FENÔMENOS DE TRANSPORTE TOTAl 2014 1 aluno pdf

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1 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
FENG - ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO 
DISCIPLINA - FENÔMENOS DE TRANSPORTE (ECA) – 2014-1 
 
Bibliografia de mecânicas de fluidos 
- Introdução à mecânica dos fluidos - Fox Robert W. 
- Mecânica dos fluidos – Streeter, Victor L, Wylie, E. Benjamin. 
- Elementos de mecânica dos fluidos - Garcez, Lucas Nogueira. 
- Problemas de mecânica dos fluidos - Bastos, Francisco de Assis A. 
- Mecânica dos fluidos e Hidráulica - Giles, Ronald V. 
- Curso de Hidráulica - Neves, Eurico Trindade. 
- Mecânica dos fluidos - Costa, Ennio Cruz. 
 
Bibliografia de transferência de calor 
- Princípio da transmissão de calor - Kreith, Frank. 
- Transferência de calor -Holman, Jack Philip. 
- Transferência de calor - Mc Donald, Alan T. 
- Processo de transferência de calor - Kern, Donald. 
 
OBJETIVOS DA DISCIPLINA 
Mecânicas dos Fluídos 
- Análise de sistemas – onde o fluido é o meio de trabalho, como aeronaves, máquinas, 
navios, submarinos, bombas, ventiladores, turbinas, ar condicionado, circulação do 
corpo humano. 
- Análise de perdas de carga (energia). 
- Análise de comportamento de fluídos forçados ou livres em meios abertos ou fechados. 
- Estudos dos fluidos ideais e Reais. 
Transferência de calor 
- Análise da transferência de calor por condução, convenção e radiação. 
- Transferência de calor através de sistemas fechados ou livres, como ocorre em 
tubulações, placas, fios, equipamentos elétricos. Isolamento. 
 
Fenômenos de Transporte - Mecânica dos Fluidos e Transferência de Calor. 
 
 2 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
CAPITULO I - Introdução e Propriedades dos Fluidos. 
 Mecânica – é a parte da ciência que estuda o movimento e suas causas. 
 Mecânica dos fluidos – é o estudo dos fluidos em movimento e suas causas. 
 
1.1 – Definição e Classificação de fluidos. 
Fluidos são substâncias que escoam e tomam a forma do recipiente que as contém e que 
se deformam continuamente quando submetidas a uma tensão de cisalhamento por menor 
que seja esta tensão. 
 
 
 
 
 
 
S = área da superfície 
Fc = Força de cisalhamento (comportamento tangencial) 
 = Tensão de cisalhamento - é a relação que existe entre a força de cisalhamento que age 
sobre uma superfície e a área desta superfície. 
 
S
Fc
 
Quando a força Fc movimenta a placa superior com uma velocidade (não nula) 
constante, pode-se concluir que a substância entre as duas placas é um fluido. 
 
 Classificação dos fluidos. 
- Líquidos e gases. 
- Incompressíveis e compressíveis. 
- Newtonianos e não newtonianos. 
 
Líquidos e gases. 
 
Líquidos: 
- Tomam a forma do recipiente que os contém. 
- Apresentam superfície livres (meniscos). 
 
Gases: 
- Ocupam todo o volume que os contém. 
- Não apresentam superfície de separação (meniscos). 
 
 
FN 
Fc 
Placa fixa 
Fluido Fluido 

 
F 
 3 
Incompressíveis e Compressíveis. 
 
- Incompressíveis – São aqueles fluidos que não variam, consideravelmente, a sua massa 
específica quando sujeitos a variação de pressão e/ou temperatura. 
Ex: os líquidos. 
 
- Compressíveis – São aqueles fluidos que variam a sua massa específica com variação de 
pressão e/ou temperatura. 
Ex: os gases 
 
 
 
 
 
 Incompressíveis Compressíveis 
1.2 – Unidades e Dimensões 
 S.I S. Técnico S. Inglês Dimensões 
Força N kgf lb F 
Massa kg kg slug M 
Comprimento m m pé L 
Tempo s s s T 
 
 1kgf 1kg x 9,81m/s2 = 9,81kg.m/s2 = 9,81N 
 kg.m/s2 = N 1kgf = 9,81N 
1.3 – Viscosidade Dinâmica ou absoluta 
 
É a propriedade do fluido que oferece resistência ao cisalhamento. 
 
Consideremos duas placas infinitas, muito próximas, contendo entre eles um fluido. 
 
 
 
 
 
 
F 
F 
Fc 
Placa fixa 
Placa móvel 
Fluido 
Fluido 
Fluido 
 4 
 
Suponhamos que a placa de área S esteja sendo tracionada e se desloque com uma 
velocidade 

 através uma força Fc. 
Mediante a força Fc , observa-se experimentalmente que: 
 
SF
 
F
 
F
  
y
1
 , logo 






y
SF
1
,,
 ou 
S
Fc

y

 
 Como 
S
Fc
 =  , então, 
 
y

   
dy
d
, se é proporcional, então, 
 =  . 
dy
d
 Equação e Newton da viscosidade 
onde 
dy
d
 é chamado: Gradiente de velocidade 
 Gradiente de deformação 
 Gradiente de deformação angular 
 Velocidade de deformação angular. 
 
Este termo pode ser entendido como sendo a variação da velocidade que uma 
camada move-se em relação a outra adjacente. 
  : Coeficiente de viscosidade absoluta ou dinâmica do fluido. 
 
A lei de Newton da viscosidade estabelece que para uma dada velocidade de 
deformação angular de um fluido, a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional a 
viscosidade. 
Ex.: mel e alcatrão são bastante viscosos. 
 Ar e água são pouco viscosos. 
A resistência de um fluido depende da tensão de cisalhamento, e este depende da 
coesão e da velocidade de transferência de quantidade de movimento molecular. 
 A viscosidade de um líquido diminui com o aumento de temperatura. 
 A viscosidade de um gás aumenta com o aumento da temperatura. 
 
 Unidades 
 
SI 
2
.
m
sN
= Pa.s 
 5 
CGS 
2
.
cm
sdin
 = P (Poise). É comum usar a unidade centipoise (cP) 
 
1 cP = 0,01 P = 10
-3
 Pa.s - A viscosidade da água a 20 
o
C é 1 cP 
 
 Viscosidade Cinemática (

) 
 
É definida como sendo o coeficiente entre a viscosidade absoluta e a massa 
específica. 
 
 

 = 


, 

 = massa específica 
 
Unidades 
 
SI – m2/s 
CGS– cm2/s 1 cm2/s = St ( Stokes ) 
 
 
1.4 – Fluido newtoniano e não newtoniano. 
 
Fluído newtoniano são os fluidos que possuem uma relação linear entre a tensão de 
cisalhamento e a velocidade angular ou de deformação. Segue a lei de Newton 
 = . 
dy
d
 onde  é o fator de proporcionalidade. Chamada de viscosidade do 
fluido absoluta ou dinâmica do fluido. 
  
 
 
 
 
dy
d
 
 
 Para fins de análiseé feita freqüentemente a hipótese de que um fluido é não 
viscoso. Com a viscosidade zero, a tensão de cisalhamento é sempre zero, não importando 
o movimento que o fluído possa ter. Se o fluido é também considerado incompressível ele é 
então chamado fluído perfeito ou ideal. 
Ex.: gases, ar e líquidos comuns, tendem a ser newtonianos. 
 Se considerarmos dois fluidos newtonianos diferentes como a glicerina e a água, 
verifica-se que eles se deformam com taxas diferentes sob a ação do mesmo esforço 
tangencial. A glicerina oferece resistência muito maior do que a água. Por isto dizemos que 
é muito mais viscosa. 
 6 
 
Fluidos não newtonianos - São os fluidos em que não existe uma relação linear entre 
a tensão de cisalhamento aplicada e a velocidade de deformação angular. 
 
  
 
 
 
 
 
dy
d
 
 = A + B n
dy
d





  , onde A = Tensão inicial , B = Viscosidade absoluta 
 
- Plásticos tipos Binghan. 
Não escoa com qualquer tensão de escoamento. Quando tencionada primeiro comporte-se 
como sólido até uma tensão limite depois se comporta como fluído. (n = 1). 
Ex.: Pasta de dentes, suspensão de argila, lamas de perfuração, chocolate, mostarda 
quetchup, maionese, tintas asfalto e outros. 
 
- Pseudoplásticos 
A relação não é linear. A variação da tensão de cisalhamento tende a zero, enquanto a taxa 
de deformação continua variando. (n < 1). Ex.: Soluções poliméricas, suspensões coloidais, 
plasma sanguíneo, polietileno fundido, polpa de papel em água. 
- Dilatante 
Não apresenta relação linear. A tensão de cisalhamento continua variando enquanto a 
variação de deformação angular tende a zero. (n >1). Ex.: Suspensões de amido e de areia 
(areia movediça). 
- Fluidos tixotrópicos 
São fluidos não-newtonianos dependentes do tempo, os quais são complicados de analisar. 
O gradiente de velocidade varia com o tempo. Ex: Alguns óleos de petróleo cru a baixa 
temperatura, a tinta de impressão, o nylon, a massa de farinha e várias soluções 
poliméricas. 
- Fluidos ideais 
São fluidos não reais. São aqueles que não têm viscosidade. Logo a tensão de cisalhamento 
é zero. Trata-se de um conceito útil nas soluções teóricas para as posteriores soluções reais. 
- Sólido real 
São substâncias que sofrem um mínimo de deformação e dentro do limite de 
proporcionalidade (Lei de Hooke). A curva é uma linha reta quase vertical passando pela 
origem. 
 
 
Dilatantes 
Pseudoplásticos 
Plástico Ideal (Plástico de bingham) 
Fluidos ideais 
Sólidos 
 7 
1.5 – Outras propriedades 
 
a) Peso Específico (

) - É definido como o peso por unidade de volume. 
 
g
V
W
. 
 
W
 = peso ; Unidades: N/m
3 
, kgf/m
3
 , din/cm
3
, .... 
 
 
b) Massa Específica (

) - É definida como a massa por unidade de volume. 
 

 = 
V
m
 , 
m
 = massa e 
V
 = volume Unidades -------- kg/m
3
 , g/cm
3
, ... 
 
c) Volume Específico - É definido como o volume por unidade de massa. 
 
e
= 

1
 = 
m
V
 Unidades -------- m
3
/kg , cm
3
/g, ... 
 
 
d) Densidade (d) - É definida como a massa específica de um fluido pela massa específica 
da água a 4 
o
C. A massa específica da água a 4 
o
C é 1000 kg/m
3
. 
 
d = 
água
f
água
f





 
 
Exemplo 1.1 – A densidade de um determinado óleo é 0,8. Determine: 
a) Massa específica no SI. R: 800 kg/m3; 
b) Volume específico no CGS. R: 1,25 cm3/g; 
c) O peso específico no SI. R: 7848 N/m
3
. 
 
Exemplo 1.2 – Uma placa plana infinita move-se a 0,3 m/s sobre outra igual e estacionária. 
Entre ambas há uma camada líquida de espessura 3 mm. Admitindo que a distribuição das 
velocidades sejam linear, a viscosidade 0,65cP e a densidade 0,88, calcular: 
a) A viscosidade em Pa.s. R = 6,5.10-4 Pa.s; 
b) b) A viscosidade cinemática em St. R = 7,4 .10-3 St; 
c) c) A tensão de cisalhamento na placa em Pa. R = 0,065 Pa. 
 
Exercício 1.1– Sendo 1.030 kg/m3 a massa específica da cerveja, qual sua densidade e o 
peso dela por garrafa? Sabe-se que o volume ocupado é 600 ml. R: 1,030; 6,06 N. 
 
Exercício 1.2 – Num motor, um eixo de 112 mm de raio gira internamente a uma bucha 
engastada de 120 mm de raio interno. Qual é a viscosidade do fluido lubrificante se é 
necessário um torque de 36 kgf.cm para manter uma velocidade angular de 180 rpm. Eixo e 
bucha possuem ambos 430 mm de comprimento. R: 3,75.10
-2 
kgf.s/m
2
. 
 
 8 
Exercício 1. 3 – A expressão da velocidade num determinado escoamento é dado por 
(-3u/y)+y
1/3 
= 0, qual a tensão de cisalhamento a 8cm de parede sendo a viscosidade 0,02 
Pa.s e y = 0,08 m. R: 3,8.10
-3 
Pa. 
 
 
1.6 – Gases Perfeitos 
 
Def. substância que satisfaz a lei dos gases perfeitos 
TRp e .. 
 
 
Tem calores específicos constantes 
p
 pressão absoluta 
e
= volume específico 
R = constante do gás 
T = temperatura absoluta 
 
Como 

1
ev
, então: 
 
TRp ..
 Não há variação de calor específico 
 
Unidade de R. 
]
.
[
. Kkg
J
T
p
R


 
 
Se, 

1
ev
 e 
V
m

, então: 
 
m
V
ve 
, Como 
RTvp e .
 
 
TRmVpTR
m
V
p ..... 
 
 
Se: m = n.M , onde 
n = nº de moles 
M = massa molecular [kg/kmol] 
 
 
Vp.
TRMn ...
 
MR
 constante = 
Kkmol
J
R
.
312.8

 então, para um mesmo número de móis (n), 
....
...
..
2
22
1
11
T
Vp
T
Vp
T
Vp
RMn 
 
R
= constante do gás 
 9 

R = constante real dos gases 
 
- Pela lei de Avogrado: Volumes iguais a mesma temperatura e pressão têm o mesmo nº de 
moléculas. 
 
- Lei de Charles (pressão constante) – sistema isobárico. 
2
2
1
1
T
V
T
V

 
 
 - Lei de Boyle (temperatura constante) – sistema isotérmico. 
2211 .. VpVp 
 
 
Exemplo 1.4 – Um gás com massa molecular 44 está a uma pressão de 0,9 MPa e a 
temperatura de 20 
o
C. Determinar sua massa específica. R: 16,26 kg/m
3
. 
 
Exercício 1.5 – Sabendo que a massa molecular do ar é 29 kg/kmol, qual o peso do ar por 
m
3
 a uma pressão de 1atm e 20 
o
C. R: 11,8 N/m
3
. 
 
Exercício 1.6 – Em um tubo de 150 mm escoa ar sob uma pressão manométrica de 2 
kgf/cm
2
 e uma temperatura de 27 
o
C. se a pressão atmosférica for 1 kgf/cm
2
, qual o peso 
específico do ar. Constante do gás: 286,9 J/(kg.K) R: 33,48 N/m
3
. 
 
 
 
 
1.7 – Tipos de escoamento – Número de Reynolds 
 
 Existem dois tipos de escoamento. O escoamento laminar (lamelar) e o escoamento 
turbulento. 
 
- Escoamento laminar 
 
 
 
 
 Escoamento ideal Escoamento real 
 No regime laminar, a estrutura do escoamento é caracterizada pelo suave 
movimento do fluido em lâminas ou camadas. Isto é, uma camada escorregando sobre 
adjacente, havendo somente troca de movimento molecular. Qualquer tendência para 
instabilidade e turbulência é amortecida pelas forças viscosas de cisalhamento que 
dificultam o movimento relativo entre camadas adjacentes do fluido.10 
- Escoamento turbulento 
 
No regime turbulento a estrutura do escoamento é caracterizada por movimento 
aleatório, ou seja, as partículas passam de uma posição para outra qualquer. Elas têm 
movimentos erráticos e irregulares. Existe grande troca de quantidade de movimento 
transversal. 
 
 
 
 
A natureza do escoamento de fluidos em tubos foi estudada por Osborn Reynolds. 
Observou que a mudança de regime de escoamento ocorre a uma velocidade crítica 
diretamente proporcional a viscosidade cinemática e inversamente proporcional ao 
diâmetro. 
 
 
 
 
 
 Re = 

 .. HR
 ; RH = Raio hidráulico;  Velocidade média do escoamento 
P
S
RH
.4

 ; P = perímetro da seção transversal 
 No caso da seção cilíndrica o raio hidráulico é o diâmetro. Assim o Reynolds fica: 
 
Re = 

 ..D
 , 
Como, 

 = 


, então: 
Re = 

.D
 , (Grandeza admensional) 
 
A experiência de Reynolds é destinada a evidenciar os dois regimes (laminar e 
turbulento) 
Reynolds observou que a transferência de regime, ocorria quando o número de 
Reynolds estava em torno 2000 (número crítico para tubulação) 
 Para efeitos de estudos na disciplina, vamos considerar: 
Re 

 2000 Escoamento laminar 
2000 < Re 

 4000 Escoamento em transição ( fluído pode se comportar tanto 
como laminar como turbulento ) 
Re > 4000 Escoamento turbulento 
 11 
O número de Reynolds constitui a base do estudo do comportamento de sistemas 
reais, pelo uso de modelos reduzidos. Um exemplo comum é o túnel do vento 
(aerodinâmico) onde se medem as forças desta natureza em modelos de asa de avião. 
Diz-se que dois sistemas são dinamicamente semelhantes se o número de Reynolds 
for o mesmo para ambos. 
 
 
Exemplo 1.5 – Identificar o tipo de escoamento de um fluido que escoa numa tubulação de 
3 cm de diâmetro a uma velocidade de 1m/s. Sabe-se que a viscosidade é de 10
-6 
m
2
/s. 
R: Re = 30. 000 (turbulento). 
 
Exercício 1.7 – Calcular a velocidade máxima que um fluido pode escoar através de um 
duto de 30 cm de diâmetro quando ainda se encontra em regime laminar. Sabe-se que a 
viscosidade do fluído é 2.10
-3 
Pa.s e a massa específica é de 800 kg/m
3
. R: 0,02 m/s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
CAPITULO 2 – ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
 
2.1 – Introdução 
 
 Um fluido será considerado estático se todas as partículas não estiverem em 
movimento, ou tiver a mesma velocidade relativa a um referencial de inércia. 
 A ausência de movimento relativo implica na ausência de tensões de cisalhamento. 
Então, os fluidos em repouso são capazes, somente de sofrer ação de tensão normal 
(pressão). 
 
2.2 – Pressão em um ponto em meio fluído. 
 
 A pressão em um ponto é definida como o limite da relação entre a força normal 
dF
 exercida sobre uma área elementar 
dS
 quando fazemos a área tender a zero no entorno 
do ponto. 
 
dSpdF
dS
dF
S
F
p
S
.lim
0





 
 
 O somatório das forças exercidas sobre um volume de massa fluida em seu próprio 
meio é igual a zero. 
 
yzx ppp 
 
Imaginemos um pequeno corpo em forma de uma cunha de comprimento unitário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O peso do próprio fluído é equilibrado pelo próprio empuxe. 
Demonstração: 
0..sen...0 32  dsdzpdzdypFx  , como 
ds
dy
sen
 , então 
32 pp 
 
0..cos...0 31  dsdzpdzdxpFy  , como 
ds
dx
cos
 , então 
31 pp 
 
logo 
231 ppp 
 
 
 
 
x 
y 
z 
P2 
P1 
P3 
ds 

 
 13 
2.3 – Equação Básica da Estática do Fluído. 
 
 Para deduzir a equação geral da estática dos fluidos, vamos considerar um elemento 
de fluido conforme figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedução: 
0....0 







 dzdydx
x
p
pdzdypFx
, 
logo: 
0


x
p
 
Analogamente, 
 0zF
 
0.... 







 dxdydz
z
p
pdydxp
, 
logo: 
0


z
p
 
 
  0Fy
 
0........ 







 dzdydxgdxdzdy
y
p
pdzdxp 
, 
 
logo, 
dygdp ..
 , 
 
Se a massa específica do fluido é constante, no caso de fluidos incompressíveis, temos: 
 
 
2
1
p
p
dp 
2
1
.
y
y
dyg
, logo 
 
)(. 1221 yygpp  
 
 
Se o fluido for compressível 
 
dygdp ..
, como 
RT
p

 então 
x 
y 
z 
p 
p 
p 
 14 
dy
RT
p
gdp .
, integrando 
)(ln 12
1
2 yy
RT
g
p
p

 
)}(exp{ 12
1
2 yy
RT
g
p
p

 
 
 
2.4 – Pressão Manométrica e Pressão Absoluta. 
 
Seja o sistema 
 
 
 
 
 
 
 
 
dygdp ..
 , 
 
 
op
p
dp 
oy
y
dyg.
, logo 
 
)(. yygpp oo  
, mas 
hyyo 
, logo 
 
hgpp o ..
, onde 
p
= Pressão absoluta 
op
= Pressão atmosférica 
hg..
= Pressão efetiva ou manométrica 
 
Empuxe é uma força vertical que impulsiona os corpos para cima quando submerso em 
fluido. Corresponde o peso do volume deslocado de fluido. 
 
VE .
 
 
 
 
 
2.5 – Medidores de Pressão e Unidades de Pressão. 
 
 Barômetro – são instrumentos que medem a pressão absoluta. 
 Pressão absoluta – é aquela que se expressa em relação ao vácuo absoluto. 
 
y 
x 
Superfície livre 
oy
 
y 

 
(p,y) 
(po,yo) 
 
h 
 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Manômetros: são instrumentos que medem a pressão efetiva (= manométrica ) 
 Pressão efetiva ou manométrica: é aquela que se expressa em relação a pressão 
atmosférica. 
 Manômetro de Bourdon : é um instrumento metálico que mede a pressão interna de um 
fluido em uma tubulação. A pressão é indicada por um ponteiro. A pressão zero é 
indicada no mostrador sempre que a pressão interna do fluido no tubo for igual a 
pressão externa ( pressão atmosférica). 
 
 Manômetro em U – é um dispositivo que permite medir pressão através de 
deslocamento em colunas de fluidos como Hg, H20, CCl4, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Unidades de Pressão 
 
A unidade SI de pressão obtém-se pelo cociente das unidades SI de força (N) e de área 
(m
2
 ). Tal unidade denomina-se Pascal, com símbolo Pa. 
 
2
1
1
m
N
Pa 
 
1bar = 10
5 
Pa 
 
Ao nível do mar: 1atm = 101.325 Pa = 760 mmHg 
 
1 torr = 1 mmHg 
 
76 cmHg 
h 
 16 
1
Pa
cm
kgf
100.98
2

 
 
 OBS: Para o desenvolvimento das aulas, sempre que se falar somente a palavra 
pressão, esta se refere a pressão manométrica. 
A pressão absoluta deve ser referida como pressão absoluta. 
 
Exemplo 2.1 - Que profundidade de óleo de densidade 0,75 produzirá uma pressão de 2,8 
kgf/cm
2
. Qual a profundidade em água para esta mesma pressão? R: 37,3 mcó; 28 mca. 
 
Exemplo 2.2 – O prédio Empire State Building de Nova York é uma das construções mais 
alta do mundo com uma altura de 381 m. Determine a relação de pressão entre o topo e a 
base do edifício. Considere uma temperatura uniforme e igual a 15 
o
C. Compare este 
resultado com o que é obtido considerando o ar como incompressível e com peso específico 
igual a 12,01 N/m
3
. Considere a pressão atmosférica padrão (101,325 kPa). R: 0,956;0,955. 
 
Exercício 2.1 - (fonte: prova perito Polícia Federal): Um navio de carga tem uma seção 
reta longitudinal de área igual a 3000 m
2
 na linha d'água quando o calado é de 9 m. 
Supondo o peso específico da água igual a 10 kN/m
3
, qual a massa de carga que pode ser 
colocada no navio antes que o calado atinja o valor de 9,2 m? Calado de um navio é a 
distância vertical entre a superfície da água e a parte inferior do casco. R: 612644 kg. 
 
Exercício 2.2 - A pressão pA é a da atmosfera (= 0 relativo). Determinar as pressões 
manométricas e absolutas em B e em C. R: 7,7 kPa; 27,67 kPa. 
 
 
 
 
 
 
2.6 – Manometria 
 
 É uma técnica de medir pressões que consiste em determinar o deslocamento 
produzido na coluna contendo um fluido. 
 
 Regra para cálculo de pressão em manômetros em U. 
 
 
 17 
a) Começar numa extremidade e escreve a pressão; 
b) Agregar a mesma, a variação de pressão produzida no próximo menisco (com sinal 
positivo se este menisco estiver num nível inferior; negativo se estiver num nível 
superior); 
c) Continuar, desta forma, a expressão até alcançar a outra extremidade do manômetro e, 
igualar a mesma, a pressão neste ponto, seja a mesma conhecida ou não. 
 
Considerar um tubo em U ligado em um tanque que contém um fluido conforme a 
figura, cuja pressão “a” deve ser medida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02211 .. phhp  
 
 
112201 .. hhpp  
 Pressão absoluta 
11221 .. hhp  
 Pressão manométrica ou efetiva 
 
 Outra regra (Pressão em A é igual a pressão em B) 
 
22011 .. hphp  
 
112201 .. hhpp  
 
 
 
2.7 – Manômetros Diferenciais 
 
 O manômetro fornecerá a diferença de pressão entre duas regiões. 
 Este manômetro continua sendo tubo em U, portanto valem as regras do item 
anterior. 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
h1 
h2 
A B 
 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CCCBBAAA phhhp  ... 
 
 
CCBBAACA hhhpp ...  
 
 
Exemplo 2.3 - Qual a pressão efetiva e a absoluta no tanque, conforme figura? R: 1,57.10
5 
Pa; 2,58.10
5 
Pa. 
 
 
Exemplo 2.4 - Calcular a pressão X para o manômetro da figura, densidade do óleo 0,85. 
R: 114.000 Pa. 
 
 
A 
C 
B 
hA 
hB 
hC 
2.280 mm 
1.520 mm 
0,00 mm 
 19 
Exercício 2.3 - Dado o desenho abaixo, calcular pA - pB. R: 96.000 Pa. 
 
 
Exercício 2.4 - Determine PB – PA na figura. R: -35.280Pa. 
 
 
 
Exercício 2.5 - A pressão pA é a da atmosfera (= 0 relativo). Determinar a pressão em C 
usando a técnica de manometria. R: 27,67 kPa. 
 
 
 
 
 
Exercício 2.6 – Qual a pressão manométrica e absoluta dentro de uma tubulação onde 
circula ar se o desnível do nível do mercúrio observado no manômetro de coluna é de 4 
 20 
mm? Considere: Massa específica do mercúrio: 13600 kg/m
3
 e pressão atmosférica como 
sendo 1013,25 hPa. Desconsiderar o peso específico do ar. R: 533,6 Pa. R: 101858 Pa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21 
 
CAPÍTULO III – FLUIDODINÂMICA 
 
3.1 – Definições 
 
a) Fluidodinâmica – é a ciência que estuda os fluidos em movimento. 
b) Hidrodinâmica – é a ciência que estuda os líquidos em movimento. 
c) Aerodinâmica – é a ciência que estuda o ar e os gases em movimento. 
d) Linha de fluxo ou de corrente – é a trajetória imaginária que representa o lugar 
geométrico dos pontos ocupados por partículas que se deslocam dentro de uma massa 
de um fluido qualquer indicando em cada ponto a direção da velocidade de cada 
partícula. 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
e) Tubo de fluxo ou de corrente – é um tubo imaginário envolvido por um conjunto de 
linhas de corrente que delimitam um determinado escoamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Regime permanente ou estacionário – é quando a velocidade num ponto não varia com 
o tempo. Numa seção 
S
, a velocidade sempre será a mesma para qualquer instante. Ex. 
um reservatório com bóia mantendo o nível da água. Em qualquer ponto da linha de 
fluxo a velocidade permanece constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) Regime não permanente – é quando a velocidade num ponto varia com o tempo. Ex: um 
reservatório escoando sem manter o nível da água. Em qualquer ponto da linha a 
velocidade vai sendo alterado em função do abaixamento de nível da superfície líquida. 
Bóia 
y 
x 
Y 
x 

 
 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) Regime uniforme – é quando em um determinado instante a velocidade de todas as 
partículas em qualquer ponto do fluido, é constante em módulo, direção e sentido. A 
velocidade pode variar ao longo do tempo ou não, mas não varia entre os pontos. A 
velocidade é a mesma em qualquer ponto ao longo da linha de fluxo. 
 
 
 
 
 
i) Regime não uniforme – é quando em um determinado instante, as velocidades das 
partículas não são constantes em todos os pontos ao longo de uma mesma linha de fluxo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2– Vazão de uma corrente. 
 
 Suponhamos uma corrente com água que passa através de uma seção 
S
. 
Recolhemos através de um recipiente um determinado volume durante certo intervalo de 
tempo 
t
. 
 Chama-se vazão volumétrica 
Q
 o cociente entre o volume e o tempo de 
recolhimento. 
 
t
V
Q



 
 
 
 
 Se a velocidade média que se movem as partículas é 

, então estas são capazes de 
percorrerem uma distância num tempo 
t
. 
 
 
.SQ 
 - Unidades: m
3
/s, litros/h, m
3
/h, cm
3
/s, ... 

 
1
 
2
 
S1 
S2 
 23 
Vazão mássica – é a vazão dada em massa por unidade de tempo. 
 
t
m
m




 
QSm ...  
 Unidades: kg/s ; kg/h ; g/s 
 
Exemplo 3.1 - Uma estação de água deve recalcar 450 m
3
/h para abastecimento de uma 
cidade. Qual o diâmetro que deve ter a canalização para que a velocidade média seja 1,25 
m/s. R: 36 cm. 
 
Exercício 3.1 – Qual a vazão de água (em litros por segundo) circulando através de um 
tubo de 32 mm de diâmetro, considerando a velocidade da água como sendo 4 m/s? 
R: 3,21 litros/s. 
 
Exercício 3.2 – Qual a velocidade da água que escoa em um duto de 25 mm se a vazão é de 
2 litros/s? R: 4,1 m/s 
 
Exercício 3.3 – Em um tubo de 150 mm escoa ar sob uma pressão manométrica de 2 
kgf/cm
2
 e uma temperatura de 27 
o
C. se a pressão barométrica for 1 kgf/cm
2
, e a velocidade 
for de 3 m/s, quantos kg/s de ar escoando? R: 0,181 kg/s. 
 
 
3.3. Equação da continuidade 
 
 Considera-se uma superfície fechada e fixa no seio de um fluido em movimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Baseado na lei da conservação da massa, segundo a qual nenhuma matéria pode ser 
criada ou destruída, pode-se estabelecer a chamada equação da continuidade através do 
balanço de massa. 
 
me = ms ou 
S1 
S2 
1
 
2
 
d1 
d2 
t
 
t
 
 24 
2211 .. VV  
 ou 
222111 .... SdSd  
 Como 
dtd.
 , então 
 
222111 ....  SS 
 
 
Se o fluido for incompressível 
 
212211 .. QQSS  
 
 
Isto demonstra que a vazão 
Q
 é a mesma para todas as seções transversais do tubo 
em dado instante, uma vez que o tubo esteja completamente cheio. 
 
Exemplo 3.2 - (fonte: prova perito Polícia Federal): Uma tubulação cilíndrica tem um 
trecho com uma seção de 300 mm de diâmetro e outro com 200 mm de diâmetro. A 
redução de seção é feita através de um elemento cônico colocado entre os dois trechos. Na 
parte maior da seção escoa ar com peso específico 9,8 N/m
3
 a uma vazão de 3,06 m
3
/s. Ao 
fluir para o trecho de menor seção o ar sofre uma redução de pressão e aumento de 
velocidade, provocando uma expansão no mesmo e reduzindo o peso específico para 7,85 
N/m
3
. Determine: 
a) A vazão volumétrica no trecho de menor seção. R: 3,82 m
3
/s. 
b) A velocidade do ar no trecho de menor seção. R: 121,3 m/s. 
c) A vazão mássica do ar no escoamento. R: 3,06 kg/s. 
 
Exemplo 3.3 - Uma tubulação cilíndrica tem um trecho com uma seção de 300 mm de 
diâmetro e outro com 200 mm de diâmetro. A redução de seção é feita através de um 
elemento cônico colocado entre os dois trechos. Na tubulação escoa água líquida com 
massa específica de 1000 kg/m
3
 a uma vazão de 3,06 litros/s. Ao fluir para o trecho de 
menor seção a água sofre uma redução de pressão e aumento de velocidade. Viscosidade 
10
-6
m
2
/s. Determine: 
a) A vazão volumétrica no trecho de menor seção. R: 3,06 litros/s 
b) A velocidade da água no trecho de menor seção. R: 0,097 m/s 
c) A vazão mássica no escoamento. R: Re= 19490 (turbulento) 
 
 
 
 
 
 
 25 
3.4. Balanço de energia (equação de Bernoulli) 
 
Consideremos uma corrente de fluido submetido às forças nela atuantes: 
Fazendo-se um balanço de energia em cada ponto em relação ao peso: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E1 = E2 
1111 spc
EEEE 
 
2
.
2
.
2
1
2
1
1

g
W
mEc 
 
11 ...1 ZWZgmEp 
 
1
11111111 .....1 
W
PVPdSPdFEs 
, assim 
2
...
2
1
1
111

 g
WW
PZWE 
, dividindo por W 
g
P
ZE
.2
2
1
1
1
11



 
Fazendo-se uma relação análoga para E2, temos: 
g
P
ZE
.2
2
2
2
2
22



 , Como E1 = E2 e o fluido sendo incompressível 
Logo: 
 
g
p
Z
g
p
Z
.2.2
2
22
2
2
11
1





 
 
 
Exemplo 3.4 - Uma canalização lisa que conduz água a 15
o
C com diâmetro de 150mm 
apresenta num determinado trecho uma seção contraída de 75mm de diâmetro onde a 
pressão interna é de uma atmosfera (ao nível do mar). 3m acima do ponto 2 (conforme 
S1 
S2 
1
 
2
 
d1 
d2 
t
 
t
 
 26 
figura) a pressão se eleva para 144.207Pa. Calcular a velocidade em cada um destes pontos 
de escoamento e a vazão. 
R: 3,1 m/s; 12,42 m/s; 55 litros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 3.4 – Qual a velocidade da água através de um furo na lateral de um tanque, se o 
desnível entre o furo e a superfície livre é de 2 m? 
 
 
 
Exercício 3.5 - Um conduto e constituído por 2 trechos, com diâmetros de 0,25 e 0,20 m, 
como mostra a figura abaixo. Sabendo-se que a pressão no ponto A é de 1,5 kgf/cm
2
 e que a 
velocidade no trecho de maior diâmetro é de 0,6 m/s, calcule a vazão no conduto e a 
pressão no ponto B. (Supor movimento sem atrito). R: 244988 Pa 
 
 
 
 
 
2 
1 
 27 
3.5. Equação da quantidade de movimento. 
 
 Baseado na segunda lei de Newton, tem-se: 
 
 dSdQdm
dt
d
mdFdamdF )...(..... 

, assim: 
12 111222
.... xxx SSF  
 
12 111222
.... yyy SSF  
 
 
Exemplo 3.5 - Determine a força horizontal sobre a superfície mostrada na figura. A 
velocidade do jato mostrado na água é igual a 15 m/s. Considere que a lâmina do fluido 
mantém a mesma espessura em toda a trajetória. Massa específica da água: 1000 kg/m
3
. 
R: -883 N. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 3.6 – Um jato de água de 2 cm de diâmetro a uma velocidade de 3,0 m/s incide 
perpendicularmente sobre uma placa fica. Qual a força sobre a placa? Peso específico da 
água: 9810 N/m
3
. R: -2,82 N. 
 
3.6 – Potência fluida 
 
QhQp
dt
Vp
dt
dS
p
dt
dF
W
dt
dW
W ...
..
.
.   , onde h corresponde a altura de 
coluna de fluido. 
 
- Unidades 
,...]/.;[ smkgf
s
J
W 
 1Hp = 75 kgf.m/s = 745 W 
 
Equação da energia para fluido ideal com máquina no escoamento 
 
Máquina é qualquer elemento, introduzido no escoamento, capaz de fornecer ou 
retirar energia do fluido na forma de trabalho. Podemos ter dois casos: 
- Bomba: Qualquer máquina que fornece energia ao fluido. 
- Turbina: Qualquer máquina que retira energia do fluido. 
 
 
 
60
0 
100 mm 
B T 2 1 
 28 
g
p
ZHH
g
p
Z RA
.2.2
2
22
2
2
11
1



 
 
AH
: Energia adicionada ao fluido em metro (altura de carga manométrica), por exemplo, 
uma bomba. 
QHW AA ..
 

AW
 é a potência adicionada. 



B
A
B
W
W

 
B
: Rendimento ou eficiência da bomba 
BW
 é a potência da bomba. 
 
RH
: Energia retirada do fluido em metro (altura de carga manométrica), por exemplo, uma 
turbina. 
QHW RR ..
 

RW
 é a potência fornecida à turbina. 



R
T
T
W
W

 
T
: Rendimento ou eficiência da turbina. 
TW
 é a potência da turbina. 
 
 
Exemplo 3.6 - Uma turbina gera 600 Hp quando o fluxo de água através dela é de 0,6 m
3
/s. 
Considerando uma eficiência de 87%, qual será a altura de carga que atua na turbina? 
R: 87,4 m. 
 
Exemplo 3.7 – A bomba mostrada na figura abaixo recebe água, com vazão Q = 0,2 m³/s, 
através do duto de sucção de diâmetro 20 cm e descarrega através do duto de descarga de 
diâmetro 15 cm que está estalado com uma elevação y = 0,5 m em relação a tubulação de 
sucção. O manômetro colocado no duto de sucção indica uma pressão relativa p1 = -30000 
Pa, enquanto o manômetro instalado no tubo de descarga mede uma pressão relativa p2 = 
300000 Pa. Considerando que não há trocas de calor e desprezando o atrito viscoso, 
determine a potência fornecida pela bomba ao escoamento. R: 73,8 W. 
 
 29 
Exercício 3.7 – A água escoa através de uma turbina, conforme desenho, a razão de 0,21 
m³/s e as pressões em A e B são respectivamente 150.000 Pa e -35.000 Pa. Determinar a 
potência fornecida à turbina pela água. R: 41614 W 
 
 
Exercício 3.8 – A figura mostra um esquema de escoamento de água, em regime 
permanente, com vazão Q = 0,5 m³/ s, através de uma turbina. As pressões estáticas nas 
seções (1) e (2) são, respectivamente, P1 = 180000 Pa e P2 = -20000 Pa. Desprezando a 
dissipação de energia mecânica por atrito viscoso e considerando que não há troca de calor, 
determine a potência fornecida pelo escoamento á turbina. R: 131,7 kW. 
 
Exercício 3.9 - O reservatório de grandes dimensões da figura descarrega água pelo tubo a 
uma vazão de 10 l/s. Considerando o fluido ideal, determinar se a máquina instalada é 
bomba ou turbina e determinar sua potência se o rendimento for de 75%. A área da seção 
do tubo é 10 cm
2
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30 
 
CAPÍTULO IV - Escoamento de fluidos reais 
 
4.1 – Introdução 
 A natureza do escoamento do fluido real é muito complexa. As leisbásicas que 
descrevem o movimento de um fluido não são de fácil formulação nem de fácil manejo 
matemático, de forma que são necessários recursos experimentais através de experiências 
metódicas. 
A diferença de pressão entre dois pontos pode variar com a velocidade ou com a 
energia potencial. 
Essa diferença de pressão é devido a fricção (atrito) das partículas dos fluidos 
contra as paredes ou entre si e também devido as perdas chamadas de singulares como 
bocais, tês, joelhos, válvulas, contrações, expansões, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O manômetro em U também pode medir esta diferença de pressão entre pontos 
diferentes de uma tubulação e ela pode ser calculada através da equação manométrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2 – Perdas de carga 
 
 O teorema de Bernoulli foi deduzido com a hipótese do fluido ser perfeito, não 
sendo considerado, portanto, o atrito devido a viscosidade assim como outras causas que 
determinam uma degradação da energia mecânica pela sua transformação em energia 
calorífica. Estes fenômenos não podem ser desprezados no estudo de fluidos em 
h 
Q 
Q 
Fluido escoando 
Fluido 
manométrico 
Altura piezométrica 
 31 
movimento e as equações antes deduzidas devem ser modificadas a fim de que os mesmos 
sejam levados em conta. 
 O termo “perda de carga” representa a energia perdida (ou transformada em 
energia calorífica) entre dois pontos considerados para vencer as resistências ao 
movimento dos fluidos. 
 
Assim: 
 
 
 
 
21P
h
 
31P
h
 
 
 
 
 
 
 
 
ph
= Perdas de carga 
 Energia perdida 
A energia por unidade de peso fica: 
21
21

 Ph
P
E
P
E
 ; P = Peso 
 
31
31

 Ph
P
E
P
E
 
 
A perda de carga pode ser medida através de um manômetro em U em função da 
diferença de pressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela equação manométrica 
 
)(21 ABhpp  
 (1) 
 
A equação de Bernoulli com a perda de carga, fica 
h 
1 2 
x 
Q 
1 2 3 
A
 
B
 
 32 
 
p
AA
h
g
p
Z
g
p
Z 
.2.2
2
22
2
2
11
1




 
 
gg
pp
ZZh
AA
p
.2.2
2
2
2
121
21

 
 (2), substituindo (1) em (2), fica 
)
.2
()(
2
1
2
2
21
g
ZZhh
A
AB
p


 



 
 Se a tubulação for paralela ao centro da terra: 
 
)
.2
()(
2
1
2
2
g
hh
A
AB
p


 



 e se ainda tiver a seção constante: 
)(
A
AB
p hh 
 

 
 
Exemplo 4.1 - A água flui numa tubulação, 
conforme figura. No ponto 1 desta tubulação o 
diâmetro é de 175 mm, a velocidade é de 0,6 m/s 
e a pressão é igual a 345 kPa. No ponto 2 o 
diâmetro se reduz a 43 mm e a pressão é de 300 
kPa. Calcule a perda de carga entre os pontos 
sabendo que o desnível entre eles é de 5 m. 
R: 4,5 m.c.água 
 
 
 
Exercício 4.1 – A figura mostra um esquema simplificado e fora de escala de uma bomba 
que retira água, através de um duto de diâmetro interno D = 10 cm, de um reservatório de 
grandes dimensões com a superfície livre (S.L.) mantida em nível constante. A água é 
descarregada, com vazão constante Q = 0,02 m³/s, a uma altura H = 38 m acima da bomba, 
através de um duto de diâmetro interno d = 8 cm, em uma caixa d’água aberta para 
atmosfera. Considerando que entra as seções (1) e (2) mostradas na figura existe uma perda 
de carga 
ph
= 2m, determine a potência que a bomba fornece ao escoamento. R: 7,4 kW. 
 
 
Exercício 4.2 - Na instalação da figura a máquina é uma bomba e o fluido é água. A bomba 
tem potência de 3600 W e seu rendimento é 80%. A água é descarregada na atmosfera a 
1 
2 
 33 
uma velocidade de 5 m/s pelo tubo, cuja área da seção é 10 cm
2
. Determinar a perda de 
carga entre as seções (1) e (2). R: 62,5 m. 
 
 
4.3 – Equação de Darcy-Weisbach 
 
Esta equação possibilita calcular a perda de carga em função do fator de atrito 
 
 Seja a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao longo de uma tubulação a perda de carga pode ser obtida: 
gD
L
fh DL
.2
..
2

, onde 
pL hh 
, 
Lh
 é chamada de perda de carga principal que ocorre 
através da tubulação sem levar em consideração a perda de carga secundária. 
 
Onde: fD é o fator de resistência ao escoamento, fator de atrito de Darcy-Waisbach 
 
O fator de atrito depende: 
 
 
 
 
 
Depende da velocidade 

, do diâmetro D, da massa específica 

, da viscosidade 

, dos 
espaçamentos entre as rugosidades 
'
, das projeções das rugosidades 

, do fator forma das 
rugosidades m. 
 
 
 
h 
1 2 
 
Q 
D 
D 
Q 

 
 34 
4.4 – Fator de atrito em escoamento laminar 
 
 Sendo o escoamento laminar as partículas movem-se ordenadamente. 
 
 
 
 
 
 As partículas próximas a superfície deslocam-se lentamente e tem posições 
definidas para escoar. Aquelas partículas que estão no fundo das projeções nem chegam a 
se deslocar. Então no escoamento laminar o atrito depende praticamente das forças viscosas 
e não das rugosidades pois se forma uma corrente fluida fora das rugosidades. 
0'  m
 
 
Assim o escoamento laminar depende somente da velocidade, do diâmetro, da massa 
específica e da viscosidade. Isto é das variáveis que envolvem o número de Reynolds. 
 
Re
64
Df
 
 
Fator de atrito de Fanny 
 
 
 
Ou seja 
fD ff .4
 
 
 
4.5 – Fator de atrito em escoamento turbulento 
 
 Sendo o escoamento turbulento as partículas se movem em qualquer direção. Com 
isto não as podemos desprezar quando existirem. 
 
 
 
 
 
 
 
4. 5.1 – Tubos lisos 
 
 Quando o escoamento é turbulento e escoa em um tubo liso, isto é (
0'  m
), 
então o fator de atrito depende unicamente do número de Reynolds. Blausius correlacionou 
experiências com este tipo de tubo e chegou a seguinte fórmula para Reynolds menor que 
100.000. 
 
Re
16
ff
 35 
25,0Re
316,0
Bf
, Para o escoamento nestas condições 
BD ff 
 
 
O fator de atrito de Fanny 
 
 
 
Ou seja 
fB ff .4
 
 
Exemplo 4.2 - Um fluido escoa por um tubo de 10 mm de diâmetro com um Reynolds de 
1.800. A perda de carga é de 30 m em 100 m de tubulação. Calcular a vazão em litros/min. 
R: 6,06 litros/min. 
 
Exemplo 4.3 – Seja 100 m de tubo liso de PVC de 32 mm de diâmetro por onde escoa água 
a uma velocidade de 2 m/s, conforme figura abaixo. Entre os pontos 1 e 2 determine: 
a) A perda de carga (energia): R: 12,65 m. 
b) A diferença de pressão em mmHg. R: 930 mmHg 
 
Exercício 4.3 - Um óleo lubrificante médio de densidade 0,86 é bombeado através de 500 
m de um tubo horizontal de 50 mm de diâmetro a razão de 0,00125 m
3
/s. Se a queda de 
pressão é 2,1 kgf/cm
2
, qual a viscosidade do óleo? R: 0,051 Pa.s. 
 
 
4.5.2 – Escoamento turbulento em tubos rugosos. 
 
 Para o cálculo de perda de carga em tubos rugosos, Moody propôs um diagrama que 
apresenta o fator de atrito como função do número de Reynolds e da rugosidade relativa. 
Este diagrama permite determinar os coeficientes de atritos em tubos comerciais limpos. 
- Rugosidade relativa (/D) é obtido dividindo-se o diâmetro médio das rugosidades pelo 
diâmetroda tubulação. 
- O valor de () encontra-se no canto inferior e a esquerda do diagrama de Moody. 
- No diagrama de Moody nota-se que as curvas de rugosidade relativa menores ou igual a 
(/D) = 0,001 aproxima-se da curva de tubos hidraulicamente lisos a medida que Reynolds 
diminui. Isto ocorre porque a medida que Reynolds diminui a película laminar da parede do 
tubo aumenta tornando o escoamento mais suave e o fluido tende a se comportar como em 
tubos lisos. 
- Para certos intervalos do número de Reynolds a película laminar cobre completamente as 
pequenas projeções de rugosidade, e o tubo apresenta o mesmo coeficiente de atrito de tubo 
liso. 
25,0Re
0791,0
ff
 36 
- Na zona de completa turbulência essa película laminar se torna desprezível em relação as 
alturas das projeções da rugosidade e cada projeção acarreta turbulência provocando um 
aumento da perda de carga. A viscosidade deixa de existir evidenciando o fato de o 
coeficiente de atrito não variar mais com o número de Reynolds. Nesta zona a perda de 
carga varia diretamente com o quadrado da velocidade. 
 
 
4.6 – Problemas simples de escoamento em tubos. 
 
 Estes problemas são entendidos como sendo aqueles que envolvem a perda de carga 
somente em função do atrito e não para perdas que envolvam acessórios, expansões, 
contrações bruscas e outras. 
 O fluido é considerado incompressível e envolve seis vaiáveis: Q, L, D, hL  e . 
Em geral L,  e  são conhecidos. 
 
Três casos a serem estudados: 
Casos Dados A encontrar 
I 
 ,,,, DLQ
 
Lh
 
II 
LhDL ,,,, 
 
Q
 
III 
 ,,,, LhLQ
 
D
 
 
Se 10
-6
  /D  10-2 e 5000  Re  108, pode calcular f através da 
equação: 
 
 
2
9,0
)]
Re
74,5
7,3
[ln(
325,1


D
f

 
 
4.6.1 – Caso I - Solução para obter hL (quando são dados: Q, L, D,  e ) 
 
Passos: 
a) Calcular Reynolds e rugosidade relativa (/D); 
b) Tirar f do diagrama de Moody, por interpolação, quando necessário; 
c) Calcular hp na equação de Darcy-Weisbach. 
 
Exemplo 4.4 - Calcular a perda de carga (energia) para o escoamento de 140 litros/s de um 
óleo de viscosidade cinemática 10
-5 
m
2
/s num tubo de ferro fundido de 40 m de 
comprimento e 200 mm de diâmetro. R: 4,66 m.N/N 
 
Exercício 4.4 – Seja 100 m de tubo liso de PVC de 32 mm de diâmetro por onde escoa 
água a uma velocidade de 2 m/s, conforme figura abaixo. Entre os pontos 1 e 2 determine 
usando o diagrama de Moody: 
a) A perda de carga (energia); 
b) A diferença de pressão em mmHg. 
 37 
 
 
 
4.6.2 – Caso II - Solução para obter vazão Q (quando é dado hL, L, D,  e ) 
 
Passos: 
a) Com ( /D) estimar o fator de atrito; 
b) Calcular a velocidade na equação de Darcy-Weisbach; 
c) Calcular o número de Reynolds; 
d) Com (/D) e Reynolds, tirar o novo fator de atrito f no diagrama de Moody; 
e) Repetir o procedimento até que o fator de atrito f ficar repetido em dois algarismos 
significativos; 
f) Calcula-se a vazão Q. 
 
Exemplo 4.5 - A água circula a 15 
o
C num tubo de aço rebitado de 300 mm de diâmetro e 
 = 3 mm com ma perda de carga de 6 m.c.a num comprimento de 300 m de comprimento. 
Calcular a vazão. R: 0,12 m
3
/s. 
 
 
4.6.3 – Caso III - Solução para obter diâmetro D (quando é dado hL, L, Q,  e ). 
 
Solução para obter D. 
 
Dados: 
,,,, vLQhL
 
 
Neste caso há três incógnitas na equação de Darcy-Weisbach. 
gD
L
fhL
2
..
2

 ,
Df ,,
 
 
Duas na equação da continuidade 
2211 ..  SSQ 
 
2
2
2
1
2
1 .
4
.
.
4
.  DD 
 
,, D
 
 
e três na equação do número de Reynolds 
 
v
DD 

 ...
Re 
 
Re,,, D
 
 
A rugosidade relativa também é desconhecida. 
 38 
Sabemos que: 
gD
L
fhL
2
..
2

 
16
,
42
2
2
2
2
D
Q
S
Q

 
 
 
gD
Q
D
L
fhL
2.
.16
..
42
2


 
f
Dg
QL
hL .
..
..8
52
2


 , isolando 5D 
 
f
gh
QL
D
L
.
.
..8
2
.
2
5


 
2,0
11
5 ).(. fCDfCD 
 onde 
1C
gh
QL
L .
..8
2
.
2

 (1) 
 
4
.
..
2D
SQ
 
 
D
Q
D
.
.4
.

 
 
 
vD
Q
v
D
..
.4.
Re



 
Dv
Q 1
.
.
.4
Re


 
D
C2Re 
 onde 
2C
v
Q
.
.4

 (2) 
 
 
A solução é obtida através do seguinte procedimento: 
 
a) Admite-se um valor f; 
b) Resolve-se a equação 1 para o cálculo de D em função de f; 
f
gh
QL
D
L
.
.
..8
2
.
2
5


 
fC .1
 
 
c) Resolve-se a equação 2 para o cálculo de Re em função de D; 
 
D
C2Re 
 
d) Calcula-se a rugosidade relativa 
D

; 
e) Com Re e 
D

, acha-se um novo f no diagrama de Moody. Se f for o mesmo anterior, 
então o diâmetro está correto; 
f) Se não repetir f, usa-se o novo f e repete-se o procedimento voltando ao item b; 
 
g) Quando o valor de f não mais variar, todas as equações são obedecidas e o problema está 
resolvido. 
 
 
Exemplo 4.6: Determinar o diâmetro do tubo de aço estruturado necessário para transportar 
252 litros/s de óleo, 
smv /10 25
 a distância de 3.048 m com uma perda de carga de 22,86 
kgf.m/kgf. R: 424 mm. 
 39 
 
4.7 – Perdas singulares. 
 
 São chamadas de perdas singulares (ou localizadas) aquelas que são provocadas por 
acessórios, contrações bruscas, expansões bruscas, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.7.1 – Perdas de cargas devidos a acessórios (ha) 
 
 São perdas de cargas (energias) que ocorre em condutos devidos a acessórios tais 
como: cotovelos, curvas, juntas, válvulas (registros), tês, etc. Nestes casos as perdas de 
cargas são determinadas experimentalmente e são expressas em comprimentos equivalentes 
(Le) de tubos que tem a mesma característica. 
 
 
 
 
 
 
g
K
gD
L
fh eDa
.2
.
.2
..
22 

, onde 
 
f
DK
Le
.

 Esse K é tabelado 
 
- Unidades usuais para perdas de cargas: [m de coluna de fluido, N.m/m, kgf.m/m,] 
 
Alguns coeficientes: 
Conexões ou acessórios K 
Válvula globo (totalmente aberta) 10 
Válvula angular (totalmente aberta) 5 
Válvula de retenção (totalmente aberta) 2,5 
Válvula de gaveta (totalmente aberta) 0,19 
Curva de raio curto 2,2 
Tê comum 1,8 
Cotovelo comum 0,9 
Cotovelo de raio médio 0,75 
= + 
L1 Le L1 
 
Le 
 
 40 
Cotovelo de raio longo 0,6 
 
g
Kh Ta
.2
.
2

 ; 
T
 : Velocidade do escoamento no tubo 
 
4.7.2 Perda de carga devida a expansões buscas (he) 
 
 
 
 
 
 
 
 
g
Khe
.2
.
2
1
, onde a velocidade considerada é a de menor seção. 
 
22
2
1 ])(1[
D
D
K 
 
 
 Se a expansão se dá para um reservatório (D1/D2)  0, implica K = 1 e a perda de 
carga fica: 
 
 
4.7.3 – Perda de carga devida a contração brusca (hc) 
 
 
 
 
 
 
 
 
g
Khc
.2
.
2
2
, onde a velocidade considerada é a de menor seção. 
 
2)1
1
( 
CC
K
 
 
- Coeficiente de contração para a água determinado por Darcy-Weisbach. 
 
S2/S1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 
Cc 0,624 0,632 0,643 0,659 0,681 0,712 0,755 0,813 0,892 1,0 
 
Q S1 
S2 
S1 
S2 
Q 
 41 
 
4.7.4 – Perda de cargana entrada de um tubo ligado a um reservatório (hr) 
 
g
Kh TR
.2
.
2

, onde a velocidade considerada é no tubo. 
 
 
 
 
 
 
 
Canto vivo Canto reentrante Canto arredondado 
5,0K
 
0,18,0  K
 
05,001,0  K
 
 
Exemplo 4.7 – Seja um escoamento de um fluido através de uma válvula globo totalmente 
aberta conectada em uma tubulação de ferro galvanizado de 2,5 cm de diâmetro. Sabe-se 
que a velocidade do escoamento é 3,0 m/s provocando um Reynolds de 1000. Determine 
em relação a válvula: 
a) O comprimento equivalente; R: 3,9 m 
b) A perda de carga provocada. R: 4,6 m.c.f. 
 
Exemplo 4.8 - Calcular a vazão pela tubulação de ferro fundido, de 150 mm de diâmetro, 
da figura. Viscosidade cinemática = 10
-6
m
2
/s. R: 46 litros/s. 
 
 
Exercício 4.5 – Seja uma tubulação cilíndrica de 4 cm2 
de seção transversal por onde circula um escoamento de 
água a 15 
o
C e velocidade de 2 m/s. A seção sofre uma 
redução brusca para a metade da área. Supondo uma 
tubulação lisa, determine em relação ao escoamento: 
a) A perda de carga provocada pela contração em altura de coluna de água. R: 
0,18 mH2O. 
b) A variação de pressão provocada pela redução. R: 1765 Pa. 
 42 
c) A perda de carga correspondente em altura de coluna de mercúrio. R: 0,013 mHg. 
 
Exercício 4.6 – Seja a instalação esquematizada a seguir, considerando-se que a vazão de 
água transportada é de 10 m
3 
/h e a temperatura 20 
o
C, Calcular: 
a) A perda de carga na sucção; R: 4,15 m. 
b) A perda de carga no recalque; R: 4,88 m 
c) O total das perdas de cargas; R: 9,03 m 
d) A energia adicionada pela bomba; 25,82 m 
e) A potência líquida adicionada pela bomba; R: 709 W 
f) A potência que deve ter a bomba considerando que seu rendimento seja 85%. R: 
834 W. 
 
 
 
 
Exercício 4.7 - Qual a perda de carga no tubo? R: 1484 kPa 
 
Considere: tubo liso PVC 
 υágua = 1,006 x 10
-6
 m
2
/s 
 Vágua = 5 m/s 
 ρágua = 1000 kg/m
3
 
As conecções são curvas. 
 
COMPRIMENTOS EQUIVALENTES 
- VP = 18,3 m 
- RG = 0,4 m 
- VR = 6,4 m 
- ST = 1,5 m 
- Curva PVC = 1,2 m 
- Curva ferro fundido = 0,9 
ST 
 43 
 
 
 
Exercício 4.8 – Seja o sistema abaixo com tubulação lisa, calcular: 
a) A vazão volumétrica; R: 0,002 m3/s 
b) A velocidade do escoamento; R: 1,02 m/s 
c) O número de Reynolds; R: 51000 
d) Total de perdas localizadas; R: 0,98 m 
e) Total de perdas nas tubulações; R: 0,94 m 
f) O total de perdas de carga; R: 1,92 m 
g) A energia adicionada pela bomba; R: 17,97 m 
h) A potência fluida; R: 352,6 W 
i) A potência da bomba considerando um rendimento 0,8. R: 441 W 
 
 
 
 
 
Exercício 4.9 - A água a 10°C escoa de um reservatório grande para um menor através 
sistema de tubos de ferro fundido de 5 com de diâmetro, como mostra a figura 8-48. 
Determine a elevação para uma vazão de 6 L/s. R: 31,1 m. 
 
 
 
 
Saída 
Comprimentos equivalentes 
 44 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
CAPITULO V - CALOR 
 
5.1-Generalidades 
 
A teoria molecular da matéria baseia-se em 
certos princípios que permitem explicar o calor. 
 
a) Todos os corpos são formados por pequeníssimas 
partículas, ou moléculas. 
b) As moléculas não ocupam todo o volume do 
corpo que o forma, entre elas há espaços vazios 
chamados intermoleculares, cujas dimensões variam 
com o estado do corpo. 
c) Entre molécula e molécula exercem-se forças chamadas de coesão. 
d) As moléculas estão em movimento em torno de um ponto. 
 
5.2- Calor 
 
É uma forma de energia em transição provocada pela diferença de temperatura entre 
dois corpos, função das diferentes energias moleculares destes corpos. 
A maior ou menor temperatura de um corpo deve-se a maior ou menor velocidade de 
vibrações de suas moléculas. 
Dar calor a um corpo significa aumentar a energia mecânica das moléculas, isto é, 
aumentar as vibrações moleculares. 
O gelo apresenta uma estrutura cristalina onde as moléculas vibram em posições 
definidas mercê das forças coesas. Ao passar para o estado líquido estas moléculas 
abandonam suas posições de equilíbrio. No estado gasoso eles possuem movimentos 
quaisquer. Perdem totalmente as forças de coesão. 
 
5.3- Calor e trabalho mecânico 
 
O calor pode se transformar em trabalho mecânico. É o caso da máquina a vapor. As 
moléculas superaquecidas vibram com tamanha intensidade produzindo altas pressões e 
conseqüentemente, trabalho. Na realidade o choque de uma molécula contra a parede de um 
recipiente pouco representa. Mas, o total de choques das moléculas produz grandes 
pressões. 
O trabalho mecânico também pode ser transformado em calor, isto é, as moléculas 
liberam energia. É o caso, por exemplo, de quando se dobra sucessivamente um arame. O 
arame aquece-se em função do trabalho realizado 
 
5.4- Experiência de Joule 
 
 Joule empregou dois pesos somando 61 kgf e deixou cair 7 m produzindo 
movimentos das palhetas móveis dentro de um calorímetro contendo água. Repetiu a queda 
dos pesos 10 vezes e observou que a temperatura que era de 20 
o
C passou para 25 
o
C numa 
 45 
massa de água de 2000 g. Joule calculou o trabalho realizado e verificou que para produzir 
uma caloria era necessário realizar um trabalho de 4,18 J. 
 
Assim: 1cal = 4,18 J 
 1J = 0,24 cal 
 
Caloria – é a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de 14,5 oC a 
15,5 
o
C de uma grama de água. 
 
Suponhamos um aquecedor elétrico, onde todo o trabalho realizado pela energia 
elétrica é transformado em calor. 
 
t
W
W 

, onde 
 
-Potência 
W
 - Trabalho 
t
 - Tempo 
 
Como 
IUW .
 , onde 
U
 (em volt) é a tensão e 
I
 (em ampere) é a corrente, então 
 
tIUW ..
 Resultado na unidade de J 
 
Como: 
 
RIU .
 , onde 
R
 é a resistência em Ohm. 
 
tRItIUW .... 2
 em [J], ou 
 
tRItIUQ ..24,0..24,0 2
 em [cal] 
 
Então: O calor desenvolvido por uma corrente elétrica ao passar por um condutor é 
diretamente proporcional a resistência e ao quadrado da intensidade de corrente. 
 
Exemplo 5.1 - Por uma resistência elétrica passa uma corrente de 15 A. Está conectada a 
uma tensão de 220 V. Que quantidade de calor se produz em meia hora? Qual a potência? 
R: 1.425,6 kcal; 3,3 kW. 
 
Exercício 5.1 - Com um aquecedor elétrico de 500 W deseja-se ferver 10 litros de água que 
estão a uma temperatura de 20 °C. Quanto tempo deverá permanecer o aquecedor na água 
se todo o calor produzido passa diretamente a água. R: 6.688 seg. 
 
Exercício 5.2 – Um martelo de 2 kg movendo-se a 50 m/s golpeia uma bola de chumbo de 
100 g em uma bigorna. Se a metade da energia do martelo vai aquecer o chumbo, de quanto 
subirá sua temperatura? Calor específico do chumbo: 0,031 cal/(g.
o
C). R: 96,5 
o
C. 

W
 46 
CAPÍTULO VI - MECANISMO DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
6.1- Generalidades 
 
Sempre que houver diferença de temperatura entre duas regiões do espaço, esta tende 
a desaparecer espontaneamente pela passagem de energia de uma região para outra. 
Ao processo ao qual a energia é transportada, chama-se transmissão do calor. A 
energia transportada neste processo chama-se calor. 
Termodinâmica é a ciência que estudaas relações entre calor e outras formas de 
energias. 
1
o
 Princípio da Termodinâmica - estabelece que a energia não pode ser criada ou 
destruída, mas sim transformada de uma forma para outra. 
2
o
 Princípio da Termodinâmica - estabelece que o fluxo de calor sempre ocorre de 
uma região de alta temperatura para outra de baixa temperatura. 
 
Existem três formas distintas de transmissão de calor: 
 
- Condução – transferência de calor sem deslocamento de massa; 
- Convecção – transferência de calor pelo deslocamento de massa; 
- Radiação - transmissão de calor sem necessidade de deslocamento de massa; 
 
 
 
 
 Condução 
 
 
 
 
 
 Canvecção 
 
 
 Radiação 
 

 - Refletividade 

 - Absorvidade 

 - Transmissividade 
 
6.2. Condução de Calor 
 
Condução é um processo molecular de transferência de calor através de camadas 
adjacentes de qualquer meio natural por impacto elástico e também por difusão de elétrons 
de movimento rápido de alta energia cinética das regiões aquecidas para regiões 
sucessivamente frias. Isto ocorre devido a vibrações moleculares sem que se verifique 
deslocamento de matéria. Os movimentos existentes são as vibrações das próprias 
T
 
TS 

Q
 

 

 

 
E 
 47 
Figura 2.1 
moléculas em torno de uma posição. Estas vibrações serão tanto maiores quanto for a 
temperatura e são transmitidas ao longo do corpo através de choques entre moléculas, 
fazendo com que a energia flua de uma temperatura mais alta para temperatura mais baixa. 
 
Lei de Fourier da Condução de calor 
 
Supor uma placa com diferentes temperaturas entre uma face e outra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T
L
SK
Q 
 .
, onde 
T
 é (
21 TT 
) 

Q
= Fluxo de calor através do material (direção de x); 
S = Superfície através da qual se dá a passagem de calor; 
T
= Diferença de temperatura entre as faces externas da parede (potencial térmico); 
L = Espessura da parede; 
K = Coeficiente de proporcionalidade da condução do calor. 
 = Coeficiente de condutividade térmica do material. 
 = Condutibilidade térmica do material. 
 
Ou, 
dx
dT
SKQ ..

 
dx
dT
 = Gradiente de temperatura 

Q
 = Fluxo de calor por condução 
 

Q
Q 

 
Q
 = Quantidade de calor 

 = Tempo 
dT
 = Potencial térmico 
 
Sendo: 
T1 T2 
x L 
S 
y 

Q
 
 48 
C
L
SK

.
 
C
 = Condutância térmica 
R
KS
L

 
R
 = Resistência térmica 
 
Logo: 
 
R
T
Q



 ou, 



Q
T
R
 
Unidades: 
 
Q
 [cal , kcal , J , kJ, ...] 

Q
 [cal/s , cal/h , W , kcal/s , kcal/h , kW, ... 
...];
..
;
....
[
Km
W
Cm
W
Kmh
kcal
Cmh
kcal
K
oo

 
 
Exemplo 6.1 - Uma face de 1m
2
 de uma placa de cobre de 3 cm de espessura é mantida a 
300 
o
C e a outra face é mantida a 100 
o
C. Condutividade térmica do cobre para estas 
temperaturas é de 321,5 W/(m.
o
C). 
a) Qual a condutância térmica da placa? R: 10717 W/oC) 
b) Qual a resistência térmica da placa? R: 9,3.10-5 oC/(W) 
c) Qual o fluxo de calor através da placa? R: 2143,4 kW) 
 
6.3 - CONVECÇÃO 
 
 Convecção é um processo de transferência de calor que de dá através do movimento 
de massas uma vez que exista diferença de temperaturas entre duas regiões. 
 Esse movimento do fluido pode ser produzido por dois processos. 
 
6.3.1 - Convecção natural (ou livre) 
 
É aquele em que o fluido pode ser colocado em movimento pela diferença entre as 
densidades das partículas. Ex. O ciclo da água quando aquecida no fogão, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T
 
TS 

Q
 
 49 
 
TShQ 

..
, onde 
 TTT s
 
 
6.3.2 - Convecção forçada 
 
É aquele onde o movimento do fluido é causado por um agente externo como 
ventilação, bombeamento, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TShQ 

..
, onde 
 TTT s
 
 
h
 = Coeficiente de convectividade 
 = Coeficiente de convecção de calor 
 = Coeficiente convectivo 
 = Coeficiente convectivo médio 
 
Unidade 
...];
.
;
..
;
..
[
222 Cm
W
Kmh
kcal
Cmh
kcal
h
oo
 
 
CSh ..
 
C
 = Condutância térmica 
R
Sh

.
1
 
R
 = Resistência térmica 
 
Exemplo 6.2 - O ar a 20 
o
C escoa sobre uma placa aquecida de 50 cm x 75 cm, mantida a 
250 
o
C. O coeficiente de transferência de calor por convecção é 25 W/(
o
C.m
2
). Calcule a 
resistência térmica do ar e a transferência de calor transmitida pela placa. R: 0,11 
o
C/W; 
2156 W 
 
6.4 - RADIAÇÃO 
 
Processo de transferência de calor que ocorre através de ondas eletromagnéticas. 
Não necessita de massa para se propagar. Acredita-se que estas ondas sejam produzidas 
pelos próprios movimentos das moléculas quando reduzem suas vibrações. 
 
 
 
 

 
T
 
TS 

Q
 

 

 
E 
 50 
S
Q
E


 

+

 = 1 (100%) Materiais opacos 
 

+

+ 

 = 1 (100%) Materiais translúcidos 
 
Lei de Stefan-Boltzmann 
 Esta lei determina o fluxo de calor emitido pelos corpos. 
4... TSQ 
 
 
T
= Temperatura absoluta (Kelvin); 

 = Emissividade; 
- Corpo negro: 
1
 Corpo cinzento: 
1
 

= Constante de Stefan-Boltzmann 
...;
..
10.96,4;
.
10.76,5;
.
10.76,5
42
8
402
8
42
8
Kmh
kcal
Cm
W
Km
W  
 
Exemplo 6.3 - Qual a quantidade de calor irradiada por um corpo de emissividade 0,5 com 
0,3 m
2
 de superfície que está na temperatura de 90 
o
C. R: 129 kcal/h. 
 
Exercício 6.1 - O ar a 20 
o
C escoa sobre uma superfície a 250 
o
C de uma placa de aço 
carbono (0,5%) de 50 cm x 75 cm de 2 cm de espessura. A superfície da placa perde 300 W 
por radiação, calcule a temperatura na parte inferior da placa sabendo que o coeficiente de 
calor por convecção é 25 W/(
o
C.m
2
). Coeficiente de condutividade do aço é de 43 
W/(
o
C.m). R: 253 
o
C. 
 
Exercício 6.2 - Através de um fio de 1 mm de diâmetro e 10 cm de comprimento passa 
uma corrente elétrica devido a uma tensão de 220 V. O fio está imerso em água líquida a 
pressão atmosférica e a corrente é aumentada até a água entrar em ebulição. Para esta 
situação o coeficiente convectivo da água é de 5.000 W/(
o
C.m
2
). Determine a potência 
elétrica a ser fornecida ao fio para que sua superfície seja mantida a 114 
o
C. R: 22 W. 
 
Exercício 6.3 - Uma fita de aquecimento é fixada a uma face de uma grande placa de liga de 
alumínio 2024-T6, com 3 cm de espessura. A outra face da placa é exposta ao meio 
circunvizinho, que está a uma temperatura de 20 
o
C, conforme desenho. O lado de fora da fita 
de aquecimento está completamente isolado. 
- Coeficiente de transferência de calor entrea 
superfície da placa e o ar é de 5 W/(m
2
.
o
C); 
- Coeficiente de transferência de calor da liga de 
alumínio é 181,8 W/(m.
o
C). 
Desprezando o fluxo por radiações, determinar: 
a) O fluxo de calor, por unidade de área, que 
precisa ser fornecido para manter a 
superfície da placa que está exposta ao ar a 
uma temperatura de 80 
o
C. R: 300 W/m
2
 
b) A temperatura (T) da superfície na qual a fita 
de aquecimento está fixada. R: 80,05 
o
C. 
Elemento de 
aquecimento 
Isolamento 
térmico 
Alumí-
nio Ar: 20
o
C 
T = 80 
o
C 
T 
Fita 
3 cm 
 51 
Figura 3.1 
CAPÍTULO VII – CONDUÇÃO DE CALOR 
(Unidimensional e em regime permanente) 
 
7.1 – Parede plana simples. 
 
Seja uma placa simples com diferentes temperaturas entre uma face e outra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T
L
SK
Q 
 .
, onde 
T
 é (
21 TT 
) 
 
R
T
Q



 ou, 



Q
T
R
 
 
 
7.2- Parede plana composta 
 
Seja uma placa composta por três placas simples de mesma área. 
 
 T 
 
 K 
 
 
 
 
 
 
 R1 R2 R3 
 
 
T1 T2 
x L 
S 
y 

Q
 
T1 T2 
x x1 x2 x3 
T 
 
T 
 
K1 K2 K3 
 52 
Assim, como na eletricidade, a resistência do conjunto nos será dada pela soma das 
resistências parciais, de modo que podemos escrever: 
;
2
2
2
SK
x
Q
TT
R 



 
SK
x
Q
TT
R
3
32
3 



 
 
Assim, 
SK
x
SK
x
SK
x
RRRRt
3
3
2
2
1
1
321 
= 

 

  

 
Q
TT
Q
TT
Q
TT 21
 , onde 
Q
 é constante 
em função do regime ser permanente 
 
Logo: 
 
tR 

Q
TT

21 

n
i i
i
K
x
S 1
1
 
 
Onde n representa o número de camadas, de materiais, constituintes da parede 
composta. 
As expressões acima nos permitem calcular não só o fluxo térmico através uma 
parede composta, como as temperaturas intermediárias das diversas camadas. 
 
Exemplo 7.1 – Seja uma parede de alvenaria rebocada nos dois lados de 1m2 construída 
de: 
- 2 cm de reboco: K = 0,046 kcal/(m.h.oC); 
- 25 cm de tijolo: K = 0,84 kcal/(m.h.oC); 
a) Qual a resistência térmica da parede? R: 1,17 
o
C/(kcal/h) 
b) Qual o fluxo de calor através da parede sabendo que a temperatura externa e interna 
são 40 
o
C e 20 
o
C, respectivamente. R: 17,1 kcal/h 
c) Qual a energia transmitida em 3h supondo que as temperaturas permaneçam 
constantes? R: 51,4 kcal 
 
Exercício 7.1 - Uma câmara frigorífica deve funcionar a –25 oC em zona onde a 
temperatura ambiente atinge a +35 
o
C tem seu isolante (isopor) caracterizado pela perda 
térmica máxima de 10 kcal/(h.m
2
). Considerando-se apenas o isolamento e que as 
temperaturas indicadas sejam das superfícies do isolamento, calcular a espessura do isopor 
[K = 0,027kcal/(m.h.
o
C)] a adotar para o mesmo. R: 16,2 cm. 
 
Exercício 7.2 – Um instrumento está contido num invólucro cilíndrico de alumínio com 
diâmetro de 250 mm. O instrumento tem uma capacidade de dissipar calor para o ambiente 
numa taxa de 50 W desde que a temperatura da superfície superior do alumínio não seja 
maior que 35°C. O invólucro está montado sobre uma base cilíndrica de aço carbono AISI 
1010 cuja superfície inferior está a 100°C. Pretende-se colocar um disco de teflon entre a 
base e o invólucro de forma a garantir o critério térmico exposto acima. Determine a 
espessura do teflon. R: 22 mm. 
-Considerar a área lateral do conjunto de cilindros hermeticamente fechada. 
;
1
11
1
SK
x
Q
TT
R 



 53 
 Condutividade térmica do alumínio: 65 W/(m.K); 
 Condutividade térmica do teflon: 0,35 W/(m.K); 
 Condutividade térmica do aço AISI: 58,7 W/(m.K). 
 
 
 
7.3 – Condução de calor por cilindros simples. 
 
 A transmissão de calor ocorre radialmente através de tubos. 
 Consideremos um cilindro vazado de material homogênio, suficientemente longo 
para que os efeitos das extremidades sejam desconsiderados. Exemplo: Passagem de vapor 
através de um cilindro. 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
eT
 - Temperatura da superfície externa; 
iT
 - Temperatura da superfície interna; 
er
 - Raio externo; 
ir
 - Raio interno. 
 
Como 
dx
dT
SKQ ..

 
 
E fazendo 
drdx 
 e 
re 
ri 
Te 
Ti 
 54 
 
..2 rS 
 
 
Substituindo na equação, temos 
)(
ln
..2
ei
i
e
TT
r
r
K
Q 









  
C
r
r
K
i
e









ln
..2  (Condutância térmica) 
R
K
r
r
i
e









..2
ln

 (Resistência térmica) 
 
Assim 
 
R
TT
Q ei
)( 


 
 
Exemplo 7.2 - Seja um tubo de 3 m de comprimento e 80 mm de diâmetro externo, coberto 
com 40 mm de um material isolante de condutividade térmica 0,06 kcal/(h.m.
o
C). Supor 
que a temperatura da superfície interna e externa do isolante sejam de 200 
o
C e 20 
o
C, 
respectivamente. Determine: 
a) A resistência térmica do isolante. R: 0,61 oC/(kcal/h) 
b) A perda de calor através do tubo. R: 293,5 kcal/h. 
 
 
7.4– Condução de calor em cilindros concêntricos. 
 
Sejam três cilindros concêntricos e de mesmo comprimento 

 que conduz vapor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ri 
r1 
r2 
re 
Te 
T1 
T2 
Ti 
K1 K2 
K3 
 55 
 - Temperatura da superfície externa; 
iT
 - Temperatura da superfície interna; 
1T
 - Temperatura na junção entre o cilindro externo e o interno adjacente; 
2T
 - Temperatura na junção entre o cilindro intermediário e o interno. 
 




R
TT
Q ei
 
321 RRRRt 
ou 
 
 
 
 
 
 
7.5 – Condução de calor através de uma configuração esférica. 
 Seja uma esfera contendo um fluido a alta temperatura 
 
 
 
 
 
 
 
Fluxo de calor em esfera simples: 
 
).(
11
.4
ei
ei
TT
rr
K
Q 


  
Resistência térmica 
 
Rt = 
K
rr ei
..4
11


 
 
Fluxo de calor em esferas concêntricas: 




R
TT
Q ei
 
 
321 RRRRt 
 
 
Exemplo 7.3 - Calcular a quantidade de calor perdida por metro de uma tubulação de aço 
de diâmetro interno 14 cm e externo de 16 cm que conduz vapor. A temperatura da 
superfície interna do tubo é 194 
o
C (Kaço = 26 kcal/(h.m.
o
C), quando coberto por uma 
re 
ri 
Te 
Ti 
 ..2
ln
..2
ln
..2
ln
3
2
2
1
2
1
1
K
r
r
K
r
r
K
r
r
R
e
i
t 























 56 
camada de isolante (Kisol. = 0,02 kcal/(h.m.
o
C) de espessura 2,5 cm. Temperatura externa do 
isolante é 20 
o
C. R: 80,3 kcal/h. 
 
Exercício 7.3 – Um tanque de aço (K = 40 kcal/(h.m.oC), de formato esférico e raio interno 
0,5 m e espessura 5 mm, é isolado com 3,81 cm de lã de rocha (K = 0,04 kcal/(h.m.
o
C). A 
temperatura da face interna do tanque é 220 
o
C e da face externa do isolante é 30 
o
C. Após 
alguns anos de utilização, a lã de rocha foi substituída por outro isolante, também de 3,81 
cm