Geometria Analitica UERJ FEN - 2015

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Um Curso de Geometria anal´ıtica
Alexandre Teixeira Be´hague
Suma´rio
1 G.A. parte 1 Fundamentos ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Operac¸o˜es com nu´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Aplicac¸o˜es e func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 G.A. parte 1 Um pouco da nomenclatura da Geometria plana . . . . . . . 10
3 G.A. parte 2 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1 Soma de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Produto de nu´mero real por vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Soma de ponto com vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 Dependeˆncia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5 Bases e coordenadas de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.6 Mudanc¸a de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.7 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.8 Orientac¸o˜es no espac¸o R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.9 Produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 G.A. parte 2 Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1 Mudanc¸a de sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Func¸o˜es e o Me´todo cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5 G.A. parte 2 Estudo de retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1 Equac¸o˜es de retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 Equac¸o˜es de planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3 Intersec¸o˜es de retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.4 Posic¸o˜es relativas entre retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.5 Perpendicularidade e ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.6 Aˆngulos em retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.7 O conceito de distaˆncia atrave´s de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6 G.A. parte 2 Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.1 Elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.2 Hipe´rboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.3 Para´bolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7 Movimentos r´ıgidos de coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1
Suma´rio Suma´rio
7.1 Translac¸a˜o sem rotac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.2 Rotac¸a˜o sem translac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.3 Translac¸a˜o seguida de rotac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8 G.A. parte 2 Superf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.1 Esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.2 Elipso´ides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.3 Hiperbolo´ides de uma folha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.4 Hiperbolo´ides de duas folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.5 Parabolo´ides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.6 Parabolo´ides hiperbo´licos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.7 Qua´dricas cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.8 Qua´dricas coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Uma ide´ia matema´tica abstrata, sem contato com a intuic¸a˜o e a natureza, e´ frequ¨entemente
vista como uma �curiosidade matema´tica� e desprezada pelo ceticismo daqueles que valorizam
somente a pra´tica, a aplicac¸a˜o.
Ocorre que a histo´ria registra inu´meros exemplos de �ide´ias curiosas�, desenvolvidas por
matema´ticos despreocupados com a praticidade, e que se mostraram indispensa´veis em
trabalhos de outros profissionais.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 2 Geometria anal´ıtica
Suma´rio Suma´rio
Observac¸o˜es para o aluno
◦ Geometria anal´ıtica na˜o se faz com desenhos, e´ uma matema´tica que analisa questo˜es
geome´tricas atrave´s de equac¸o˜es nume´ricas e, portanto, faz uso da Aritme´tica e da
A´lgebra.
E´ mate´ria dif´ıcil que exige muita dedicac¸a˜o e interesse. O texto disponibilizado aqui
tem por objetivo resumir as partes centrais e os principais fatos dessa mate´ria, e mesmo
assim trata-se de um texto bem longo, pois equivale a um livro com 220 pa´ginas.
◦ Esse texto e´ completado com comenta´rios sobre sutilezas da teoria feitos durante as
aulas. Com regularidade, essas sutilezas sa˜o exploradas nas provas, logo a auseˆncia em
uma determinada aula pode custar caro.
◦ Na˜o sa˜o disponibilizadas listas avulsas de exerc´ıcios, pois esse texto apresenta um
bom nu´mero de exemplos e exerc´ıcios, sendo que esses sa˜o resolvidos em sala de aula.
Cabe ao aluno estuda´-los e, havendo du´vida, procurar o professor fora do hora´rio de
aulas.
◦ Sera˜o feitos duas provas e o crite´rio de avaliac¸a˜o para essa mate´ria e´ o definido pelo
regimento interno da UERJ, me´dia M :=
P1 + P2
2
≥ 7 aprova; se 4 ≤ M < 7, faz prova
final e e´ aprovado se conseguir me´dia final Mf :=
M + Pf
2
≥ 5, isto e´, Pf ≥ 10−M .
◦ Na˜o sa˜o feitas provas de reposic¸a˜o/substitutiva, a na˜o ser nos casos indicados pelo
regimento interno dessa universidade.
Fonte bibliogra´fica
◦ O u´nico livro indicado para to´picos dessa mate´ria e´ Geometria Anal´ıtica, um
tratamento vetorial, Camargo, Ivan de; Boulos, Paulo, Pearson Prentice Hall.
Estude os exemplos e exerc´ıcios. Havendo du´vida, procure o professor fora do hora´rio
de aulas.
◦Os alunos MAT, FEN e FIS devem dominar os fundamentos de aritme´tica ’1’, mas de-
vido a` pe´ssima (nula) formac¸a˜o teo´rica no ensino fundamental/me´dio, torna-se necessa´ria
a leitura de algum livro de Aritme´tica, ou A´lgebra elementar. A biblioteca do IME
disponibiliza va´rios.
1 E´ o mais elementar e mais antigo ramo da Matema´tica. E´ a cieˆncia matema´tica que se preocupa com
os nu´meros e as operac¸o˜es que com eles se pode fazer.
”A Aritme´tica e´ a base de toda a Matema´tica, pura ou aplicada. E´ a mais u´til das cieˆncias e provavel-
mente na˜o existe nenhum outro ramo do conhecimento humano ta˜o espalhado entre as massas”(Tobias
Dantzig (1884-1956), matema´tico da Leto´nia)
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 3 Geometria anal´ıtica
Suma´rio Suma´rio
Introduc¸a˜o
A esmagadora maioria da populac¸a˜o mundial na˜o sabe que cieˆncia e´
conhecimento exato e racional de coisa determinada,
e´ sistema de conhecimentos com um objeto determinado e um me´todo pro´prio.
Matema´tica e´ a cieˆncia exata por exceleˆncia, se ocupando de ide´ias e estabelecendo
resultados demonstrados rigorosamente. Muitas pessoas acham que Geometria e´ a parte
da Matema´tica que se ocupa com desenhos, triaˆngulos, c´ırculos, etc., Geometria e´ muito
mais do que isso, e´ uma cieˆncia exata com nomenclatura e procedimentos pro´prios, que
se subdivide em va´rios ramos teo´ricos, de acordo com o objeto de estudo. Existem, entre
outras:
GeometriadeLobatchevski-Bolyai
GeometriadeRiemann
Teoriageométricadafolheações
Sistemasdinâmicos
Topologiadiferencial
Topologiaalgébrica
Análiseemumaouváriasvariáveis,reaisoucomplexas
Teoriadegrupos
Cálculodiferencialeintegral
Álgebraelementarevetorial
Geometriadiferencial
Topologiageral
Geometriariemanniana
GeometriaeuclidianaGeometriadescritiva
Geometriaprojetiva
Geometriaanalítica
Esse artigo e´
fornecido em
cara´ter pessoal ao
aluno inscrito em
Geometria
anal´ıtica e
Ca´lculo Vetorial
I, IME03-01913,
UERJ.
O autor na˜o
autoriza a
transfereˆncia a
terceiros e a
divulgac¸a˜o na
Internet de parte
ou da integra
desse documento
Coube a Rene´ Descartes ’2’ introduzir o procedimento de associac¸a˜o de equac¸o˜es aos
entes geome´tricos, o chamado me´todo cartesiano, e fundar a Geometria anal´ıtica.
Mais tarde, Gottfried Wilhelm Leibniz ’3’ em 1684 e Isaac Newton ’4’ em 1687 apresen-
taram os princ´ıpios fundamentais do Ca´lculo Infinitesimal, fazendo forte uso da Geometria
anal´ıtica e do conceito de limite.
2 Matema´tico e filo´sofo franceˆs, 1596-1650. Fundador do racionalismo moderno, cr´ıtico da auseˆncia de
fundamentos teo´ricos no ensino de cieˆncias. Publicou Discurso do me´todo em 1637 com ensaios sobre
O´ptica geome´tria e refrac¸a˜o, Meteorologia e, o mais importante, sobre como ligar a Geometria (cla´ssica)
ao Ca´lculo, criando a Geometria anal´ıtica
3 Matema´tico e filo´sofo alema˜o, 1646-1716. Considerado como um dos esp´ıritos mais brilhantes do
se´culo 17, contribuiu com as Matema´ticas descobrindo, em 1675, os princ´ıpios fundamentais do ca´lculo
infinitesimal. Esta descoberta foi realizada independentemente da de Newton, que inventou seu sistema
de ca´lculo em 1666. O sistema de Leibinz foi publicado em 1684, o de Newton em 1687, e´poca na
qual o me´todo de notac¸a˜o imaginado por Leibinz, bastante influenciado pelos trabalhos de Descartes, foi
universalmente adotado
4 F´ısico ingleˆs, 1642-1727
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 4 Geometria anal´ıtica
1 G.A. parte 1 Fundamentos ba´sicos
1 G.A. parte 1 Fundamentos ba´sicos
A leitura da parte 1 do texto - cap´ıtulos 1 e 2 - e´ deixada sob responsabilidade do
aluno. O professor se ocupara´ com a leitura e explicac¸a˜o minuciosas dos fundamentos da
parte 2 - cap´ıtulos 3 e seguintes -, bem com a elaborac¸a˜o dos exerc´ıcios propostos.
1.1 Conjuntos
Conjunto e´ uma colec¸a˜o de coisas fundamentais, indivis´ıveis, minimais (em Geome-
tria sa˜o chamados pontos, em A´lgebra sa˜o elementos), na˜o constitu´ıdos de nada menor
e que possuem todos uma mesma propriedade matema´tica, que pode ser nume´rica (quan-
titativa), ou na˜o nume´rica (qualitativa). A nomenclatura usual e´
’s´ımbolo do conjunto’ = {’elemento do conjunto’; ’propriedade espec´ıfica do conjunto’}.
Um subconjunto Y de um dado conjunto X e´ uma colec¸a˜o de pontos particulares de
X com uma determinada propriedade comum P, escreve-se
Y = {pontos A ∈ X; A verifica P},
leia ’Y e´ formado dos pontos A que pertencem a X tais que A verifica a propriedade P’.Esse artigo e´
fornecido em
cara´ter pessoal ao
aluno inscrito em
Geometria
anal´ıtica e
Ca´lculo Vetorial
I, IME03-01913,
UERJ.
O autor na˜o
autoriza a
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terceiros e a
divulgac¸a˜o na
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ou da integra
desse documento
Usa-se a notac¸a˜o Y ⊂ X, leia ’Y esta´ contido em X’, ’Y e´ subconjunto de X’, para
indicar que cada ponto de Y e´ tambe´m ponto de X.
A ide´ia de igualdade em Matema´tica na˜o e´ ta˜o simples como muitos acham: quando
se diz ’X e´ igual a Y’, quer-se dizer que todos os pontos do conjunto X sa˜o pontos do
conjunto Y, e todos os pontos de Y sa˜o tambe´m pontos de X. Nesse caso, escrevemos
X = Y. Mas basta um ponto de X na˜o ser ponto de Y, ou um ponto de Y na˜o ser ponto
de X, para que os conjuntos na˜o sejam iguais e enta˜o escrevemos X 6= Y.
Com dois conjuntos podemos formar treˆs tipos especiais de conjuntos:
1) A unia˜o de X e Y e´ o conjunto
X∪Y = {pontos A; A ∈ X ou A ∈ Y}.
2) A intersec¸a˜o de X e Y e´ o conjunto
X∩Y = {pontos A; A ∈ X e A ∈ Y}.
Quando X∩Y = ∅, ou seja, quando X e Y na˜o teˆm ponto comum, diz-se que X e Y
sa˜o disjuntos. Mas cuidado, em Matema´tica a palavra ou na˜o significa ’ou e´ P, ou e´ Q’,
pode ocorrer ’e´ P e e´ Q’.
3) O produto cartesiano de X e Y e´ o conjunto
X×Y = {(x, y); x ∈ X e y ∈ Y}
de pares ordenados, em que os conjuntos X e Y podem ter mesma natureza, ou na˜o, um
pode ser nume´rico e o outro na˜o nume´rico.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 5 Geometria anal´ıtica
1 G.A. parte 1 Fundamentos ba´sicos 1.2 Operac¸o˜es com nu´meros reais
1.2 Operac¸o˜es com nu´meros reais
1) Os nu´meros racionais Q = {x
y
; x ∈ Z e y ∈ Z, y 6= 0} reunidos com os nu´meros irra-
cionais {a0, a1a2...an... d´ızima na˜o-perio´dica ; a0, a1, a2, ..., an, ... ∈ Z} formam o conjunto
R dos nu´meros reais e nele tem destaque o subconjunto R+ dos nu´meros reais positivos,
bem como R− = {−x; x ∈ R+}. As operac¸o˜es sobre R:
1. Adic¸a˜o, a cada (x, y) ∈ R×R se associa a soma x + y;
2. Multiplicac¸a˜o, a cada par (x, y) se associa o produto x.y = xy;
3. Subtrac¸a˜o, (x, y) e´ associado a` diferenc¸a x− y := x + (−y);
4. Divisa˜o, (x, y), com y 6= 0, e´ associado ao quociente x
y
:= xy−1.
Observe a diferenc¸a entre
1
2
3 =
3
2
e
1
2
1
3
=
1
6
e
1
2
1
3
=
3
1
1
2
=
3
2
.
A adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o se relacionam atrave´s das seguintes regras de distribuic¸a˜o:
x(y + z) = xy + xz e (y + z)x = yx + zx = xy + xz,∀x, y, z ∈ R.
A equac¸a˜o
x− 3
5
=
7
2
se desenvolve via multiplicac¸a˜o em cruz, isto e´, multiplicando-se
ambos membros da equac¸a˜o por
2
7
, logo
x− 3
5
=
7
2
⇒ (traduza essa flecha ’⇒’ como
’implica em’) 2(x− 3) = 35⇒ 2x− 6 = 35⇒ x = 41
2
.
Vale x0 = 0,∀x ∈ R: de fato, x0 + x = x0 + x1 = x(0 + 1) = x1 = x e, somando −x
a ambos os membros da igualdade x0 + x = x, tem-se x0 = 0.
Se xy = 0, enta˜o x = 0, ou y = 0: com efeito, se y 6= 0, enta˜o xyy−1 = 0y−1 ⇒ x1 =
x = 0. Se, ao contra´rio, x 6= 0, enta˜o xx−1y = x−10 ⇒ 1y = y = 0. Isto significa que o
u´nico divisor de zero em R e´ o nu´mero zero.
Pode-se facilmente estabelecer as regras dos sinais, isto e´, x(−y) = −(xy) = (−x)y e
(−x)(−y) = xy: de fato, x(−y) + xy = x(−y + y) = x0 = 0 e, somando −(xy) a ambos
membros da igualdade x(−y) + xy = 0, tem-se x(−y) = −(xy). O mesmo e´ feito para
(−x)y = −(xy). Por fim (−x)(−y) = −[x(−y)] = −[−(xy)] = xy. Segue, em particular,
que (−1)(−1) = 1.
2) Potenciac¸a˜o. A n-e´sima poteˆncia de x e´ o nu´mero xn igual a x. x. . . x︸ ︷︷ ︸
n vezes
, sendo
que o nu´mero n se chama o expoente de x. Claro que x1 = x.
(x + y)2 e´ o segunda poteˆncia de x + y, e´ o quadrado de x + y, enquanto que x2 + y2
e´ a soma do quadrado de x com o quadrado de y. Claro que (x + y)2 = (x + y)(x + y) =
x2 + 2xy + y2 6= x2 + y2.
(x − y)2 e´ o quadrado da diferenc¸a x − y, enquanto que x2 − y2 e´ a diferenc¸a do
quadrado de x pelo quadrado de y. Note que (x− y)2 = (x− y)(x− y) = x2− 2xy + y2 e
x2 − y2 = (x + y)(x− y).
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 6 Geometria anal´ıtica
1 G.A. parte 1 Fundamentos ba´sicos 1.2 Operac¸o˜es com nu´meros reais
(2x+3)2 = (2x)2+2(2x)3+32 = 4x2+12x+9. Note que (3x−5)2 = (3x)2−2(3x)5+52 =
9x2− 30x+25 e´ diferente de (3x)2− 52 = (3x− 5)(3x+5) = (3x)2 +(3x)5− 5(3x)− 25 =
9x2 − 25.
3) Radiciac¸a˜o. A raiz n-e´sima de x e´ o nu´mero n
√
x := x
1
n igual a y, no sentido que
yn = ( n
√
x)n = (x
1
n )n = x
n
1
n = x.
Observe que
√
4 = ±2 porque 22 = 4 e (−2)2 = 4. So´ se pode assumir √4 = 2 quando
uma resposta negativa na˜o e´ conforme a` situac¸a˜o estudada, algo comum quando se opera
distaˆncias, a´reas, volumes que sa˜o, por definic¸a˜o, nu´meros positivos.
4) Polinoˆmio. E´ uma expressa˜o alge´brica em que esta˜o envolvidas as operac¸o˜es de
adic¸a˜o, subtrac¸a˜o e multiplicac¸a˜o, bem como expoentes inteiros positivos.
Uma expressa˜o da forma f(x) = ax+ b e´ um polinoˆmio do primeiro grau, pois o maior
exponente de x e´ 1, ja´ uma expressa˜o da formaf(x) = ax2 + bx + c e´ um polinoˆmio do
segundo grau, visto que o maior exponente de x e´ 2.
Encontrar uma raiz de f(x) = ax + b equivale a` se resolver a equac¸a˜o ax + b = 0.
Assim a raiz de f(x) = 3x + 2 e´ obtida de 3x + 2 = 0, ou seja, x = −2
3
.
Encontrar uma raiz de f(x) = ax2 + bx + c consiste em se resolver a equac¸a˜o ax2 +
bx + c = 0 via o Teorema de Ba´skara, o qual indica que x =
−b±√b2 − 4ac
2a
. Note
que se b2 − 4ac > 0, enta˜o a equac¸a˜o ax2 + bx + c = 0 tera´ duas soluc¸o˜es, uma e´
x =
−b +√b2 − 4ac
2a
, a outra e´ x =
−b−√b2 − 4ac
2a
.
A resoluc¸a˜o de f(x) = 3x2 − 4x + 1: escreva 3x2 − 4x + 1 = 0 e aplique o Teorema
de Ba´skara, de sorte que x =
−(−4)±√(−4)2 − 4.3.1
2.3
=
4± 4
6
e as ra´ızes sa˜o x0 =
4
3
e´
x1 = 0.
5) A relac¸a˜o de ordem para os nu´meros reais. Dados x, y ∈ R, escreve-se x < y (leia
’x e´ menor do que y’) quando y − x ∈ R+. Tambe´m podemos escrever y > x (’y e´ maior
do que x’). Claro que x > 0 quando x ∈ R+ e x < 0 quando x ∈ R−.
6) O valor absoluto de x ∈ R, mo´dulo de x, e´ definido por |x| = max{x,−x} ={
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0 e possui as seguintes propriedades:
1. |x| ≥ 0 e |x| = 0 se, e somente se, x = 0;
2. |x− y| = |y − x|;
3. |xy| = |x||y|;
4. |x
y
| = |x||y| , para y 6= 0;
5. |x + y| ≤ |x|+ |y|.
Como subproduto da definic¸a˜o, para qualquer x ∈ R, tem-se −x ≤ |x|, x ≤ |x| e
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 7 Geometria anal´ıtica
1 G.A. parte 1 Fundamentos ba´sicos 1.3 Aplicac¸o˜es e func¸o˜es
−|x| ≤ x ≤ |x|. Exemplos, | − 4| = 4, | − pi + 3| = pi − 3 (pi: pi, ’p’ latino) |x − 3| ={
x− 3, quando x ≥ 3
−x + 3 quando x < 3 .
Dados nu´meros reais a, x e r, vale |x − a| < r ⇔ a − r < x < a + r ’5’. De
fato, |x − a| ≥ x − a e |x − a| ≥ −(x − a), assim |x − a| < r implica x − a < r e
−(x − a)− = a − x < r e enta˜o a − r < x < a + r. O racioc´ınio no sentido inverso
(rec´ıproca) e´ verdadeiro e imediato.
Um propriedade do mo´dulo bastante u´til e´ a desigualdade do triaˆngulo: dados
x, y ∈ R, vale |x + y| ≤ |x|+ |y|.
1.3 Aplicac¸o˜es e func¸o˜es
Por aplicac¸a˜o entende-se uma regra de associac¸a˜o matema´tica e dois conjuntos tais
que, a cada ponto de um, faz-se corresponder um ponto do outro. O conjunto onde a regra
e´ aplicada chama-se domı´nio, o outro conjunto, que conte´m os resultados da aplicac¸a˜o
da regra, e´ chamado contra-domı´nio. Em s´ımbolos, escrevemos
f : X→ Y (leia ’f esta´ definida de X para Y’),
em que f e´ a regra de associac¸a˜o, X e´ o domı´nio de f e Y e´ o contra-domı´nio de f .
A cada x ∈ X, f associa um u´nico y ∈ Y e escrevemos y = f(x) (leia ’y e´ igual a f de
x’). O ponto y e´ a imagem de x por f , o valor de f em x. O conjunto imagem de
f e´ o conjunto
f(X) = {f(x) ∈ Y; x ∈ X} (leia ’f de X’).
O gra´fico de f e´ o conjunto
G(f) = {(x, f(x)); x ∈ X} ⊂ X×Y
e pode assumir uma infinidade de formas, dependendo da expressa˜o de f .
A pre´-imagem de um subconjunto E ⊆ Y por f : X→ Y e´ o conjunto
f−1(E) = {x ∈ X; f(x) ∈ E} (leia ’f a menos um de E’).
O termo func¸a˜o e´ reservado exclusivamente para as aplicac¸o˜es que assumem valores
reais ou complexos, ou seja, Y = R ou C = {x + iy; x, y ∈ R e i = √−1 }.
Alguns tipos gerais de aplicac¸o˜es:
1. Biun´ıvoca: x 6= y ∈ X⇒ f(x) 6= f(y) ∈ f(X).
2. Sobre: dado y ∈ Y, existe (ao menos) um x ∈ X tal que f(x) = y. Assim f(X) = Y.
5 Imagine que P e Q sa˜o duas frases. O s´ımbolo P ⇒ Q e´ lido ’P implica Q’, e tambe´m ’se P, enta˜o
Q’. Significa que se vale a frase P, enta˜o vale a frase Q.
O s´ımbolo P ⇔ Q e´ lido ’P se, e somente se, Q’, indicando que tanto vale a afirmac¸a˜o P ⇒ Q, quanto
a afirmac¸a˜o rec´ıproca Q ⇒ P
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 8 Geometria anal´ıtica
1 G.A. parte 1 Fundamentos ba´sicos 1.3 Aplicac¸o˜es e func¸o˜es
3. Bijetiva ou correspondeˆncia biun´ıvoca: a aplicac¸a˜o e´ biun´ıvoca e sobre.
4. Uma distaˆncia no conjunto X e´ uma func¸a˜o d : X×X → R que a cada par x, y
de pontos de X faz corresponder o nu´mero d(x, y) chamado a distaˆncia de x a y, a
distaˆncia entre x e y.
Mais adiante (proposic¸a˜o 4.1) veremos com se calcula explicitamente a distaˆncia de
um ponto a outro, e consequentemente a distaˆncia de um ponto a uma reta, de ponto a
plano, de um ponto a uma esfera, etc.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 9 Geometria anal´ıtica
2 G.A. parte 1 Um pouco da nomenclatura da Geometria plana
2 G.A. parte 1 Um pouco da nomenclatura da Geometria plana
1) Segmento de reta AB e´ o conjunto de todos os pontos alinhados (colineares)
com A e B e que esta˜o entre A e B.
A B
..
2) Semi-reta
−→
AB e´ o conjunto AB ∪ {pontos P ; B esta´ entre P e A}.
. .
A B
E´ um conjunto com in´ıcio, a origem A, e que se estende infinitamente com uma
determinada orientac¸a˜o (direc¸a˜o, indicac¸a˜o de rumo a seguir, sentido).
3) Reta
←→
AB e´ a reunia˜o
−→
AB ∪ −→BA, conjunto infinito formada de infinitos pontos.
. .
A B
Esse artigo e´
fornecido em
cara´ter pessoal ao
aluno inscrito em
Geometria
anal´ıtica e
Ca´lculo Vetorial
I, IME03-01913,
UERJ.
O autor na˜o
autoriza a
transfereˆncia a
terceiros e a
divulgac¸a˜o na
Internet de parte
ou da integra
desse documento
Treˆs pontos sa˜o colineares se ha´ uma reta que os conte´m; sa˜o na˜o-colineares se na˜o
esta˜o simultaneamente em uma mesma reta.
4) A intersecc¸a˜o de duas retas e´ um u´nico ponto e determina um plano. Isto e´, se
retas r e s teˆm ponto comum A, escolha B ∈ r, C ∈ s e o plano que conte´m r e s, o plano
que conte´m A,B e C na˜o-colineares, e´ a reunia˜o {retas que passam por A e um ponto de
BC} ∪ {retas que passam por B e um ponto de AC} ∪ {retas que passam por C e um
ponto de AB}.
.
.
.C
A B
Dados uma reta r e um ponto P 6∈ r, existe um u´nico plano Π (pi maiu´sculo, ’P’) que
os conte´m. Duas retas sa˜o paralelas quando sa˜o coplanares (esta˜o em um mesmo plano)
e disjuntas.
Dois planos sa˜o paralelos quando sa˜o disjuntos, infinitos planos paralelos determinam
o espac¸o, muitas vezes denotado pelo s´ımbolo R3, ou V3.
Dados um plano Π e um ponto P 6∈ Π, existe um u´nico plano Σ (sigma maiu´sculo,
’S’) que conte´m P e e´ paralelo a Π.
5) Dadas duas semi-retas
−→
AB e
−→
AC, o plano que as conte´m fica dividido em duas
partes, sendo que a parte convexa e´ chamada aˆngulo e denotado por B̂AC.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 10 Geometria anal´ıtica
2 G.A. parte 1 Um pouco da nomenclatura da Geometria plana
.
.
.
C
A
B
O ponto A e´ o ve´rtice do aˆngulo, as semi-retas limitantes sa˜o as arestas do aˆngulo.
A medida de B̂AC e´ um nu´mero, obtido por interme´dio do instrumento transferidor,
e que se denota por m(B̂AC) e tambe´m por med(B̂AC). Em teoria, a gente escreve
med(B̂AC) = 60o; na pra´tica, e por abuso de linguagem, a gente pode escrever B̂AC =
60o.
Supondo seis pontos em um plano, com os quais se determinam ÂBC e ÊDF medindo
45o, podemos escrever ÂBC = 45o e ÊDF = 45o. Mas na˜o podemos escrever ÂBC =
ÊDF , pois os dois aˆngulos sa˜o conjuntos diferentes.
A
D
B
C
E
F
.
.
45º
.
.
45º
6) Dados uma reta r e um ponto P 6∈ r, existe uma u´nica reta s que conte´m P e
e´ perpendicular a r, isto e´, ficam definidos quatro aˆngulos retos a partir do ve´rtice
A = r ∩ s, e escreve-se r ⊥A s.
.
.
P
A
s
r
Existem infinitas retas em um plano Π que conteˆm (passam) por um dado P ∈ Π e
diz-se que uma reta r e´ perpendicular a Π por P (escreve-se r ⊥P Π) se for r perpendicular
a duas quaisquer retas s, t ⊂ Π com s ∩ t = P .
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 11 Geometria anal´ıtica
2 G.A. parte 1 Um pouco da nomenclatura da Geometria plana
P
retarperpendicularaoplano
.
s
t
7) A projec¸a˜o (perpendicular) de uma reta r sobre um plano Π e´ oconjunto de pontos
A′ ∈ Π tais que ←→AA′ ⊥A′ Π, com A ∈ r.
A
rs
Π
.
A’
.
8) Um triaˆngulo de ve´rtices A,B,C e´ a reunia˜o AB ∪ BC ∪ AC e e´ denotado por
ABC.
P
A .
B.
C
.
Dois triaˆngulos sa˜o ditos congruentes se existe correspondeˆncia de aˆngulos e arestas
de um para outro tal que:
1. Os mesmos aˆngulos sa˜o encontrados nos dois triaˆngulos;
2. As mesmas medidas de arestas sa˜o encontradas nos dois triaˆngulos.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 12 Geometria anal´ıtica
3 G.A. parte 2 Vetores
3 G.A. parte 2 Vetores
Quando se desenha AB com uma re´gua, na˜o faz diferenc¸a se o segmento e´ trac¸ado
desde A ate´ B, ou de B ate´ A, mas no estudo que segue e´ necessa´rio fixar um ’comec¸o’ e
um ’fim’ para AB.
Definic¸a˜o 3.1. O segmento de reta desenhado desde A ate´ B e´ chamado segmento
orientado ’6’ e denotado por (A,B), sendo que A e´ a origem do segmento orientado e
B e´ sua extremidade. �
Note que dois pontos A e B sempre definem dois segmentos de reta e dois segmentos
orientados, sendo que AB = BA e (A,B) 6= (B,A).
Definic¸a˜o 3.2. (A,B) e (C,D) sa˜o de mesmo comprimento se AB e CD teˆm mesmo
comprimento, i.e., a distaˆncia d(A,B) de A ate´ B e´ igual a` distaˆncia d(C,D) de C ate´ D.
(A,B) e (C,D) sa˜o de mesma direc¸a˜o, teˆm mesma direc¸a˜o, quando AB e CD sa˜o
paralelos. E (A,B) e (C,D) de mesma direc¸a˜o sa˜o de mesmo sentido quando AC∩BD =
∅, sendo de sentido contra´rio quando AC ∩BD 6= ∅. �
Definic¸a˜o 3.3. (A,B) e (C,D) sa˜o equipolentes quando teˆm (1) mesmo comprimento,
(2) mesma direc¸a˜o e (3) mesmo sentido. A fim de indicar essa situac¸a˜o, utiliza-se o s´ımbolo
(A,B) ∼ (C,D). �
Esse artigo e´
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Cuidado, e´ errado dizer ’(A,B) e´ igual a (C,D)’, pois frequ¨entemente esses conjuntos
teˆm pontos diferentes. O correto e´ dizer ’(A,B) e´ equipolente a (C,D)’, ou ’(A,B) e
(C,D) sa˜o equipolentes’.
Pode-se provar (e´ uma proposic¸a˜o matema´tica) que a equipoleˆncia possui as seguintes
propriedades, tornando-a uma relac¸a˜o de equivaleˆncia:
E1. (A,B) ∼ (A,B);
E2. (A,B) ∼ (C,D)⇒ (C,D) ∼ (A,B);
E3. (A,B) ∼ (C,D) e (C,D) ∼ (E,F )⇒ (A,B) ∼ (E,F ).
Tambe´m e´ fa´cil verificar que se (A,B) ∼ (C,D), enta˜o (A,C) ∼ (B,D).
Exerc´ıcio 1. Prove que se (A,B) ∼ (P,Q) e (C,D) ∼ (P,Q), enta˜o (A,B) ∼ (C,D).
Chegamos finalmente a` ide´ia principal deste cap´ıtulo.
Definic¸a˜o 3.4. O conjunto formado pelos segmentos orientados (em nu´mero infinito) que
sa˜o, todos eles, equipolentes a (A,B) se chama vetor e e´ simbolizado por
−→
AB. �
6 Esse conceito e´ devido a` Mo¨bius e Chasles. Mas Hamilton ira´ chama´-lo vetor em 1843 e atribuira´ a
ele uma medida alge´brica
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 13 Geometria anal´ıtica
3 G.A. parte 2 Vetores
vetor AB
A
B
.
.
X
Y
.
D
C
.
.
.
A ide´ia de vetor surgiu da necessidade de se considerar (A,B) onde for necessa´rio, se
na˜o esta´ no local ideal para um determinado estudo, troque-o por um segmento equipo-
lente no local ideal. E´ comum dizer ’o vetor
−→
AB e´ representado pelo segmento (A,B)’ e
’o segmento (A,B) representa o vetor
−→
AB’.
Algumas observac¸o˜es:
1a. (A,B) ∈ −→AB.
2a. Se (A,B) ∼ (C,D), enta˜o −→AB = −−→CD e reciprocamente.
3a. Esta´ errado dizer ’
−→
AB e
−−→
CD sa˜o equipolentes’, o correto e´ ’
−→
AB e
−−→
CD sa˜o iguais’
ou ’
−→
AB e´ igual a
−−→
CD’.
4a. Muitas vezes na˜o e´ interessante destacar qualquer segmento orientado para indicar
um vetor, usamos enta˜o letras minu´sculas com uma seta superior tal como −→a ,−→b ,−→v , etc.
Veremos mais adiante que vetores sa˜o manipulados com se fosse nu´meros.
v
5a. Se ocorre de −→v ser representado por (A,B), enta˜o −→v = −→AB
e (A,B) ∈ −→v . E´ muito comum ver em textos cient´ıficos a ilustrac¸a˜o
que deve ser interpretada com cuidado: o s´ımbolo −→v ao lado do
segmento orientado (flecha) esta´ somente nos lembrando que esse segmento orientado e´
um dos infinitos representantes do vetor. Na˜o e´ o vetor propriamente dito !
Bem ao contra´rio do que muitos acham, na˜o podemos desenhar vetor simplesmente
porque vetor na˜o e´ um segmento de reta.
Por vetor nulo, vetor zero, entende-se qualquer vetor que admite um representante
segmento orientado nulo. Ja´ e´ tradicional escrever
−→
0 ,
−→
AA, etc., para indicar vetores nulos.
O vetor oposto de −→v = −→AB e´ o vetor −−→v = −−→AB = −→BA, ou seja, os representantes
de −−→v teˆm sentido contra´rio com relac¸a˜o aos representantes de −→v . Fa´cil ver que −→v =
−(−−→v ), e que −→v = −−→v se, e somente se, −→v = −→0 .
Voltando a` definic¸a˜o 3.4, e´ fa´cil aplicar aos vetores as ide´ias ’ser paralelo’, ’ser de
mesma direc¸a˜o’, ’ser de mesmo sentido’, ’ser de sentido contra´rio’, etc. Por exemplo, se
−→a e −→b sa˜o na˜o-nulos, enta˜o esses sa˜o de mesma direc¸a˜o quando um representante (logo
qualquer) de −→a e´ paralelo a algum representante (logo qualquer) de −→b . Por uma questa˜o
de ajuste teo´rico,
−→
0 e´ paralelo a qualquer outro.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 14 Geometria anal´ıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.1 Soma de vetores
Definic¸a˜o 3.5. A norma de −→v e´ igual ao comprimento de qualquer um do representantes
de −→v e se indica esse comprimento pelo s´ımbolo |−→v |. �
E´ o´bvio que |−→0 | = 0. E se |−→v | = 1, −→v e´ chamado vetor unita´rio.
Sejam −→a e −→b na˜o-nulos. Ocorre −→a = −→b se, e somente se, ambos vetores sa˜o de
mesma norma, mesma direc¸a˜o e mesmo sentido.
Exerc´ıcio 2. Se
−→
AB =
−−→
CD, prove que AC ∩BD = ∅ e |−→AB| = |−−→CD|.
Exerc´ıcio 3. Prove que se
−−→
AX =
−−→
BX, enta˜o A = B.
3.1 Soma de vetores
De agora em diante, R3 indica o conjunto da Geometria anal´ıtica onde encontramos
pontos, retas, segmentos orientados, vetores, planos, c´ırculos, esferas, etc. Esse conjunto
e´ chamado espac¸o cartesiano real de dimensa˜o 3, ou espac¸o para encurtar.
A Adic¸a˜o e´ a operac¸a˜o matema´tica que, para −→u e −→v , define o vetor soma −→u +−→v do
seguinte modo: considera-se (A,B) ∈ −→u e (B,C) ∈ −→v , e enta˜o (A,C) ∈ −→u +−→v .
C
+
.
A
.
u
v
u v
u v
B
.
Exerc´ıcio 4. Por que a adic¸a˜o vetorial pode ser definida desse modo ?
Exerc´ıcio 5. Prove que a adic¸a˜o vetorial esta´ bem definida, isto e´, −→u + −→v independe
dos representantes.
Do ponto de vista das ilustrac¸o˜es, existem duas opc¸o˜es:
1a. Desenhe (A,B) e, em seguida, (B,C). Desse modo, (A,C) e´, por definic¸a˜o, um
representante de −→u +−→v (vide figura anterior).
2a. Apo´s desenhar (A,B), desenhe um representante de −→v com origem em A, digamos
(A,C). Fica definido um paralelogramo e a diagonal vinculada a A representa −→u +−→v .
C
+
.
A
.
u
v
u
v
u v
B
.
.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 15 Geometria anal´ıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.2 Produto de nu´mero real por vetor
A subtrac¸a˜o de −→u e −→v e´ a operac¸a˜o matema´tica que associa o vetor diferenc¸a −→u −−→v = −→u + (−−→v ).
.
.
.
_
u
v
v
_
vu
Pode-se provar facilmente as seguintes propriedades:
A1. (−→u +−→v ) +−→w = −→u + (−→v +−→w );
A2. −→u +−→v = −→v +−→u ;
A3. −→v +−→0 = −→0 +−→v = −→v ;
A4. Dado −→u , existe −→v tal que −→u +−→v = −→0 . Escreve-se −→v = −−→u .
Exerc´ıcio 6. Seja a a norma de −→a e b a norma de −→b . 1) Qual e´ o limite superior para
a norma da resultante ? 2) Obtenha o limite inferior para a norma da soma vetorial. 3)
Supondo a = 2b, quais deveriam ser os limite superior e inferior para a norma da soma ?
3.2 Produto de nu´mero real por vetor
A multiplicac¸a˜ode nu´mero real por vetor e´ a operac¸a˜o matema´tica que, para
a ∈ R e −→v , faz corresponder o vetor a−→v que verifica as seguintes propriedades:
P1. a = 0 ou −→v = −→0 ⇒ a−→v = −→0 ;
P2. a 6= 0 e −→v 6= −→0 ⇒ a−→v e −→v sa˜o de mesma direc¸a˜o, sendo que sa˜o de mesmo
sentido quando a > 0 e sa˜o de sentido contra´rio, caso a < 0;
P3. |a−→v | = |a||−→v |, em que |a| e´ o mo´dulo de a.
v
v2
1
2
_
v
_
O nu´mero a e´ chamado escalar e a−→v e´ lido ’o produto de a por −→v ’, ’o mu´ltiplo
escalar de −→v ’, ’a vezes −→v ’. Observe que a > 1 ou a < −1 implicam |a−→v | > |−→v |.
Tambe´m −1 < a < 1 implica |a−→v | < |−→v | (verifique !). No caso particular em que a = 1
b
,
e´ comum escrever
−→v
b
, em vez de
1
b
−→v . Mas cuidado,
−→v
b
na˜o e´ um quociente, uma frac¸a˜o.
O vetor
−→v
|−→v | e´ conhecido como o versor de
−→v .
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 16 Geometria anal´ıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.2 Produto de nu´mero real por vetor
Exerc´ıcio 7. Prove que se (A,B) ∼ (C,D), enta˜o, para qualquer a ∈ R, tem-se a−→AB =
a
−−→
CD.
Exerc´ıcio 8. Prove que o versor de −→v e´ unita´rio, isto e´, de norma 1. Mostre tambe´m
que −→v e seu versor sa˜o sempre de mesma direc¸a˜o e de mesmo sentido.
Ale´m das propriedades definidoras, valem as seguintes:
P4. a(−→u +−→v ) = a−→u + a−→v ;
P5. (a + b)−→v = a−→v + b−→v ;
P6. 1−→v = −→v ;
P7. a(b−→v ) = (ab)−→v = b(a−→v ).
Todos esses resultados nos dizem que se pode operar vetores como se fossem nu´meros,
e existem va´rios fatos curiosos. Por exemplo:
1. (−a)−→v = −(a−→v );
2. a(−−→v ) = −(a−→v );
3. (−a)(−−→v ) = a−→v .
O seguinte resultado e´ muito empregado em Ca´lculo vetorial: −→u ‖ −→v se, e somente
se, existe algum escalar na˜o-nulo a ∈ R tal que −→u = a−→v .
Exemplo 1. Considerando um paralelogramo ABCD, mostre que vale |−→AC|2 + |−−→BD|2 =
2|−→AB|2 + 2|−−→AD|2, conhecida como a identidade do paralelogramo.
E´ sempre poss´ıvel trac¸ar segmentos perpendiculares com relac¸a˜o a`s arestas adjacentes,
formando o desenho seguinte.
a
b
x
y-z
z
w
A
B
C
D
z
Enta˜o a2 = (y + z)2 +w2 = y2 + z2 +w2 +2yz, b2 = (y− z)2 +w2 = y2 + z2 +w2− 2yz ⇒
a2 + b2 = 2y2 + 2(z2 + w2) = 2y2 + 2x2. C
Exemplo 2. Mostre a regra de cancelamento −→u +−→v = −→u +−→w ⇒ −→v = −→w .
Podemos somar o oposto de −→u em ambos os membros da igualdade, assim −→u + −→v +
(−−→u ) = −→u +−→w +(−−→u )⇒ −→u −−→u +−→v = −→u −−→u +−→w ⇒ −→0 +−→v = −→0 +−→w ⇒ −→v = −→w .
C
Ale´m de valer a equac¸a˜o vetorial −→u = a−→v para vetores paralelos, vale tambe´m que
se −→u e −→v sa˜o na˜o paralelos, enta˜o a equac¸a˜o vetorial a−→u + b−→v = −→0 admite apenas a
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 17 Geometria anal´ıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.2 Produto de nu´mero real por vetor
soluc¸a˜o trivial a = b = 0. Tambe´m a1
−→u + b1−→v = a2−→u + b2−→v implica que a1 = a2 e
b1 = b2.
Resumindo, a−→u + b−→v 6= −→0 , com a, b 6= 0, e so´ existe uma maneira de descreveˆ-lo.
Exemplo 3. Se
−→
AB +
−→
AC =
−−→
BC, prove que A = B.
Somando
−−→
BC, membro a membro, teremos
−→
AB +
−→
AC +
−−→
BC =
−−→
BC +
−−→
BC ⇒ −→AB +−−→BC +
−→
AC = 2
−−→
BC ⇒ −→AC + −→AC = 2−−→BC ⇒ 2−→AC = 2−−→BC ⇒ 1
2
2
−→
AC =
1
2
2
−−→
BC ⇒ 1−→AC = 1−−→BC ⇒
(A,C) ∼ (B,C)⇒ A = B. C
Exerc´ıcio 9. De quanto e´ necessa´rio multiplicar
−→
AB +
−−→
CB + 2
−→
BA para que este vetor
seja igual a
1
3
−→
AC ?
Exemplo 4. Ocorre −→u +−→v = −→w se, e somente se, −→u = −→w −−→v .
De fato −→u + −→v = −→w ⇒ −→u + −→v + (−−→v ) = −→w + (−−→v ) ⇒ −→u + −→0 = −→u = −→w − −→v .
Reciprocamente, −→u = −→w −−→v ⇒ −→u +−→v = −→w −−→v +−→v = −→w +−→0 = −→w . C
Exemplo 5. Mostre que −(−→u +−→v ) = −−→u −−→v .
Claro que −→u + −→v + [−(−→u + −→v )] = −→0 . Tambe´m −→u + (−−→u ) + −→v + (−−→v ) = −→0 ⇒
−→u +−→v + (−−→u −−→v ) = −→0 . Segue o resultado pela comparac¸a˜o das igualdades. C
Exemplo 6. Suponha a 6= 0. Enta˜o a−→v = −→w implica −→v = 1
a
−→w .
a−→v = −→w ⇒ 1
a
(a−→v ) = 1
a
−→w ⇒ (1
a
a)−→v = 1
a
−→w ⇒ 1−→v = −→v = 1
a
−→w . C
Exemplo 7. Verifique se vale a implicac¸a˜o a−→v = −→0 ⇒ a = 0 ou −→v = −→0 .
Suponha a 6= 0. Enta˜o 1
a
(a−→v ) = 1
a
−→
0 ⇒ (1
a
a)−→v = −→0 ⇒ −→v = −→0 . Suponha agora
−→v 6= −→0 . Enta˜o a−→v + −→v = −→0 + −→v ⇒ (a + 1)−→v = −→v = 1−→v ⇒ a + 1 = 1 ⇒ a = 0. O
caso trivial a = 0, |−→v | = 0 e´ o´bvio. C
Exemplo 8. Resolva a equac¸a˜o vetorial 3−→u + 2(−→v +−→w ) = 5(−→w −−→v ) na inco´gnita −→w .
O objetivo e´ bem simples, aplicar propriedades operacionais a fim de isolar −→w na equac¸a˜o.
Com isso em mente, 3−→u + 2(−→v + −→w ) = 5(−→w − −→v ) ⇒ 3−→u + 2−→v + 2−→w = 5−→w − 5−→v ⇒
3−→u + 2−→v + 2−→w + (−2−→w ) = 5−→w − 5−→v + (−2−→w )⇒ 3−→u + 2−→v +−→0 = 5−→w − 2−→w − 5−→v ⇒
3−→u + 2−→v = 3−→w − 5−→v ⇒ 3−→u + 2−→v + 5−→v = 3−→w − 5−→v + 5−→v ⇒ 3−→u + 7−→v = 3−→w +−→0 ⇒
1
3
(3−→w ) = 1
3
(3−→u + 7−→v )⇒ 1−→w = 1−→u + 7
3
−→v e −→w = −→u + 7
3
−→v . C
Exemplo 9. Resolva o sistema de equac¸o˜es vetoriais nas inco´gnitas −→x e −→y .
−→x − 3−→y = −10−→v
−→x +−→y = 7−→u − 6−→v
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 18 Geometria anal´ıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.3 Soma de ponto com vetor
1o me´todo. Isolar uma das inco´gnitas em uma das equac¸o˜es e substitui-la na outra
equac¸a˜o. Vamos isolar −→x em −→x − 3−→y = −10−→v : −→x − 3−→y + 3−→y = −10−→v + 3−→y ⇒−→x + −→0 = −→x = −10−→v + 3−→y . Substitu´ındo −→x por −10−→v + 3−→y na segunda equac¸a˜o,
(−10−→v + 3−→y ) +−→y = 7−→u − 6−→v ⇒ −10−→v + 4−→y = 7−→u − 6−→v ⇒ −10−→v + 4−→y + 10−→v =
7−→u − 6−→v + 10−→v ⇒ −10−→v + 10−→v + 4−→y = 7−→u + 4−→v ⇒ −→0 + 4−→y = 7−→u + 4−→v ⇒ 1
4
4−→y =
1
4
(7−→u +4−→v )⇒ 1−→y = 7
4
−→u +1−→v e enta˜o −→y = 7
4
−→u +−→v . Por fim substitua −→y por 7
4
−→u +−→v
em −→x = −10−→v + 3−→y , ou seja, −→x = −10−→v + 3(7
4
−→u + −→v ) = −10−→v + 21
4
−→u + 3−→v =
21
4
−→u −10−→v +3−→v = 21
4
−→u −7−→v . Portanto, a resposta e´ −→x = 21
4
−→u −7−→v e −→y = 7
4
−→u +−→v .
2o me´todo. Multiplique os membros de uma das equac¸o˜es por um dado nu´mero e depois
some ambas equac¸o˜es, membro a membro. Por exemplo, multiplicando a primeira equac¸a˜o
por −1, teremos
{
−−→x + 3−→y = 10−→v
−→x +−→y = 7−→u − 6−→v ⇒ −
−→x +−→x + 3−→y +−→y = 10−→v + 7−→u − 6−→v ⇒
−→
0 + 4−→y = 7−→u + 10−→v − 6−→v ⇒ 4−→y = 7−→u + 4−→v ⇒ 1
4
4−→y = 1
4
(7−→u + 4−→v ) ⇒ 1−→y =
7
4
−→u + 1−→v ⇒ −→y = 7
4
−→u + −→v . Agora, substitua −→y por 7
4
−→u + −→v em qualquer uma das
duas equac¸o˜es originais e resolva com antes. Outra opc¸a˜o e´ multiplicar a 2a equac¸a˜o por
3, somar as equac¸o˜es e proceder como acima. C
Exemplo 10. Mostre que −→v 6= −→0 e a−→v = b−→v implicam a = b.
a−→v = b−→v ⇒ a−→v +(−b−→v ) = b−→v +(−b−→v )⇒ a−→v −b−→v = −→0 ⇒ (a−b)−→v = −→0 ⇒ a−b =
0⇒ a = b. C
Exemplo 11. Seja −→u = a−→v . Mostre que se |−→v | 6= 0, enta˜o |a| = |
−→u |
|−→v | .
De fato |−→u | = |a−→v | = |a||−→v | ⇒ 1−→v |
−→u | = 1−→v |a||
−→v | e enta˜o |
−→u |
|−→v | = |a|
|−→v |
|−→v | = |a|1 = |a|.
C
Exemplo 12. Suponha −→u e −→v paralelos na˜o-nulos. Enta˜o |−→u +−→v |2 6= |−→u |2 + |−→v |2.
Existe a ∈ R \{0}, tal que −→u = a−→v . Enta˜o |−→u + −→v |2 = |a−→v + −→v |2 = |(a + 1)−→v |2 =
(a + 1)2|−→v |2 = (a2 + 2a + 1)|−→v |2. Por outro lado, |−→u |2 + |−→v |2 = |a−→v |2 + |−→v |2 =
a2|−→v |2 + |−→v |2 = (a2 + 1)|−→v |2. C
3.3 Soma de ponto com vetor
Sendo (A,B) um represente de −→v , o ponto B e´ dito a soma de A por −→v e se
escreve B = A + −→v . Note que −→AB = −→v se, e somente se, B = A + −→v , e −→PQ = −→a se,
e somente se, Q = P + −→a . Essa operac¸a˜o matema´tica permite pensar movimento, para
cada P ∈ ←→AB, existe um u´nico escalar p tal que P = A + p−→v . Imaginando o nu´mero p
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 19 Geometriaanal´ıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.4 Dependeˆncia linear
variando de valor, P muda de posic¸a˜o sobre
←→
AB. E´ essa ide´ia que definira´ reta do ponto
de vista vetorial.
Pode-se facilmente provar que, para quaisquer A,B,−→u e −→v , valem:
S1. (A +−→u ) +−→v = A + (−→u +−→v );
S2. A +−→u = A +−→v ⇒ −→u = −→v ;
S3. A +−→v = B +−→v ⇒ A = B;
S4. (A−−→v ) +−→v = A.
Exemplo 13. Para qualquer A, se A + −→v = A, enta˜o −→v = −→0 .
Bem simples, A + −→v = A ⇒ A + −→v + (−−→v ) = A + (−−→v ) ⇒ A + −→0 = A = A − −→v ⇒
−→v = −→0 . C
Exemplo 14. Se A +−→u = B +−→v , enta˜o −→u = −→AB +−→v , quaisquer que sejam os pontos
e os vetores.
De fato A+−→u = B +−→v ⇒ A+−→u +(−−→v ) = B +−→v +(−−→v )⇒ A+(−→u −−→v ) = B +−→0 =
B ⇒ −→u −−→v = −→AB ⇒ −→u −−→v +−→v = −→AB +−→v ⇒ −→u +−→0 = −→u = −→AB +−→v . C
Exemplo 15. Determine o ponto sobre PQ que esta´ a
3
4
de P , sabendo que P =
(3, 2, 1), Q = (−1, 6, 5).
Basta
−−→
PX =
3
4
−→
PQ, isto e´, X = P +
3
4
(−4, 4, 4) = (0, 5, 4). C
Exerc´ıcio 10. Determine D sabendo que (A +
−→
AB) +
−−→
CD = C +
−−→
CB.
Exerc´ıcio 11. Algue´m olha para A + −→u + −→v = A e´ diz que −→u e −→v podem ser na˜o
paralelos. Ja´ para A + −→u + −→v + −→w = A aquela pessoa diz −→w e −→u + −→v devem ser
paralelos. Analise as situac¸o˜es.
3.4 Dependeˆncia linear
Dois vetores sa˜o ditos linearmente dependentes (L.D.) quando admitem represen-
tantes paralelos; e se os representantes sa˜o na˜o paralelos, enta˜o os vetores sa˜o linear-
mente independentes (L.I.).
Treˆs vetores sa˜o L.D. quando admitem representantes que sa˜o paralelos a um mesmo
plano, ou esta˜o contidos em um mesmo plano; caso contra´rio, diz-se que sa˜o vetores L.I.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 20 Geometria anal´ıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.4 Dependeˆncia linear
E
F
A
B
u
C
v Dw
Suponha que −→a = 2−→u + 5−→v e −→b = −4−→u + 2−→v − 3−→w . Diz-se que −→a e´ combinac¸a˜o
linear de −→u e −→v , e −→b e´ combinac¸a˜o linear de −→u ,−→v e −→w . Tambe´m se diz que −→a e´ gerado
por −→u e −→v , e que −→b e´ gerado por −→u ,−→v e −→w .
E´ muito dif´ıcil testar se vetores sa˜o paralelos a um mesmo plano, por isso, tem destaque
o seguinte resultado que se demonstra facilmente: supondo −→u e −→v L.I., enta˜o −→u ,−→v e −→w
sa˜o L.D. se, e somente se, −→w e´ gerado por −→u e −→v .
A ide´ia por tra´s do resultado e´ que se pode fixar pontos A,B,C,D tais que (A,B) ∈−→u , (A,C) ∈ −→v e (A,D) ∈ −→w . Note que A,B,C,D sa˜o coplanares, pois −→u ,−→v e −→w sa˜o
L.D., e que A,B,C sa˜o na˜o-colineares, visto que −→u e −→v sa˜o L.I. Em seguida, pense na
reta por D que e´ paralela a
−→
AB, e a reta por D paralela a
−→
AC.
A
B
C
D
E
F
Enta˜o existem escalares a, b, tais que
−→
AE = a−→u e −→AF = b−→v , logo −→w = −−→AD =−→
AE +
−−→
ED =
−→
AE +
−→
AF = a−→u + b−→v .
No caso n = 2, −→u e −→v L.D. implica que a−→u + b−→v = −→0 e´ satisfeito para a, b 6= 0 e
enta˜o podemos escrever −→u = x−→v , com x = − b
a
.
.
u
v
a=2, b=3
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 21 Geometria anal´ıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.4 Dependeˆncia linear
No caso n = 3, −→u ,−→v e −→w L.D. implica que a−→u + b−→v + c−→w = −→0 se verifica atrave´s de
a, b, c na˜o todos nulos. Supondo c 6= 0, podemos escrever −→w = x−→u +y−→v , em que x = −a
c
e y = −b
c
.
.
u
v
a=-1,b=??,c=2
2
__3
w
Para concluir o estudo de dependeˆncia linear, ocorre que −→u ,−→v e −→w sa˜o L.D. se, e
somente se, um dos vetores e´ gerado pelos outros dois.
A negativa dese resultado e´ importante: −→u ,−→v e −→w sa˜o L.I. se, e somente se, nenhum
desses vetores e´ gerado pelos outros dois. Ou seja, x−→u +y−→v +z−→w = −→0 ⇔ x = y = z = 0.
Exemplo 16. Vamos ver que −→a = 2−→u +4−→v +−→w , −→b = −−→u + 1
2
−→v + 3
4
−→w e −→c = −→v + 1
2
−→w
sa˜o L.D., quaisquer que sejam −→u ,−→v e −→w .
A equac¸a˜o x−→a + y−→b + z−→c = −→0 equivale a x(2−→u + 4−→v +−→w ) + y(−−→u + 1
2
−→v + 3
4
−→w ) +
z(−→v + 1
2
−→w ) = 2x−→u + 4x−→v + x−→w − y−→u + y
2
−→v + 3y
4
−→w + z−→v + z
2
−→w = (2x− y)−→u + (4x +
y
2
+ z)−→v + (x + 3y
4
+
z
2
)−→w = −→0 logo
2x− y = 0
4x +
y
2
+ z = 0
x +
3y
4
+
z
2
= 0
Obte´m-se y = 2x e z = −5x, para cada x ∈ R, logo x(−→a + 2−→b − 5−→c ) = −→0 nos leva a
−→a = −2−→b + 5−→c . C
Exerc´ıcio 12. Fac¸a o mesmo no caso em que −→a = −→u + 2−→v −−→w , −→b = 2−→u − 3−→v +−→w e−→c = 7−→v − 3−→w .
Exemplo 17. Considere −→a = −→u +−→w ,−→b = 2−→u +−→v −−→w e −→c = −→v − 2−→w , com −→u ,−→v e
−→w aleato´rios. Veja que −→u ,−→v e −→w sa˜o L.I. se, e somente se, −→a ,−→b e −→c sa˜o L.I.
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3 G.A. parte 2 Vetores 3.4 Dependeˆncia linear
De fato x−→a + y−→b + z−→c = −→0 ⇒ x(−→u + −→w ) + y(2−→u + −→v − −→w ) + z(−→v − 2−→w ) =
x−→u +x−→w +2y−→u +y−→v −y−→w + z−→v −2z−→w = (x+2y)−→u +(y + z)−→v +(x−y−2z)−→w = −→0 .
Se −→u ,−→v e −→w sa˜o L.I., enta˜o o sistema de equac¸o˜es
x + 2y = 0
y + z = 0
x− y − 2z = 0
so´ admite a soluc¸a˜o trivial x = y = z = 0 (verifique !) e segue que −→a ,−→b e −→c devem
ser L.I. Reciprocamente, comece por resolver as equac¸o˜es −→a = −→u + −→w ,−→b = 2−→u +
−→v − −→w e −→c = −→v − 2−→w nas inco´gnitas −→u ,−→v e −→w . Primeiro, −→a + −→b = 3−→u + −→v
e −→c − 2−→b = −−→v − 4−→u , assim −→v = −→a + −→b − 3−→u = −−→c + 2−→b − 4−→u implica em
−→u = −−→a + −→b − −→c . Desse modo, −→v = −→a + −→b − 3(−−→a + −→b − −→c ) = 4−→a − 2−→b + 3−→c
e −→w = −→a −−→u = −→a − (−−→a +−→b −−→c ) = 2−→a −−→b +−→c . Se −→a ,−→b e −→c sa˜o vetores L.I.,
enta˜o
−→
0 = x−→u +y−→v + z−→w = (−x+4y +2z)−→a +(x−2y− z)−→b +(−x+3y + z)−→c admite
a u´nica soluc¸a˜o poss´ıvel x = y = z = 0 (verifique !). C
Por fim, tem destaque o seguinte importante resultado.
Proposic¸a˜o 3.1. . Se −→u ,−→v e −→w sa˜o L.I., enta˜o para qualquer −→a existem u´nicos x, y, z ∈
R tais que −→a = x−→u + y−→v + c−→w .
Demostrac¸a˜o. A ı´deia geome´trica e´ a seguinte: o ponto terminal de −→a e´ projetado no
plano dos representantes (A,B) ∈ −→u e (A,C) ∈ −→v .
u
v
w
A
B
C
D
F
H
.
.
.
E
E’
a
G
.
O ponto projec¸a˜o E ′ permite fixar
−−→
AE ′ e enta˜o existem x, y, z ∈ R tais que −→AF =
x−→u ,−→AG = y−→v e −−→AH = z−→w . Claro que −→a = −→AF +−−→FE ′+−−→E ′E = −→AF +−→AG+−−→AH = x−→u +
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3 G.A. parte 2 Vetores 3.5 Bases e coordenadas de vetores
y−→v + z−→w . Esses nu´meros x, y, z sa˜o u´nicos no sentido que se x1−→u +y1−→v + z1−→w = x2−→u +
y2
−→v +z2−→w , enta˜o (x1−x2)−→u +(y1−y2)−→v +(z1−z2)−→w = −→0 ⇒ −→u = y2 − y1
x1 − x2
−→v + z2 − z1
x1 − x2
−→w
e os treˆs vetores sa˜o L.D. Essa contradic¸a˜o implica que x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2. �
Exerc´ıcio 13. Prove que −→u e −→v sa˜o L.I. se, e somente se, −→u +−→v e −→u −−→v sa˜o L.I.
Exerc´ıcio 14. Calcule a, b ∈ R sabendo que −→u e −→v sa˜o L.I. e que (a − 1)−→u + b−→v =
b−→u − (a + b)−→v .
Exerc´ıcio 15. A seguir sa˜o indicadas operac¸o˜es com vetores −→u ,−→v e −→w L.I. que resultam
em treˆs novos vetores. Esses sa˜o L.I. ou L.D. ?
1) Multiplica-se os vetores por um escalar a ∈ R.
2) Substitui-se cada um dos vetores dados pela soma dos outros dois.
3) Soma-se a cada um dos treˆs vetores um mesmo −→a .
4) Somam-se aos vetores, respectivamente, −→a ,−→b e −→c supostos L.I.
3.5 Bases e coordenadas de vetores
Ate´ aqui temos tratado vetor como um conjunto de segmentos equipolentes, e vimos na
sec¸a˜o precedente que a cada vetor se pode associar nu´meros. A ide´ia seguinte e´ essencial.
Definic¸a˜o 3.6. Por uma base em R3 entende-se um terno ordenado −→e1 ,−→e2 ,−→e3 de vetores
L.I. e vamos denota´-la por ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3} (ε: e´psilon, ’e’ latino). Uma base ortonormal
em R3 e´ uma baseformada de vetores unita´rios e ortogonais dois a dois. �
O conceito se adapta facilmente para R2.
Claro que −→u e −→v sa˜o ortogonais quando os representantes de um sa˜o ortogonais a
todos os representantes do outro. Em s´ımbolos, −→u ⊥ −→v .
Fixada ε, para cada −→v em R3, ficam definidos biunivocamente x, y, z ∈ R, tais que−→v = x−→e1 + y−→e2 + z−→e3 . Nesse caso, x e´ a 1a coordenada de −→v , y e´ a 2a coordenada
de −→v e a z e´ a 3a coordenada de −→v (em relac¸a˜o a` base ε), isso nos permite pensar −→v
como uma tripla ordenada e escrever −→v = (x, y, z)ε, ou −→v = (x, y, z) quando ε estiver
subentendida.
Sa˜o facilmente verifica´veis as seguintes propriedades, onde a, x1, y1, z1, x2, y2, z2 ∈ R:
C1. (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2);
C2. a(x1, y1, z1) = (ax1, ay1, az1).
Exemplo 18. Quais sa˜o as coordenadas de −→a = 5−→u − 3−→v , se −→u = (3,−2, 7) e −→v =
(−1, 4,−6) ?
Simples, −→a = 5−→u +(−3)−→v = 5(3,−2, 7)+(−3)(−1, 4,−6) = (15,−10, 35)+(3,−12, 18) =
(18,−22, 53). C
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 24 Geometria anal´ıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.5 Bases e coordenadas de vetores
Exemplo 19. Pode −→u = (4, 5,−2) ser combinac¸a˜o linear de −→v = (5, 4, 1) e −→w =
(
21
2
, 3,
21
2
) ?
Deve-se procurar por a, b ∈ R tais que −→u = a−→v + b−→w , (4, 5,−2) = a(5, 4, 1)+ b(21
2
, 3,
21
2
)
e isso equivale a
5a +
21b
2
= 4
4a + 3b = 5
a +
21b
2
= −2
Um ca´lculo direto determina a =
3
2
e b = −1
3
(verifique !). C
Exerc´ıcio 16. Considerando −→a = (2, 4, 3) e −→b = (1,−5, 2), determinar gra´fica e analiti-
camente a resultante −→a +−→b .
Exerc´ıcio 17. Encontre um vetor unita´rio paralelo a` resultante de −→a = (2, 4,−5) e−→
b = (1, 2, 3).
Exerc´ıcio 18. Prove que −→a = 3−→e1 − 2−→e2 +−→e3 ,−→b = −→e1 − 3−→e2 +5−→e3 e −→c = 2−→e1 +−→e2 − 4−→e3
formam um triaˆngulo retaˆngulo.
A distaˆncia de −→u a −→v e´ igual ao nu´mero |−→u −−→v |. 5
Exerc´ıcio 19. Determine a distaˆncia de −→a = (3,−5, 4) a −→b = (6, 2,−1). E de −→m = (1, 7)
a −→n = (6,−5).
Lembre-se que det
u1 v1 w1u2 v2 w2
u3 v3 w3
 e´ o nu´mero u1 det (v2 w2v3 w3
)
− v1 det
(
u2 w2
u3 w3
)
+
w1 det
(
u2 v2
u3 v3
)
= u1(v2w3−v3w2)−v1(u2w3−u3w2)+w1(u2v3−u3v2), e com determinante
e´ fa´cil verificar a situac¸a˜o posicional de treˆs vetores, pois −→u = (u1, u2, u3),−→v = (v1, v2, v3)
e −→w = (w1, w2, w3) sa˜o L.D. se, e somente se, det
u1 v1 w1u2 v2 w2
u3 v3 w3
 = 0.
Exerc´ıcio 20. Verifique se −→u = (2, 3, 4),−→v = (5, 6, 7) e −→w = (8, 9, 1) sa˜o L.D.
Dois resultados sa˜o essenciais para a manipulac¸a˜o nume´rica de vetores:
1o. Uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que −→u e −→v sejam ortogonais e´ que
|−→u +−→v |2 = |−→u |2 + |−→v |2.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 25 Geometria anal´ıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.5 Bases e coordenadas de vetores
2o. Sobre uma base ortonormal ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3}, a norma de −→a = x−→e1 + y−→e2 + z−→e3 e´
simplesmente |−→a | =
√
x2 + y2 + z2.
A ide´ia que se explora nesse 2o resultado e´ a seguinte: considera-se inicialmente rep-
resentantes como na ilustrac¸a˜o.
A
B
C
.
.
.
E
B’
a
D
.
e
1
2
3
e
e
Enta˜o −→a = −−→AB′ + −−→B′B = (−→AC + −−→CB′) + −−→B′B = (x−→e1 + y−→e2 ) + z−→e3 e´ a soma de dois
vetores ortogonais e, Proposic¸a˜o anterior, |−→a |2 = |x−→e1 + y−→e2 |2 + |z−→e3 |2. Mas x−→e1 ⊥ y−→e2
implica |x−→e1 +y−→e2 |2 = |x−→e1 |2 + |y−→e2 |2 e enta˜o |−→a |2 = |x−→e1 |2 + |y−→e2 |2 + |z−→e3 |2 = |x|2 |−→e1 |2 +
|y|2 |−→e2 |2 + |z|2 |−→e3 |2 = x2 + y2 + z2.
Exemplo 20. Considere ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3} ortonormal e −→a = (3,−1, 5).−→a = (3,−1, 5) = 3−→e1 − −→e2 + 5−→e3 ⇒ |−→a |2 = |(3−→e1 − −→e2 ) + 5−→e3 |2 = |3−→e1 − −→e2 |2 + |5−→e3 |2 =
|3−→e1 |2 + | − −→e2 |2 + |5−→e3 |2 = 32|−→e1 |2 + | − 1|2 |−→e2 |2 + 52|−→e3 |2 = 35⇒ |−→a | =
√
35. C
E´ poss´ıvel de se substituir uma base qualquer por outra, cujos vetores sa˜o ortogonais.
E´ o que faz o processo de ortonormalizac¸a˜o de Gram-Schmidt. Dada uma base
ϕ = {−→f1 ,−→f2 ,−→f3}, cujos vetores sa˜o na˜o-ortogonais dois a dois (algo muito comum), o
objetivo e´ construir uma nova base γ = {−→g1 ,−→g2 ,−→g3} que seja ortonormal. Para tanto,
basta fazer
−→v1 = −→f1
−→v2 = −→f2 −
−→
f2 .
−→v1
|−→v1 |2
−→v1
−→v3 = −→f3 −
−→
f3 .
−→v1
|−→v1 |2
−→v1 −
−→
f3 .
−→v2
|−→v2 |2
−→v2
Afirmac¸a˜o 3.1. −→g1 =
−→v1
|−→v1 | ,
−→g2 =
−→v2
|−→v2 | ,
−→g3 =
−→v3
|−→v3 | e´ uma base ortonormal.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 26 Geometria anal´ıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.6 Mudanc¸a de bases
Exemplo 21. Ortonormalizac¸a˜o da base (
−→
f1 = (5,−4, 6),−→f2 = (1,−1, 3),−→f3 = (8,−3, 2)).
De fato, −→v1 = −→f1 ⇒ −→g1 = 1√
77
(5,−4, 6); −→v2 = −→f2 −
−→
f2 .
−→v1
|−→v1 |2
−→v1 = (1,−1, 3)− 27
77
(5,−4, 6) =
(−58
77
,
31
77
,
69
77
) ⇒ −→g2 = 1√
9086
(−58, 31, 69); −→v3 = −→f3 −
−→
f3 .
−→v1
|−→v1 |2
−→v1 −
−→
f3 .
−→v2
|−→v2 |2
−→v2 = (8,−3, 2) −
64
77
(5,−4, 6) + 419
118
(−58
77
,
31
77
,
69
77
) =
1
77
(
6729
59
,−17219
118
,
74223
118
).
3.6 Mudanc¸a de bases
O assunto aqui tratado se complementa com as mate´rias tratadas na sec¸a˜o 4.1 e no
cap´ıtulo 7.
Considerando-se bases ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3} e ϕ = {−→f1 ,−→f2 ,−→f3} (ϕ: phi, ’f’ latino), e levando
em conta que
−→
f1 ,
−→
f2 e
−→
f3 sa˜o combinac¸o˜es lineares dos elementos de ε, eles se escrevem
sob as formas
−→
f1 = a11
−→e1 + a21−→e2 + a31−→e3 = (a11, a21, a31)ε−→
f2 = a12
−→e1 + a22−→e2 + a32−→e3 = (a12, a22, a32)ε−→
f3 = a13
−→e1 + a23−→e2 + a33−→e3 = (a13, a23, a33)ε
para determinados valores aij, 1 ≤ i, j ≤ 3.
Para qualquer −→a em R3, existem u´nicos x, y, z, u, v, w ∈ R tais que
−→a = x−→e1 + y−→e2 + z−→e3
= u
−→
f1 + v
−→
f2 + w
−→
f3
Agora tudo se reduz a determinar os x, y, z em func¸a˜o de u, v, w, o que e´ bem simples:
−→a = u−→f1 + v−→f2 + w−→f3 = u(a11−→e1 + a21−→e2 + a31−→e3 ) + v(a12−→e1 + a22−→e2 + a32−→e3 ) + w(a13−→e1 +
a23
−→e2 + a33−→e3 ) = (a11u+ a12v + a13w)−→e1 +(a21u+ a22v + a23w)−→e2 +(a31u+ a32v + a33w)−→e3
e assim
x = a11u + a12v + a13w
y = a21u + a22v + a23w
z = a31u + a32v + a33w
E´ comum pensar ε como ’a base antiga’, ϕ como ’a nova base’ e transcrever os ele-
mentos da base antiga como elementos da nova base. Em notac¸a˜o matricialxy
z
 =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 uv
w
 = Mεϕ
uv
w

A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 27 Geometria anal´ıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.6 Mudanc¸a de bases
em que Mεϕ e´ a matriz de mudanc¸a de base, de ε para ϕ, da base antiga para a nova
base. E´ muito importante notar que a j-e´sima coluna de Mεϕ e´ formada das coordenadas
de
−→
fj na base antiga, j = 1, 2, 3. E uma vez que os vetores de qualquer base sa˜o L.I., fica
assegurado det Mεϕ 6= 0 e a existeˆncia de matriz inversa, isto e´, a matriz M−1εϕ tal que
Mεϕ.M
−1
εϕ = M
−1
εϕ .Mεϕ = Id =
1 0 00 1 0
0 0 1
 .
A existeˆncia de M−1εϕ permite calcular u, v, w em termos dos x, y, z. De fato
Mεϕ
uv
w
 =
xy
z
⇒M−1εϕ .Mεϕ
uv
w
 = M−1εϕ
xy
z
⇒
uv
w
 = M−1εϕ
xy
z
 .
Proposic¸a˜o 3.2. Se ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3}, ϕ = {−→f1 ,−→f2 ,−→f3} e γ = {−→g1 ,−→g2 ,−→g3} (γ: gama, ’g’
latino) sa˜o bases enta˜o Mεϕ.Mϕγ = Mεγ .
Demostrac¸a˜o. Fixemos as notac¸o˜es Mεϕ = (aij),Mϕγ = (bij),Mεγ = (cij),
−→
fj =
3∑
i=1
aij
−→ei e
−→gk =
3∑
j=1
bjk
−→
fj =
3∑
i=1
cik
−→ei . Enta˜o, −→gk =
3∑
j=1
bjk(
3∑
i=1
aij
−→ei ) =
3∑
i, j=1
bjkaij
−→ei =
3∑
i=1
(
3∑
j=1
aijbjk)
−→ei
implica cik =
3∑
j=1
aijbjk e isso se reflete em Mεγ = Mεϕ.Mϕγ . •Uma ana´lise do assunto faz suspeitar que M−1εϕ deve determinar a mudanc¸a da base
nova para a antiga e isto e´ verdade!
Corola´rio 3.1. Mϕε = M
−1
εϕ .
Com efeito, Mϕε = Mϕε. id = Mϕε.Mεϕ.M
−1
εϕ = Mϕϕ.M
−1
εϕ = id .M
−1
εϕ = M
−1
εϕ . •
Ca´lculo matricial.
A) Para matrizes 2 × 2. Dada M =
(
a11 a12
a21 a22
)
de det M = a11a22 − a12a21 6= 0,
teremos
M−1 =
1
det M
(
a22 −a12
−a21 a11
)
.
B) Para matrizes 3 × 3. Dada M =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
, define-se a˜ij = (−1)i+j det Mij
como o cofator do elemento aij, em que Mij e´ a submatriz 2 × 2 obtida de M pela
eliminac¸a˜o da i-e´sima linha e j-e´sima coluna. Por exemplo, M12 =
(
a21 a23
a31 a33
)
.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 28 Geometria anal´ıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.6 Mudanc¸a de bases
Desse modo, se det M = a11a˜11 + a12a˜12 + a13a˜13 6= 0, enta˜o
M−1 =
1
det M
a˜11 a˜21 a˜31a˜12 a˜22 a˜32
a˜13 a˜23 a˜33
 .
Exemplo 22. Considere
−→
f1 = 2
−→e1 −−→e2 + 3−→e3 , −→f2 = 4−→e1 +−→e2 + 5−→e3 ,−→f3 = 6−→e1 −−→e2 + 9−→e3
e escreva −→a = 4−→e1 + 7−→e2 − 3−→e3 em termos da nova base.
f
1
2
3
a
e
3
e
f
f
1
2
e
Pelo estabelecido,
xy
z
 = Mεϕ
uv
w
 =
 2 4 6−1 1 −1
3 5 9
 uv
w
 e temos treˆs opc¸o˜es:
1a. Desenvolver o sistema de equac¸o˜es
x = 2u + 4v + 6w (a)
y = −u + v − w (b)
z = 3u + 5v + 9w (c)
Calculando 2(b) + (a), temos x + 2y = 6v + 4w e w =
1
4
(x + 2y − 6v); 3(b) + (c) leva a
3y + z = 8v + 6w e w =
1
6
(3y + z − 8v). Logo v = 3x
2
− z e w = −2x + y
2
+
3z
2
.
Voltando a (b), u =
7x
2
− 3y
2
− 5z
2
. As coordenadas de −→a na base antiga sa˜o x = 4, y =
7, z = −3 e assim −→a = u−→f1 + v−→f2 +w−→f3 = 11−→f1 +9−→f2 − 9−→f3 . Portanto, −→a = (4, 7,−3)ε =
(11, 9,−9)ϕ.
2a. Desenvolver a equac¸a˜o matricial
 2 4 6−1 1 −1
3 5 9
 M−1εϕ =
 2 4 6−1 1 −1
3 5 9
 a b cd e f
g j k
 =
2a + 4d + 6g 2b + 4e + 6j 2c + 4f + 6k−a + d− g −b + e− j −c + f − k
3a + 5d + 9g 3b + 5e + 9j 3c + 5f + 9k
 =
1 0 00 1 0
0 0 1

A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 29 Geometria anal´ıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.7 Produto interno
o que nos leva a trabalhar com nove equac¸o˜es. Ou enta˜o use a informac¸a˜o anterior
envolvendo a matriz inversa com a matriz dos cofatores. Obte´m-se a =
7
2
, b = −3
2
, c =
−5
2
, d =
3
2
, e = 0, f = −1, g = −2, j = 1
2
e k =
3
2
(verifique !) e enta˜o
uv
w
 = M−1εϕ
xy
z
 =

7
2
−3
2
−5
2
3
2
0 −1
−2 1
2
3
2

xy
z

conduz a` u =
7x
2
− 3y
2
− 5z
2
, v =
3x
2
− z e w = −2x + y
2
+
3z
2
. Como na 1a opc¸a˜o, um
ca´lculo direto estabelece −→a = (4, 7,−3)ε = (11, 9,−9)ϕ.
3a. Aplicar a expressa˜o de M−1 por meio dos cofatores. M−1 =
1
det M
a˜11 a˜21 a˜31a˜12 a˜22 a˜32
a˜13 a˜23 a˜33
 =
1
4
14 −6 −106 0 −4
−8 8 6
 =

7
2
−3
2
−5
2
3
2
0 −1
−2 1
2
3
2
 e continue como na segunda opc¸a˜o. Por fim
as colunas de M−1εϕ = Mϕε indicam que
−→e1 = 7
2
−→
f1 +
3
2
−→
f2 − 2−→f3 ,−→e2 = −3
2
−→
f1 +
1
2
−→
f3 e
−→e3 = −5
2
−→
f1 −−→f2 + 3
2
−→
f3 . C
Exerc´ıcio 21. Suponha bases ε = {−→e1 ,−→e2} e ϕ = {−→f1 ,−→f2} tais que −→e1 = 3−→f1 − 5−→f2 e−→e2 = −8−→f1 + 2−→f2 . Determine Mεϕ,Mϕε e as expresso˜es dos −→fj em termo dos −→ej , com
j = 1, 2.
Exerc´ıcio 22. Verifique que −→a = (1,−3, 4),−→b = (2,−4,−1) e −→c = (1,−5, 7) formam
uma base ϕ. Em seguida, explicite Mεϕ,Mϕε e verifique que Mεϕ.Mϕε = id.
3.7 Produto interno
Dados −→u e −→v , tome (A,B) ∈ −→u e (A,C) ∈ −→v . Por medida angular entre −→u e −→v ,
ou medida do aˆngulo entre −→u e −→v , entende-se a medida a(−→u ,−→v ) do aˆngulo definido
por AB e AC. E´ comum dizer ’aˆngulo entre −→u e −→v ’ em vez de ’a medida angular entre−→u e −→v ’.
O ca´lculo de a(−→u ,−→v ).
Suponha uma base ortonormal ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3}, por meio da qual se tem |−→u | =√
u21 + u
2
2 + u
2
3 e |−→v | =
√
v21 + v
2
2 + v
2
3. Independente da medida α = a(
−→u ,−→v ) (α: alfa,
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3 G.A. parte 2 Vetores 3.7 Produto interno
’a’ latino), valem |−→u − −→v |2 = |−→u |2 + |−→v |2 − 2|−→u ||−→v | cos α ’7’ e tambe´m |−→u − −→v |2 =
(u1− v1)2 +(u2− v2)2 +(u3− v3)2 = u21− 2u1v1 + v21 +u22− 2u2v2 + v22 +u23− 2u3v3 + v23 =
u21 + u
2
2 + u
2
3 + v
2
1 + v
2
2 + v
2
3 − 2(u1v1 + u2v2 + u3v3) = |−→u |2 + |−→v |2− 2(u1v1 + u2v2 + u3v3).
Portanto, |−→u ||−→v | cos α = u1v1 + u2v2 + u3v3 e cos α = u1v1 + u2v2 + u3v3√
u21 + u
2
2 + u
2
3
√
v21 + v
2
2 + v
2
3
.
Exemplo 23. Qual e´ a medida do aˆngulo formado por −→u = (3,−4, 7) e −→v = (−1, 2,−3)
?
|−→u | =
√
32 + (−4)2 + 72 = √74 e |−→v | =
√
(−1)2 + 22 + (−3)2 = √14 e cos α =
3(−1) + (−4)2 + 7(−3)√
74
√
14
= − 32√
1036
= −16
√
259
259
. Com aux´ılio de uma calculadora
cient´ıfica obte´m-se α = arccos−16
√
259
259
= 173, 8216o. C
Imagine −→u = −→AB e −→v = −→AC. Por B passa uma u´nica reta perpendicular a` ←→AC e fica
definido D.
u
A
B
C
v
D
A
B
C
D
u
v
a
a
p-a
Tanto no caso agudo (α < 90o), quando no caso obtuso (90o < α < 180o), (A,D)
representa o vetor projec¸a˜o ortogonal de −→u sobre −→v , que e´ denotado por proj−→v −→u .
Define-se proj−→u
−→v do mesmo modo. Facilmente se demonstra que, para quaisquer −→a ,−→b
e −→v , vale proj−→v (−→a +
−→
b ) = proj−→v
−→a + proj−→v
−→
b .
O produto interno euclidiano e´ a operac¸a˜o matema´tica que, para −→u e −→v , associa
o nu´mero real −→u .−→v = |−→u ||−→v | cos α , em que α = a(−→u ,−→v ). Esse nu´mero e´ conhecido
com produto escalar de −→u por −→v . As principais propriedades do produto escalar sa˜o
as seguintes:
PI1. −→u ⊥ −→v se, e somente se, −→u .−→v = 0;
PI2. −→u .−→v = −→v .−→u ;
PI3. x(−→u .−→v ) = x−→u .−→v = −→u .x−→v ,∀x ∈ R;
PI4. (−→u +−→v ).−→w = −→u .−→w +−→v .−→w e −→u .(−→v +−→w ) = −→u .−→v +−→u .−→w ;
7 Sendo x, y, z as arestas de um triaˆngulo, e a, b, c os aˆngulos internos, tem-se x2 = y2 + z2 −
2yz cos a, y2 = x2 + z2 − 2xz cos b, z2 = x2 + y2 − 2xy cos c (Lei dos co-senos, tambe´m conhecido
como Teorema de al-Kashi)
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3 G.A. parte 2 Vetores 3.7 Produto interno
PI5. −→u .(x−→v + y−→w ) = x(−→u .−→v ) + y(−→u .−→w ),∀x, y ∈ R;
PI6. |−→u | =
√−→u .−→u .
PI7. |−→u +−→v | ≤ |−→u |+ |−→v | (Desigualdade triangular).
Note que nenhuma base esta´ fixada.
Exerc´ıcio 23. Verifique cada uma das propriedades acima para o caso particular −→a =
(3, 2,−5),−→b = (−1, 4,−7) e −→c = (9, 6,−2) em uma base ortonormal.
Exerc´ıcio 24. Supondo que (−→a +−→b ).(−→a −−→b ) = 0, qual a relac¸a˜o entre −→a e −→b ?
Exemplo 24. Sejam −→u = (3,−5, 6),−→v = (a, b, c) e −→w = (7, 2, 2) tais que −→u .−→w = −→v .−→w .
E´ tentador ’cancelar’ −→w e escrever −→u = −→v , pore´m isso na˜o e´ va´lido ja´ que na˜o existe
divisa˜o de vetor por vetor. O que podemos fazer e´ −→u .−→w = −→v .−→w ⇒ −→u .−→w −−→v .−→w = 0⇒
(−→u −−→v ).−→w = 0⇒ (3−a,−5−b, 6−c).(7, 2, 2) = 23−7a−2b−2c = 0⇒ c = 23− 7a− 2b
2
.
Tomando a = 1, b = 2, vale c = 6. E se a = 3, b = −5, enta˜o c = 6. Perceba que a
igualdade −→u .−→w = −→v .−→w admite infinitas soluc¸o˜es. C
Tambe´m e´ um absurdo ’cancelar’ −→w em
−→u .−→w
−→v .−→w , pois o resultado seria
−→u
−→v , algo que na˜o
foi e na˜o sera´ definido.
Com o produto interno e´ fa´cil determinar a projec¸a˜o de −→u sobre −→v , de fato proj−→u−→u =−→u .−→v
|−→v |2
−→v , o que e´ fa´cil de se verificar.
Exerc´ıcio 25. Dado −→u ∈R3, |−→u | 6= 0, todo −→v ∈ R3 se escreve como a soma de um
mu´ltiplo de −→u com um vetor ortogonal a −→u .
Inclinac¸o˜es de um vetor.
Sendo ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3} uma base ortonormal, valem
−→e1 .−→e1 = −→e2 .−→e2 = −→e3 .−→e3 = 1
−→e1 .−→e2 = −→e1 .−→e3 = −→e2 .−→e3 = 0
e e´ fa´cil calcular os aˆngulos que −→a = x−→e1 + y−→e2 + z−→e3 forma com os −→ej . De fato:
1. −→a .−→e1 = (x−→e1 + y−→e2 + z−→e3 ).−→e1 = x = |−→a ||−→e1 | cos α⇒ α = arccos x|−→a | .
2. −→a .−→e2 = (x−→e1 + y−→e2 + z−→e3 ).−→e2 = y = |−→a ||−→e2 | cos β ⇒ β = arccos y|−→a | .
3. −→a .−→e3 = (x−→e1 + y−→e2 + z−→e3 ).−→e3 = z = |−→a ||−→e3 | cos γ ⇒ γ = arccos z|−→a | (γ: gamma,
’g’ latino).
Curioso que −→a = (−→a .−→e1 )−→e1 + (−→a .−→e2 )−→e2 + (−→a .−→e3 )−→e3 .
E´ certo que podemos fixar qualquer base no espac¸o, e em qualquer plano, mas se os
vetores da base sa˜o na˜o-ortogonais dois a dois, enta˜o cada um desses se projeta no plano
dos dois outros e determina um vetor na˜o-nulo. Essa situac¸a˜o e´ ruim do ponto de vista
do ca´lculo nume´rico, como se veˆ no seguinte exemplo.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 32 Geometria anal´ıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.7 Produto interno
Exemplo 25. Em uma base ortonormal, tem-se −→u = 2−→e1 + 3−→e2 − −→e3 ,−→v = −→e1 + 2−→e2 +
3−→e3 ,−→w = −3−→e1 +−→e2 + 2−→e3 e −→a = 5−→u + 3−→v + 7−→w .
O determinante de
 2 1 −33 2 1
−1 3 2
 e´ na˜o-nulo (verifique !) logo ϕ = {−→u ,−→v ,−→w } tambe´m
e´ uma base. Pore´m, |−→u + −→v |2 = |(3, 5, 2)|2 = 38 6= |−→u |2 + |−→v |2 = 28 mostra que os
vetores de ϕ sa˜o na˜o-ortogonais entre si.
Tem-se −→a = (5, 3, 7)ϕ e −→a = 5(2, 3,−1) + 3(1, 2, 3) + 7(−3, 1, 2) = (−8, 28, 18)ε. Agora
as inclinac¸o˜es de −→a com relac¸a˜o a −→u ,−→v e −→w :
1. cos a(−→a ,−→u ) =
−→a .−→u
|−→a ||−→u | =
5−→u .−→u + 3−→v .−→u + 7−→w .−→u√
1172
√
14
=
5.14 + 3.5 + 7.(−5)√
1172
√
14
=
50√
1172
√
14
indica 67,024o.
2. cos a(−→a ,−→v ) =
−→a .−→v
|−→a ||−→v | =
5−→u .−→v + 3−→v .−→v + 7−→w .−→v√
1172
√
14
=
5.5 + 3.14 + 7.(5)√
1172
√
14
=
102√
1172
√
14
indica 37,222o.
3. cos a(−→a ,−→w ) =
−→a .−→w
|−→a ||−→w | =
5−→u .−→w + 3−→v .−→w + 7−→w .−→w√
1172
√
14
=
5.(−5) + 3.5 + 7.14√
1172
√
14
=
88√
1172
√
14
indica 46,607o.
Deve-se notar que a projec¸a˜o de −→u sobre −→v e −→w na˜o e´ vetor nulo, idem para os dois
outros casos. Ja´ na base ortonormal, a projec¸a˜o de −→e1 sobre −→e2 e −→e3 e´ o vetor nulo, idem
para os dois outros casos, e assim sa˜o mais simples os ca´lculos das inclinac¸o˜es de −→a com
relac¸a˜o a −→e1 ,−→e2 e −→e3 :
1. cos a(−→a ,−→e1 ) =
−→a .−→e1
|−→a | = −
8√
1172
indica 103,514o.
2. cos a(−→a ,−→e2 ) =
−→a .−→e2
|−→a | =
28√
1172
indica 35,126o.
3. cos a(−→a ,−→e3 ) =
−→a .−→e3
|−→a | =
18√
1172
indica 58,28o. C
Sera´ que existe uma base ortonormal {−→e1 ,−→e2 ,−→e3} tal que −→a = x−→e1 + y−→e2 + z−→e3 e´ de
norma |−→a | =
√
x2 + y2 + z2 ? Mesmo os vetores da base sa˜o combinac¸o˜es entre eles,−→e1 = a11−→e1 +a12−→e2 +a13−→e3 ,−→e2 = a21−→e1 +a22−→e2 +a23−→e3 ,−→e3 = a31−→e1 +a32−→e2 +a33−→e3 , e enta˜o−→a = x−→e1 +y−→e2 +z−→e3 = (a11x+a21y+a31z, a12x+a22y+a32z, a13x+a23y+a33z) = (x, y, z)
implicam em
a11x + a21y + a31z = x
a12x + a22y + a32z = y
a13x + a23y + a33z = z
O mais o´bvio a se fazer e´ tomar aij = 1, quando i = j, e aij = 0, quando i 6= j, e
enta˜o −→e1 = (1, 0, 0),−→e2 = (0, 1, 0) e −→e3 = (0, 0, 1). Esses vetores especiais formam a base
canoˆnica em R3, a u´nica base ortonormal que sera´ utilisada aqui.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 33 Geometria anal´ıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.8 Orientac¸o˜es no espac¸o R3
Exerc´ıcio 26. Sejam −→u = (2,−7, 1),−→v = (−3, 0, 4) e −→w = (0, 5,−8). Detemine o aˆngulo
associado a 2−→u − 4−→v e 2−→u + 3−→v − 5−→w .
Exerc´ıcio 27. Escreva −→v = (1,−2,−5) como combinac¸a˜o linear de −→a = (1, 1, 1), −→b =
(1, 2, 3) e −→c = (2,−1, 1). Depois, calcule os aˆngulos que −→v forma com os −→e j (j = 1, 2, 3).
Exerc´ıcio 28. Encontre B = (x, y, z) sabendo que A = (1,−2, 3), |−→AB| = 6 e −→AB forma
aˆngulos α = arccos
2
3
, β = arccos−1
3
e γ = arccos
1
2
com os eixos coordenados.
3.8 Orientac¸o˜es no espac¸o R3
a
v
b u
A
B
C
E
D
Quando e´ necessa´rio escolher um vetor ortogonal a dois
outros, existem dois sentidos poss´ıveis. O que diferen-
cia −→a de −→b , ale´m do sentido ? Vamos considerar −→u =
(u1, u2, u3),
−→v = (v1, v2, v3),−→a = (a1, a2, a3) = −−→b =
−(b1, b2, b3). Enta˜o
det
u1 v1 a1u2 v2 a2
u3 v3 a3
 = det
u1 v1 −b1u2 v2 −b2
u2 v3 −b3
 = − det
u1 v1 b1u2 v2 b2
u2 v3 b3
 6= 0.
mostra que a troca de −→a por −→b muda o sinal do determinante, mas na˜o o valor.
Exerc´ıcio 29. Calcule os dois determinantes no caso em que −→u = (2, 3, 4),−→v = (−5, 6,−7)
e −→a = (11,−1, 3) = −−→b .
Existe uma infinidade de bases em R3, sendo que uma base {−→u ,−→v ,−→w } obedece a`
regra da ma˜o direita quando a matriz formada pelos vetores tem det > 0, i.e., quando
posicionados o dedo indicador sobre o representante de −→u e o dedo me´dio sobre o repre-
sentante de −→v , o dedo polegar pode se sobrepor ao representante de −→w . Uma orientac¸a˜o
de R3 consiste na colec¸a˜o de todas as bases (em um nu´mero infinito) que respeitam a
regra da ma˜o direita. Na ilustrac¸a˜o anterior, a orientac¸a˜o e´ dada pela base {−→u ,−→v ,−→a }.
3.9 Produto vetorial
De agora em diante R3 esta´ munido da base canoˆnica, que verifica a regra da ma˜o
direita. O produto vetorial em R3 e´ a operac¸a˜o matema´tica que, para −→u e −→v , associa
o vetor −→u ∧ −→v com as seguintes caracter´ısticas:
PV1. |−→u ∧ −→v | = |−→u ||−→v | sen α, em que α = a(−→u ,−→v );
PV2. −→u ∧ −→v ⊥ −→u e −→u ∧ −→v ⊥ −→v ;
PV3. (−→u ,−→v ,−→u ∧ −→v ) e´ uma base em R3 com a regra da ma˜o direita.
Claro que α = 0o, 180o, significa −→u e −→v L.D. e enta˜o −→u ∧ −→v = −→0 .
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 34 Geometria anal´ıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.9 Produto vetorial
A condic¸a˜o PV1), puramente geome´trica, significa que a norma de −→u ∧ −→v coincide
com a a´rea do paralelogramo cujas arestas sa˜o (A,B) ∈ −→u e (A,C) ∈ −→v .
A condic¸a˜o PV2) obriga −→u ∧−→v ter representantes paralelos a` reta r que conte´m A e e´
perpendicular ao plano que conte´m A,B,C. Em r existem D,E que distam exatamente
|−→u ||−→v | sen α de A, a regra da ma˜o direita leva a` escolha de D e enta˜o (A,D) e´ um
representante de −→u ∧ −→v .
e
1
2
3
e
e
r
E.
e
B
u
C
A
v
u
<
v
D
.
.
.
Área|????|u
<
v
.
Ale´m disso, existe um u´nico −→e unita´rio com a direc¸a˜o de r tal que {−→u ,−→v ,−→e } e´ uma
base na orientac¸a˜o de R3, assim podemos escrever −→u ∧ −→v = (|−→u ||−→v | sen α)−→e . Por fim,
PV3) significa que −→a se escrever na forma −→a = x−→u + y−→v + z(−→u ∧ −→v ).
Exerc´ıcio 30. Mostre que −→u ,−→v e −−→AD = −→u ∧−→v sa˜o L.I., que −→u ,−→v e −→AE = −(−→u ∧−→v )
tambe´m sa˜o. Mostre que esses dois ternos ordenados formam bases discordantes.
Ale´m das propriedades definidores do produto vetorial, sa˜o importantes as seguintes:
PV4. −→u ∧−→v = −→0 se, e somente se, (1) ao menos um dos vetores e´ nulo ou (2) se sa˜o
L.D;
PV5. −→u ∧ −→v = −(−→v ∧ −→u );
PV6. k−→u ∧ −→v = −→u ∧ k−→v = k(−→u ∧ −→v );
PV7. −→u ∧ (−→v +−→w ) = −→u ∧ −→v +−→u ∧ −→w e (−→u +−→v ) ∧ −→w = −→u ∧ −→w +−→v ∧ −→w .
Exemplo 26. Desenvolver (3−→u − 5−→v ) ∧ (−5−→u +−→v ).
Aplicando os fatos demonstrados, 3−→u ∧ (−5−→u +−→v )−5−→v ∧ (−5−→u +−→v ) = 3−→u ∧ (−5−→u )+
3−→u ∧−→v −5−→v ∧ (−5−→u )−5−→v ∧−→v = −15(−→u ∧−→u )+3(−→u ∧−→v )+25(−→v ∧−→u )−5(−→v ∧−→v ) =
3(−→u ∧ −→v )− 25(−→u ∧ −→v ) = −22(−→u ∧ −→v ). C
Os produtos escalar e vetorial se relacionam pela expressa˜o
|−→u ∧ −→v |2 + (−→u .−→v )2 = |−→u |2|−→v |2.
Exemplo 27. Determinar |−→u∧ −→v | para −→u = (3, 4, 2) e −→v = (−5, 2, 7) em uma base
ortonormal (concordante com a orientac¸a˜o fixada em R3). Dois modos:
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 35 Geometria anal´ıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.9 Produto vetorial
1o. Pela definic¸a˜o, |−→u ∧ −→v | = |−→u ||−→v | sen α = √29 √78 √1− cos2 α =
√
29
√
78
√
1− ( 7√
29
√
78
)2 =
√
29
√
78
√
29.78− 49
29.78
=
√
2213.
2o. Pela expressa˜o relacionando produto escalar e vetorial, |−→u ∧ −→v | = √29.78− 49 =√
2213. C
O passo seguinte e´ obter as coordenadas de −→u ∧ −→v em termos das coordenadas de−→u e −→v , como feito com o produto escalar. Sejam −→u = (u1, u2, u3) e −→v = (v1, v2, v3) em
uma base ortonormal ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3} associada a` orientac¸a˜o fixada em R3. Verifica-se
facilmente que
−→e1 ∧ −→e1 = −→e2 ∧ −→e2 = −→e3 ∧ −→e3 = −→0
−→e1 ∧ −→e2 = −→e3 , −→e2 ∧ −→e3 = −→e1 , −→e3 ∧ −→e1 = −→e2
−→e2 ∧ −→e1 = −−→e3 , −→e3 ∧ −→e2 = −−→e1 , −→e1 ∧ −→e3 = −−→e2
Desenvolvendo −→u ∧ −→v tem-se, (u1−→e1 + u2−→e2 + u3−→e3 ) ∧ (v1−→e1 + v2−→e2 + v3−→e3 ) PV7=
u1
−→e1 ∧ (v1−→e1 + v2−→e2 + v3−→e3 ) + u2−→e2 ∧ (v1−→e1 + v2−→e2 + v3−→e3 ) + u3−→e3 ∧ (v1−→e1 + v2−→e2 + v3−→e3 ) =
u1
−→e1 ∧ v1−→e1 + u1−→e1 ∧ v2−→e2 + u1−→e1 ∧ v3−→e3 + u2−→e2 ∧ v1−→e1 + u2−→e2 ∧ v2−→e2 + u2−→e2 ∧ v3−→e3 +
u3
−→e3 ∧ v1−→e1 + u3−→e3 ∧ v2−→e2 + u3−→e3 ∧ v3−→e3 PV6= u1v1−→e1 ∧ −→e1 + u1v2−→e1 ∧ −→e2 + u1v3−→e1 ∧ −→e3 +
u2v1
−→e2 ∧ −→e1 + u2v2−→e2 ∧ −→e2 + u2v3−→e2 ∧ −→e3 + u3v1−→e3 ∧ −→e1 + u3v2−→e3 ∧ −→e2 + u3v3−→e3 ∧ −→e3 =
u1v2
−→e3 + u1v3(−−→e2 ) + u2v1(−−→e3 ) + u2v3−→e1 + u3v1(−→e2 ) + u3v2(−−→e1 ).
Logo −→u ∧ −→v = (u2v3 − u3v2)−→e1 − (u1v3 − u3v1)−→e2 + (u1v2 − u2v1)−→e3 . Essa com-
binac¸a˜o linear e´ demasiada complexa para ser memorizada, mas pode ser encarada como
o determinante da seguinte ’matriz simbo´lica’ (na˜o e´ matriz !):
−→u ∧ −→v = det
−→e1 −→e2 −→e3u1 u2 u3
v1 v2 v3
.
Exemplo 28. Calcular (3−→u − 7−→w ) ∧ (2−→v + 9−→w ), sabendo que −→u = (6,−2,−4),−→v =
(3, 4, 5) e −→w = (9,−3, 1) sa˜o dados em uma base ortonormal associada a` regra da ma˜o
direita. Existem duas opc¸o˜es. 1a. 3−→u ∧ 2−→v + 3−→u ∧ 9−→w − 7−→w ∧ 2−→v − 7−→w ∧ 9−→w =
6(−→u ∧−→v )+27(−→u ∧−→w )−14(−→w ∧−→v ) = 6 det
−→e1 −→e2 −→e36 −2 −4
3 4 5
+27 det
−→e1 −→e2 −→e36 −2 −4
9 −3 1
−
14 det
−→e1 −→e2 −→e39 −3 1
3 4 5
 = 6(6,−42, 30)+27(−14,−42, 0)−14(−19,−42, 45) = (−76,−798,
−450). 2a. Considere −→a = 3−→u − 7−→w = (−45, 15,−19),−→b = 2−→v + 9−→w = (87,−19, 19) e
enta˜o −→a ∧ −→b = det
 −→e1 −→e2 −→e3−45 15 −19
87 −19 19
 = (−76,−798,−450). C
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 36 Geometria anal´ıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.9 Produto vetorial
Exerc´ıcio 31. Verifique cada uma das propriedades (PV) para o caso particular −→a =
(2, 1, 1),
−→
b = (−1, 4,−7) e −→c = (9, 6,−2).
Exemplo 29. Desenvolva o procedimento alge´brico que, a partir de −→u = (−2, 2,−1) e−→v = (3,−4, 5) (base ortonormal), estabelece −→v1 ⊥ −→u e −→v2 ‖ −→u tais que −→v = −→v1 +−→v2 .
E´ bem claro que −→v1 = (v11, v21, v31) deve ser tal que −→v1 .(−2, 2,−1) = 0 e −→v1 .−→u ∧ −→v =−→v1 .(6, 7, 2) = 0. Se α = a(−→u ,−→v ), enta˜o |−→v1 |2 = |−→v |2 cos2(90o − α) = |−→v |2 sen2 α =
|−→v |2(1− cos2 α) = |−→v |2[1− (
−→u .−→v
|−→u ||−→v |)
2] =
89
9
. Enta˜o
−2v11 + 2v21 − v31 = 0
6v11 + 7v21 + 2v31 = 0
v211 + v
2
21 + v
2
31 =
89
9
e um ca´lculo direto mostra que v11 = ±11
9
; v21 = ±2
9
e v31 = ±26
9
. Teste direto indica
que −→v1 = 1
9
(−11, 2, 26) ou −→v1 = 1
9
(11,−2,−26) serve. E o sistema de equac¸o˜es
−→v2 = k−→u = (−2k, 2k,−k)
|−→v2 |2 = |−→v |2 sen2(90o − α) = |−→v |2 cos2 α = 361
9
tem soluc¸a˜o k = ±19
9
. Uma vez que α > 90o, deve valer somente k = −19
9
e enta˜o
−→v2 = 19
9
(2,−2, 1). Conclusa˜o, −→v1 = 1
9
(−11, 2, 26) e −→v2 = 19
9
(2,−2, 1). C
Exerc´ıcio 32. Determine −→u ∧ −→v , tal que:
1) −→u = (1, 2, 3) e −→v = (4, 5, 6).
2) −→u = (7, 3, 1) e −→v = (1, 1, 1).
Em cada um dos casos, verifique que −→u ∧ −→v ⊥ −→u e −→u ∧ −→v ⊥ −→v .
Exerc´ıcio 33. Encontrar um vetor unita´rio que seja ortogonal a −→v = (1, 3, 4) e −→w =
(2,−6, 5).
Exerc´ıcio 34. Estabelec¸a um vetor −→w de norma 4, tal que {−→u ,−→v ,−→w } constitua uma
base concordante com a orientac¸a˜o de R3, tal que −→u = (2,−3, 4) e −→v = (1, 5, 3).
Exerc´ıcio 35. Sejam −→u = (1, 3,−5) e −→v = (2,−2, 2). Decomponha −→v = −→v1 + −→v2 , de
sorte que −→v1 ⊥ −→u e −→v2//−→u . Mostre que |−→u ∧ −→v | = |−→u ∧ −→v1 | e que −→u ∧ −→v = −→u ∧ −→v1 .
Uma interessante aplicac¸a˜o geome´trica do produto vetorial ocorre na projec¸a˜o de a´reas.
Na ilustrac¸a˜o, S e´ a a´rea do paralelogramo gerado por (A,B) ∈ −→u e (A,C) ∈ −→v , B e
C sa˜o projetados no plano que conte´m A,X, Y , que conte´m A, Y, Z e que conte´m A,X,Z,
o que faz surgir paralelogramos de a´reas S12, S13 e S23.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 37 Geometria anal´ıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.9 Produto vetorial
D
E
e
1
2
3
e
e
X
Y
Z
.
.
.
.
.
.
.
v
u
B
C
.
A F
G
H
I
.
.
S
S
12
S
13
S
23
vu
v
a
A projec¸a˜o de −→u = (u1, u2, u3) sobre o plano que conte´m A,X, Y e´ a soma das
projec¸o˜es de −→u sobre −→e1 e −→e2 , e´ −→u 12 = proj−→e1−→u + proj−→e2−→u = (−→u .−→e1 )−→e1 + (−→u .−→e2 )−→e2 =
u1
−→e1 + u2−→e2 . A projec¸a˜o de −→v = (v1, v2, v3) sobre o mesmo plano e´ −→v 12 = (−→v .−→e1 )−→e1 +
(−→v .−→e2 )−→e2 = v1−→e1 + v2−→e2 . Teˆm destaque os seguintes fatos:
1. −→u 12 ∧ −→v 12 =′ 8′ det
−→e1 −→e2 −→e3u1 u2 0
v1 v2 0
 = (u1v2 − v1u2)−→e3 = det (u1 u2v1 v2
)
−→e3 e S12 =
|−→u 12 ∧ −→v 12| = | det
(
u1 u2
v1 v2
)
|.
2. −→u ∧−→v .−→e3 = |−→u ∧−→v | cos α = S cos α = [(u2v3−u3v2)−→e1 − (u1v3−u3v1)−→e2 +(u1v2−
u2v1)
−→e3 ].−→e3 = u1v2 − u2v1 logo S| cos α| = |u1v2 − u2v1| = S12.
3. De modo ana´logo define-se as projec¸o˜es −→u 13 e −→v 13 sobre o plano que conte´m
A,X,Z, bem como −→u 23 e −→v 23 sobre o plano que conte´m A, Y, Z. Como antes, S13 =
| det
(
u1 u3
v1 v3
)
| e´ a a´rea do quadrila´tero associado a −→u 13 e −→v 3, S23 = | det
(
u2 u3
v2 v3
)
|
e´ a a´rea do quadrila´tero associado a −→u 23 e −→v 23, −→u 13 ∧ −→v 13 = − det
(
u1 u3
v1 v3
)
−→e2 e
−→u 23 ∧ −→v 23 = det
(
u2 u3
v2 v3
)
−→e1 .
8 Lembre-se que a base deve ser ortonormal para que seja poss´ıvel escrever o determinante
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 38 Geometria anal´ıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.9 Produto vetorial
Tambe´m sendo β = ang(−→u ∧ −→v ,−→e2 ) e γ = ang(−→u ∧ −→v ,−→e3 ), tem-se S13 = S| cos β| e
S23 = S| cos γ|.
4. S2 = |−→u ∧ −→v |2 = |(u2v3 − u3v2)−→e1 − (u1v3 − u3v1)−→e2 + (u1v2 − u2v1)−→e3 |2 =
|(u2v3 − u3v2)−→e1 |2 + |(u1v3 − u3v1)−→e2 |2 + |(u1v2 − u2v1)−→e3 |2 = (u1v3 − u3v1)2 + (u1v3 −
u3v1)
2 + (u1v2 − u2v1)2 = S212 + S213 + S223.
Note que todo o ca´lculo feito na˜o leva em conta a posic¸a˜o relativa de (A,B) e (A,C), ou
seja, tanto faz se o quadrila´tero de a´rea S e´ horizontal, e´ vertical ou tem outra disposic¸a˜o.
Exerc´ıcio 36. Leve em considerac¸a˜o−→u = (4, 3,−1),−→v = (−2, 4, 3) e determine S12, S13, S23,
α, β, γ e S.
Exerc´ıcio 37. Qual o valor da a´rea limitada pelo triaˆngulo que e´ a projec¸a˜o de ABC
sobre Oxy, tome A = (3,−1, 2), B = (1, 5, 1) e C = (4, 1, 1) ?
Outra importante aplicac¸a˜o geome´trica do produto vetorial esta´ na definic¸a˜o da equac¸a˜o
geral de um plano. Isso sera´ visto mais adiante.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 39 Geometria anal´ıtica
4 G.A. parte 2 Sistemas de coordenadas
4 G.A. parte 2 Sistemas de coordenadas
Uma vez que ponto e´ o elemento minimal da Geometria, e´ poss´ıvel estabelecer um
mecanismo atrave´s do qual ponto e´ associado a nu´mero. Imagine A e B sobre uma reta r;
para qualquer