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F 228 aula 3: equilíbrio e elasticidade UNICAMP 2º semestre de 2012 Bloco inclinado Qual é o ângulo máximo para o bloco não se deslocar (deslizar): a) para µ = 0,57 (aço sobre aço sem lubificação)? b) Para µ = 1,73 (silicone sobre plástico) ? Solução Certo ? Depende Condições para o equilíbrio • Um corpo rígido está em equilíbrio se: – O momento linear P e o momento angular L têm valor constante. • Esta definição não exige que o corpo esteja em repouso, ou seja, P e L não são necessariamente zero. • Se P e L são zero então temos equilíbrio estático. Equações de movimento para o corpo rígido A translação do centro de massa (CM) A rotação em torno do centro de massa Estática para o corpo rígido As condições de equilíbrio são Cada vetor tem 3 componentes e as equações formam um sistema de 6 equações escalares simultâneas Forças coplanares Forças no plano xy têm versão simplificada Centro de Gravidade Anteriormente consideramos que a força total que atua em um corpo rígido devida à gravidade poderia ser substituída por uma força única (peso) atuando no CM do corpo de massa total M. então O torque da força peso em cada elemento de um corpo rígido é Como g pode ser fatorado O torque resultante é igual ao torque de uma única força atuando no CM ! Determinação do centro de gravidade Equilíbrio estável, instável e indiferente Estável: o corpo é deslocado e sofre a ação de uma força ou torque no senEdo contrário do deslocamento, voltando à posição de equilíbrio. Instável: o corpo é deslocado e sofre a ação de uma força ou torque no mesmo senEdo do deslocamento, não retornando à posição de equilíbrio. Indiferente: Equilíbrio independe do deslocamento. Outro exemplo hNp://cnx.org/content/m42172/latest/?collecEon=col11406/latest Equilíbrio estável instabilidade Equilíbrio instável independentemente do deslocamento Exemplo 1 h = 55 m, d = 7,0 m x = 4.5 m. Qual seriam os valores de x e θ para a torre ficar prestes a cair? X x h x´ CG r Para cair: Inicialmente, Logo x´deve aumentar 3,5 – 2,25 = 1,25 m e x deve aumentar 2,5 m. Exemplo 2 Barra de tamanho L e massa m = 1.8 kg se apoia em duas balanças. Um bloco de massa M = 2.7 kg se apoia na barra a um quarto de distância da balança esquerda. Quais as leituras nas balanças? As forças: Os torques: ou dai Pivot ? Exemplo 3 O bíceps é responsável por dobrar o braço. É um sistema de alavanca como mostra a figura. Os valores típicos para o tamanho do braço, a = 30 cm, e a distância do bíceps ao cotovelo, x = 4 cm. Se uma massa M é sustentada pela mão qual a força feita pelo bíceps? (despreze o peso do braço!) A força feita pelo bíceps é muito maior que o peso pois 30/4 = 7.5 Torque total com relação ao cotovelo Pivot ? A escada apoiada Qual é o ângulo mínimo para o qual a escada não escorrega? Só há atrito com o chão. faculty.mu.edu.sa/download.php?fid=17353 A escada apoiada Forças: 1. força normal na base da escada 2. Força de atrito na base da escada 3. peso da escada 4. força normal no topo da escada Pivot: base da escada A escada apoiada Torques: 1. devido ao peso da escada 2. devido à normal no topo Solução: Forças na direção x: µ n1 – n2 = 0 Forças na direção y: n1 – mg = 0 Torque: Ln2sinφ – (L/2) mg cosφ = 0 A escada apoiada Das equações de força n2= µ mg. Portanto, µsinφ – (1/2)cosφ = 0 E, por fim tanφ = 1/(2µ) Desafio: Alguns experimentos hNp://phet.colorado.edu/pt_BR/simulaEon/balancing-‐act Alguem pode reproduzir o experimento e descrever as condições de equilíbrio? hNp://www.hmc.edu/academicsclinicresearch/ academicdepartments/physics/kiosk1/ demos1/mechanics1/staEcs1/ equilibrium.html? PHPSESSID=3e55a456706329889101f4ecca828 c26 Outras dúvidas do Fritz Vestibular UNICAMP 2002 • Dois tipos de mudança de forma (deformação) de um sólido quando forças atuam sobre ele: – O cilindro é esticado pela tensão de elongação. – O cilindro é deformado pela tensão de cisalhamento. • A terceira seria compressão uniforme (pressão hidrostática) onde as forças são aplicadas uniformemente em todas as direções. Tensão(stress) e deformação(strain) Tensão e deformação A tensão é, no regime elástico, proporcional à deformação e a constante de proporcionalidade é o módulo de elasticidade. Tensão = módulo de elasticidade X deformação hNp://dolbow.cee.duke.edu/TENSILE/tutorial/node6.html Tensão ou compressão simples (ou de elongação) se define como F/A associada a uma deformação ΔL/L como na figura abaixo Aqui, o módulo de elasticidade se chama módulo de Young E Tensão e deformação Material Density (kg/m3) Young's Modulus 109 N/m2 UlEmate Strength Su 106 N/m2 Yield Strength Sy 106 N/m2 Steela 7860 200 400 250 Aluminum 2710 70 110 95 Glass 2190 65 50b ... Concretec 2320 30 40b ... Woodd 525 13 50b ... Bone 1900 9b 170b ... Polystyrene 1050 3 48 ... Solução do vestibular (ouro) e o aço real Tensão de cisalhamento Tensão de cisalhamento se define como F/A associada a uma deformação ΔL/L como na figura abaixo. O módulo neste caso se chama módulo de cisalhamento G A tensão de cisalhamento tem papel importante em fratura de ossos devido a torções! A tensão-elongamento dos ossos http://hansmalab.physics.ucsb.edu/macrobone.html http://depts.washington.edu/bonebio/ASBMRed/mechanics.html Como medir o módulo de cisalhamento Aço: Módulo de Young versus de cisalhamento Em geral é mais fácil torcer do que esticar pêndulo de torção para medir G! (não confundir com o G - constante da gravitação universal – medida com um...pêndulo de torção, aula 1) hNp://www.ejsong.com/mdme/memmods/MEM23061A/Torsion/Torsion.html Medida do período do pêndulo de torção hNp://rustam.uwp.edu/202/individual/torsion_pend.pdf Fio de teia de aranha: produção sintética é um dos desafios da nanotecnologia Tensão real versus tensão de engenharia Link para a próxima aula Fluidos não resistem a tensões de cisalhamento e outra tensão é protagonista: pressão hidrostática Módulo volumétrico:
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