AULA 09- Oscilações

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Os c il a ções 
Física 2 aula 9 
2o semestre, 2012 
Movimento Harmônico simples: 
conexão entre vibrações e ondas 
Energia no pto. de equilibrio é cinética! 
Energia Mecânica de um OHS é 
Proporcional ao quadrado de sua Amplitude! 
Energia no MHS 
• Energia Mecânica Total: 
 2 21 1
2 2
E mv kx 
Energia 
Cinética 
Energia 
Potencial 
Elástica 
Quando x=A ou x=-A (extremos): 
2 2 21 1 1(0) ( )
2 2 2
E m k A kA  
x=-A 
x=A 
x=0 
F=-kx 
Quando x = 0 (ponto de equilibrio): 
2 2 2
0 0
1 1 1
(0)
2 2 2
E mv k mv  
Conservação de energia mecânica 
222
2
1
2
1
2
1
kAEEkxmv 
Movimento harmônico simples e 
oscilador harmônico 
MHS e Movimento Circular Uniforme: 
amplitude,frequência e periodo 
cos /x A  cosx A 
t 
cosx A t
2 f 
cos2x A ft 2
cos
t
x A
T


A 
θ 
x 
2 2A x
x 
y v0 
v 
θ 
z 
v 
x 
A 
x 
z 
y 
ω: velocidade angular 
ou 
0 0 0
2
sin sin 2 sin
t
v v v ft v
T
      
0 cos2
F
a a ft
m
  
MHS e MCU 
y = R cos  = R cos (t) 
 
x 
y 
-1 
1 
0  
1 1 
2 2 
3 3 
4 4 
5 5 
6 6 
2


http://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/ClassMechanics/Circular2SHM/Circular2SHM.html 
Dinâmica do MHS 
• Sabemos que em todo instante 
 
 F=ma 
 
• Mas neste caso F = -kx 
 
 e ma = 
 
• Portanto: -kx = ma = 
2
2
d x
m
dt
2
2
d x k
x
dt m
  Equação diferencial para x(t) ! 
2
2
d x
m
dt
k 
x 
m 
F = -kx 
a 
Dinâmica do MHS 
2
2
d x k
x
dt m
 
2
2
2
d x
x
dt
 
k
m
 
Tentemos a solução x = Acos(t) 
 sin
dx
v A t
dt
   
 
2
2 2
2
cos
d x
a A t x
dt
      
definamos 
Solução do MHS 
f 
   2 
)cos(   tAy
 cos0 Ayt 
Fase!!! 
)cos(   tAy
 cos0 Ayt 
0
2
 y

1)0cos(
2
 Ay

A 
f/2 
   2 
)( tAsen 
?
2

 
 cos0 Ayt 
0
2
 y


1)cos(
2
  Ay )( tAsen 
Condições iniciais & resumo 
 
  0F
mggVa 
gVmg a
O empuxo funciona como força restauradora 
“Oscilador de Arquimedes”: 
solução 
ghAF aempuxo 
Solução para um paralelepípedo oscilador 
h 
(equilíbrio) 
)]([)( tyhgAtF aempuxo  
(fora do equilíbrio no instante t) 
“Oscilador de Arquimedes”: 
solução 
“Oscilador de Arquimedes”: 
solução 
)]([)( tyhgAtF aempuxo  
2
2
)]([
dt
yd
mtyhgAmgF a  
gAyym a
Ay
m
g
y a
m
gAa 
Freqüência do oscilador 
Pêndulos 
• O período não 
depende da massa! 
• O período depende 
apenas do 
comprimento do 
pêndulo. 
2T l g 
Galileu Galilei observando as oscilações de um candelabro: relogio de precisão 
 
http://phet.colorado.edu/en/simulation/pendulum-lab 
 
Parentêses: sen  e cos  para 
pequenos valores de  
3 5
sin ...
3! 5!
     
2 4
cos 1 ...
2! 4!
     & 
Portanto para  <<1, 
sin  cos 1 e 
Dinâmica do pêndulo 
2
2
dt
rd
mF


lr 
2
2
2
2
dt
d
ml
dt
rd
m


 mgmgsen
dt
d
ml 
2
2
O sinal negativo é porque quando a aumenta, θ diminui 
Dinâmica do pêndulo II 
 mgmgsen
dt
d
ml 
2
2

l
g

2
2
2
d x
x
dt
 
Comparando com o oscilador harmônico 
l
g

1 1
2
g
f
T L
 
Frequência do pêndulo 
Pêndulo III 
• A dedução é para o limite de pequenas oscilações. 
Como fica para amplitudes de oscilação maiores? 






 ...
737280
173
3072
11
16
1
12 60
4
0
2
0 
g
l
T
http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum 
Pêndulo, MHS 
e movimento periódico mas não simples 
http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(mathematics) 
Uma questão fundamental: 
equivalências das massas inercial e gravitacional 
 gmgsenm
dt
d
lm ggi 2
2
lm
gm
i
g

Primeira verificação experimental foi realizada por Newton com o pêndulo! 
 
Distinguindo as massas inercial e gravitacional teríamos: 
gm
lm
T
g
i2
Newton conseguiu estabelecer que 
a razão entre as massas é igual a 1 para uma parte em mil 
http://einstein.stanford.edu/STEP/information/data/gravityhist2.html 
Tópicos adicionais 
• Amortecimento 
• Oscilações forçadas 
• Ressonância 
• Pêndulo físico 
 
Oscilador Harmônico Amortecido 
2
2
0
d x dx
m b kx
dt dt
  
0
0
0
2
2
2
2
2
2



x
dt
dx
dt
xd
x
m
k
dt
dx
m
b
dt
xd
kx
dt
dx
b
dt
xd
m
o
F kx bv  
Queremos soluções para esta equação 
MHS e MH amortecido 
Oscilador Harmônico Amortecido 
2
2
0
d x dx
m b kx
dt dt
  
02
02
2
 x
dt
dx
dt
xd
onde 
m
ke
m
b  2
0
02
02
2
 x
dt
dx
dt
xd
Solução da Eq. 
Supomos a solução 
  p tetz 
zp
dt
zd
epz
dt
dz 2
2
2

Com derivadas 
A Eq. diferencial transforma-se em eq. algébrica 
02
0
2  pp
Oscilador Harmônico Amortecido, 
solução.. 
02
0
2  pp
Esta Eq. 
tem solução 
2
0
2
42






p
se 
0
2


Temos amortecimento subcrítico 
(raiz de número negativo) 
4
,
2
2
2
0





ip
   titit beaeetz 


 2
      tBtAsenetx
t



cos2
A solução do problema é 
Tomando a parte real 
ou 
   f


tAetx
t
cos2
  f


 iti
t
AeCCeetz ,2
ou 
A solução subcrítica 
   f


tAetx
t
cos2
m
ke
m
b  2
0
4
2
2
0


http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/damped/d.htm 
Amortecimento Supercrítico 
0
2


   ttt BeAeetx 


 2
Podemos usar a solução diretamente 
2
0
2
4



onde 
Exemplo do decaimento 
   ttt BeAeetx 


 2
Todos os regimes 
Exemplo de circuitos elétricos 
http://www.oz.net/~coilgun/theory/dampedoscillator.htm 
O Circuito LC - Analogia mecânica 
mE
mvkx

22
22
U
Li
C
q

22
22
vi m;L ;/1 ;  kCxq
CLm
k 1

Oscilações Forçadas 
Ressonância 
Oscilações Forçadas 
 
2
2 0
02
cos
Fd x
x t
dt m
  
   tFtF  cos
0
Força externa com 
frequencia angular  
Supomos uma solução da Eq. inomogênea do tipo 
  tietz 
Solução do problema 
   f tAtx cos
22
0
0
 

m
F
A
Procedendo como antes temos uma equação algébrica cuja parte 
real tem como solução 
onde 
   
00
,0 ff
e 
em fase fora de fase 
Interpretação 
(baixas frequências) 
 t
m
F
x
dt
xd
 cos02
02
2
 
0

 t
m
F
x 

 cos
2
0
0
se 
A solução está em fase com a força!!!! 
Interpretação 
(altas frequências) 
 t
m
F
x
dt
xd
 cos02
02
2
 
0

se 
 t
m
F
x 

 cos
2
0
A solução está em fora de fase com a força!!!! 
Condições iniciais 
 
 
   
00220
0 coscos f

 tBt
m
F
tx
  0,00
0

t
dt
dx
x
Solução geral = Solução particular + solução geral do Eq. H 
B e f0 constantes arbitrárias. 
Suponho que (condições iniciais) 
 
 
 
     
22
0
0
00
022
0
0
000
0cos0







ff
f


m
F
B
senv
B
m
F
x
 
 
   
  











0
0
0
0
coscos tt
m
F
tx
   
 
   ttsent
d
dtt
0
0
0
0
0
cos
coscos
lim 




















É uma derivada!! 
dai 
     
00
0
0
2



t
tsen
m
F
tx
Condições iniciais... 
RESSONÂNCIA!!! 
 t
m
F
x
dt
dx
dt
xd
 cos02
02
2
Usando a mesma técnica mostrada anteriormente, temos a solução: 
 
  22222
0
2
2
02


m
F
A
      f tAtx cos
 










f 
22
0
1tg
Oscilações amortecidas 
forçadas 
Amortecimento fraco 
0

Para 
0

temos 
00

 
  




 











4
1
2 2222
0
2
0
02
m
F
A
 










f 
22
0
1tg
Ressonância 
 RLC em série – Ressonância 
CL XX 
C
L
d
d 

1
 
LC
d
1
 
Circuitos de sintonia 
Relaxando um pouco... 
http://phet.colorado.edu/sims/resonance/resonance_en.html 
http://www.exploratorium.edu/snacks/coupled_resonant_pendlm/index.html 
O Pêndulo Físico 
• Um pêndulo é feito ao pendurar uma 
vareta de comprimento L e massa m 
por uma de suas extremidades. 
Vamos encontrar a freqüência de 
oscilação para pequenos 
deslocamentos.  
L 
mg 
z 
x CM 
O Pêndulo Físico... 
• O torque em relação ao eixo de rotação (z) é 
  = -mgd = -mg(L/2)sin  -mg(L/2) para 
 pequeno 
 
• Nesse caso 
 
• E portanto  = I fica 
 
L d 
mg 
z 
L/2 
x CM 
I 
1
3
2mL

2
2
2
dt
d
mL
3
1
2
L
mg




d
dt
2
2
2    3
2
g
L
 
onde 
d I 
Ou... 
 2 ImgR
I
mgR

Pêndulo físico geral 
Problemas... 
 
Pêndulo de Torção... 
• Como  = -k  = I torna-se 
 k
d
dt


I
2
2
d
dt
2
2
2   
 
k
I
onde I 
fio 
 
 
Que é similar ao caso “massa-mola” exceto que 
I tomou o lugar de m (o que não deveria provocar surpresa…).