𝒄𝒆𝒊𝒕𝒐 𝑯𝟎
⟹ 𝑨𝒂𝒍𝒆𝒈𝒂çã𝒐 𝒅𝒆𝒗𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒊𝒓𝒂. (o nível médio de pH da
água em um rio próximo à empresa é de 6,8).
Resposta mais elaborada:
• Não há evidência suficiente a um nível de significância de 
5% para rejeitar a alegação de que o pH é 6,8. 20
LISTA DE EXERCÍCIOS (Lista)
3) Funcionários de uma grande firma de contabilidade alegam 
que seu salário médio é menor que o do seu concorrente, que é 
US$ 45.000. Uma amostra aleatória de 30 contadores da 
empresa gera um salário médio de US$ 43.500, com desvio 
padrão de US$ 5.200. Teste a alegação dos empregados, com 
α = 0,05.
4) A associação norte-americana de automóveis alega que o 
custo médio diário de refeição para uma família com quatro 
membros viajando em férias para a Califórnia é de US$ 132. 
Uma amostra de 11 famílias apresenta custo médio diário de 
US$ 141, com desvio padrão US$ 20. Há evidência suficiente 
para rejeitar a alegação sendo α = 0,10? Suponha que a 
população esteja normalmente distribuída. 21
Resposta – Exercício 3 (Lista)
𝑯𝟎: 𝝁 ≥ 𝟒𝟓𝟎𝟎𝟎
𝑯𝟏: 𝝁 < 𝟒𝟓𝟎𝟎𝟎 (alegação)
O teste é monocaudal esquerdo.
Como α = 0,05, a área mais próxima a 0,45 é 0,4505 (na tabela da 
normal), que dá o valor crítico é -1,65. 
A região de rejeição é para valores menores que -1,65 , e uma vez 
que 𝒛 = −𝟏, 𝟓𝟖 (estatística teste) está na região de aceitação, 
ACEITO H0 ⟹ A alegação dos empregados deve ser falsa.
Resposta mais elaborada:
• Não há evidência suficiente a um nível de significância de 5% para 
confirmar a alegação dos empregados de que a média salarial é 
inferior a US$ 45.000. 22
Resposta – Exercício 4 (Lista)
H0: µ = 132 (alegação)
H1 : µ ≠ 132 (o teste é bicaudal)
• Os valores críticos são: -1,812 e 1,812
• Estatística teste: t = 1,4925 (Compara com os pontos críticos) 
⟹ Aceito 𝑯𝟎 (não se deve rejeitar a hipótese nula)
⟹ A alegação deve ser verdadeira (o custo médio diário de refeição para 
uma família com quatro membros viajando em férias para a Califórnia é de 
US$ 132).
Resposta mais elaborada:
• Há evidência suficiente a um nível de significância de 10% para 
concluir que o custo médio diário de refeição para uma família é de 
US$ 132.
23
• A pronúncia da letra grega 𝛘 é “qui”.
• O teste 𝝌𝟐 é um teste estatístico para uma variância ou um 
desvio padrão populacional.
• O teste 𝜒2 pode ser usado quando a população for normal.
• A estatística teste é:
𝝌𝟐 =
(𝒏 − 𝟏) ∙ 𝒔𝟐
𝝈𝟐
• A distribuição amostral para 𝒔𝟐 e s é uma distribuição qui-
quadrado com g.l. = n - 1.
• As distribuições 𝝌𝟐 são assimétricas (ao contrário das 
distribuições normal e t de student).
3- TESTE 𝝌𝟐 PARA VARIÂNCIA 
OU DESVIO PADRÃO
V
III
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st
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 d
e 
H
ip
ó
te
se
 -
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an
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24
Determinando os valores 
críticos para o teste 𝝌𝟐
1) Especifique o nível de significância.
2) Determine o número de graus de liberdade g.l. = n – 1.
3) Os valores críticos para a distribuição 𝝌𝟐 são encontrados na 
Tabela de Distribuição qui-quadrado.
4) Para determinar o(s) valor(es) crítico(s) de um:
a) teste monocaudal direito, use o valor correspondente a g.l. e α.
b) teste monocaudal esquerdo, use o valor correspondente a g.l. e 1 – α.
c) teste bicaudal, use os valores correspondentes a g.l. e
𝟏
𝟐
𝜶 e ainda 𝟏 − 𝟏
𝟐
𝜶.
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Valores críticos – teste 𝝌𝟐
• Teste monocaudal direito:
VALOR CRÍTICO: g.l. e α.
• Teste monocaudal esquerdo:
VALOR CRÍTICO: g.l. e 1 – α
• Teste bicaudal:
VALORES CRÍTICOS: 
g.l. ,
𝟏
𝟐
𝜶 e 𝟏 − 𝟏
𝟐
𝜶.
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Exemplo 5
Um laticínio alega que a variância na quantidade de 
gordura no total de leite processado pela companhia é não 
mais que 0,25. Você desconfia que uma amostra aleatória 
de 41 recipientes com leite tem uma variância de 0,27. 
Sendo α = 0,05, há evidência suficiente para rejeitar a 
alegação da companhia? Assuma que a população esteja 
normalmente distribuída.
Solução:
A alegação é “a variância é não mais do que 0,25”. Assim, as hipóteses nula e 
alternativa são:
H0: 𝝈
𝟐 ≤ 𝟎, 𝟐𝟓 (alegação)
H1: 𝝈
𝟐 > 𝟎, 𝟐𝟓 (O teste é monocaudal direito)
𝒔𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟕 𝒗𝒂𝒓𝒊â𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒂 𝒂𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂 ,
𝒏 = 𝟒𝟏
𝜶 = 𝟎, 𝟎𝟓
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27
Solução – Exemplo 5
H0: 𝝈
𝟐 ≤ 𝟎, 𝟐𝟓 (alegação)
H1: 𝝈
𝟐 > 𝟎, 𝟐𝟓
• O teste é monocaudal direito.
• O nível de significância é α = 0,05.
• g.l. = n – 1 = 41 – 1 = 40 graus de liberdade.
• O valor crítico é: 𝝌𝟐 = 𝟓𝟓, 𝟕𝟓𝟖
• A região de rejeição é: 𝝌𝟐 > 𝟓𝟓, 𝟕𝟓𝟖
• A estatística teste é:
𝝌𝟐 =
(𝒏 − 𝟏) ∙ 𝒔𝟐
𝝈𝟐
=
𝟒𝟏 − 𝟏 ∙ 𝟎, 𝟐𝟕
𝟎, 𝟐𝟓
= 𝟒𝟑, 𝟐
• Uma vez que 𝝌𝟐 não está na região de rejeição, é impossível 
rejeitar a hipótese nula. Logo, ACEITO 𝑯𝟎 𝒏ã𝒐 𝒓𝒆𝒋𝒆𝒊𝒕𝒐 𝑯𝟎 .
Não há evidência suficiente para rejeitar a alegação da 
companhia a um nível de significância de 5%.
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Exemplo 6
• Um restaurante alega que o desvio padrão para a duração do 
intervalo entre um atendimento e outro é inferior a 2,9 minutos. 
Uma amostra aleatória de 23 intervalos de tempo até o serviço tem 
um desvio padrão de 2,1 minutos. Sendo α = 0,10, há evidência 
suficiente que sustente a alegação do restaurante? Suponha que a 
população seja normalmente distribuída.
• Solução
H0: σ ≥ 2,9 
H1: σ < 2,9 (alegação)
• o teste é monocaudal esquerdo
Temos:
σ = 2,9 (𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 − ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡é𝑡𝑖𝑐𝑎)
s = 2,1 (𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎)
n = 23
α = 0,10
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Solução – Exemplo 6
• Nível de significância: α = 0,10 
• Como g.l. = n – 1 = 23 – 1 = 22 graus de liberdade e 1 – α = 1-0,10 = 
0,90 , o valor crítico é:
𝝌𝟐 = 𝟏𝟒,𝟎𝟒𝟐 (valor encontrado na tabela de distribuição qui-quadrado)
• A região de rejeição é: 𝝌𝟐 < 𝟏𝟒, 𝟎𝟒𝟐
• A estatística teste é:
𝝌𝟐 =
(𝒏 − 𝟏) ∙ 𝒔𝟐
𝝈𝟐
=
𝟐𝟑 − 𝟏 ∙ (𝟐, 𝟏)𝟐
(𝟐, 𝟗)𝟐
=
𝟗𝟕, 𝟎𝟐
𝟖, 𝟒𝟏
= 𝟏𝟏, 𝟓𝟑𝟔
• Uma vez que 𝝌𝟐 está na região de rejeição, REJEITO 𝑯𝟎.
• Há evidência suficiente a um nível de 10% de significância para 
confirmar a alegação de que o desvio padrão para o tempo decorrido até 
o serviço é menor do que 2,9 minutos.
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30
Exemplo 7
• Um fabricante de artigos esportivos alega que a variância na 
resistência de uma certa linha de pesca é de 15,9. Uma 
amostra aleatória de 15 carretéis de linha de pesca tem uma 
variância de 21,8. Sendo α = 0,05, há evidência suficiente para 
rejeitar a alegação do fabricante? Assuma que a população 
esteja normalmente distribuída.
• Solução
H0: 𝝈
𝟐 = 15,9 (alegação)
H1: 𝝈
𝟐 ǂ 15,9 (o teste é bicaudal)
Temos:
𝜎2 = 15,9 𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡é𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑠2 = 21,8 (𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎)
n = 15 e α = 0,05 
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31
Solução – Exemplo 7
• Nível de significância: α = 0,05 
• Como g.l. = n – 1 = 15 – 1 = 14 graus de liberdade e 𝟏
𝟐
𝜶 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 e 
ainda 𝟏 − 𝟏
𝟐
𝜶 = 𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟗𝟕𝟓, os valores críticos são: 
𝝌𝟐 = 𝟓, 𝟔𝟐𝟗 𝒆 𝝌𝟐 = 𝟐𝟔, 𝟏𝟏𝟗 (valores encontrados na tabela de 
distribuição qui-quadrado).
• A região de rejeição é: 𝝌𝟐 < 𝟓, 𝟔𝟐𝟗 𝐞 𝝌𝟐 > 𝟐𝟔, 𝟏𝟏𝟗
• A estatística teste é:
𝝌𝟐 =
(𝒏 − 𝟏) ∙ 𝒔𝟐
𝝈𝟐
=
𝟏𝟒 ∙ (𝟐𝟏, 𝟖)
𝟏𝟓, 𝟗
=
𝟑𝟎𝟓, 𝟐
𝟏𝟓, 𝟗
= 𝟏𝟗, 𝟏𝟗𝟓
• Uma vez que 𝝌𝟐 está na região de aceitação, é impossível rejeitar a 
hipótese nula. Logo, ACEITO 𝑯𝟎 𝒏ã𝒐 𝒓𝒆𝒋𝒆𝒊𝒕𝒐 𝑯𝟎 .
• Não há evidência suficiente a um nível de 5% de significância para 
rejeitar a alegação de que a variância é 15,9. (FAZER EX. 5 - lista)
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EXERCÍCIO 5 - LISTA
• Um fabricante de pneus alega que a variância no diâmetro de um 
determinado modelo é de 8,6. Uma amostra aleatória de dez pneus 
teve uma variância de 4,3. Sendo α = 0,01, há evidência suficiente 
para rejeitar a alegação do fabricante? Suponha que a população 
esteja normalmente distribuída.
• Etapas a serem resolvidas:
1. Identifique a alegação e estabeleça Ho e H1.
2. Identifique se o teste é monocaudal esquerdo, monocaudal direito 
ou bicaudal.
3. Identifique o nível de significância α e o número de graus de 
liberdade g.l.
4. Obtenha os valores críticos e identifique as regiões de rejeição.
5. Use o teste qui-quadrado para obter a estatística teste χ2.
6. Decida se é possível rejeitar a hipótese nula. Use o gráfico se for 
necessário.
7. Há evidência suficiente para rejeitar a alegação?
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Resposta – Exercício 5
a) Ho : σ
2 = 8,6 (alegação) e H1 : σ
2 ≠ 8,6
b) O teste é bicaudal.
c) α = 0,01 e g.l. = 10 - 1 = 9
d) Valores críticos: ½ α = 0,005 e 1- ½ α = 1- 0,005 = 0,995 
→ χ2 = 23,589 (direito) e χ2 = 1,735 (esquerdo)
e) Estatística teste: 𝝌𝟐 =
(𝒏−𝟏)∙𝒔𝟐
𝝈𝟐
=
𝟗 ∙(𝟒,𝟑)
𝟖,𝟔
=
𝟑𝟖,𝟕
𝟖,𝟔
= 𝟒, 𝟓
Logo, χ2 = 4,5, que está na região de aceitação de Ho.
f) Aceito Ho
g) Há evidência suficiente para aceitar a alegação.
V
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34
Referência Bibliográfica
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LARSON, Ron; FARBER, Betsy. [tradução técnica Cyro 
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