Aula 06 algebra

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Retas em ℝ³ 
Equação vetorial 
Equações paramétricas 
Equações simétricas 
Equações reduzidas 
Plano - Definição 
 Prof. Carlos Alberto 
Equação fundamental da reta r 
𝜽 
y2 
y1 
x2 x1 
A 
x 
y 
P 
A equação fundamental da reta 
é dada por: 
m = tg 𝜃 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 = m(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏) 
 
2 
𝒎 = 𝒕𝒈𝜽 =
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
 
Coeficiente angular da reta 
Se m = tg 𝜃 e 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 = m(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏) 
𝒎 = 𝒕𝒈𝜽 =
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
 𝒐𝒖 𝒎 =
𝒚 − 𝒚𝟎
𝒙 − 𝒙𝟎
 
 
𝜽 
y2 
y1 
x2 x1 
A 
x 
y 
P 
Obs: 
𝐴𝑃 = 𝑃 − 𝐴 é 
chamado de 
vetor diretor 
da reta. 
3 
Formulário: 
Coeficiente angular da reta: 
 
𝒚 − 𝒚𝟎 = m.(𝒙 − 𝒙𝟎) 
 
Equação reduzida da reta: 
 
𝒚 = 𝒎. 𝒙 + 𝒃 
Correção dos exercícios 
1) A(1;1) e B(3;5) 
𝑚 =
5 − 1
3 − 1
=
𝟒
𝟐
= 𝟐 
 
𝑦 − 𝑦0 = m.(𝑥 − 𝑥0) 
𝑦 − 1 = 2. 𝑥 − 1 𝑦 − 1 = 2𝑥 − 2 
 𝑦 = 2𝑥 − 2 + 1 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟏 
 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 𝑦 = 2.0 − 1 𝒚 = −𝟏 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 0 0 = 2𝑥 − 1 2𝑥 = 1 𝒙 =
𝟏
𝟐
= 𝟎, 𝟓 
𝜽 = 𝒕𝒈−𝟏 𝟐 = 𝟔𝟑, 𝟒𝟑° 
-1 
0,5 x 
y 
0 
𝜃 = 63,43° 
2) C(-1;4) e D(3;6) 
 𝑚 =
6−4
3− −1
 𝑚 =
2
3+1
 𝑚 =
1
2
= 0,5 
 
𝒚 − 𝒚𝟎 = m.(𝒙 − 𝒙𝟎) 
𝑦 − 4 = 0,5 𝑥 − −1 𝑦 − 4 = 0,5𝑥 + 0,5 
 𝑦 = 0,5𝑥 + 0,5 + 4 𝒚 = 𝟎, 𝟓𝒙 + 𝟒, 𝟓 
 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 𝒚 = 𝟒, 𝟓 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 0 0 = 0,5𝑥 + 4,5 
 0,5𝑥 = −4,5 𝑥 =
−4,5
0,5
 
 
 𝒙 = −𝟗 
-9 
4,5 
𝟐𝟔, 𝟓𝟕° 
x 
y 
 𝜽 = 𝒕𝒈−𝟏 𝟎, 𝟓 = 𝟐𝟔, 𝟓𝟕° 
3) E(-4;-6) e O(0;0) 
𝑚 =
0 − −6
0 − −4
 𝑚 =
6
4
= 1,5 
 
𝒚 − 𝒚𝟎 = m.(𝒙 − 𝒙𝟎) 
𝑦 − −6 = 1,5(𝑥 − −4 ) 
𝑦 + 6 = 1,5 𝑥 + 4 𝑦 = −6 + 1,5𝑥 + 6 
𝒚 = 𝟏, 𝟓𝒙 
 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 𝑦 = 1,5.0 𝒚 = 𝟎 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 0 0 = 1,5𝑥 𝑥 =
0
1,5
 𝒙 = 𝟎 
𝜽 = 𝒕𝒈−𝟏 𝟏, 𝟓 ≅ 𝟓𝟑, 𝟑𝟏° (0;0) 
𝟓𝟑, 𝟑𝟏° 
y 
x 
4) F(-4;-3) e G(-1;-12) 
𝑚 =
−12 − −3
−1 − −4
=
−12 + 3
−1 + 4
=
−9
3
= −𝟑 
 
𝒚 − 𝒚𝟎 = m.(𝒙 − 𝒙𝟎) 
𝑦 − −3 = −3(𝑥 − −4 ) 
 𝑦 + 3 = −3(𝑥 + 4) 
 𝑦 = −3𝑥 − 12 − 3 
 𝒚 = −𝟑𝒙 − 𝟏𝟓 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 𝑦 = −3.0 − 15 𝒚 = −𝟏𝟓 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 0 0 = −3𝑥 − 15 − 3𝑥 = 15 
 𝑥 =
15
−3
 𝒙 = −𝟓 
𝜽 = 𝒕𝒈−𝟏 −𝟑 ≅ −𝟕𝟏, 𝟓𝟕 
𝜽 = 𝟏𝟖𝟎 − 𝟕𝟏, 𝟓𝟕 = 𝟏𝟎𝟖, 𝟒𝟑° 
-15 
-5 
-71,57 
𝟏𝟎𝟖, 𝟒𝟑° 
0 
y 
x 
5) W(−1; −2) e X(−2; 1) 
𝑚 =
1− −2
−2− −1
=
1+2
−2+1
=
3
−1
= −𝟑 
 
𝒚 − 𝒚𝟎 = m.(𝒙 − 𝒙𝟎) 
𝑦 − −2 = −3 𝑥 − −1 
 𝑦 + 2 = −3𝑥 − 3 
 𝑦 = −3𝑥 − 3 − 2 𝒚 = −𝟑𝒙 − 𝟓 
 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 𝒚 = −𝟓 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 0 0 = −3𝑥 − 5 − 3𝑥 = 5 𝑥 =
5
−3
 
 𝑥 = −
5
3
 𝒙 ≅ −𝟏, 𝟔𝟔… 
𝜽 = 𝒕𝒈−𝟏 −𝟑 ≅ −𝟕𝟏, 𝟓𝟕 
𝜽 = 𝟏𝟖𝟎 − 𝟕𝟏, 𝟓𝟕 = 𝟏𝟎𝟖, 𝟒𝟑° 
-5 
-1,66... 
𝜽 = 𝟏𝟎𝟖, 𝟒𝟑° 
0 
y 
x 
6) Y(5;-8) e Z(-7;-2) 
𝑚 =
−2 − −8
−7 − 5
 𝑚 =
−2 + 8
−12
 
𝑚 =
6
−12
= −
𝟏
𝟐
= −𝟎, 𝟓 
𝒚 − 𝒚𝟎 = m.(𝒙 − 𝒙𝟎) 
𝑦 − −8 = −0,5(𝑥 − 5) 
 𝑦 + 8 = −0,5𝑥 + 2,5 
 𝑦 = −0,5𝑥 + 2,5 − 8 
 𝒚 = −𝟎, 𝟓𝒙 − 𝟓, 𝟓 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 0 0 = −0,5𝑥 − 5,5 0,5𝑥 = −5,5 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥
= 0 𝒚 = −𝟓, 𝟓 
 
 𝑥 =
−5,5
0,5
 𝒙 = −𝟏𝟏 
𝜽 = 𝒕𝒈−𝟏 −𝟎, 𝟓 = −𝟐𝟔, 𝟓𝟕° 
𝜽 = 𝟏𝟖𝟎 − 𝟐𝟔, 𝟓𝟕° = 𝟏𝟓𝟑, 𝟒𝟑° 
-5,5 
-11 0 
y 
x 
𝜽 = 𝟏𝟓𝟑, 𝟒𝟑° 
7) P(3; −2) e Q(-5; −6) 
𝑚 =
−6 − −2
−5 − 3
 𝑚 =
−6 + 2
−8
 
 𝑚 =
−4
−8
= 𝟎, 𝟓 
𝒚 − 𝒚𝟎 = m.(𝒙 − 𝒙𝟎) 
𝑦 − −2 = 0,5(𝑥 − 3) 
 𝑦 + 2 = 0,5𝑥 − 1,5 
 𝑦 = 0,5𝑥 − 1,5 − 2 
 𝒚 = 𝟎, 𝟓𝒙 − 𝟑, 𝟓 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 𝒚 = −𝟑, 𝟓 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 0 0 = 0,5𝑥 − 3,5 − 0,5𝑥 = −3,5 
 𝑥 =
−3,5
−0,5
 𝒙 = 𝟕 
0 7 
-3,5 
x 
y 
𝜽 = 𝒕𝒈−𝟏 𝟎, 𝟓 = 𝟐𝟔, 𝟓𝟕° 
𝜽 ≅ 𝟐𝟔, 𝟓𝟕° 
𝜽 
8) R(1,5 ; 2,5) e S(4,5 ; 4,0) 
𝑚 =
4 − 2,5
4,5 − 1,5
 𝑚 =
1,5
3
 𝒎 = 𝟎, 𝟓 
 
𝒚 − 𝒚𝟎 = m.(𝒙 − 𝒙𝟎) 
𝑦 − 2,5 = 0,5(𝑥 − 1,5) 
 𝑦 = 2,5 + 0,5𝑥 − 0,75 
 𝒚 = 𝟎, 𝟓𝒙 + 𝟏, 𝟕𝟓 
 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 𝒚 = 𝟏, 𝟕𝟓 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 0 0 = 0,5𝑥 + 1,75 − 0,5𝑥 = 1,75 
 𝑥 =
1,75
−0,5
 𝒙 = −𝟑, 𝟓 
𝜽 = 𝒕𝒈−𝟏 𝟎, 𝟓 = 𝟐𝟔, 𝟓𝟕° 
y 
1,75 
-3,5 
x 
0 
26,57° 
Introdução à Geometria 
Espacial 
• Conceitos Primitivos: são conceitos 
adotados sem definição. 
• Ponto: 
–Características de um ponto: 
• Não possui dimensão; 
• Sua representação geométrica é indicada 
por letra maiúscula. 
• Por um ponto passam infinitas retas. 
 
P 
• Reta: É um segmento unidimensional e 
tem comprimento infinito; 
 
• Sua representação geométrica é 
indicada por letra minúscula; 
 
• Em uma reta há infinitos pontos: 
 
 
 
 
r 
Geometria Espacial 
• Postulados ou Axiomas: São definições 
que relacionam conceitos primitivos e 
aceitamos sem demonstração. 
 
 
• Teoremas: Propriedades que podem ser 
justificadas com base nos postulados. 
 
 
• Postulado 1: Numa reta há infinitos 
pontos. 
 
 
 
 
• Postulado 2: Por dois pontos distintos 
passam uma única reta. 
 
 
Posições entre duas Retas 
• Retas concorrentes: Duas retas são 
concorrentes quando têm um único 
ponto em comum. 
 
 𝒓 ∩ 𝒔 = 𝑷 
 P 
r 
s 
Retas paralelas 
• Paralelas: Duas retas são paralelas 
quando não têm ponto em comum e são 
coplanares. 
 
 
 
 
 
• Obs.: coplanares significa que 
pertencem ao mesmo plano. 
 
Posições entre duas Retas 
• Retas coincidentes: Duas retas são 
coincidentes quando possuem infinitos 
pontos em comum. 
 
r = s 
Notação: r // s 
Posições entre duas Retas 
• Retas reversas: Duas retas são reversas 
quando não existe plano que contém 
ambas. 
 r 
s 
Diferença entre retas 
paralelas e reversas: 
Paralelas: não tem 
ponto em comum e são 
coplanares. 
Reversas: não tem 
ponto em comum e não 
são coplanares. 
 
 
Equação Vetorial da Reta 
 
• Seja a reta r aquela que passa pelo 
ponto A e tem direção de um vetor não 
nulo 𝑣 , temos que 𝑃 ∈ 𝑟 se e somente 
se 𝐴𝑃 e 𝑣 forem paralelos. 
 
v
P
i
j
k
A
,AP t v t R  
,P A t v t R   
,P A t v t R   
Equação Vetorial da reta 
• Equação Vetorial: Dados 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), 
𝐴 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑎 , 𝑏, 𝑐 ) , temos que a 
equação vetorial da reta r: 
 
𝑟: 𝑃 = 𝐴 + 𝑡𝑣 ∀𝑡 ∈ ℝ 
 
𝑟: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 𝑡 𝑎, 𝑏, 𝑐 , ∀𝑡 ∈ ℝ 
Equações Paramétricas da Reta r 
• Da equação vetorial da reta r temos 
que: 
 
 
• Assim poderemos obter as equações 
paramétricas da reta r dadas por: 
 
 
     1 1 1: , , , , , , ,r x y z x y z t a b c t R   
1
1
1
: ,
x x ta
r y y tb t R
z z tc
 

   
  
Equação Simétrica 
• Sendo as equações paramétricas da reta r : 
 
 
 
 
– Assim, das equações acima, para 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠
0 𝑒 𝑐 ≠ 0 obtemos as equações simétricas: 
 
𝑟: 𝑡 =
𝑥 − 𝑥1
𝑎
=
𝑦 − 𝑦1
𝑏
=
𝑧 − 𝑧1
𝑐
 
 
1
1
1
: ,
x x ta
r y y tb t R
z z tc
 

   
  
Exemplo 01: Estabelecer a equação vetorial 
determinada pelo ponto 𝐴 = (1,−2,1) e pelo 
vetor 𝑣 = (3,1,4) 
 
𝑷 = 𝟏 − 𝟐, 𝟏 + 𝒕(𝟑, 𝟏, 𝟒) 
Aplicando a solução acima teremos as 
equações paramétricas da reta r: 
 
𝒙 = 𝟏 + 𝟑𝒕 
𝒚 = −𝟐 + 𝒕 
𝒛 = 𝟏 + 𝟒𝒕 
 
,P A t v t R   
Exemplo 02: Obtidas asequações vetoriais, 
obter também as equações simétricas 
determinada pelo ponto 𝐴 = (1,−2,1) e pelo 
vetor 𝑣 = (3,1,4) 
Equação vetorial: 
𝑃 = 1,−2,1 + 𝑡(3,1,4) 
A equações Paramétricas são: 
𝒙 = 𝟏 + 𝟑𝒕 
𝒚 = −𝟐 + 𝒕 
𝒛 = 𝟏 + 𝟒𝒕 
As Equações simétricas são: 
 
𝒕 =
𝒙 − 𝟏
𝟑
=
𝒚 + 𝟐
𝟏
=
𝒛 − 𝟏
𝟒
 
 
Exemplo 3: Dar as 3 formas a equação da 
reta que passa em A=(3,-4,10) na direção 
do vetor 
a) Equações vetoriais 𝑥 = 3 + 2𝑡 
 𝑦 = −4 + 4𝑡 
 𝑧 = 10 − 8𝑡 
 
b) Equações paramétricas: 
 𝑥 − 3 = 2𝑡 
 𝑦 + 4 = 4𝑡 
 𝑧 − 10 = −8𝑡 
2 4 8v i j k  
1
1
1
: ,
x x ta
r y y tb t R
z z tc
 

   
  
1
1
1
: ,
x x ta
r y y tb t R
z z tc
 

   
  
c) Equações simétricas: 
 
 
 
𝑡 =
𝑥 − 3
2
=
𝑦 − 4
4
=
𝑧 − 10
−8
 𝑜𝑢 
 
𝑥 − 3
2
=
𝑦 − 4
4
=
−𝑧 + 10
8
 
1 1 1:
x x y y z z
r
a b c
  
 
Exercícios: Obter as equações vetoriais, 
paramétricas e simétricas para: 
a)determinada pelos pontos A(2, 1,3) e B(3,0,–2) 
b)possui o ponto A(1,–2,3) e é paralela à reta 
definida pelo ponto B(2,0,1) 
c)possui o ponto M (1,5,–2) e é paralela à 
reta pontos A(5,–2,3); 
d)possui o ponto A(–6,7,9) e é paralela ao vetor 
𝑣 = (–2,0,–2); 
e)possui o ponto A(0,0,4) e é paralela ao vetor 
𝑣 =(8,3,0); 
 
,P A t v t R   
𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 𝑒 𝑐 ≠ 0 
Respostas 
a) Obter as equações vetoriais, paramétricas e 
simétricas determinada pelos pontos A(2, 1,3) e 
B(3,0,–2) 
Equação vetorial: 
(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟐, 𝟏, 𝟑 + 𝒕(𝟑, 𝟎, −𝟐) 
𝑬𝒒𝒖𝒂çõ𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔: 
𝒙 = 𝟐 + 𝟑𝒕 
𝒚 = 𝟏 + 𝟎. 𝒕 𝒚 = 𝟏 
𝒛 = 𝟑 − 𝟐𝒕 
𝑬𝒒𝒖𝒂çõ𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔: 
𝒕 =
𝒙 − 𝟐
𝟑
=
𝒛 − 𝟑
−𝟐
=
𝟑 − 𝒛
𝟐
 ; 𝒚 = 𝟏 
 
 
,P A t v t R   
𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 𝑒 𝑐 ≠ 0 
Observação importante: 
Alguns matemáticos colocam a equação 
vetorial assim: 
Equação vetorial: 
𝑷 = 𝟐, 𝟏, 𝟑 + 𝒕(𝟑, 𝟎, −𝟐) 
 
Outros matemáticos colocam a equação 
vetorial assim: 
𝒙 = 𝟐 + 𝟑𝒕 
𝒚 = 𝟏 + 𝟎𝒕 𝒚 = 𝟏 
𝒛 = 𝟑 − 𝟐𝒕 
 
neste exemplo: 
 
• Exemplo: A reta r que passa por A = 
(1,−1,4) e tem a direção de 𝑣 = (2,3,2) tem 
equação vetorial de acordo com: 
• r : (x,y,z) = (1,−1,4) + t(2,3,2) 
 
b) possui o ponto A(1,–2,3) e é paralela à reta 
definida pelo ponto B(2,0,1) 
𝑬𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒗𝒆𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍: 
(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟏,−𝟐, 𝟑 = 𝒕 𝟐, 𝟎, 𝟏 
𝑬𝒒𝒖𝒂çõ𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔: 
𝒙 = 𝟏 + 𝟐𝒕 
𝒚 = −𝟐 + 𝟎𝒕 𝒚 = −𝟐 
𝒛 = 𝟑 + 𝒕 
𝑬𝒒𝒖𝒂çõ𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔: 
𝒕 =
𝒙 − 𝟏
𝟐
= 𝒛 − 𝟑 ; 𝒚 = −𝟐; 
,P A t v t R   
𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 𝑒 𝑐 ≠ 0 
c) possui o ponto M (1,5,–2) e é paralela 
à reta pelos pontos A(5,–2,3) 
𝑬𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒗𝒆𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍: 
(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟏, 𝟓, −𝟐 + 𝒕(𝟓,−𝟐, 𝟑) 
𝑬𝒒𝒖𝒂çõ𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔: 
𝒙 = 𝟏 + 𝟓𝒕 
𝒚 = 𝟓 − 𝟐𝒕 
𝒛 = −𝟐 + 𝟑𝒕 
𝑬𝒒𝒖𝒂çõ𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔: 
𝒕 =
𝒙 − 𝟏
𝟓
=
𝒚 − 𝟓
−𝟐
=
𝟓 − 𝒚
𝟐
=
𝒛 + 𝟐
𝟑
 
 
 
 
,P A t v t R   
𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 𝑒 𝑐 ≠ 0 
d) possui o ponto A(–6,7,9) e é paralela ao 
vetor 𝑣 = (–2,0,–2). 
𝑬𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒗𝒆𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍: 
(𝒙, 𝒚, 𝒛) = −𝟔, 𝟕, 𝟗 + 𝒕(−𝟐, 𝟎, −𝟐) 
𝑬𝒒𝒖𝒂çõ𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔: 
𝒙 = −𝟔 − 𝟐𝒕 
𝒚 = 𝟕 + 𝟎. 𝒕
 
 𝒚 = 𝟕 
𝒛 = 𝟗 − 𝟐𝒕 
𝑬𝒒𝒖𝒂çõ𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔: 
𝒕 =
𝒙 + 𝟔
−𝟐
=
𝟔 − 𝒙
𝟐
=
𝒛 − 𝟎
−𝟐
= −
𝒛
𝟐
; 𝒚 = 𝟕 
 
 
 
,P A t v t R   
𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 𝑒 𝑐 ≠ 0 
e) possui o ponto A(0,0,4) e é paralela ao 
vetor 𝑣 =(8,3,0). 
𝑬𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒗𝒆𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍: 
(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟎, 𝟎, 𝟒 + 𝒕(𝟖, 𝟑, 𝟎) 
𝑬𝒒𝒖𝒂çõ𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔: 
𝒙 = 𝟎 + 𝟖𝒕 𝒙 = 𝟖𝒕 
𝒚 = 𝟎 + 𝟑𝒕 𝒚 = 𝟑𝒕 
𝒛 = 𝟒 + 𝟎. 𝒕 𝒛 = 𝟒 
𝑬𝒒𝒖𝒂çõ𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔: 
𝒕 =
𝒙
𝟖
=
𝒚
𝟑
 ; 𝒛 = 𝟒 
 
 
,P A t v t R   
𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 𝑒 𝑐 ≠ 0 
Equações reduzidas a partir das 
equações simétricas 
• Seja a reta r definida pelo ponto 
𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e pelo vetor diretor 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) 
as equações simétricas da reta são: 
𝑡 =
𝑥 − 𝑥1
𝑎
=
𝑦 − 𝑦1
𝑏
=
𝑧 − 𝑧1
𝑐
 
• Não tenha dúvidas, vamos obter as 
equações reduzidas: 
 de y em função de x, 
 e depois z em função de x 
 
• Vamos isolar as variáveis y e z e 
expressá-las em função de x: 
 
𝒚 = 𝒚𝟏 +
𝒃
𝒂
𝒙 − 𝒙𝟏 
 
𝒛 = 𝒛𝟏 +
𝒄
𝒂
(𝒙 − 𝒙𝟏) 
• Estas duas últimas equações são 
chamadas equações reduzidas da 
reta. (pág. 82 da apostila) 
 
Equações reduzidas da reta 
• Ou seja, podemos expressar y e z em 
função da variável x, e assim constatamos 
que y e z podem ser da seguinte forma: 
y = mx + n e z = px + q 
 
• Deste modo, um ponto da reta pode ser 
encontrado usando P = (x, mx + n, px + q), 
em que 
𝑚 =
𝑏
𝑎
 𝑒 𝑛 = 𝑦1 −
𝑏
𝑎
𝑥1 
𝑝 =
𝑐
𝑎
 𝑒 𝑞 = 𝑧1 −
𝑐
𝑎
𝑥1 
Vamos ver na prática... 
 
Exemplo: Seja a reta r definida pelo ponto A = 
(2,−4,−3) e pelo vetor diretor 𝑣 = (1,2,−3) e 
expressa pelas equações simétricas: 
Eq. Vetorial: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2,−4,−3 + 𝑡(1,2, −3) 
Equações paramétricas: 
𝑥 = 2 + 𝑡 
𝑦 = −4 + 2𝑡 
𝑧 = −3 − 3𝑡 
Equações simétricas: 
𝑥 − 2
1
=
𝑦 + 4
2
=
𝑧 + 3
−3
 
Vamos igualar x e y e depois x e z e resolve: 
𝑥 − 2
1
=
𝑦 + 4
2
 𝑒 
𝑥 − 2
1
=
𝑧 + 3
−3
 
𝑥 − 2
1
=
𝑦 + 4
2
 𝑒 
𝑥 − 2
1
=
𝑧 + 3
−3
 
Resolvendo x e y temos: 
1 × 𝑦 + 4 = 2 × 𝑥 − 2 
 𝑦 + 4 = 2𝑥 − 4 
 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟖 
Resolvendo x e z temos: 
1 × 𝑧 + 3 = −3 × 𝑥 − 2 
 𝑧 + 3 = −3𝑥 + 6 
 𝒛 = −𝟑𝒙 + 𝟑 
𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟖 e 𝒛 = −𝟑𝒙 + 𝟑 
• Desta forma, todos os pontos da reta 
obedecem a 
𝑷 = 𝒙, 𝟐𝒙 − 𝟖,−𝟑𝒙 + 𝟑 , ∀𝒙 ∈ ℝ 
 
 
Atenção: Todas estas equações de reta 
definidas e ilustradas nos exemplos desta 
aula estão no espaço ( ℝ³). 
 
 
 
 
 
Plano - Definição 
Equação vetorial do Plano: 
• Da geometria Euclidiana, que para 
determinar um plano 𝜋 único 
precisamos conhecer pelo menos três 
pontos não colineares do plano. 
 
• Com esses três pontos, podemos 
determinar dois vetores paralelos ao 
plano 𝜋, que darão a direção do plano 
𝜋, no espaço. 
 
• Euclides de Alexandria (em grego 
antigo: Εὐκλείδης Eukleidēs; fl. c. 
300 AC), possivelmente grego. 
 
• Foi um matemático e escritor, 
muitas vezes referido "Pai da 
Geometria". 
 
• Além de sua principal obra, Os 
Elementos, Euclides também 
escreveu sobre perspectivas, 
secções cónicas, geometria 
esférica, teoria dos números em 
rigor. 
 
• A geometria euclidiana é 
caracterizada pelo espaço 
euclidiano, imutável, simétrico e 
geométrico. 
Uma das centenas de papiros 
escrito por Euclides: 
• Vamos tomar um dos pontos em questão, por 
exemplo 𝐴 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 , e dois vetores quaisquer, por 
exemplo 𝑢 = 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 𝑒 𝑣 = (𝑎2, 𝑏2, 𝑐2), paralelos 
ao plano 𝜋. 
 
• Para que um ponto P( x, y, z ) qualquer, pertença 
ao plano 𝜋, é preciso que existam dois números 
reais h e t, tais que: 
𝑨𝑷 = 𝒉. 𝒖 + 𝒕. 𝒗 
𝒐𝒖 𝑷 = 𝑨 + 𝒉. 𝒖 + 𝒕. 𝒗 
𝑣 
𝑢 
ℎ. 𝑢 
𝑡. 𝑣 
𝐴 
𝑃 
𝜋 
Equações paramétricas do Plano 
• Da mesma forma que fizemos com as 
equações da reta, faremospara o plano: 
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 + ℎ. 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 + t. (𝑎2, 𝑏2, 𝑐2) 
 
• Pela condição de igualdade teremos: 
𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒉. 𝒂𝟏 + 𝒕. 𝒂𝟐 
𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝒉. 𝒃𝟏 + 𝒕. 𝒃𝟐 
𝒛 = 𝒛𝟎 + 𝒉. 𝒄𝟏 + 𝒕. 𝒄𝟐 
 
• são as equações paramétricas de um plano 
qualquer. 
𝒄𝒐𝒎 𝒌, 𝒕 ∈ ℝ 
Aula que vem continuaremos com planos...