Aula de física equilíbrio e elasticidade

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F 228 aula 3: 
equilíbrio e elasticidade 
UNICAMP	
  
2º	
  semestre	
  de	
  2012	
  
Bloco inclinado 
Qual é o ângulo máximo para o bloco não se deslocar (deslizar): 
a)  para µ = 0,57 (aço sobre aço sem lubificação)? 
b)  Para µ = 1,73 (silicone sobre plástico) ? 
Solução 
Certo ? Depende 
Condições para o equilíbrio 
•  Um corpo rígido está em equilíbrio se: 
–  O momento linear P e o momento angular L 
têm valor constante. 
•  Esta definição não exige que o corpo esteja 
em repouso, ou seja, P e L não são 
necessariamente zero. 
•  Se P e L são zero então temos equilíbrio 
estático.	
  
Equações de movimento para o 
corpo rígido 
A translação do centro de massa (CM) 
A rotação em torno do centro de massa 
Estática para o corpo rígido 
As condições de equilíbrio são 
Cada	
  vetor	
  tem	
  3	
  componentes	
  e	
  as	
  equações	
  
formam	
  um	
  sistema	
  de	
  6	
  equações	
  escalares	
  
simultâneas	
  
Forças coplanares 
Forças no plano xy têm versão simplificada 
Centro de Gravidade 
Anteriormente consideramos que a força total que atua 
em um corpo rígido devida à gravidade poderia ser 
substituída por uma força única (peso) atuando no CM 
do corpo de massa total M. 
então	
  
	
  O torque da força peso em cada elemento de um corpo rígido é 
Como g pode ser fatorado 
O torque resultante é igual ao torque de uma única 
força atuando no CM ! 
Determinação do centro de gravidade 
Equilíbrio estável, instável e 
indiferente 
Estável:	
  	
  
o	
  corpo	
  é	
  deslocado	
  e	
  sofre	
  a	
  ação	
  de	
  uma	
  força	
  ou	
  torque	
  no	
  senEdo	
  contrário	
  do	
  
deslocamento,	
  voltando	
  à	
  posição	
  de	
  equilíbrio.	
  
Instável:	
  	
  
o	
  corpo	
  é	
  deslocado	
  e	
  sofre	
  a	
  ação	
  de	
  uma	
  força	
  ou	
  torque	
  no	
  mesmo	
  senEdo	
  	
  
do	
  deslocamento,	
  não	
  retornando	
  à	
  posição	
  de	
  equilíbrio.	
  
Indiferente:	
  
Equilíbrio	
  independe	
  do	
  deslocamento.	
  
Outro exemplo 
hNp://cnx.org/content/m42172/latest/?collecEon=col11406/latest	
  
Equilíbrio	
  estável	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  instabilidade	
  
Equilíbrio	
  instável	
  independentemente	
  do	
  deslocamento	
  
Exemplo 1 
h = 55 m, d = 7,0 m x = 4.5 m. 
Qual seriam os valores de x e θ para a torre 
ficar prestes a cair? 
X	
  	
  
x	
  
h	
   x´	
   CG	
  
r	
  
Para	
  cair:	
  
Inicialmente,	
  
Logo x´deve aumentar 3,5 – 2,25 = 1,25 m 
e x deve aumentar 2,5 m. 
Exemplo 2 
Barra de tamanho L e massa m = 1.8 
kg se apoia em duas balanças. Um 
bloco de massa M = 2.7 kg se apoia 
na barra a um quarto de distância da 
balança esquerda. Quais as leituras 
nas balanças? 
As forças: 
Os torques: 
ou 
dai 
Pivot ? 
Exemplo 3 
O bíceps é responsável por dobrar o braço. É um sistema de 
alavanca como mostra a figura. Os valores típicos para o 
tamanho do braço, a = 30 cm, e a distância do bíceps ao 
cotovelo, x = 4 cm. Se uma massa M é sustentada pela mão qual a 
força feita pelo bíceps? (despreze o peso do braço!) 
A	
  força	
  feita	
  pelo	
  bíceps	
  é	
  muito	
  maior	
  que	
  o	
  peso	
  pois	
  30/4	
  =	
  7.5	
  
Torque	
  total	
  com	
  relação	
  ao	
  cotovelo	
  
Pivot	
  ?	
  
A escada apoiada 
Qual é o ângulo mínimo para o qual a escada não escorrega? 
Só há atrito com o chão. 
faculty.mu.edu.sa/download.php?fid=17353	
  	
  
A escada apoiada	
  
Forças: 
 1. força normal na base da escada 
 2. Força de atrito na base da escada 
 3. peso da escada 
 4. força normal no topo da escada 
Pivot: 
 base da escada 
A escada apoiada	
  
Torques: 
 1. devido ao peso da escada 
 2. devido à normal no topo 
Solução: 
 Forças na direção x: µ	
  n1	
  –	
  n2	
  =	
  0	
  
	
  Forças na direção y: 	
  n1	
  –	
  mg	
  =	
  0	
  
	
  Torque: 	
  Ln2sinφ	
  –	
  (L/2)	
  mg	
  cosφ =	
  0	
A escada apoiada	
  
Das equações de força 
n2=	
  µ	
  mg.	
  
Portanto, 
	
   	
  µsinφ	
  –	
  (1/2)cosφ =	
  0	
  
E, por fim 
	
   	
  tanφ	
  =	
  1/(2µ)	
  
Desafio: 
Alguns experimentos 
hNp://phet.colorado.edu/pt_BR/simulaEon/balancing-­‐act	
  
Alguem pode reproduzir o experimento e 
descrever as condições de equilíbrio? 
hNp://www.hmc.edu/academicsclinicresearch/
academicdepartments/physics/kiosk1/
demos1/mechanics1/staEcs1/
equilibrium.html?
PHPSESSID=3e55a456706329889101f4ecca828
c26	
  
Outras dúvidas do Fritz 
Vestibular UNICAMP 2002 
•  Dois tipos de mudança de forma (deformação) de um 
sólido quando forças atuam sobre ele: 
–  O cilindro é esticado pela tensão de elongação. 
–  O cilindro é deformado pela tensão de 
cisalhamento. 
•  A terceira seria compressão uniforme (pressão 
hidrostática) onde as forças são aplicadas 
uniformemente em todas as direções. 
Tensão(stress) e deformação(strain) 
Tensão e deformação 
A tensão é, no regime elástico, proporcional à deformação e 
a constante de proporcionalidade é o módulo de elasticidade. 
Tensão = módulo de elasticidade X deformação 
hNp://dolbow.cee.duke.edu/TENSILE/tutorial/node6.html	
  	
  
Tensão ou compressão simples (ou de elongação) se define como 
F/A associada a uma deformação ΔL/L como na figura abaixo 
Aqui, o módulo de elasticidade se chama módulo de Young E 
Tensão e deformação 
Material	
  
Density	
  
(kg/m3)	
  
Young's	
  
Modulus	
  
109	
  N/m2	
  
UlEmate	
  
Strength	
  Su	
  
106	
  N/m2	
  
Yield	
  Strength	
  
Sy	
  
106	
  N/m2	
  
Steela	
   7860	
   200	
   400	
   250	
  
Aluminum	
   2710	
   70	
   110	
   95	
  
Glass	
   2190	
   65	
   50b	
   ...	
  
Concretec	
   2320	
   30	
   40b	
   ...	
  
Woodd	
   525	
   13	
   50b	
   ...	
  
Bone	
   1900	
   9b	
   170b	
   ...	
  
Polystyrene	
   1050	
   3	
   48	
   ...	
  
Solução do vestibular (ouro) 
e o aço real 
Tensão de cisalhamento 
Tensão de cisalhamento se define como F/A associada a 
uma deformação ΔL/L como na figura abaixo. 
O módulo neste caso se chama módulo de cisalhamento G 
A tensão de cisalhamento tem papel importante em 
fratura de ossos devido a torções! 
A tensão-elongamento dos ossos 
http://hansmalab.physics.ucsb.edu/macrobone.html 
http://depts.washington.edu/bonebio/ASBMRed/mechanics.html 
Como medir o módulo de cisalhamento 
Aço: 
Módulo de Young versus de cisalhamento 
Em geral é mais fácil torcer do que esticar 
pêndulo de torção para medir G! 
(não confundir com o G 
- constante da gravitação universal – 
medida com um...pêndulo de torção, aula 1)	
  
hNp://www.ejsong.com/mdme/memmods/MEM23061A/Torsion/Torsion.html	
  
Medida do período do pêndulo de torção 
hNp://rustam.uwp.edu/202/individual/torsion_pend.pdf	
  
Fio de teia de aranha: 
produção sintética é um dos desafios da nanotecnologia 
Tensão real versus tensão de engenharia 
Link para a próxima aula 
Fluidos não resistem a tensões de cisalhamento 
e outra tensão é protagonista: 
pressão hidrostática 
Módulo volumétrico: