Mecânica dos Fluidos: Tensão, Pressão e Propriedades

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Mecânica dos fluidos 
 
ATENÇÃO: Esse material não substitui o livro texto! A leitura do livro texto assim como fazer os 
exercícios e prestar atenção nas aulas são essenciais. 
 
 Considere uma força ( ) aplicada em uma superfície A. Essa força poder ser decomposta em 
duas componentes, uma normal a superfície ( ) e outra tangente a superfície ( ) como mostrado 
na Figura-1. 
 
Figura-1: Decomposição de força que atua em uma superfície. 
 
Tensão de cisalhamento 
 A tensão de cisalhamento média (τ) é definida como sendo a o modulo da força tangencial 
( ) dividida pela área da superfície que esta força é aplicada: 
 
 
 
 (1) 
O modulo da força tangencial pode variar de ponto a ponto da superfície, dessa forma defini-se a 
tensão de cisalhamento de uma forma mais exata como sendo a razão entre os infinitesimais do 
modulo da força tangencial ( ) que atual em uma área infinitesimal ( ): 
 
 
 
 (2) 
As unidades mais comuns para a tensão de cisalhamento são: 
Sistema MKS: 
 
 
 
Sistema internacional (SI): 
 
 
 
Sistema CGS: 
 
 
 
 
Pressão 
 A pressão é definida para cada ponto da superfície como sendo a razão entre o infinitesimal 
da força normal ( ) que atual em uma área infinitesimal ( ): 
 
 
 
 
 (3) 
Para a situação em que a força normal é constante sobre uma superfície de área A temos que 
 
 
 
 (4) 
As unidades mais comuns para a pressão são: 
Sistema MKS: 
 
 
 
Sistema internacional (SI): 
 
 
 (Pascal); 
 
 
 (decanewton por centímetro 
quadrado); 
Sistema CGS: 
 
 
 
Sistema inglês: 
 
 
 (pounds per square inches = libras por polegada ao quadrado) 
 
Definição de fluido 
 Fluido é uma substância que se deforma continuamente, quando submetido a uma força 
tangencial constante. Dessa forma temos que ao aplicar uma tensão de cisalhamento em um fluido, 
esse irá escoar (fluir). 
 Compreende-se como fluidos os gases (fluidos muito compressíveis) e líquidos (fluidos 
pouco compressíveis ou aproximadamente incompressíveis) 
 
Viscosidade absoluta ou dinâmica 
 Ao aplicar uma força tangencial em um fluido ele começara a escoar, e surgem forças 
internas entre as camadas de fluidos que fazem com que a velocidade seja diferente em cada 
camada (Figura-2). Dizemos assim que o fluido apresenta um perfil se velocidades ( ) no 
escoamento. 
 
Figura-2: Perfil de velocidade em um fluido. 
 Dizemos que um fluido é newtoniano quando a relação entre a tensão de cisalhamento e o 
perfil de velocidades é descrita pela lei de Newton da viscosidade: 
 
 
 
 (5) 
 A constante de proporcionalidade é a viscosidade absoluta ou viscosidade dinâmica do 
fluido. A viscosidade é uma característica de cada fluido, em uma definição mais pratica a 
viscosidade é a que indica a maior ou menor dificuldade de um fluido escoar (escorrer). 
As unidades mais comuns para a viscosidade dinâmica são: 
Sistema MKS: 
 
 
 
Sistema internacional (SI): 
 
 
 
Sistema CGS: 
 
 
 
 A viscosidade possui uma forte dependência com a temperatura, para líquidos quanto maior 
a temperatura menor a viscosidade, para gases quando maior a temperatura maior a viscosidade. 
 
Massa específica (densidade) 
 A massa específica ou densidade (ρ) é uma propriedade básica dos materiais, e é a massa do 
material (m) dividida pelo volume (V) que esse material ocupa: 
 
 
 
 (6) 
As unidades mais comuns para densidade são: 
Sistema MKS: 
 
 
 
 
 
 (utm é a unidade técnica de massa, 1 utm= 9,80665 kg) 
Sistema internacional (SI): 
 
 
 
Sistema CGS: 
 
 
 
Sistema inglês: 
 
 
 
 
Massa específica relativa ou densidade relativa (ρr) 
 É a relação entre a densidade da substância com a densidade da água em condições normais 
(4°C 1 atm), cujo valor é ρH2O=1000 kg/m
3
. 
 
 
 
 (7) 
A densidade relativa é uma grandeza adimensional, ou seja, não possui dimensão. 
 
Viscosidade cinemática (ν) 
 É a razão entre a viscosidade dinâmica e a massa específica: 
 
 
 
 (8) 
As unidades mais comuns para a viscosidade cinemática são: 
Sistema MKS: 
 
 
 
Sistema internacional (SI): 
 
 
 
Sistema CGS: 
 
 
 
 
Peso específico (γ) 
 O peso específico é o peso do fluido (G) dividido pelo seu volume (V) 
 
 
 
 (9) 
As unidades mais comuns para o peso específico são: 
Sistema MKS: 
 
 
 
Sistema internacional (SI): 
 
 
 
Sistema CGS: 
 
 
 
 Pode-se deduzir uma relação simples entre o peso específico e a massa específica e a 
aceleração da gravidade (g): 
 
 
 
 
 
 
 (10) 
 
Peso específico relativo para líquidos (γr) 
 É a relação entre o peso específico do líquido e o peso específico da água em condições 
padrão (4°C e 1 atm), cujo valor é γH2O=1000 kgf/m
3
 ≈ 10000 N/m3. 
 
 
 
 (11) 
 O peso específico é uma grandeza adimensional. Como o peso específico e a massa 
específica diferem apenas por uma constante, o peso específico relativo e a massa especifica 
relativa são iguais para uma mesma subtância. 
 
Fluido ideal 
 Fluido ideal é aquele cuja viscosidade é nula. Ou seja, o fluido ideal é aquele que escoa sem 
perder energia por atrito. Naturalmente não existem fluidos ideais, mas em alguns casos podemos 
aproximar os fluidos reais em fluidos ideais. 
 
 
 
Fluido incompressível 
 Diz-se que um fluido é incompressível se seu volume não varia ao mudar a pressão. Isso 
implica o fato de que, se o fluido é incompressível, a sua massa específica não variará com a 
pressão. 
 
Equação de estado dos gases 
 Quando um fluido não puder ser considerado incompressível e, ao mesmo tempo, houver 
efeitos térmicos, haverá necessidade de determinar as variações da massa específica ρ em função da 
pressão e da temperatura. De uma forma geral, essas variações obedecem, para os gases, a leis do 
tipo 
 (12) 
denominado equação de estado. 
 Sempre que for necessário, iremos aproximar o gás envolvido a um “gás perfeito”, 
obedecendo à equação de estado 
 
 
 
 (13) 
na qual P é a pressão absoluta, R é uma constante que depende do gás (para o ar R≈ 287m2/s2K), T 
é a temperatura absoluta dada em Kelvin (K). 
 
Hidrostática 
 Hidrostática refere-se à fluidos em equilíbrio. A tensão de cisalhamento faz com que o 
fluido escoe, concluímos então que no caso da hidrostática não teremos tensões de cisalhamento. A 
força que resta é a força normal, que dará origem a pressões no fluido. 
 
Teorema de Stevin 
 A diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em repouso é igual ao produto do 
peso específico do fluido pela diferença de cotas dos dois pontos. 
 A diferença de cotas é a distância perpendicular entre as isobáricas (superfícies com a 
mesmo pressão) que contem os pontos de interesse. 
 Na Figura-3 temos a situação de um fluido em repouso no campo gravitacional, nessa 
situação as isobáricas são planos horizontais, e a diferença de cotas será a distância vertical ente os 
planos horizontais. Assim sendo a diferença de pressão do pondo A (PA) e a pressão do ponto B 
(PB), considerando o peso específico do fluido γ (ou a massa específica ρ) e a aceleração da 
gravidade g, segundo o teorema de Stevin será: 
 
 (14) 
 
 
Figura-3: Recipiente contendo fluido em repouso no campo gravitacional. 
Notem que: 
a) a diferençade pressão entre dois pontos não interessa a distância (d) entre eles, mas a 
diferença de cotas (ou distância perpendicular (h) entre as isobáricas que contem esses 
pontos); 
b) o formato do recipiente não é importante para o cálculo da pressão em algum ponto. Na 
Figura-4, em qualquer ponto do nível A, tem-se a mesma pressão PA, e em qualquer 
ponto do nível B, tem-se a pressão PB, desde que o fluido seja o mesmo em todos os 
ramos; 
 
Figura-4: Recipiente contendo fluido em repouso no campo gravitacional. 
c) se a pressão na superfície livre de um líquido contido num recipiente for nula, a pressão 
num ponto à profundidade h dentro do líquido será dada por: 
 (15) 
d) Sendo o ponto um elemento sem dimensões, temos que: a pressão num ponto de um 
fluido em repouso é a mesma em qualquer direção; 
e) nos gases, como o peso específico é pequeno, se a diferença de cota entre dois pontos 
não é muito grande, pode-se desprezar a diferença de pressão entre eles, Figura-5. 
 
A 
B 
d h 
 
Figura-5: Pressão em pontos diferentes de um recipiente contendo gás. 
 
Lei de Pascal 
 A pressão aplicada a um ponto de um fluido transmite-se integralmente a todos os demais 
pontos do fluido. 
 A Figura-6 ilustra a lei de Pascal. Em (a) demos um recipiente contendo um fluido com a 
superfície livre, e a pressão nos pontos 1, 2, 3 e 4, escolhidos de forma aleatória são: P1=1N/cm
2
, 
P2=2N/cm
2
, P3=3N/cm
2
 e P4=4N/cm
2
. Ao aplicar uma força de 100 N, por meio de um êmbolo 
Figura-6 (b), tem-se um acréscimo de pressão de P=F/A=(100N)/(5cm
2
)=20N/cm
2
. As pressões nos 
pontos indicados deverão, portanto, ter os seguintes valores: P1=21N/cm
2
, P2=22N/cm
2
, 
P3=23N/cm
2
 e P4=24N/cm
2
. 
 
Figura-6: Ilustração da lei de Pascal. 
 
Cargas de pressão 
 Pelo teorema de Stevin vimos que a pressão (P) e a altura da coluna (h) de um fluido 
mantém uma relação constante para o mesmo fluido. É possível expressar, então, a pressão num 
certo fluido em unidades de comprimento, lembrando que: 
 
 
 
 (16) 
Essa altura h que multiplicada pelo peso específico do fluido reproduz a pressão num certo ponto 
dele é chamada “carga de pressão”. 
 Dessa forma, é sempre possível, dada uma coluna h de fluido, associar-lhe uma pressão P, 
dada por γh, assim como é possível, dada uma pressão P, associar-lhe uma altura h de fluido, dada 
por P/γ, denominada carga de pressão. 
 
Escala de pressões 
 Se a pressão é medida em relação ao vácuo ou zero absoluto, é chamada “pressão absoluta” 
ou “barométrica”; quando a pressão é mediada adotando-se a pressão atmosférica como referência, 
é chamada “pressão efetiva” ou “manométrica”. A Figura-7 mostra a relação entre as pressões 
absolutas e efetivas, de onde tiramos a relação: 
 (17) 
 Para gases é imprescindível utilizar a pressão absoluta, já em líquidos é mais cômodo 
utilizar a pressão efetiva, uma vez que a pressão atmosférica aparecerá dos dois lados das 
expressões. 
 
Figura-7: Relação entre as escalas de pressão. 
 A pressão absoluta sempre é positiva, já a pressão efetiva pode apresentar valores positivo 
ou valores negativos. Valores negativos da pressão efetiva são muitas vezes chamados 
impropriamente de vácuo, e mais apropriadamente chamados de depressão. 
 
Unidade de pressão 
 Além das unidades que partem da definição de pressão (P=F/A) apresentadas após a equação 
4, temos ainda: 
I) Unidades de pressão partindo da definição de carga de pressão. Essa unidade é 
normalmente dada por uma unidade de comprimento seguida da denominação do fluido 
que produziria a carga de pressão (ou coluna) correspondente a pressão. Por exemplo: 
 mmHg (milímetros de coluna de mercúrio) 
 mca (centímetros de coluna de água) 
 cmca (centímetros de coluna de água) 
II) Unidades definidas. Temos em destaque a unidade atmosfera (atm), que, por definição, é 
a pressão que poderia elevar de 760 mm uma coluna de mercúrio. Logo, 1 atm = 760 
mmHg = 101230 Pa = 101,23 kPa = 10330 kgf/m
2
 = 1,033 kgf/cm
2
 = 1,01 bar = 14,7 psi 
= 10,33 mca. 
Para fazer a conversão entre os tipos de unidades deve-se utilizar a regra de três. 
 
Medidores de pressão 
a) Barômetro: instrumento utilizado para medir a pressão absoluta atmosférica. Ao virar um 
tubo cheio de fluido sobre um recipiente contendo o mesmo fluido, ele descerá até uma certa 
posição e nela permanecerá em equilíbrio (Figura-8). Desconsiderando a pressão no topo do 
tubo, que geralmente é próxima de zero (vácuo) a altura do fluido será relacionada com a 
pressão atmosfera por Patm=γh. O fluido geralmente utilizado é o mercúrio, já que ele 
apresenta um peso específico (γ) suficientemente grande para que a altura da coluna seja 
pequena para se utilizar um tubo relativamente curto. 
 
Figura-8: Desenho esquemático de um barômetro. A esquerda o tubo contendo o fluido, a esquerda o 
tubo já dentro do recipiente (barômetro). 
b) Manômetro metálico ou de Bourdon: Sistema amplamente utilizado para medidas de 
pressões relativas. A pressão lida diretamente em um manômetro metálico é a diferença 
entre as pressões absolutas P1 e da atmosfera onde o manômetro está instalado P2, Figura-9. 
 
Figura-9: Manômetro que irá medir a pressão relativa entre a P1 e P2. 
A pressão medida por um manômetro será dada por: 
 (18) 
 
c) Coluna piezométrica ou piezômetro: Sistema utilizado geralmente para medir pequenas 
diferenças de pressões em relação a tubos contendo líquidos e a pressão atmosférica. 
Consiste em um tubo com a extremidade aberto que é ligado a tubulação que se quer medir a 
pressão, a Figura-10 mostra um desenho esquemático. 
 
Figura-10: Desenho esquemático de um piezômetro. 
 O uso de piezômetros é limitado pelos seguintes fatos: para pressões altas em fluido 
com peso específico baixo seria necessário uma coluna muito longa; não é possível utilizá-lo 
para medições em gases, pois esses escapariam pela extremidade aberta; não é possível 
medir pressões efetivas negativas. 
 
d) Manômetro com tubo em U: Esse sistema resolve os três problemas do piezômetro, 
consiste de um tubo em formato em U que é ligado ao recipiente que se queira medir a 
pressão, Figura-11. 
 
Figura-11: Esquema de um manômetro com tubo em U. Em (a) utiliza-se o mesmo fluido que o contido 
no recipiente, em (b) utiliza-se um fluido distinto ao contido no recipiente. 
 Para medidas em pressões elevadas utiliza-se um fluido manométrico que possua um 
peso específico grande o suficiente para que o tubo não seja muito longo. Pode ser usado em 
gases, pois o fluido manométrico irá impedir o gás de sair. As pressões efetivas negativas 
são obtidas quando o nível em uma extremidade está abaixo a do outro. 
 Pode-se ter também um tubo em U conectado a dois recipientes ao invés de uma das 
pontas do tubo estar livre. Desse modo teremos um manômetro diferencia. 
 
A equação manométrica 
 É a expressão que permite, por meio de um manômetro, determinar a pressão de um 
reservatório ou a diferença de pressão entre dois reservatórios. Essa equação é obtida utilizando-se 
o teorema de Stevin e a Lei de Pascal. A seguir será apresentada a regra utilizada: 
 
 
Força numa superfície plana submersa 
 Um fluido em repouso, por definição, não terá forças tangenciais agindo nele: todas as 
forças serão normais à superfície submersa. 
 Se a pressão (P) tiver uma distribuição uniforme sobre a superfície com área (A), a força (F) 
será determinada multiplicando-se a pressão pela área correspondente, 
 (19) 
e o ponto de aplicação será o centro de gravidade (CG) da superfície. Essa é a mesma equação 4. 
 Paragases, mesmo quando a superfície é vertical, a variação de pressão nessa direção é 
muito pequena, devido ao peso específico pequeno dos gases; logo, qualquer que seja a posição da 
superfície, a força exercida será dada pela equação 19. 
 No caso de líquidos, a distribuição de pressão será uniforme somente se a superfície 
submersa for horizontal. Para superfícies verticais a pressão ira mudar ponto a ponto segundo o 
teorema de Stevin e será preciso integrar sobre a superfície. 
 Considere a situação descrita na Figura-12, em que um fluido com peso específico γ está em 
um recipiente com a pressão atmosférica Patm tanto na superfície livre como nas laterais do 
recipiente. Queremos saber qual a força resultante devido ao campo de pressões do fluido na parece 
lateral do recipiente que tem lado b e altura a, e em que ponto essa força resultante atua na parece. 
Figura-12: Recipiente contendo um fluido com peso específico γ em atmosfera com pressão Patm. 
 A variação da pressão entre a superfície livre do fluido e qualquer ponto no interior do 
fluido depende apenas da distância h desse ponto em relação à superfície livre (teorema de Stevin). 
A dependência da pressão com h é dada por: 
 (20) 
 Na Figura-13 é apresentado como varia o campo de pressões na superfície em ambos os 
lados. Do lado que contem o fluido (esquerdo do desenho) dividimos o campo de pressões em duas 
partes, uma devida ao termo constante que é a pressão da superfície livre, e outro devido a variação 
com h (γh) representado pelo triangulo verde. Do lado direito temos apenas a pressão constante 
(Patm) representado pelo retângulo vermelho. 
 
Figura-13: Representação dos campos de pressões. 
a 
h 
Patm 
Patm 
γ 
 
Patm 
Patm 
CG 
γh 
a 
h 
Patm 
Patm 
γ 
b 
Superfície livre do fluido 
Parede 
lateral do 
recipiente 
 Como dito anteriormente uma pressão uniformemente distribuída sobre uma superfície 
resulta em uma força dada pelo produto da pressão pela área da superfície, equação 19, que atua no 
centro de gravidade (CG) da superfície. Dessa forma o termo constante da pressão não irá 
influenciar na força resultante, pois resultara em uma força atuando no centro de gravidade tanto de 
um lado como do outro do recipiente. 
 Queremos o modulo da força resultante (FR) que atua na superfície, devido a variação do 
campo de pressões essa força irá atuar em um ponto abaixo de CG denominado ponto de pressão 
(CP), isto é, deslocado para a região com maior pressão, Figura-14. A força resultante será a 
somatória dos produtos das áreas infinitesimais pela pressão exercidas nelas, ou seja, teremos uma 
integral sobre a superfície: 
 (21) 
 
Figura-14: Representação do campo de pressões resultante e a força resultante atuando no ponto CP 
 O elemento infinitesimal de área dA da equação (21), é o produto dos elementos 
infinitesimais da largura (dw) e da altura (dh) da parede lateral, e os limites de integração 
representam as dimensões da parede. E a equação (21) fica: 
 
 
 
 
 
 (22) 
 Resolvendo a integral obtemos o modulo da força resultante que atua na parede no ponto 
CP: 
 
 
 
 (23) 
 Podemos ainda reescrever a equação (23) em função da altura do centro de gravidade da 
parede, e obtemos que o modulo da força resultante é igual ao produto da pressão relativa as 
superfície livre do fluido na altura do centro de gravidade multiplicado pela área total da 
superfície (A): 
a 
h 
Patm 
Patm 
γ 
 
CG 
CP 
 
hCP 
γh 
O 
 Precisamos determinar agora qual o valor da altura hCP. Para isso utilizamos o fato que o 
modulo do torque da força resultante em relação ao eixo perpendicular a página passando no ponto 
O (Figura-14) é igual a somatória sobre cada força infinitesimal em relação mesmo eixo, ou seja: 
 
 (25) 
na qual 
 é o momento de inércia da área A em relação ao eixo que passa por O 
perpendicular a página. 
 Resolvendo para a altura do centro de pressões (hCP) obtemos: 
 Uma das propriedades do momento de inércia é 
na qual ICG é o momento de inércia calculado em relação a um eixo que passa pelo centro de 
gravidade da superfície de área A. A equação (26) fica: 
Da equação (28) conclui-se imediatamente que o centro de pressões é abaixo do centro de gravidade 
e que quando maior a profundidade menor a diferença entre os pontos. 
 
Fluidos acelerados 
 Considere um recipiente contendo fluido com massa específica ρ e acelerado com aceleração 
 , como mostrado na Figura-15. O fluido sentira uma aceleração de mesmo modulo e direção, 
mas com sentido oposto devido a inércia. 
 
Figura-15: Fluido incompressível em um recipiente acelerado. 
 As isobáricas serão perpendiculares a aceleração efetiva , a diferença de pressão entre os 
pontos A e B será dada por: 
 
 
 
 (24) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (26) 
 
 (27) 
 
 
 
 
 
 
 
 (28) 
x 
y 
z 
 
 
 
 
 P=constante 
h 
B 
A 
θ
 
 (29) 
na qual h é a distância perpendicular entre as isobáricas que contem os pontos A e B. 
O ângulo entre as isobáricas e o eixo y será tal que: 
 
 
 
 (30)