Série de Taylor e Maclaurim

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Se tiver uma representação (expansão) 
em série de potências em isto é, se 
 
então seus coeficientes são dados pela 
fórmula
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Substituindo essa fórmula para de volta 
na série, então teremos a chamada série 
de Taylor da função em (ou em 
torno de ou centrada em ) 
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Para o caso especial , a série de 
Taylor torna-se
e recebe o nome especial de série de 
Maclaurin 
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Encontre a série de Maclaurin da função
 e seu raio de convergência. 
Solução: Se então
Assim para todo 
Logo a série de Maclaurin é 
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Fazendo temos
Pelo Teste da Razão a série converge para 
todo , e o raio de convegência é 
 
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Sob quais circunstâncias uma função é igual 
à soma de sua série Taylor? 
Em outras palavras, se tiver derivadas de 
todas as ordens, quando é verdade que 
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 é o limite da sequência das somas 
parciais. No caso da série de Taylor, as 
somas parciais são:
 é chamado polinômio de Taylor de 
grau de em 
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Para os polinômios de Taylor em 
0 com e 3 são
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Se , onde é um polinômio de Taylor de grau de em e 
para , então é igual à soma de uma série de Taylor no intervalo 
 
 
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Encontre a série de Taylor de em
Solução:
 
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Encontre a série de Maclaurin para senx.
Solução:
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Encontre a série de Maclaurin para cosx.
Solução:
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Encontre a série de Maclaurin para xcosx.
Solução:
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Represente f (x)=senx como a soma de sua série de Taylor centrada em /3.
Solução:
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Represente f (x)=senx como a soma de sua série de Taylor centrada em /3.
Solução:
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Encontre a série de Maclaurin para 
 onde é um número real.
Solução:
 
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 (Série Binomial)
Converge se . 
Notação radicional:
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Se é um número real e , então 
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Encontre a série de Maclaurin para afunção
e seu raio de convergência.
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Série binomial com . Substituindo por : 
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A série converge para , ou seja, .
Portanto o raio de convergência é 
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Calcule com erro inferior a 0,001.
Solução:
 
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