parte20 - Distribuição de frequência e fatores de regressão

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Biometria Florestal 
 
 
 240 
 
 
 
16 DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA 
 
 
Distribuição de freqüência é definida como a apresentação tabular de dados 
referenciados a um intervalo de classe. 
A eqüidistância dos intervalos de classe permite, segundo Bruce e 
Schumacher (1950), comparar as observações em diferentes classes. 
Embora o agrupamento dos dados em tabelas de freqüência elimine muitos 
detalhes originais, este procedimento traz a vantagem da visualização do aspecto geral, o 
que possibilita maior clareza e evidencia as relações essenciais (Spiegel, 1975). 
O número de observações contidas em uma classe característica é dita 
freqüência absoluta. A freqüência pode também ser expressa em valores relativos, como 
porcentagem da freqüência de uma população ou amostra. 
O resultado da adição de freqüências sucessivas é a freqüência 
acumulada,que mostra diretamente a freqüência que se situa abaixo e inclusive na classe, 
além de permitir o cálculo da mediana na distribuição. 
Caso haja necessidade, é possível mudar os limites de classe de uma 
distribuição, devendo, as freqüências das novas classes ser obtidas das curvas de 
freqüência acumulada. 
 
16.1 Determinação de uma distribuição de freqüência 
 
A determinação de uma distribuição de freqüência deve obedecer 
basicamente às seguintes regras gerais (Silva, 1977). 
a) determinação da amplitude total; 
b) divisão da amplitude total em número conveniente de intervalos de classe 
que tenham a mesma amplitude; 
c) tabulação dos valores observados. 
 
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 241 
Ainda, segundo o mesmo autor, para obter o número aproximado de classes 
pode-se usar a tabela de Graner, como segue: 
 
TABELA 43 – Tabela de Graner. 
Número de observações Número de Classes 
n Mínimo Máximo 
 
<<<< 50 
 
5 
 
10 
100 8 16 
200 10 20 
300 12 24 
500 15 30 
>>>>1.000 20 40 
 
Outra alternativa, para a mesma finalidade, é a fórmula de Sturges, a qual é 
expressa por: 
 
nc = 1 + 3,3 log n, 
 
onde: n = número de observações; 
nc = número de classes. 
 
Sendo, então, o intervalo de classes obtido pela razão entre a amplitude 
total e o número de classes. 
Waugh (s.d.) observa que a fórmula de Sturges dá demasiadas classes para 
pequenos números de dados e relativamente poucas para grande números de dados. 
Segundo esse autor, deve-se escolher um intervalo de classe suficientemente pequeno 
para que todos os dados dentro da classe possam ser, de modo geral, considerados de 
mesmo valor e que, satisfeita essa limitação, seja o número de classe o menor possível 
para que permita verificação das características da população. 
Assim, o emprego de um intervalo de classe grande leva a um maior erro de 
agrupamento, ou seja, decorrente da classificação, pois todas as freqüências incluídas 
entre o limite inferior e superior de uma dada classe qualquer será, a partir de então, 
considerada contendo a dimensão do centro de classe. Esse erro de agrupamento 
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 242 
tenderá a ser mais evidente quanto maior for o intervalo de classe considerado e menor 
a freqüência de árvores incluída na referida classe. Por outro lado, tenderá a ser 
desprezível com a inclusão de um grande número de árvores na classe em decorrência 
da anulação dos erros de excesso e falta. 
 
 
16.2 Distribuição de diâmetros 
 
A distribuição do diâmetro das árvores por unidade de área é de grande 
interesse para a prática florestal. 
A mesma teoria usada para a distribuição diamétrica pode ser aplicada 
igualmente as outras variáveis dendrométricas. 
Os primeiros esforços para quantificar com modelos matemáticos, as 
distribuições na área florestal foram feitos por volta de 1898 por De Liocurt’s. A partir daí, 
inúmeros pesquisadores têm dedicado especial atenção a este tema, aplicando inúmeros 
modelos de distribuição. 
O estudo das distribuições permite conhecer a estrutura dos povoamentos, 
entendendo, como tal, a distribuição das espécies e dimensão das árvores em relação a 
um hectare. A estrutura do povoamento é resultado dos hábitos de crescimento da 
espécie, das condições ambientais e práticas de manejo. 
A distribuição do número de árvores em classes de diâmetro fornece 
valiosa informação sobre essa estrutura da floresta, sendo importante para a silvicultura e 
também para interferências sobre a distribuição dos sortimentos. 
De um modo geral, há dois tipos de estrutura de florestas: equiânea e 
inequiânea, ou seja, de mesma idade e idades diferentes, respectivamente. 
Os povoamentos equiâneos são os que se originam dentro de um curto 
período de tempo, estando as árvores enquadradas dentro de uma única classe de idade. 
Neste caso, as freqüências por unidade de área para as classes de diâmetro seguem um 
padrão típico. As maiores freqüências situam-se em torno da média e decrescendo para 
os menores e maiores valores. Vários autores têm demonstrado que a distribuição de 
diâmetros de povoamentos equiâneos segue leis definidas e que a relação do número de 
árvores e diâmetros pode ser descrita por funções matemáticas (Husch et al., 1982). 
 
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 243 
Na Figura 84, está representada a distribuição de diâmetros de um 
povoamento de Acacia mearnsii com idade de 5,5 anos, ajustada pela distribuição SB . 
 
FIGURA 84 – Distribuição de diâmetros de um povoamento de Acacia mearnsii com 
idade de 5,5 anos, ajustada pela distribuição SB (Fonte: Finger,1982). 
 
De maneira geral, em povoamentos densos, nos quais a mortalidade natural 
em conseqüência da concorrência não foi estabelecida, ou em povoamentos onde não foi 
realizado desbaste por baixo, encontra-se uma distribuição assimétrica à direita (Figura 
85a ). Alguns anos mais tarde, com o estabelecimento da mortalidade e/ou desbaste por 
baixo, a distribuição apresenta uma clara assimetria à esquerda, conforme mostra a 
Figura 85b. 
Os povoamentos inequiâneos são constituídos de árvores de muitas idades 
e tamanhos. As árvores são originadas mais ou menos continuamente apresentando 
indivíduos desde a fase de plântula/semente até árvores em estado de senescência. A 
distribuição típica dessas florestas apresenta um grande número de pequenas árvores 
com freqüência decrescente com o aumento da classe de diâmetro (Figura 86). 
 
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 244 
 
FIGURA 85 – Distribuição de freqüências de diâmetros para povoamentos equiâneos 
antes do estabelecimento da mortalidade/desbaste (a) e após o 
estabelecimento da mortalidade/desbaste (b). 
 
 
 
 
FIGURA 86 – Distribuição de freqüências observadas e estimadas por classe de diâmetro 
para Araucaria angustifolia em um povoamento no RS (Schneider et al., 
1988). 
 
 
16.3 Ajuste matemático de freqüências 
 
A distribuição de uma variável dendrométrica a partir de dados levantados 
em uma amostra da população pode ser obtida por meio de uma distribuição teórica e do 
conhecimento do desvio padrão, da média ou percentil. 
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 245 
 
16.3.1 Distribuição normal 
 
A maior parte dos fenômenos biológicos resulta de dados que estão 
distribuídos de maneira suficientemente normal, tornando-se, assim, essa teoria a base 
de grande parte da estatística usada na área biológica (Steel e Torrie, 1960). 
A Distribuição Normal é definida por Meyer (1977) com o seguinte 
enunciado: 
Se x é uma variável aleatória, que tomou todos os valores reais - ∞ < x < +∞ 
terá uma distribuição normal (ou Gaussiana) se a função densidade 
probabilística assumir a forma: 
��
�
�
�
��
�
�
�
−
−
=
2
2
2
)(
22
1 σ
µ
piσ
x
x ef
 
 
para -∞ < x < +∞. 
 
Os parâmetros µ e ∂ devem satisfazer as condições: 
-∞ < µ < +∞ >0e a distribuição é caracterizada por: 
 
a) A curva de distribuição é simétrica e unimodal quando a média, moda e 
mediana coincidem (µ = Mo= Me); 
b) A curva tem um máximo para x = 0 e um mínimo para ±∞=x ; 
c) A área sob a curva é igual a 1 e é dada por: 
 
1.
2
1 2
2
2
)(
2
==
−−+∞
∞−
� x
x
deA σ
µ
piσ
; 
d) Quando x = µ a função será decrescente e com a concavidade voltada 
para baixo; 
d) Quando x ± ∞ a função tende a zero assintoticamente; 
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 246 
e) A função apresenta dois pontos de inflexão que ocorrem em ±∞=x ; isto 
é, o gráfico muda de concavidade à direita e à esquerda da média. Disto decorrerá que 
se σ² for relativamente grande, o gráfico tenderá a ser achatado, enquanto que se σ² for 
pequeno, o gráfico tenderá a ser pontiagudo (Figura 87). 
 
FIGURA 87 – Comportamentos da distribuição normal em relação à variância. 
 
Onde: µ= média; σ= desvio padrão; σ²=variância. 
 
Considerando-se os dados publicados por Silva (1977), oriundos de um 
povoamento de Pinus taeda com diâmetro médio de 13,22 cm, desvio padrão de 2,31 cm 
e freqüência por hectare de 233 árvores, tem-se as seguintes freqüências observadas e 
ajustadas, conforme apresentado na Tabela 44. 
 
TABELA 44 – Determinação das freqüências ajustadas através da distribuição normal 
 
Classe DAP Freq. observada Ordenada Freq. ajustada 
cc(x) fxi y Y. N. IC 
 
8,0 
 
12 
 
0,01344 
 
7,8 
10,5 39 0,08634 50,3 
13,0 113 0,17201 100,2 
15,5 54 0,10617 61,8 
18,0 15 0,0203 11,8 
TOTAL 233 231,9 
 
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 247 
Sendo: 
��
�
�
�
��
�
�
�
−
−
=
2
2
2
)(
22
1 σ
µ
piσ
x
x ef
 
e, 
σ = S = 2,31 
µ = X = 13,22 e, 
 N = 233 tem-se: 
 
��
�
�
�
��
�
�
�
−
−
=
2
2
31,2.2
)22,138(
231,22
1
eY
pi 
 
Y = 0,01344 
 
 
Freqüência ajustada = Y . N . IC; 
Freqüência ajustada = 0,01344 x 233 x 2,5; 
Fequência ajustada = 7,8 árvores por hectare. 
 
Com a transformação da função, é possível reduzi-la, passando a ser 
chamada de Distribuição Normal Reduzida, com média zero e variância um N (0,1). 
A importância da distribuição normal reduzida é que ela pode ser tabelada. 
Sempre que x tiver distribuição N (µ ,σ²), pode-se obter a forma reduzida pela adoção de 
uma função linear x. 
Para se obter o modelo reduzido, toma-se o quociente entre os desvios (x -
µ) e o desvio padrão (σ). 
 Assim, tem-se: 
 
Z = (x - µ) / σ expresso por 	 
S
xxZ )( −= , 
 
onde: Z = variável de resposta; 
 x = variável independente; 
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 248 
 x = média da amostra; 
 µ = média da população; 
S = desvio padrão; 
σ = desvio padrão da população. 
 
Tendo a equação transformada, a mesma característica que a função 
normal, pode-se escrever. 
��
�
�
�
��
�
�
�
−
=
2
2
2
1
Z
eY
pi 
 
A área sob a curva é também, neste caso, igual a unidade: 
1.
2
1 2
2
==
−+∞
∞−
� z
Z
deA
pi . 
 
Segundo Robles (apud Silva, 1977), “A diferença fundamental entre estes 
dois tipos de distribuição é que a equação reduzida expressa os desvios em termos de 
unidades de desvio padrão, enquanto que a normal expressa tais desvios nas mesmas 
unidades usadas para medir a magnitude do objeto em estudo”. 
Merril e Fox (1977) citam que, na distribuição normal, aproximadamente 
68% das observações estão dentro dos intervalos de mais ou menos um desvio padrão 
da média, enquanto, aproximadamente 95% das observações estão dentro de intervalos 
de dois desvios padrão da média e, aproximadamente, 99% das observações estão entre 
mais ou menos três desvios padrão da média, conforme exemplificado na Figura 88. 
 
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FIGURA 88 – Distribuição das observações nas amplitudes da curva normal. 
 
A freqüência teórica calculada pela distribuição normal reduzida pode ser 
obtida conforme exemplo apresentado na Tabela 45, elaborado por Silva (1977). 
Os valores das ordenadas Y foram obtidos usando a tabela das ordenadas 
da Distribuição Normal, mas também poderiam ser calculados pela fórmula da equação 
reduzida. 
O cálculo da variável Z e o auxílio da tabela de probabilidade para a 
Distribuição Normal permitem determinar a probabilidade de ocorrência de um evento 
qualquer, como, por exemplo, a probabilidade de encontrar um indivíduo com diâmetro 
maior ou igual a 13 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TABELA 45 – Freqüências observadas e teóricas para diâmetros de uma amostra de 
Pinus taeda ajustadas pela Distribuição Normal Reduzida 
Classes Freq. Vari. Ordenadas Freq. Ajustada 
DAP Obser. Reduz. 
Cc(x) F(xi) Z = (x- x)/S Y Y.N. IC/S 
 
 8,0 
 
12 
 
-2,26 
 
0,0310 
 
 7,8 
10,5 39 -1,18 0,1995 50,3 
13,0 113 -0,09 0,3973 100,2 
15,5 54 0,98 0,2468 62,2 
18,0 15 2,07 0,0468 11,8 
TOTAL 233 - - 232,3 
 
Considerando-se os dados apresentados, tem-se: 
S
xxZ )( −= , 
Z = 13,0 – 13,22 / 2,31 = -0,095. 
 
Na tabela Z obtém-se o valor de probabilidade de: 
0,46017 para o valor de Z = -0,1 e, assim, 
0,50000 para Z = 0. 
 
Por interpolação obtém-se: 
 0,1 ----- 0,46017 
 0,09 ----- x 
0,0 ----- 0,50000 �x = 0,004 
 
0,46017 + 0,0004 = 0,4642. 
 
Como o valor de P obtido representa a probabilidade à esquerda do evento, 
a probabilidade à direita será obtida por: 
P = 1 – 0,4642, 
P = 0,5358 = 53,58%. 
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 251 
 
Sendo o menor e o maior dap observados na amostragem iguais a 6,8 cm e 
19,0 cm, a probabilidade de se encontrar valores menores que 6,8 cm e maiores que 19,0 
cm será: 
P = (x < dmín) = (6,8 – 13,22)/ 2,31 = -2,779, 
 
P = (x < dmín) = 0,0027 (valor obtido na Tabela da distribuição normal). 
 
Para valores maiores que 19 cm: 
 
P = (x >dmáx) = (19,0 – 13,22)/ 2,31 = 2,502. 
 
Na tabela de probabilidade, obtém-se, para o valor de Z calculado, a 
probabilidade de 0,99379. Esta refere a probabilidade à esquerda. 
Assim a probabilidade de obter valores maiores que 19 cm será dada por: 
 
P = (x >dmáx) = 1 – 0,99379 = 0,006210. 
 
Como era esperado, a probabilidade de obter valores de diâmetro abaixo 
do menor observado e acima que o maior observado na amostragem é pequena. 
Em situação inversa, se fosse desejado conhecer a probabilidade de se 
obter diâmetros maiores que dmín e menores que dmáx, a probabilidade encontrada 
seria alta, pois: 
 
P = (dmín ≤ x ≤ dmáx) = 0,99379 - 0,0027 = 0,9911. 
 
Para conhecer o valor do dap correspondente ao percentil 86, ou seja, 86% 
de todas as árvores desse povoamento, busca-se os valores de probabilidade da Tabela 
correspondente ao valor de 86% (0,86). 
Da Tabela Z da distribuição normal, tem-se: 
 
(Z) = 1,08 = 0,859929 e, (Z) 1,09 = 0,862143; 
 
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 252 
 
e para um valor de probabilidade de 86%: 
 
1,08 ↔ 0,859929 
x ↔ 0,86 
1,09 ↔ 0,862143 
 
1,08 + ( (1,00 - 1,08) x (0,862143 - 0,859929) )/ (0,86 - 0,859929) = 1,080321 
logo: 
Z = (dap - 13,22)/ 2,31, 
dap = 1,080321 x 2,3 + 13,22 = 15,7 cm, 
 
86% de todos os dap’s são menores que 15,7 cm. 
 
Caso fosse desejado conhecer o número de árvores entre 14 e 16 cm, ter-
se-ia: 
 
P (x ≤ 16) = (16- 13,22)/ 2,31 = 1,2035 P(x ≤ 16) = 0,8849, 
 
P(x ≤ 14) = (14 - 13,22)/ 2,31 = 0,3377 P (x ≤ 14) = 0,6331, 
 
P (14 ≤ x ≤ 16) = 0,8849 – 0,6331 = 0,2518 = 25,2%, 
 
25,2% das árvores tem diâmetro entre 14 e 16 cm. 
 
 
16.3.2 Distribuição beta 
 
A distribuição beta foi estabelecidapor Pearson, em 1894, e aplicada 
posteriormente por Zoehrer na área florestal. 
A função beta é muito flexível e pode gerar uma variedade de distribuições 
decrescentes, em forma de sino, dependendo da magnitude dos expoentes. Sua função 
de densidade é expressa por: 
 
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 253 
f (x) = c (x –a)α.(b –x)γ ou 
 
ln f(x) = ln c + α .ln (x- a) + γ ln (b - x), 
 
onde: f(x) = número de árvores por unidade de área; 
 C = constante – fator de correção que garante ser a soma das freqüências 
calculadas igual ao número total de árvores; 
 X = diâmetro médio da classe; 
 a = limite inferior de função beta; 
 b = limite superior da função beta; 
 α , γ = parâmetros a serem estimados. 
 
Os valores a e b são obtidos por: 
 
A = XL - (IC/ 2) b = Xs + (IC/ 2), 
 
onde: XL = centro da 1ª classe de DAP, 
 Xs = centro da última classe de DAP; 
 IC = intervalo de classe. 
 
Loetsch et al. (1973) citam que o uso da Função Beta gera subestimativas 
nas classes de maior diâmetro, ou seja, perto da extrema direita da distribuição devido ao 
estreitamento do limite superior imposto pelo valor “b”. 
Esta subestimativa pode ser contornada pelo aumento do valor de “b”. Este 
aumento é justificado estatisticamente como um aumento de amostra, aumentando a 
probabilidade da ocorrência de um diâmetro maior. 
O valor de “b” será, então, obtido por: 
 
b = (Xs + IC/ 2) + E, 
 
onde: E = aumento do valor de “b”. 
 
O aumento é, entretanto, limitado para um máximo de ¼ da amplitude (b- a) 
da distribuição original. 
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 254 
De acordo com a variação dos coeficientes α e γ, a função beta pode 
representar diferentes formas, conforme apresentado na Figura 89. 
 
 
FIGURA 89 – Formas da função Beta de acordo com a variação dos parâmetros α e γ. 
 
16.3.2.1 Determinação dos coeficientes por regressão 
Sendo a função definida por f(x) = constante (x – a)α . (b – x)γ , pode-se 
obter uma função linear com o emprego de logaritmos. Assim, o modelo passa a ser 
escrito: 
 
ln {f(x)} = ln c + α . ln (x –a) + γ . ln (b –x) , 
 
e, na fórmula geral 
Y= b0 + b1X1 + b2 X2, 
 
onde: y = ln {f(x)}; 
 X1 = log (x - a); 
 X2 = log (b - x). 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 255 
Loetsch et al. (1973) observaram que a distribuição beta é usada para 
representar processos dinâmicos, como, por exemplo, curvas de incremento. Segundo os 
autores, deve-se excluir ou alterar para 0,001 os valores de zero que por ventura ocorram 
em qualquer classe, pois, caso contrário, não será possível empregar logaritmos. 
Para a aplicação da extensão “E” basta modificar a definição de “b”, 
observado o limite definido para seu uso e processar novamente o programa. O 
procedimento é repetido pelo usuário até que seja obtido o melhor ajuste. 
 
 
16.3.3 Distribuição exponencial negativa 
 
Essa distribuição é usada para descrever populações de florestas naturais, 
povoamentos manejados que contenham todas as idades e florestas artificiais quando 
consideradas em conjunto em nível de estado ou país. 
De Licourt, em 1898, observou, em determinado povoamento, que o número 
de árvores de uma classe em relação a classes sucessivas de diâmetro decrescia e que 
este decréscimo era constante, podendo ser representado pela seguinte proporção: 
 
N2/ N1 = N3 / N2 = N4 /N3 = q 
 
onde: N1 à N4 = número de árvores das classes sucessivas de diâmetro. 
 
Se a estrutura da floresta segue esta lei, o número de árvores pode ser 
derivado de uma série geométrica: 
 
N1 = q.N2 = q². N3 = q³.N4. 
 
O autor encontrou uma taxa de decréscimo (q) entre classes sucessivas de 
diâmetro igual a 0,50 para o povoamento estudado. Assim, se naquela floresta fossem 
encontradas 1.000 árvores na classe 5 – 10 cm, haveria na classe de 10 – 15 cm, 500 
árvores e assim sucessivamente. 
Essa distribuição de árvores em classes pode ser ajustada pela equação 
apresentada por Meyer, que admite a seguinte função de densidade: 
 
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 256 
Nj = k. e -β di (função de densidade do tipo I), 
 
onde: K e β = parâmetros a serem estimados; 
 Nj = densidade de diâmetro; 
 di = valor central da classe de diâmetro; 
 e = base do logaritmo neperiano. 
 
Se uma floresta apresenta tal distribuição de diâmetros, a distribuição é 
considerada balanceada. 
Essa função admite um cociente de decréscimo proporcional e constante, 
de modo que os fatores ingresso, mortalidade e crescimento atingem, em proporção 
constante, as freqüências em todas as classes de diâmetro da distribuição, gerando uma 
linha reta quando plotado em papel semilogarítmico. 
Segundo Loetsch et al. (1973), pode-se usar, ainda, para este tipo de 
estrutura florestal, a função de densidade tipo II. Nesta, o modelo hiperbólico apresenta a 
variável independente elevada ao quadrado. 
 
Nj = k. e -β . di² . 
 
Nesse caso, o quociente entre o número de árvores por classe de diâmetro 
não é constante, mas aumenta com o acréscimo dos diâmetros, resultando distribuições 
não-ineares sobre o papel semilogarítmico. 
 
 
16.3.3.1 Determinação dos coeficientes 
 
O ajuste das funções I e II pode ser obtido, convenientemente, pela técnica 
de regressão linear simples. Para isso, faz-se a linearização pelo emprego de logaritmos, 
obtendo-se então: 
 
Nj = k .e -β. di. 
 
Por linearização, tem-se: 
Biometria Florestal 
 
 
 257 
ln Nj = ln k. -β . di , 
 
onde: Y = ln Nj; 
 x = di; 
 b0 = ln k; 
 b1 = β. 
 
Seguindo-se o mesmo raciocínio, obtém-se a linearização da função tipo II. 
 
 
16.3.4 Distribuição binomial 
 
A distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade discreta que tem 
como pressupostos básicos: 
– cada tentativa é independente das demais; 
– o resultado de cada tentativa é independente das demais; 
– a probabilidade de ocorrência de uma tentativa é constante. 
 
A fórmula da probabilidade desta função para “n” tentativas e “k” eventos do 
tipo A é: 
knk
kn q.p).k
n(P −
−
= , 
 
onde: p = probabilidade; 
 n = número de tentativas; 
 k = número de sucessos; 
 p = probabilidade de um sucesso; 
 q = probabilidade de insucesso; 
 q =(1 – p). 
 
A combinação de 
�
�
�
�
k
n
 = nCk = ( )! !
!
knk
n
−
 
 
A média ( x ) e a variância (S²) são expressas por: 
Biometria Florestal 
 
 
 258 
x = n. p, 
S² = n. p. q. 
 
Para fins de exemplo, considerar que, em um canteiro de semeadura, a 
cada dez sementes apenas quatro germinaram. Assim, deseja-se saber qual a 
probabilidade de, nas próximas cinco observações, ser encontradas no mínimo duas 
plantas germinadas. 
 
x = n. p = 5. (4/10) = 2 
 
A probabilidade de obter pelo menos duas plantas germinadas será: 
 
P(x ≥ 2) = P (2) + P (3) + P (4) + P (5), 
 
P (2) = 5! / (2! .(3!) ). 0,4² . 0,6³ = 0,3456, 
 
P (3) = 5! / (3!. (2!) ). 0,4³ . 0,6² = 0,2304, 
 
P (4) = 0,0768, 
 
P (5) = 0,0102. 
 
Logo, a probabilidade de pelo menos duas plantas germinadas será: 
 
P(x ≥ 2) = 0,3456 + ...+ 0,0102 = 0,6630. 
 
Ainda para fins de exemplo, considerar que em um inventário florestal de 
uma população de Pinus sp., realizada com unidades amostrais (u.a.) do tipo Seis 
árvores (Método Sebast) foram observadas árvores sadias e atacadas pela vespa da 
madeira, conforme apresentado na Tabela 46. A probabilidade de plantas sadias será: 
 
P = 12/ 42 = 0,2857, 
 
e a probabilidade de plantas atacadas será: 
Biometria Florestal259 
 
q = 1 - p = 0,7143. 
 
Assim, a probabilidade de que todas as plantas sejam atacas pela vespa da 
madeira será obtida por: 
 
P(0,6) = 6! / (0! .(6 – 0)! ). 0,2857 0. 0,7143 6 
 
P(0,6) = 0,1328. 
 
A média e a variância são dadas por: 
x = n. p = 6. 0,2857 = 1,9371, 
 
S² = n. p. q = 6. 0,2857. 0,7143 = 1,2245. 
 
TABELA 46 – Número de árvores sadias e doentes por unidade amostral. 
u.a. Sadia Atacada 
 
1 
 
1 
 
5 
2 2 4 
3 1 5 
4 4 2 
5 3 3 
6 1 5 
7 0 6 
� 12 30 
 
 
16.3.5 Distribuição de Poisson 
 
A distribuição de Poisson é também uma distribuição discreta, sendo 
caracterizada quando o valor médio de “p” é muito pequeno e o número de observações 
ou de tentativas muito grande, indicando que a probabilidade “p” de sucessos é muito 
pequena (eventos raros). 
Biometria Florestal 
 
 
 260 
A fórmula aplicativa desta distribuição é: 
( )
x
k
k ek
xP −= .
! , 
x = n. p, 
onde: P(k) = probabilidade; 
 k = número de sucessos; 
 e = base do logaritmo natural; 
 
x
 = média da ocorrência de um evento. 
 
A distribuição de Poisson é o limite da distribuição binomial quando “n” se 
torna infinitamente grande e “p” tende a zero, de tal forma que n. p = x permaneça 
constante. 
A média e a variância da distribuição de Poisson são expressos como na 
distribuição Binomial: 
 
S² = n. p. q 
 
sendo: 
 
P = ( x / n); q = (1 – ( x / n)); e x = n. p. tem-se: 
 
S² = n. ( x / n). (1 – ( x /n)), 
 
S² = x . (1 – ( x / n)), quando n ---> α , 
 
S² = x . 
 
Ou seja, nessa distribuição, a média ( x ) e a variância (S²) tem o mesmo 
valor. 
Exemplificando-se a aplicação da distribuição, considerar que em um viveiro 
florestal foi detectado que cinco em cada 1.000 plantas de uma determinada espécie 
apresentaram 
 
Biometria Florestal 
 
 
 261 
problema de enovelamento de raízes. Qual a probabilidade de se ter plantas com 
problemas de raiz em uma caixa com 10 plantas? 
 
n = 10, 
p = 5/ 1000 = 0,005, 
 x = n. p, 
x = 10. 0,005, 
x = 0,05. 
 
P(0) = (0,05 0. e-0,05)/ 0! = 0,9512, 
P(1) = (0,05¹. e-0,05)/ 1! = 0,0476, 
P(2) = (0,05² . e-0,05)/ 2! = 0,0012, 
P(3) = (0,05³.e-0,05)/ 3! = 0,0000. 
 
Em outro exemplo, considerar que em um povoamento florestal, contendo 
árvores de Eucalyptus saligna e Eucalyptus tereticornis, foram encontradas em unidades 
de amostras de 100 m² (u.a) o número de árvores de Eucalyptus tereticornis, conforme 
apresentado na Tabela 47. Deseja-se saber a probabilidade de que em uma u.a qualquer 
serem encontradas seis árvores de E. tereticornis. 
 
O primeiro passo é determinar a média x . 
 
Assim, x = (0 x14) + (1 x1 5)+...+(9 x1) = 2,77, 
 126 
 
e a probabilidade de encontrar seis árvores de E. tereticornis em unidades de amostra 
nesta população será: 
P(6) = (2,77 6. e-2,77)/ 6! = 0,0399. 
 
 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 262 
Tabela 47 – Número de árvores de Eucalyptus tereticornis encontradas na unidades de 
amostra 
Número de Número de u.a Número de u.a 
E. tereticornis Amostradas Calculadas 
0 14 7,9 
1 15 21,9 
2 30 30,3 
3 27 28,0 
4 19 19,4 
5 14 10,7 
6 4 5,0 
7 2 2,0 
8 0 0,7 
9 1 0,2 
10 0 0,1 
� 126 u.a 
 
Sendo 0,0399 a probabilidade de encontrar unidades de amostra com seis 
árvores de E. tereticornis, a freqüência esperada será dada por: 
 
126 x 0,0399 = 4,95 ≈ 5. 
 
Com o mesmo procedimento, obtém-se os valores para duas árvores; 
 
P(2) = (2,77² e-2,77)/ 2! = 0,2404, 
 
126 x 0,2404 = 30,29 ≈ 30,3. 
 
As demais freqüências calculadas são obtidas pelo mesmo procedimento e 
estão apresentadas na terceira coluna da Tabela 47.