Elem de Matemática Aplicada(Derivadas)

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Prof. Anderson Fonseca Júnior 
1
Derivada -Visão Geométrica
Reta tangente a um círculo
A reta L será tangente ao círculo no ponto P se passar por P
perpendicularmente ao raio OP.
O
P
L
2
Derivada -Visão Geométrica
Reta tangente a uma curva
Como a maioria das curvas não têm centro, o conceito utilizado
para a reta tangente a um círculo não pode ser empregado neste
caso.
Para definirmos tangência para curvas em geral, precisamos de
um método dinâmico que leve em conta o comportamento das
secantes que passam por P e pontos próximos Q, quando Q se
move em direção a P ao longo da curva.
P
Q
Q’Q’’
Tangente
3
Secante
A Reta Tangente e a Derivada
Considere o gráfico da função y=f(x) indicado na figura.
Em que :
• ∆x = incremento da variável x
• ∆y = incremento da função
• s é uma reta secante à curva
• t é uma reta tangente à curva no 
ponto A(x0,y0)
• Tgβ= ∆y/∆x (considerando o 
triângulo ABC)
Note que, quando ∆x→0, o ponto B tenderá ao ponto A e a reta
secante s tenderá à reta tangente t; com conseqüência, o ângulo β
tenderá a α , e teremos:
4
Derivada 
Denomina-se derivada da função f(x) no ponto de abscissa x0, o
limite, se existir e for finito, da razão abaixo quando ∆x tende a zero.
Fazendo ∆x=x-x0 x=x0+∆x, podemos concluir que se ∆x tende a zero
equivale dizer que x tende a x0.
Substituindo, obtemos outra expressão equivalente.
5
Derivada
Portanto, a derivada de f(x) significa a taxa
de variação instantânea de f(x) numa abcissa x,
ou então a inclinação (crescente, estável ou
decrescente) em x. A derivada f`(x) mede como a
função varia em x: muito (positivo ou negativo),
pouco (positivo ou negativo) ou nada.
6
Derivada em x
y
x1 x2 x3 x4
f ` (x1) = tg < 0
tg
y
x1 x2 x3 x4
f `(x2) = tg = 0
y
x1 x2 x3 x4
f `( x3) = tg > 0
tg
y
x1 x2 x3 x4
f `(x4) = tg = 0
7
Derivada
Portanto:
-Para função f(x) crescente: 
f’(x)>0.
-Para função f(x) mínima ou máxima:
f’(x)=0.
-Para função f(x) decrescente:
f’(x)<0.
8
Notação de Derivada
Existem vários modos de representar a derivada de
uma função y=f(x). Além de f’(x), as notações mais
comuns são:
)(;;';;' xf
dx
d
dx
df
f
dx
dy
y
9
Exemplos:
1) Determinar, pela definição, a função derivada de f(x)= 2x+1.
2)2(lim
0
.2
lim
0
]12[]1)(2[
lim
0
)()(
lim
0
`
xx
x
x
x
xxx
x
x
xfxxf
x
f
Portanto: f `= 2, para qualquer
valor de x
y
x
f(x)=2x+1
tg =2
ou
f `=2
10
Exemplos:
2) Dada a função f(x)= x2, determinar f (x) pela definição.
xxx
x
xxx
x
xxx
x
xfxxf
f
x
x
x
x
2)2(
)(..2
][])[(
)()(
`
lim
lim
lim
lim
0
2
0
22
0
0
Portanto: f `= 2x e depende
do valor de x
tga=f `
Assim,
Para x<0.........f `<0
Para x=0.........f `=0
Para x>0.........f `>0 
y
x
f(x)=x2
x1
11
Exercícios:
1) Aplicando a definição, calcule a derivadas das funções:
1
96
42
4
9
3
2
2
2
2
xe)y
xxd)y
xxc)y
xb)y
xa)y
23
45
67
8123
1
2
2
2
3
xj) f(x)
xxi) f(x)
xxh) f(x)
xxg) f(x)
xf(x)f) 
12
Exercícios:
2) Calcule a derivadas das funções no ponto de abscissa x:
)1(,52
)1(,
)2(,13
)2(,2
)1(,65
)3(,
2
3
3
2
2
xxxf)y
xxe)y
xxd)y
xxc)y
xxxb)y
xxxa)y
13
Teorema 1
Se c for uma constante e se f(x)=c para todo xi, então
f´(x) = 0.
Ex: f(x)= 5
f (x)= 0
Teorema 2
Se n for um inteiro positivo e se f(x) = xn, xi então
f´(x) = nxn-1
Ex: f(x)= x5
f (x)= 5x4
14
Derivada de Funções Algébricas
Teorema 3
Se f for uma função, c uma constante e g a função
definida por g(x)=c.f(x) então, se f (x). existir,
g (x)=c.f (x)
Ex: f(x)= 3X8
f (x)= 3.8X7 = 24X7
15
Derivada de Funções Algébricas
Teorema 4
Se f e g forem funções e se h for a função definida
por h(x)=f(x)+g(x) então, se f (x) e g (x) existirem,
h´(x) = f´(x) + g´(x).
Ex: h(x)= 7x4-2x3+8x+5
h (x)= 28x3-6x2+8
16
Derivada de Funções Algébricas
Teorema 5
Se f e g forem funções e se h for a função definida
por h(x)=f(x).g(x) então, se f (x) e g (x) existirem,
h´(x)=f(x).g´(x) + g(x).f´(x) ou h´(x)=f´(x).g(x) + f(x).g´(x)
Ex: h(x)= (2x3-4x2).(3x5+x2)
h (x)= (2x3-4x2).(15x4+2x) + (3x5+x2).(6x2-8x)
h (x)=(30x7-60x6+4x4-8x3)+(18x7-24x6+6x4-8x3)
h (x)=(48x7-84x6+10x4-16x3)
17
Derivada de Funções Algébricas
Teorema 6
Se f e g forem funções e se h for a função definida por h(x)=f(x) /
g(x) onde g(x) ≠ 0 então se f (x) e g (x) existirem,
h´(x) = g(x).f´(x) – f(x).g´(x) ou h´(x) = f´(x).g(x) – f(x).g´(x)
(g(x))2 (g(x))2
Ex: h(x)= (2x3+4)/(x2_4x + 1)
h (x)=(x2_4x+1)(6x2)-(2x3+4)(2x-4)/(x2_4x+1)2
h (x)=(6x4-24x3+6x2)-(4x4-8x3+8x-16)/(x2_4x+1)2
h (x)= (2x4-16x3+6x2-8x+16)/ (x2_4x + 1)2
18
Derivada de Funções Algébricas
Derivada de Funções Algébricas
Teorema 7
Se f(x)=x-n, onde –n é um inteiro negativo e x≠0, então
f (x)= -nx-n-1
Ex: f(x)= 3/x5
f (x)=3x-5
f (x)=3(-5)x-6 = -15. 1/x6 = -15/x6
19
Exercícios:
3) Derive a função dada, aplicando os teoremas desta secção:
44
144)()8
2
1
32)()7
3
3
4
)()6
2
2
14
4
1
)(5
48
8
1
)(4
25233)(3
221)(2
57)(1
x
xxf
x
xxxf
rrf
ttt)f
xxx)f
xxxx)f
xxx)f
xx)f
2)324()()17
)322).(123()()16
)4).(522()15
135710)14
23
3
1
13
73552712
4325111
12410
389
xxf
xxxxxf
x f(x)
xxx f(x)
xx) f(x)
xxxx) f(x)
xx) f(x)
xx) f(x)
x) f(x)
20
Exercícios:
3) Continuação dos exercícios
43
12
)23
3
2
22
8
8
21
21
5
20
12
12
19
1
18
3
3
2
2
2
y
y
Dy
x
x
)Dx
y
y
dy
d
)
t
t
dt
d
)
xx
xx
dx
d
)
x
x
)Dx
21
)]12)(23[()28
)12(
3
1
)27
)13(
5
12
26
152
)25
2
34
)24
32
12
2
3
4
24
2
xxxDx
yy
y
y
Dy
x
x
x
)Dx
x
xxx
dx
d
x
xx
dx
d
Definição de Reta Normal
A reta normal a um gráfico em um dado
ponto é a reta perpendicular à reta
tangente naquele ponto.
22
1. NT mm
).( 00 xxmyy
T e N perpendiculares
Equação da Reta
Exemplo: A inclinação da reta tangente em (2,6) é 9. ache a
equação reta normal?
05692549
9
2
6)2(
9
1
600
yxxy
x
yxy)xm.(xyy
Exercícios:
4) Ache uma equação da reta tangente à curva y= x3- 4 no ponto
(2,4).
5) Ache uma equação da reta normal à curva y=4x2- 8x no ponto
(1,-4).
6) Ache uma equação da reta normal à curva y= 10/(14 - x2) no
ponto (4,-5).
7) Ache uma equação da reta tangente à curva y= 8/(x2 + 4) no
ponto (2,1).
8) Ache uma equação da reta tangente à curva y=3x2 - 4x e
paralela à reta 2x – y + 3=0.
23
Exercícios:
9) Ache uma equação da reta tangente à curva dada, no ponto
indicado. Faça um esboço da curva com a reta tangente e a reta
normal.
24
2,4)(;2
(1,4);12
(2,4);2
2,7)(54
3
2
2
2
 xxd)y
 xxc)y
 xxb)y
; xxa)y
Exercícios:
10) Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto
(x1,y1). Faça uma tabela dos valores de x,y e m nos vários
pontos do gráfico e inclua na tabela todos os ponto onde o
gráfico tem uma tangente horizontal. Faça um esboço do gráfico.
25
2,2)(;1
1,3)(;42
2,2)(;4
3,3)(;9
3
2
2
2
 xd)y
 xxc)y
 xb)y
 xa)y
Derivada das Funções Trigonométricas
Teorema 1 
Dx(sen x)= cos x
Exemplo:f(x)= x2.sen x
f (x)= x2.Dx(sen x) + Dx(x2).sen x
f (x)= x2.cos x + 2x.sen x
Teorema 2 
Dx(cos x)= -sen x
Exemplo:
y= sen x / 1- 2cos x
y =1 - 2cos x.Dx(sen x) – sen x Dx(1 - 2cos x)
(1- 2cos x)2
y =(1 - 2cos x).cos x – (sen x).2sen x
(1- 2cos x)2
y = cos x - 2(cos2x + sen2x) = cos x - 2
(1- 2cos x)2 (1- 2cos x)2
26
Derivada das Funções Trigonométricas
Teorema 3 
Dx(tg x)= sec
2 x
Exemplo:
f(x)= (x2 - 9x + 7).tg x
f (x)= Dx(x2-9x+7).tg x + x2-9x+7. Dx(tg x)
f (x)=(2x- 9).tg x + (x2 - 9x + 7).sec2x
Teorema 4 
Dx(cotg x)= - cosec
2 x
Exemplo:
y= 5 .cotg.x
x
y= Dx( 5 ).cotg.x - 5 .Dx(cotg.x)
x x
y = -5x-2 .cotg.x + 5. –cosec2x
x
y = -5 . cotg x - 5 .cosec2 x
x2 x
27
Derivada das Funções Trigonométricas
Teorema 5 
Dx(sec x)= sec x tg x
Exemplo:
f(x)= 3(sec x).(7-x5)
f (x)= 3[Dx(sec x).7-x5+sec x.Dx(7-x5)]
f (x)= 3[(sec x tg x).(7-x5)+(sec x).(-5x4)]
f (x)= 3.sec x tg x.(7-x5)+3.sec x.(-5x4)
f (x)= 3.(7-x5).sec x tg x. -15 x4.sec x.
Teorema 6 
Dx(cosec x)= - cosec x cotg x
Exemplo:
y=5x3 – 7x cosec x
y =Dx(5x3)– 7x Dx(cosec x)
y =15x2 – [7. cosec x + 7x . (-cosec x cotg x)]
y =15x2 – 7. cosec x + 7x.cosec x cotg x
28
Fórmulas de Trigonometria
29
Exercícios:
11) Ache a derivada da função dada.
30
xxsenyj
xsenxyi
tg x xh)f(x)
 y sen yy yyyxg)h
 x sen xx xxf)g(x)
 x sen xe)f(x)
 xsen xxd)g(x)
 ttc)f(x)
g xtg xb)g(x)
xsenxa)f
 cos . )
 )
.sec.3
cos.2.2cos.)(
cos.2.2cos.
cos.4
cos.
cos.2
cot
 3)(
2
23
2
Exercícios:
12) Calcule a derivada indicada.
31
2 cos
1 cos2
) cos).( [()
4cos
 
 1
 1
cos1
 
)
1
cos2
) cos.y (cot
tec
tec
g)Dr
xxxsenxDxf
t
ttg
dt
d
e)
ysen
ysen
dy
d
d)
x
xsen
dx
d
c
z
z
b)Dz
yecga)Dy
Derivada de uma Função composta e a regra 
da cadeia
Se a função g for derivável em x e a função f for
derivável em g(x), então a função composta f o g será
derivável em x, e
(fog) (x) = f (g(x)).g (x)
Exemplo:
Sejam f(x) = x10, g(x)= 2x3 – 5x2 + 4 então, a função composta f de g
definida por (fog)(x) = f(g(x)) = (2x3 – 5x2 + 4)10
Calcule f (g(x))? f (x)=10x9; g (x)=6x2-10x;
f (g(x))=10(2x3 – 5x2 + 4)9.(6x2-10x)
32
Derivada da Função potência para expoente 
racionais
Se f e g forem função tais que f(x) =[g(x)]r, onde r é
qualquer número racional e se g (x) existir, então f será
derivável e
f (x) = r[(g(x)]r-1.g (x)
Exemplo:
Calcule
Dx[(2x3-4x+5)1/2] = ½.(2x3-4x+5)-1/2.(6x2-4)
= (3x2-2) .
33
542 3 xxDx
542 3 xx
Exercícios:
13) Ache a derivada da função dada.
34
323
524
4
22
234
42
3
)13()()
)182()()
)510()()
)4(
)1272(
)54(
)12()(
zzzhg
rrrgf
xxfe
xd)g(x)
 tttc)f(t)
xxb)g(x)
xxa)f
Exercícios:
14) Calcule a derivada indicada.
35
])352()1[()
3452
14
1353
])12.()74[()
2232
21
12222
232
4322
rrrDre
])x. ()x-[(d)D
]). (x)x-[(xc)D
])u-. ()u[(b)D
xx
dx
d
a
--
x
-
x
u
Exercícios:
15) ache a derivada da função dada.
36
22
32
2
32
3
2
2
3
2
2
)4(
)5(
)()
)85(
)3(
)(
23
12
)(
13
12
)(
2
7
)()
z
z
zfe
x
x
xd)f
xx
x
xc)f
t
t
tb)f
y
y
yfa
Exercícios:
16) Ache a derivada da função dada.
37
3
2
2
2
3
1
3
1
3
2
2
1
2
1
)35()()
32
41
63
54)(
xxfe
 sd)g(s)
 xc)g(x)
xxxb)g(x)
xxxa)f
3
2
2
1
33
1
2
4
1
32
1
2
1
1
)()
13
52
)()
1
)()
)1.()3()()
)1.()5()()
x
x
xgj
x
x
xfi
x
x
xfh
yyyhg
xxxgf
38