História da Matemática - Newton e Leibniz

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UNIVERSIDADE CATÓLICA PORTUGUESA 
História da Matemática 
Newton e Leibniz 
 
(Pré-versão) 
 
Susana Gorete Monteiro Almeida 
 
2003 
2
INTRODUÇÃO 
 
Para se realizar um estudo completo sobre as origens, desenvolvimento e 
consequências do Cálculo, era necessário uma pesquisa muito extensa e cujo resultado 
final seria, sem dúvida, um texto longo. Assim o intuito deste trabalho é o de uma 
apresentação geral que contenha alguns factos importantes que permeiam os 
acontecimentos históricos relacionados com a construção desta poderosa ferramenta da 
matemática, que é o Cálculo. 
 Na Roma antiga, etimologicamente a palavra calculus significava uma pequena 
pedra ou seixo utilizado para a contagem e jogo, e o verbo latino calculare significava 
figurar, computar, calcular, contar. Hoje o Cálculo é um sistema de métodos para 
resolver problemas quantitativos de natureza particular, como no cálculo das 
probabilidades, no cálculo de variações, etc. O cálculo abordado agora, é às vezes 
chamado O Cálculo, para distingui-lo de todos os outros cálculos subordinados. 
Por vezes é referido que o Cálculo foi inventado por esses dois grandes génios 
matemáticos do século XVII, Newton e Leibniz. Mas, na verdade o Cálculo é o produto 
de um longo processo evolutivo que começou na Grécia Antiga e continuou no século 
XIX. Newton e Leibniz foram homens verdadeiramente notáveis e as suas contribuições 
foram de uma importância decisiva, tendo o trabalho destes continuado após o seu 
desaparecimento. Problemas semelhantes estavam presentes nas mentes de muitos 
cientistas europeus do século XVII, onde cada um colaborou consideravelmente com 
engenhosos métodos de resolução de problemas. 
 A grande realização de Newton e Leibniz foi reconhecer e explorar a intrínseca 
relação entre o problema da tangente a uma função, ( )xf , e a área sob esse mesmo 
gráfico, que na época ninguém entendia muito bem. Podemos dizer que eles foram os 
primeiros a entenderem profundamente o Teorema Fundamental do Cálculo, o que diz 
que a solução do problema da tangente pode ser utilizada para resolver o problema da 
área. Este teorema, certamente um dos mais importantes da Matemática, foi descoberto 
por cada um deles, quase que simultaneamente e independentemente um do outro. 
Porém sendo o trabalho de Leibniz mais claro, atribuíram-lhe todos os méritos. Os seus 
sucessores uniram os dois fantásticos raciocínios para criar uma arte de resolução de 
problemas de poder e versatilidade impressionantes. 
 
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O Nascimento do Cálculo 
As contribuições dos matemáticos para o nascimento do Cálculo são inúmeras. 
Muitos deles, mesmo que de forma imprecisa ou não rigorosa, já utilizavam conceitos 
do Cálculo para resolver vários problemas, tais como Cavalieri, Barrow, Fermat e 
Kepler. Nesse tempo ainda não havia uma sistematização, no sentido de uma construção 
logicamente estruturada. A união das partes conhecidas e utilizadas até então, aliada ao 
desenvolvimento e aperfeiçoamento das técnicas, aconteceu com Newton e Leibniz que 
deram origem aos fundamentos mais importantes do Cálculo: as Derivadas e os 
Integrais. 
 O Cálculo pode ser dividido em duas partes: uma relacionada às derivadas ou 
Cálculo Diferencial e outra parte relacionada aos integrais, ou Cálculo Integral.
Cálculo Diferencial 
O aparecimento e o desenvolvimento do Cálculo Diferencial estão ambos 
estreitamente ligados à questão das tangentes. Desde a época dos Gregos antigos, já se 
conhecia a recta tangente como sendo uma recta que intercepta uma curva num único 
ponto, generalizando a situação observada no caso da circunferência. 
 Arquimedes e também Apolônio utilizavam métodos geométricos, que diferiam 
entre si, para a determinação de tangentes, parábolas, elipses e hipérboles. Vários outros 
métodos para resolver o problema de encontrar a tangente a uma curva num ponto 
foram desenvolvidos ao longo da história. 
 Na realidade, após os Gregos, o interesse por tangentes a curvas reapareceu no 
século XVII, como parte do desenvolvimento da geometria analítica. Como as equações 
eram então utilizadas para descrever curvas, a quantidade e variedade de curvas 
estudadas aumentou bastante em comparação àquelas conhecidas na época clássica. A 
introdução de símbolos algébricos como uma ferramenta para estudar a geometria das 
curvas também contribuiu para o desenvolvimento do conceito de derivada. Com o 
tempo, o tratamento tornou-se mais algébrico e menos geométrico, proporcionando um 
contínuo progresso no desenvolvimento dos conceitos de função, derivada, integral e 
outros tantos tópicos relacionados ao Cálculo. 
 Destacando Pierre de Fermat, este elaborou um método algébrico para 
determinar os máximos e os mínimos de uma função. Ele encontrava geometricamente 
os pontos onde a recta tangente ao gráfico tinha inclinação zero, ou seja, procurava os 
pontos em que o coeficiente angular da recta tangente era nulo. Escreveu a Descartes 
explicando o seu método que é basicamente utilizado ainda hoje. Na realidade, devido a 
esse trabalho, que estava intimamente relacionado com as derivadas, Lagrange afirmou 
considerar Fermat o inventor do Cálculo. 
 A questão de encontrar a tangente a uma curva é, historicamente, de especial 
importância, pois, ao que parece, foi o que Newton pensou quando teve uma perspicácia 
sobre como utilizar tangentes para estudar o movimento dos planetas. O método para a 
determinação foi desenvolvido pelo antecessor de Newton, Isaac Barrow, e consistia no 
limite de uma corda com os pontos aproximando-se entre si. 
 Acredita-se que um dia, enquanto observava o movimento dos planetas, Newton 
tenha perguntado a si próprio porque é que as órbitas dos planetas eram curvas, pois se 
fossem formadas por segmentos de rectas seriam muito mais fáceis de serem estudadas. 
Então, por que não considerá-las como um conjunto de pequenas rectas que, 
aproximadamente, representariam o movimento daquela curva? Esta simples, mas 
porém genial pergunta, significou para Newton o começo de uma longa e frutífera 
produção científica que englobou, entre outras coisas, as derivadas, os integrais e toda a 
base da mecânica clássica. 
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O estudo do movimento dos corpos havia começado de maneira sistemática com 
Galileu. Entretanto ele estudara o movimento geometricamente, utilizando as 
proposições de Euclides e as propriedades das cónicas de Apolônio para chegar a 
relações entre distância, velocidade e aceleração, que, hoje em dia, são aplicações 
básicas da derivada. 
 Vários matemáticos estavam, nessa altura, a estudar problemas relacionados com 
o movimento. Torricelli e Barrow consideraram o problema do movimento com 
velocidades variadas. Já se sabia que a taxa de variação pontual — derivada — do 
deslocamento era a velocidade e que a operação inversa da velocidade era o 
deslocamento. Isso mostra que já existia uma certa noção da operação inversa da 
derivada, sendo que, a ideia de que o integral era inverso da derivada era familiar a 
Barrow. 
 Para Newton, o movimento era a base fundamental para o estudo das curvas e de 
outras questões relacionadas com o Cálculo. Newton escreveu o seu tratado sobre 
fluxions em 1666. Nele considerava uma partícula, descrevendo uma curva com duas 
linhas que se movimentavam e que representavam o sistema de coordenadas. A 
velocidade horizontal e a velocidade vertical eram as fluxões de x e y associadas ao 
fluxo do tempo. Os fluentes eram x e y . Em linguagem moderna, seria a derivada de 
x em relação ao tempo, ou simplesmente ( )tx� e analogamente, a derivada de y em 
relação ao tempo ou ainda ( )ty � .
Tanto os nomes quanto as notações de Newton foram deixadas de lado ao longo 
dos anos, prevalecendo a notação criada por Leibniz. Saliente-se que, é ainda bastante 
utilizada pelos físicos quando a derivada em questão é em relação ao tempo e é dada afunção deslocamento ( )txx = ; nesse caso, será a velocidade e a aceleração. Embora 
Newton tenha desenvolvido e revisto o seu Cálculo entre 1666 e 1671, nada foi 
publicado até 1736, tendo apenas mostrado os seus manuscritos para alguns colegas e 
amigos. 
 Entretanto Leibniz, em 1672, enquanto vivia em Paris, encontrou-se com 
Huygens e com ele aprendeu e obteve muitos conselhos que constituíram um forte 
impulso para que viesse a desenvolver o seu Cálculo Diferencial e Integral. Nesse 
período, ele estabeleceu contacto com muitos outros matemáticos respeitados da Royal 
Society . Dentre eles destaca-se Barrow e assim Leibniz teve acesso aos seus trabalhos e 
estabeleceu um longo período de correspondências. 
 O Cálculo Diferencial de Leibniz tinha uma fundamentação bem diferente do de 
Newton. Leibniz não estudou o movimento para chegar aos conceitos de derivada e 
integral. Ele pensou nas variáveis x e y como grandezas que variavam por uma 
sucessão de valores infinitamente pequenos. Introduziu dx e dy como a diferença entre 
esses valores sucessivos. Embora Leibniz não tenha usado como definição de derivada, 
ele sabia que representava o coeficiente angular da tangente. 
 Há um capítulo especial na história do Cálculo: uma longa e quase sempre 
inescrupulosa disputa entre Newton e Leibniz sobre quem havia "criado" o Cálculo. 
Ambos não pouparam acusações picantes para descrever o outro e os seus feitos e 
geraram uma discussão acalorada no meio científico da época sobre quem seria a mais 
importante autoridade no Cálculo. Apesar das diferenças, tanto Newton quanto Leibniz 
reconheceram até certo ponto a importância do "adversário". Leibniz disse um dia: 
“Considerando a Matemática desde o início do mundo até a época de Newton, o que ele 
fez é sem dúvida a melhor metade”. Newton, por sua vez, na primeira edição do 
Principia, admitiu que Leibniz possuía um método semelhante ao seu. Infelizmente, na 
terceira edição, após o ápice das desavenças, Newton retirou a referência a Leibniz. 
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O desenvolvimento do Cálculo continuou com muitos outros matemáticos, 
como, por exemplo, Jacques Bernoulli, Johann Bernoulli, Maclaurin, Agnesi, Euler, 
d'Alembert, Lagrange e Cauchy que continuaram com o notável trabalho realizado por 
Newton e Leibniz. 
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Issac Newton 
 
Os grandes avanços na matemática e na ciência são quase sempre construídos 
pelo trabalho de muitos homens que contribuem pouco a pouco durante centenas de 
anos. Issac Newton foi um desses Homens. Na história do Cálculo, Newton foi um 
homem astuto o suficiente para distinguir as ideias válidas dos seus antecessores, 
imaginativo o suficiente para transformar as contribuições existentes em novos 
pressupostos e audaz o suficiente para construir um plano de mestre para dar o passo 
culminante e definitivo. 
 Newton nasceu na pequena aldeia de Woolsthorpe, Inglaterra, onde a sua mãe 
tratava da quinta deixada pelo marido, que morreu dois meses antes de Newton nascer. 
Frequentou as escolas locais pautadas de baixos níveis de sucesso escolar, e enquanto 
jovem não mostrou qualquer instinto especial, à excepção de um interesse por aparelhos 
mecânicos. Tendo passado os exames de admissão com uma insuficiência em geometria 
euclidiana, entrou na Universidade Trinity College of Cambridge em 1661, e o seu 
estudo decorreu de forma tranquila e discreta. Uma altura houve em que Newton quase 
mudava do seu curso de filosofia (ramo cientifico) para direito. Recebendo 
aparentemente pouco estimulo da parte dos professores, excepto possivelmente de 
Barrow, Newton tomou contacto com a Géométrie de Descartes tal como com os 
trabalhos de Copérnio, Kepler, Galileu, Wallis, e Barrow por si próprio. 
 Mesmo após Newton ter acabado a sua licenciatura, a universidade fechou 
devido a uma peste que se espalhou por Londres. Ele abandonou Cambridge e passou os 
anos de 1665 e 1666 no seio calmo da família em Woolsthorpe. Foi lá que Newton 
iniciou o seu grande trabalho de Mecânica, Matemática e Óptica. 
 Nesta altura, ele deu-se conta de que a lei do quadrado inverso da gravidade, um 
conceito avançado por outros, incluindo Kepler por volta de 1612, era um conceito 
chave para uma ciência abrangente de mecânica; ele desenvolveu um método geral de 
tratar os problemas do Cálculo; e através de experiências com a luz, ele fez a descoberta 
do século. Descobriu que a luz branca, tal como a luz do sol é realmente composta de 
todas as cores desde o violeta ao vermelho, Tendo Newton dito mais tarde, “Tudo isto, 
foi descoberto nos dois anos de peste de 1665 e 1666, pois nestes anos eu encontrava-
me no auge da minha idade para invenções , e interessava-me mais pela matemática e 
filosofia como nunca até então”. 
 Newton não se pronunciou acerca destas descobertas e regressou a Cambridge 
em 1667, para fazer o mestrado onde foi eleito membro do corpo directivo da 
Universidade de Cambridge. Em 1669 Isaac Barrow reformou-se do ensino e Newton 
foi convidado para o substituir como professor de matemática no Lucasian.
Aparentemente, Newton não foi bem sucedido como professor, uma vez que poucos 
alunos frequentavam as suas aulas e o material apresentado também não era muito 
motivador , tal como afirmavam os seus colegas. Apenas Barrow, e mais tarde, o 
astrónomo Edmond Halley reconheceram sua grandeza e encorajaram-no. 
 No início, Newton não publicou as suas descobertas. Pensava-se que Newton 
tinha um receio invulgar da critica; De Morgan afirma:” um receio mórbido da 
oposição da parte dos outros regrou toda a sua vida” . Quando em 1672 Newton 
publicou o seu trabalho sobre a luz, acompanhado pela sua reflexão filosófica, foi 
fortemente criticado por quase todos os seus contemporâneos, incluindo Robert Hook e 
Huygens, que defendiam ideias diferentes acerca da natureza da luz. Newton ficou tão 
desmotivado que decidiu não publicar mais no futuro. Contudo, em 1675, ele voltou a 
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publicar mais um trabalho sobre a luz, que continha a sua ideia que a luz era um raio de 
partículas — a Teoria Corpuscular da Luz. Novamente foi desgastado por uma 
tempestade de critica tendo sido inclusivamente acusado por outros de estas ideias já 
terem sido descobertas. Nesta altura, Newton resolveu que os seus resultados só seriam 
publicados após a sua morte. Ainda assim, ele chegou a publicar trabalhos e vários 
livros famosos tais como Principia, Opticks e Arithmetica Universalis.
A partir de 1665 Newton aplicou a lei da gravidade ao movimento planetário; 
nesta área os trabalhos de Huygens e Hook influenciaram-no consideravelmente. Em 
1684 o seu amigo Halley impulsionou-o para que publicasse os seus resultados, mas 
para além da sua relutância em publicar, faltavam-lhe ainda evidências de que a 
atracção gravitacional exercida por uma esfera sólida age como se a massa da esfera 
estivesse concentrada no centro. Ele escreveu numa carta a Halley em Junho 1686, que 
até 1685, ele suspeitou que esta teoria era falsa. Neste mesmo ano, ele mostrou que uma 
esfera cuja densidade varie apenas na distância para o centro, atrai de facto uma 
partícula externa, como se a massa da esfera estivesse concentrada no seu centro, e 
concordou em publicar este trabalho. 
 Halley prestou auxilio editorial a Newton a partir de então e pagava as 
publicações. Em 1687 surgiu a primeira edição de Philosophiae Naturalis Principia 
Mathematica (The Mathematical Principles of Natural Philosophy). Foram publicadas 
mais duas edições subsequentes, uma em 1713, e outra em 1726, a segunda edição 
continha melhorias. Apesar de este livro ter brindado Newton com muita fama, o seu 
entendimento tornava-se algo difícil. Ele comentou com um amigo que o tinha tornado 
propositadamente difícil “para evitar ver o seu trabalho ser criticado por pessoas que 
têm conhecimentos superficiais na área da Matemática”. Newton procurou desta 
formaevitar a critica de que os seus anteriores trabalhos sobre a luz tinham sido alvos. 
 Newton era também um grande químico. Apesar de não haver grandes 
descobertas associadas ao seu trabalho nesta área, temos que ter em conta que na 
química dava apenas os primeiros passos nesta altura. Newton defendia como correcto, 
o pressuposto de tentar explicar os fenómenos químicos em termos de partículas 
elementares, e ele tinha também um conhecimento profundo no que respeita à química 
experimental. Na obra Philosophical Transactions of the Royal Society de 1701, ele 
publicou um trabalho acerca do calor e que contém a sua famosa lei do arrefecimento. 
Apesar de Newton ter lido os trabalhos de alguns alquimistas, ele não aceitava as suas 
ideias místicas e obscuras. As propriedades químicas e físicas dos corpos podiam, 
defendia Newton, ser contáveis em termos de dimensão, forma, e movimento das suas 
partículas elementares Ele rejeitava as forças ocultas dos alquimistas, tal como a 
simpatia, antipatia, congruidade e atracção. 
 Além do seu trabalho em mecânica celestial, Newton fez ainda experiências 
sobre a acção de amortecimento do movimento do pêndulo das mais variadas formas, 
sobre a queda de esferas no ar e na água, e ainda sobre a corrente de água vinda de 
jactos. Tal como todos os teóricos do seu tempo, Newton construiu todo o seu 
equipamento. Ele construiu dois telescópios reflectores, fez a liga de metal para as 
estruturas, moldou as estruturas do telescópio, fez a montagem e poliu as lentes. 
 Após ter estado ao serviço do ensino durante 35 anos, Newton sofreu uma 
depressão e ficou com um esgotamento nervoso. Ele decidiu desistir da pesquisa, e em 
1665 aceitou tornar-se guardião da British Mint em Londres. 
 Tornou-se presidente da Royal Society em 1703, um trabalho que levou até à sua 
morte; ele foi nomeado Cavaleiro em 1705. 
 É evidente que Newton esteve muito mais envolvido na ciência do que na 
matemática, e era um participante activo nos problemas do seu tempo. Ele considerava 
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que o apoio religioso era o principal valor do seu trabalho cientifico, e ele era de facto 
um teólogo letrado, apesar de nunca ter sido ordenado. Newton considerava que a 
pesquisa cientifica era dura e monótona, mas apaixonou-se por ela porque ela era a 
prova do trabalho de Deus. 
 No que diz respeito ao Cálculo, Newton generalizou ideias há muito defendidas 
por outros teóricos, estabeleceu métodos credíveis e mostrou a inter-relação entre vários 
problemas descritos na época. Apesar de ele ter aprendido muito enquanto aluno de 
Barrow, no que diz respeito à Álgebra e ao Cálculo, Newton foi grandemente 
influenciado pelos trabalhos de Wallis. Newton diz ter sido conduzido às suas 
descobertas na análise através da obra Arithmetica Infinitorum; com certeza que no 
trabalho sobre o Cálculo, Newton fez muitos progressos por pensar de forma analítica. 
Contudo, até Newton considerava que a geometria era indispensável para comprovar um 
resultado. 
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Gottfried Wilhelm Leibniz 
 
Apesar das suas contribuições terem sido bem diferentes, o homem que ao lado 
de Newton contribuiu para a construção do Cálculo, foi Gottfried Wilhelm Leibniz. 
Leibniz nasceu em Leipzig em 1646, estudou direito e, logo após ter defendido a sua 
tese sobre a lógica, adquiriu um bacharelato em Filosofia. Em 1666, escreveu a tese De 
Arte Combinatoria, um trabalho acerca do método de raciocínio; trabalho este, que 
contribuiu para o seu doutoramento em Filosofia na Universidade de Altdorf e para 
comprovar a sua aptidão para o ensino. 
 Durante os anos de 1670 e 1671, Leibniz escreveu os seus primeiros trabalhos 
sobre mecânica, e por volta de 1671, produziu a sua máquina de calcular. Leibniz 
assegurou um trabalho como embaixador do Elector de Mainz e em Março de 1672 foi 
para Paris numa missão política. Esta visita fez com que Leibniz estabelecesse contacto 
com muitos matemáticos e cientistas, nomeadamente Huygens, e fez também com que o 
seu interesse pela Matemática disparasse. Apesar de ter lido pouco sobre o assunto, e ter 
escrito o trabalho de 1666, Leibniz afirmou não ter tomado conhecimento com a 
Matemática até 1672. 
 Em 1673 Leibniz foi para Londres e conheceu mais matemáticos e cientistas, 
incluindo Henry Oldenburg, que na altura era secretário da Royal Society de Londres. À 
medida que ganhava a vida como diplomata, Leibniz aprofundava cada vez mais os 
seus conhecimentos em Matemática lendo Descartes e Pascal. Em 1776, Leibniz foi 
nomeado bibliotecário e membro do Conselho do Elector em Hanover. Vinte e quatro 
anos depois, o Elector (eleitor) de Brandenburgo convidou Leibniz para trabalhar para 
ele em Berlim. Ao mesmo tempo que se encontrava envolvido em manobras políticas de 
todo o tipo, Leibniz trabalhou em muitas áreas, e as suas actividades paralelas 
abrangiam um grande campo. 
 Para além de ser um diplomata, Leibniz era um filósofo, advogado, historiador, 
filologista, e um geólogo pioneiro. Ele desenvolveu trabalhos importantes nas áreas da 
lógica, mecânica, óptica, matemática, hidrostática, pneumática, ciência náutica, e 
máquinas calculadoras. Apesar da sua profissão ser a jurisprudência, o seu trabalho na 
área da matemática e filosofia está entre os melhores que o mundo já produziu. 
 Leibniz manteve contacto por meio de cartas com pessoas dos locais mais 
longínquos como a China e Ceylon. Ele tentou incessantemente reconciliar as fés 
católica e protestante. Foi Leibniz quem propôs, em 1669 que se fundasse uma 
Academia Alemã de Ciência, acabando por ser organizada em 1700 a Academia de 
Berlim. A sua recomendação inicial, foi que fosse criada uma sociedade para fazer 
invenções de mecânica e descobertas em química e fisiologia que fossem úteis à 
humanidade; Leibniz queria que o conhecimento fosse aplicado. Ele apelidava as 
universidades de “monásticas” e acusava-as de possuíam a aprendizagem mas de não a 
colocarem em prática e que estavam absorvidas em insignificâncias. Em vez disto, 
Leibniz defendia a urgência de perseguir o conhecimento real – matemática, física, 
geografia, química, anatomia, botânica, zoologia, e história. Para Leibniz as habilidades 
de um artesão e do homem prático, eram mais valorizadas do que as subtilezas 
aprendidas pelos letrados. 
 Ele preferia a língua alemã ao Latim porque esta última língua estava associada 
ao pensamento velho, e portanto, inútil. Os homens disfarçam a sua ignorância, afirma 
Leibniz, utilizando o Latim para impressionar as pessoas. A língua alemã, por outro 
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lado, era entendida pela mais comum das pessoas, e podia ajudar a desenvolver a 
clareza do pensamento e a intensidade do raciocínio. 
 Leibniz publicou trabalhos sobre o Cálculo a partir de 1684,contudo, muitos dos 
seus resultados, tal como o desenvolvimento das suas ideias, estão contidos em centenas 
de páginas de notas feitas a partir de 1673, mas nunca publicados por ele. Estas notas, 
tal como é de esperar, saltam de um tema para outro e contêm exemplos de mudança, à 
medida que o pensamento de Leibniz se ia desenvolvendo. Algumas, são apenas ideias 
que lhe ocorriam quando estava a ler um livro ou artigos de Gregory de St. Vincent, 
Fermat, Pascal, Descartes e Barrow, ou apenas tentativas de projectar os pensamentos 
destes, na sua própria aproximação do Cálculo. 
 Em 1714, Leibniz escreveu Historia et Origo Calculi Differentialis, no qual ele 
faz um relato do desenvolvimento da sua própria forma de pensar. Todavia, isto foi 
feito muitos anos após Leibniz ter desenvolvido o seu trabalho, e na visão da fraca 
memória humana, e do grande impacto que ele causou nessa época, a sua história pode 
não ser a mais fiel. Uma vez que o seu propósito era defender-se de uma acusação de 
plágio, Leibniz pode ter distorcido, inconscientemente o relato da origem das suas 
ideias. 
 Apesar de todo o seu admirável trabalho, Leibniz morreunegligenciado em 
1716. 
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A obra de Issac Newton 
Em 1669 Newton fez circular entre os seus amigos um monografo intitulado De 
Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (On Analysis by Means of 
Equations with an Infinite Number of Terms), sendo publicado apenas em 1711. Neste 
trabalho, Newton supôs que a área z ( figura 1), sob a curva é dada por : 
 
(1) maxz =
onde m é integral ou uma fracção. Newton designava um infinitésimo aumento em x de 
“o momento de x ”, e indica-o por o . A área limitada pela curva, o eixo dos xx , o eixo 
dos yy , e a ordenada de ox + , é indicada por Newton por oyz + , sendo oy o momento 
da área. Depois, 
 
(2) ( )moxaoyz +=+
Figura 1 
 
Ele aplica o Teorema Binomial ao segundo membro, obtendo uma série infinita 
quando m é fraccionário, a (1) subtrai (2) divide por o , omite os termos que contêm o
e obtém, 
1. �= mxmay
Portanto, na linguagem corrente, a taxa de variação da área em qualquer valor de 
x , é o valor y da curva nesse valor de x . Contrariamente, se a curva é 
1. �= mxmay
a área sob ela é 
maxz = .
Neste processo Newton não concebeu apenas um método geral para encontrar a 
taxa de variação de uma variável relativamente a outra ( z relativamente a x no 
exemplo além), como mostrou também, que a área pode ser obtida invertendo o 
processo de encontrar a taxa de variação. Uma vez que as áreas foram também 
expressas e obtidas através da soma de áreas infinitésimas, Newton também mostrou 
que tais somas podem ser obtidas invertendo o processo de encontrar a taxa de variação. 
O facto de a adição (mais propriamente somas ou limites), poder ser obtida invertendo 
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a diferenciação, é o que nós agora designamos de Teorema Fundamental do Cálculo. 
Apesar de ser já conhecido em casos especiais, e ter sido obscuramente previsto pelos 
antecessores de Newton, ele considerava-o geral. Ele aplicou o método para obter a área 
sob muitas curvas e para resolver outros problemas que pudessem ser formulados como 
adições. 
 Após ter mostrado que a derivada da área é o valor y , e afirmado que o 
contrário também é verdade, Newton formulou a regra: “Se o valor y é a soma dos 
termos, então a área é a soma das áreas que resultam de cada um dos termos”. Em 
termos modernos, o integral indefinido de uma soma de funções, é a soma dos integrais 
das funções separadas. 
 A sua seguinte contribuição no monografo, estava mais relacionada com o seu 
uso de séries infinitas. Para integrar 
( )xb
ay
+
=
2
, dividiu 2a por xb + e obteve 
...4
32
3
22
2
22
+�+�=
b
xa
b
xa
b
xa
b
ay
Tendo obtido estas séries infinitas, Newton encontra o integral, integrando 
termo a termo, de tal forma que a área seja, 
...
432 4
42
3
32
2
222
+�+�
b
xa
b
xa
b
xa
b
xa
Newton proferiu que alguns dos termos iniciais das suas séries infinitas são 
demasiado exactos para qualquer utilização, de forma que estabeleceu que b fosse 
igual a x repetido algumas vezes. 
 De igual forma, para integrar ( )21
1
x
y
+
= ele utiliza a expansão binomial para 
escrever, 
 
...1 8642 �+�+�= xxxxy
e integra termo a termo. Newton nota que, se y for ( )1
1
2 +
=
x
y , então pela expansão 
binomial iria obter-se, 
...8642 +�+�= ���� xxxxy
e agora pode integrar termo a termo. 
 Newton chama a atenção para o facto de, quando o valor de x é demasiado 
pequeno, é a primeira expansão que deve ser utilizada, mas quando o valor de x é maior, 
é a segunda expansão que deve ser utilizada. Portanto, Newton estava ciente de que 
aquilo que designamos por convergência, tem um papel importante, mas não tinha uma 
noção precisa disso. Newton deu-se conta de que tinha expandido a integração termo a 
termo às séries infinitas, e afirma na obra De Analysi:
“E seja qual for a performance da análise comum através do meio da 
equação, de um número de termos finito, (certificando-se de que pode ser feito) isto 
pode ser sempre realizado por meio da equações infinitas , por isso não fiz qualquer 
questão de dar a este problema o nome de análise. O raciocínio para este problema, 
não é menos certo do que no outro; nem as equações menos exactas; embora nós 
13
Mortais cujo poder do raciocínio está confinado a estreitos limites; não conseguimos 
expressar nem conceber todos os Termos destas Equações, para saber daí exactamente 
as quantidades que queremos”. 
 
Ao longo da sua abordagem ao Cálculo, Newton utilizou aquilo a que se pode 
designar de Método dos Infinitésimos. Nele os momentos são quantidades infinitamente 
pequenas, indivisíveis ou infinitésimas. A lógica das teorias de Newton não é clara. Ele 
próprio diz na sua obra que o seu método é “laconicamente explicado e não claramente 
demonstrado”. 
 Newton expôs uma segunda vez as suas ideias de forma mais extensiva e 
definitiva na obra Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum, escrito em 1671 e 
publicado em 1736. Neste trabalho, Newton diz considerar as variáveis como sendo 
geradas pelo movimento continuo de pontos, linhas e planos, e não como agregados 
estéticos de elementos infinitésimos, tal como havia considerado no seu anterior 
trabalho. Newton designava agora uma quantidade variável por fluente e a sua taxa de 
variação de fluxo. A sua notação é x� e y� para os fluxos e x e y para os fluentes. O 
fluxo de x� é x�� , o fluxo de x�� é x��� e assim sucessivamente. 
Neste seu segundo trabalho, Newton expõe de forma mais clara o problema 
fundamental do Cálculo: “Dada a relação entre dois fluentes, tem que encontrar-se a 
relação entre os seus fluxos e o inverso”. As duas variáveis cuja relação é aqui 
apresentada, podem representar quaisquer quantidades. 
 Contudo, Newton considerou que elas mudam com o tempo, apesar de ele 
sublinhar que isto pode não acontecer. Se o for um intervalo infinitamente pequeno de 
tempo, então ox� e oy� são os incrementos indefinidamente pequenos em x e y ou os 
momentos de x e y . Para encontrar a relação entre y� e x� sendo, por exemplo, o 
fluente nxy = . Newton em primeiro lugar forma, 
( )noxxoyy �� +=+
e depois prossegue como no seu primeiro trabalho. Ele desenvolve o lado direito 
utilizando o teorema binomial, subtrai nxy = , divide por o , omite todos os termos que 
contenham o e obtém, 
xnxy n �� 1�= .
Em notação moderna, este resultado pode ser traduzido por 
 
dt
dxnx
dt
dy n 1�=
e uma vez que 
dt
dx
dt
dy
dx
dy
= , Newton ao encontrar a relação (razão) (ratio) de 
dt
dy para 
dt
dx ou y� para x� encontrou 
dx
dy .
O método dos fluxos não é essencialmente diferente daquele mencionado na 
obra De Analysi, nem o rigor é maior. Newton deixa cair por terra termos como oxx�� e
oxoxx ��� (ele escreve oox 3� ),pois estes são infinitamente pequenos comparados com o 
valor retido. 
14
Contudo, o seu ponto de vista na obra Method of Fluxions é de certa forma 
diferente. Os momentos ox� e oy� mudam com o tempo o , enquanto que no primeiro 
trabalho, os momentos eram pedaços fixos de x e z . Esta nova visão segue o rasto 
mais dinâmico de Galileu, enquanto que a visão mais antiga seguia a linha do 
pensamento estático e indivisível de Cavalieri. A mudança serviu apenas, como diz 
Newton, para remover o rigor da doutrina dos indivisíveis. Para além do mais, x� e y� ,
que são os fluxos ou derivadas no que respeita ao tempo de x e y , nunca estão 
verdadeiramente definidas; este problema central deixa de existir. 
 Dada a relação entre x� e y� , encontrar a relação entre x e y é mais difícil do 
que meramente integrar uma função de x . Newton trata vários tipos: 
 (1) quando x� , y� e x ou y estão presentes; 
 (2) quandox� , y� , x e y estão presentes; 
 (3) quando x� , y� , z e os fluentes estão presentes. 
 O primeiro tipo é o mais fácil e, em notação moderna, resolve-se por ( )xf
dx
dy
= .
Newton trata o segundo tipo da seguinte forma: 
xyxyx
x
y
+++�= 231
�
�
e resolve-o través de um processo de aproximação sucessivo. Newton começa por 
231 xx
x
y
+�=
�
�
como uma primeira aproximação, obtém y como função de x , de
seguida introduz o valor de y no lado direito da equação original e continua o processo. 
Newton descreve como procedeu, mas não justifica. O terceiro tipo é estudado por 
Newton como: 02 =+� xyzx ��� Newton assume a relação entre x e y , diz que 2yx = ,
de forma a que yyx �� 2= Então a equação torna-se 04 2 =�� yyzyy ��� , da qual ele obtém 
zyy =��
�
	
�
�
+
3
2
3
2 Portanto, se o terceiro tipo é visto como sendo uma equação 
diferencial parcial, Newton apenas obtém um integral particular. 
 Newton deu-se conta de que tinha apresentado um método geral no seu trabalho. 
Numa carta a John Collins, datada do dia 10 de Dezembro de 1672, ele expõe o seu 
método e dá um exemplo: 
 
“ Esta é uma conclusão particular de um método geral, que se estende 
por si próprio sem quaisquer cálculos complicados, não apenas destinado ao desenho 
de tangentes de linhas curvas, geométricas ou mecânicas...mas também para resolver 
outros tipos de problemas obscuros como a curvatura, áreas, comprimentos, centros de 
gravidade de curvas, ets; também não é ... limitado a equações livres de quantidades 
irracionais. Este método eu misturei-o com aquele que serve para trabalhar equações, 
reduzindo-as a séries infinitas. “ 
 
Newton enfatizava o uso de séries infinitas, porque através delas ele podia tratar 
funções tais como ( ) 231 x+ , enquanto que os seus antecessores haviam sido algo 
limitados no que respeita ao todo das funções algébricas racionais. 
 No seu Tractatus de Quadratura Curvarum (Quadrature of Curves), um terceiro 
trabalho sobre o Cálculo, escrito em 1676 mas publicado em 1704, Newton afirma ter 
15
abandonado os infinitésimos ou quantidades infinitamente pequenas. Newton critica 
agora o abandono de termos envolvendo o e afirma, 
 
“Em matemática o mais mínimo erro não pode ser negligenciado...eu 
considero as quantidades matemáticas neste campo, não sendo constituídas por partes 
muito pequenas, mas como sendo descritas por um movimento contínuo. As linhas são 
descritas e geradas não pela aposição das partes, mas pelo movimento contínuo de 
pontos; superfícies pelo movimento de linhas; sólidos pelo movimento de superfícies; 
ângulos pela rotação dos lados; porções de tempo por fluxos contínuos... 
Fluxos são, como quisermos, incrementos de fluentes gerados em tempos, iguais e o 
mais pequenos possível, e para falar com rigor, são o primeiro ratio (proporção) dos 
incrementos nascentes. Mas podem ser expressos por quaisquer linhas, que são algo 
proporcionais a eles. “ 
 
O novo conceito de Newton, o método do primeiro e do último ratio (proporção) 
é equivalente a isto. Ele considera a função nxy = . Para encontrar o fluxo de y ou nx ,
Newton deixa que x “flua” e se torne ox + . Então nx traduz-se por 
 
( ) ...
2
22
2
1 +
�
++=+ �� nnnn xonnnoxxox
Os acréscimos de x e y , nomeadamente o e ...
2
22
2
1 +
�
+ �� nn xonnnox estão 
para cada um deles como (dividindo ambos por o ), 
 
1 para ...
2
2
2
1 +
�
+ �� nn oxnnnx
“Que os incrementos desapareçam e que a sua última relação seja; 
 
1 para 1�nnx .
Então fluxo de x está para o fluxo de nx como 1 está para 1�nnx ou , tal como 
diríamos hoje , a taxa de variação de y relativamente a x é 1�nnx . Este é o primeiro 
ratio (proporção) dos incrementos nascentes. Evidentemente que a lógica desta versão 
não é melhor que as duas anteriores; ainda assim, Newton afirma que este método está 
em harmonia com a antiga geometria e que não é necessário introduzir quantidades 
infinitamente pequenas. 
 
16
Newton fez também uma interpretação geométrica. 
Figura 2 
 
Considerando os dados da figura 2, e supondo que bc se move para BC de tal 
forma que c coincide com C . Então o triângulo curvilíneo CEc é “na sua última 
forma” similar ao triângulo CET , e os seus lados “evanescentes” serão proporcionais a 
CE, ET, e CT. Portanto, os fluxos das quantidades AB, BC e AC são, no último ratio 
(proporção) dos seus incrementos evanescentes, proporcionais aos lados do triângulo 
CET ou do triângulo VBC.
A primeira publicação de Newton envolvendo o seu Cálculo é a grande 
Mathematical Principles of Natural Philosophy.. No que diz respeito à noção de 
Cálculo, de fluxo, ou como dizemos, de derivada, Newton faz várias afirmações. Ele 
rejeita infinitésimos ou quantidades indivisíveis, e defende “quantidades divisíveis 
evanescentes”, quantidades estas, que podem ser infinitamente diminuídas. 
 Na primeira e terceira edições da obra Principia, Newton afirma que: “Ratios 
(proporções) definitivas, nas quais as quantidades se desvanecem, não são, 
rigorosamente falando, ratios (proporções) de quantidades definitivas, mas sim limites 
dos quais, as ratios (proporções) destas quantidades, decrescendo sem limite, se 
aproximam, e que , apesar de elas se poderem aproximar mais do que qualquer outra 
diferença, nunca a poderão ultrapassar, nem alcançar antes das quantidades terem 
decrescido indefinidamente”. 
 Esta foi a declaração mais clara que Newton alguma fez acerca do significado 
da sua última ratio (proporção). A propósito da citação anterior, Newton também 
afirmou: “A expressão “última velocidade” refere-se à velocidade através da qual um 
corpo é movido, nem antes de chegar ao seu último lugar, quando o movimento cessa, 
nem depois; mas no preciso momento em que chega...e de igual forma, a expressão “a 
última ratio de quantidades evanescentes”, refere-se à proporção de quantidades, não 
antes de se terem desvanecido, nem depois, mas àquela (quantidade) com a qual elas se 
desvanecem”. 
 Na obra Principia Newton utilizava métodos de prova geométricos. Contudo, 
naquilo que se designa por Portsmouth Papers, contendo trabalhos que não foram 
publicados, Newton utilizou métodos analíticos para encontrar alguns dos seus 
teoremas. Estes trabalhos mostram que Newton também obteve resultados analíticos 
17
para além daqueles que conseguiu “traduzir” em geometria. Uma das razões pela qual 
Newton recorreu à geometria, foi porque acreditava que desta forma os seus resultados 
iriam tornar-se mais compreensíveis aos seus contemporâneos. Outro motivo para isto, é 
que Newton admirava imensamente o trabalho que Huygens fez com a geometria e 
esperava igualá-lo. Nestas provas geométricas Newton utiliza os processos básicos do 
Cálculo. Portanto, a área sob uma curva é considerada essencialmente como o limite da 
soma dos rectângulos mais próximos, tal como acontece actualmente no Cálculo. 
Contudo, em vez de calcular tais áreas, Newton utilizou este conceito para comparar 
áreas sob diferentes curvas. 
 Newton prova que, e observando-se a figura 4, quando AR e BR são as 
perpendiculares às tangentes em A e B do arco ACB, a última ratio ( proporção), quando 
B se aproxima e coincide com A, de qualquer das duas quantidades AB, arco ABC e AD,
é 1. Newton também prova que , quando B se aproxima e coincide com A , a razão 
entre os triângulos RAB , RACD e RAD será 1. 
 Da mesma forma e analisando a figura 5, sendo BD e CE perpendiculares a AE 
(que não é necessariamente a tangente do arco ABC em A), quando B e C se aproximam 
e coincidem com a última proporção das áreas ACE e ABD, estas irão ser iguais à 
última proporção de 2AE para 2AD .
Figura 4 Figura 5 
 
A obra Principia contém uma abundância de resultados ealguns dos quais deve-
se ter em consideração. Apesar de o livro ser devotado à Mecânica Celestial, teve uma 
grande importância para a História da Matemática, não apenas devido ao facto do 
trabalho que Newton desenvolveu sobre o Cálculo ter sido motivado em grande parte 
pelo seu interesse preferencial pelos problemas tratados nesta área, mas porque 
Principia apresentava novos tópicos e aproximações a problemas que foram explorados 
durante os cem anos seguintes, no decorrer dos quais, foi desenvolvido um grande 
conhecimento. 
 
18
A obra de Leibniz 
 
O seu cálculo infinitesimal é também uma notável obra no que respeita à notação 
e terminologia. Elas são ainda hoje usadas, até mesmo para enunciar e discutir os 
resultados dos matemáticos que o antecederam. 
 A sua primeira época criativa coincide com a sua permanência em Paris (1672 a 
1676) onde começou a estudar Geometria e em que a sua inspiração remonta ao trabalho 
realizado com somas e diferenças, o que o levou a considerar a possibilidade de somar 
“séries infinitas”. 
 Em 1673 Leibniz estava consciente da importância do problema directo e 
inverso de encontrar tangentes de curvas, estando também bem certo, de que o método 
inverso era o equivalente a encontrar áreas e volumes através do método da soma. 
 O desenvolvimento algo sistemático das suas ideias começa com as suas notas 
de 1675. Contudo, parece ser de grande ajuda, a fim de entender a sua forma de pensar, 
ter em atenção que na sua obra De Arte Combinatoria, Leibniz considerou sequências 
de números, primeiras diferenças, segundas diferenças, e diferenças de várias 
sequências. Portanto, para a sequência de quadrados, 
 
,...36,25,16,9,4,1,0
as primeiras diferenças são, 
 
,...11,9,7,5,3,1
e as segundas diferenças são, 
 
,...2,2,2,2,2,2
Leibniz notou o ausência das segundas diferenças para a sequência de números 
naturais, das terceiras diferenças para a sequência de quadrados, e assim 
sucessivamente. 
 Leibniz também observou que, se a sequência inicial começar por 0 , a soma das 
primeiras diferenças é o último termo da sequência. 
 Para relacionar estes factos com o Cálculo, Leibniz teve que pensar na sequência 
de números enquanto valores de y de uma função e a diferença entre qualquer dos dois, 
como a diferença dos dois valores y mais próximos. Inicialmente, Leibniz pensou em 
x como representando a ordem do termo na sequência e em y como representando o 
valor desse termo. 
 A quantidade dx , que ele frequentemente escreve como a , é então 1 porque é a 
diferença da ordem dos dois termos sucessivos, e dy é a actual diferença nos valores 
dos dois termos sucessivos. Depois, utilizando .omn como abreviatura do Latim omnia,
que significa soma e utilizar l por dy , Leibniz conclui que ylomn =. , porque lomn. é
a soma das primeiras diferenças de uma sequência cujos termos começam por 0 , dando 
como resultado o último termo. Contudo, ylomn. apresenta um novo problema. Leibniz 
obtém o resultado de que ylomn. é
2
2y pensando em termos da função xy = .
19
Figura 1 
 
Logo, tal como mostra a figura 1, a área do triângulo ABC é a soma de yl e é 
também 
2
2y . Leibniz diz: “Linhas rectas que aumentam do nada, cada uma delas 
multiplicadas pelo seu elemento de aumento correspondente, formam um triângulo”. 
 De seguida, Leibniz lutou contra várias dificuldades. Teve que fazer a transição 
para uma série discreta de valores para o caso onde dy e dx são incrementos de uma 
função arbitrária y de x . Uma vez que Leibniz ainda estava ligado às sequências, onde 
x é a ordem do termo, o seu a ou dx era 1, tendo a sido inserido e omitido 
livremente. Quando Leibniz fez a transição para dy e dx de qualquer função, a já não 
era 1. Contudo, enquanto ainda lutava contra a noção de soma, Leibniz ignorou este 
facto. 
 Mas, num manuscrito do dia 29 de Outubro,1675, Leibniz começa com 
(1) 
a
llomnomnylomn ... =
cuja lógica se mantém, porque y é ele próprio lomn. . Aqui Leibniz divide l por a
para preservar dimensões. Leibniz diz que (1) mantém -se, independentemente do que l
possa ser. Mas, tal como vimos em relação á imagem 17.17, 
 
(2) 
2
.
2yylomn =
Por isso, a partir de (1) e (2), 
a
llomnomny ..
2
2
=
20
Em notação moderna, Leibniz mostrou que, 
{ }� �� == dx
dyy
dx
dydyy
2
2
e afirma que este resultado é admirável. 
Outro teorema do, mesmo tipo, que Leibniz derivou de um raciocínio geométrico, é 
 
(3) lomnomnlxomnxlomn .... �=
onde l é a diferença em valores de dois termos sucessivos de uma sequência e x é o 
número do termo. Para nós esta equação é, 
 
� ��= ydxxyxdy 
Agora Leibniz deixa que l em (3) seja x , e obtém, 
xomnomnxxomnxomn .... 2 �=
Mas xomn. , é
2
2x ( ele mostrou que 
2
.
2yylomn = ). Assim, 
 
2
.
2
.
22
2 xomnxxxomn �=
Transpondo o último termo, Leibniz obtém, 
 
3
.
3
2 xxomn =
Neste manuscrito do dia 29 de Outubro de 1675, Leibniz decidiu escrever � ,
em vez de .omn ,por forma que, 
 
lomnl .=� e 2
2xx =�
O símbolo � é um alongamento para significar “soma”. 
 Leibniz, cedo se apercebeu que, provavelmente por ter estudado o trabalho de 
Barrow, a diferenciação e integração enquanto soma, têm que ser processos inversos e 
assim a área quando diferenciada, tem que dar um comprimento. Do mesmo modo, no 
mesmo manuscrito do dia 29 de Outubro, Leibniz afirma: “Dado l e a sua relação com 
x para encontrar � l . Supondo que yal =� e d
yal = . Então à medida que � vai 
aumentando, d vai diminuindo as suas dimensões. Mas � significa uma soma, e 
d ,uma diferença. Dado y podemos sempre encontrar 
d
y ou l ,ou seja, a diferença dos 
yy . Desta forma, uma equação pode ser transformada em outra. 
 
21
Por exemplo, da equação 
 
3
3
2
3a
lc
lc ��� =
podemos obter a equação, 
 
da
lc
lc 3
3
2
3
�
� = “. 
 
Neste trabalho, Leibniz parece estar a explorar as operações de � e de d e
conclui que eles são inversos. Finalmente dá-se conta de que � não aumenta a sua 
dimensão, nem d a diminui, porque � é realmente a soma de rectângulos, e portanto, 
a soma de áreas. Prontamente Leibniz reconheceu que, para passar de dy para y , tinha 
que formar a diferença dos yy , ou então tomar o diferencial de y . Leibniz diz, 
“Mas � significa uma soma e d uma diferença”. Isto pode ter sido uma introdução 
mais tardia. Desta forma, algumas semanas depois, a fim de passar de y para dy , ele 
troca, dividindo por d para obter o diferencial de y e escreve dy .
Até este ponto, Leibniz tinha estado a pensar nos valores de y enquanto valores 
dos termos de uma sequência, e em x , normalmente como a ordem destes termos, mas 
agora, neste trabalho Leibniz afirma: “Todos estes teoremas são verdadeiros para séries 
nas quais as diferenças de termos geram para os próprios termos uma relação que é 
menor do que qualquer quantidade aplicável” Ora, 
y
dy , pode ser menor do que 
qualquer quantidade aplicável. 
 
Num manuscrito datado do dia 11 de Novembro de 1675, intitulado “Examples 
of Inverse Methods of Tangents”, Leibniz utiliza � para a soma e d
x para a diferença. 
Ele então afirma que 
d
x é dx , a diferença de dois valores de x consecutivos , mas 
aparentemente aqui dx é uma unidade igual e constante. 
 A partir de argumentos pouco claros, tais como o anterior, Leibniz considerava 
a integração como um processo somatório que é inverso da diferenciação. Esta ideia 
está também patente nos trabalhos de Newton e Barrow, que obtinham áreas por um 
processo de anti-diferenciação. Mas é a primeira vez que é enunciada, e por Leibniz, 
como uma relação entre a soma e a diferenciação. Apesar desta afirmação, Leibniz não 
estava certo de como obter uma área, e de uma maneirageral pode traduzir-se por 
� ydx , ou seja, como obter a área sob uma curva de um conjunto de rectângulos. É 
óbvio que esta dificuldade era o alvo das investigações dos teóricos do século dezassete. 
Leibniz considerava a área como a soma de rectângulos tão pequenos e numerosos que a 
22
diferença entre esta soma e a verdadeira área sob a curva podia ser omitida, e noutras 
alturas como a soma de valores ordinários ou valores de y .
Este último conceito de área era comum, especialmente entre os teóricos que 
defendiam a teoria dos indivisíveis, que consideravam que a última unidade da área e 
que os valores de y eram o mesmo 
 No que diz respeito à diferenciação, mesmo após ter reconhecido que dy e dx 
podem ser quantidades arbitrárias pequenas, Leibniz teve ainda que ultrapassar a 
principal dificuldade, de que a relação 
dx
dy não é exactamente a derivada, pelo menos 
como se conhece actualmente. 
 Leibniz baseou o seu argumento no triângulo característico, que Pascal e Barrow 
também utilizaram. 
 
Figura 2 
 
Este triângulo, que se pode observar na figura 2, é formado por dy , dx e pela 
linha PQ , a qual Leibniz designou por a curva entre P e Q e parte da tangente em T. 
Apesar de Leibniz falar deste triângulo como sendo infinitamente pequeno, ele mantém, 
contudo, que este triângulo é semelhante a um triângulo delimitado, nomeadamente, o 
triângulo STU formado pela subtangente SU, a ordenada em T, e o comprimento da 
tangente ST. Uma vez que dy e dx são elementos fixos, a sua relação tem um 
significado delimitado. De facto, Leibniz usa o argumento que, de triângulos 
semelhantes PRQ e STU, resulta 
SU
TU
dx
dy
= .
Ainda no manuscrito do dia 11 de Novembro 1675, Leibniz mostrou como podia 
resolver um problema delimitado. Ele procura a curva, cuja subnormal é inversamente 
proporcional à ordenada. Na figura 2, a normal é TV e a subnormal p é UV. Da 
semelhança dos triângulos PRQ e TUV, Leibniz obtém, 
 
y
p
dx
dy
=
ou, da mesma forma, 
dyydxp = .
23
Mas a curva tem a propriedade, 
y
bp =
onde b é proporcionalmente constante. Desta forma, 
 
dy
b
ydx
2
=
Logo, 
�� = dyb
ydx
2
ou 
b
yx
3
3
=
Leibniz também resolveu outros problemas inversos de tangentes. Num jornal do 
dia 26 de Junho do ano 1676, Leibniz apercebe-se que o melhor método de encontrar 
tangentes é encontrar 
dx
dy , onde dy , e dx são diferenças e 
dx
dy é o quociente. Leibniz 
ignora dxdx. e potências mais elevados de dx .
Em redor de Novembro de 1676, Leibniz já é capaz de formular regras gerais, 
tais como, dxnxdx nn 1�= para integrais e n fraccionado e � +=
+
1
1
n
xx
n
n , e afirma: “O
raciocínio é geral, e não depende das progressões dos xx “ Aqui x ainda significa a 
ordem dos termos de uma sequência 
 No dia 11 de Julho de 1677, Leibniz já estava capaz de formular as regras 
correctas para o diferencial da soma, diferença, produto, quociente de duas funções, 
potências e raízes, mas não existiam provas. No manuscrito do dia 11 de Novembro de 
1675, Leibniz tinha-se debatido com ( )uvd e �
�
	
�
�
v
ud , e pensou que ( ) dvduuvd = .
Em 1680, dx tornou-se a diferença de abcissas e dy a diferença nas ordenadas. 
Leibniz diz: 
“...agora estes valores, dx e dy , são considerados infinitamente pequenos, ou, como 
dois pontos na curva que são compreendidos como uma distância à parte, que é menor 
do que qualquer outro comprimento”. Leibniz designa dy de “incremento 
momentâneo” em y , conforme a ordenada se move ao longo do eixo dos xx . Mas PQ, 
na figura 2 ainda é considerado como sendo parte de uma linha recta. É “um elemento 
da curva, ou um lado de um polígono de ângulo infinito que está em vez da curva. ...” 
Leibniz continua a utilizar a forma diferencial habitual. Assim, se 
x
ay
2
=
então, 
dx
x
ady 2
2
�=
24
Leibniz também ilustrou que as diferenças são o oposto das somas. Assim, para 
encontrar a área sob uma curva ,como mostra a figura 3, Leibniz considera a soma dos 
rectângulos e afirma que podemos omitir os restantes “triângulos, uma vez que estes são 
infinitamente pequenos comparados aos rectângulos… assim I, representa no meu 
Cálculo, a área da figura por � ydx ….” 
Figura 3 
 
Apesar das anteriores declarações, de que dx e dy são pequenas diferenças, 
Leibniz ainda fala de sequências. Ele diz que “Diferenças e somas são os inversos um 
do outro, o que por assim dizer, a soma das diferenças de uma sequência é um termo da 
sequência , e I enumera o primeiro por xdx =� , e o último por dxxd =� ”. De facto, 
num manuscrito escrito depois de 1684, Leibniz diz que o seu método de infinitésimos 
tornou-se bastante conhecido como o Cálculo das Diferenças. 
 A primeira publicação de Leibniz sobre o Cálculo é em Acta Eruditorum de
1684. Neste trabalho, o significado de dx e dy ainda não é claro. Leibniz considera dx 
como uma qualquer quantidade arbitrária e dy , observando a figura 3, é definida por: 
 
subtg
y
dx
dy
=
Esta definição de dy prevê uma expressão para a subtangente; assim a definição 
não está completa. Para além disto, a definição de tangente de Leibniz como sendo uma 
linha que junta dois pontos infinitamente próximos, não é satisfatória. 
 Leibniz também expõe neste trabalho as leis que ele obteve em 1667 para o 
diferencial da soma, produto e cociente de duas funções, e a regra para encontrar ( )nxd .
Neste último caso, Leibniz esboça a prova para o integral quando n é positivo, mas diz 
que esta regra é válida para qualquer valor de n .Para as outras regras Leibniz não dá 
quaisquer provas. 
 No trabalho de 1686, Leibniz expôs os diferenciais das funções logarítmica e 
exponencial, e reconheceu as funções exponenciais como uma categoria. Numa carta a 
John Bernoulli de 1697, Leibniz fez a diferenciação do sinal integral relativamente ao 
parâmetro. Leibniz também defendia a ideia que muitos integrais podiam ser calculados 
reduzindo-os a formas conhecidas, e fala da preparação de uma tabela de integrais. Ele 
tentou definir os diferenciais de ordem mais elevada tais como ( )ydddy 2 e ( )yddddy 3 ,
mas as suas definições não foram satisfatórias. Apesar de não ter sido bem sucedido, 
25
Leibniz também tentou encontrar um significado para yd � onde � corresponde a 
qualquer número real. 
 Relativamente à notação, Leibniz trabalhou arduamente para alcançar o ideal. Os 
seus dx , dy e 
dx
dy são, sem dúvida, exemplos da sua excepcional notação. Ele 
introduziu a notação para xlog , nd para o diferencial de ordem n , entre outros 
exemplos. 
 Em geral, o trabalho de Leibniz, apesar de rico em sugestões e profundo, era tão 
incompleto e fragmentário que tornava-se quase ininteligível. Felizmente, os irmãos 
Bernoulli, James e John, que eram demasiado impressionados e agitados com as ideias 
de Leibniz, elaboraram os seus trabalhos imprecisos e contribuíram grandemente para 
novos desenvolvimentos. Leibniz concordava, portanto, que o Cálculo pertencia tanto 
aos irmãos Bernoulli como a si próprio. 
 
26
Comparação entre o trabalho de Newton e de Leibniz 
 
Newton e Leibniz têm que ser elogiados por verem o Cálculo como um método 
novo e geral, aplicável a muitos tipos de funções. Após o seu trabalho, o Cálculo não foi 
mais considerado um apêndice e uma extensão da geometria Grega, mas sim uma 
ciência independente capaz de tratar uma vasta gama de problemas. 
 Ambos também transformaram o Cálculo numa função aritmética, ou seja, 
baseado em conceitos algébricos. As técnicas e os exemplos algébricos de Newton e 
Leibniz, não só se tornaram numa ferramenta mais real do que a geometria, como 
também permitiram o tratamento de problemas físicos e geométricos. Uma grande 
mudança desde o início até ao final do século dezassete,foi a transformação do Cálculo 
numa função da álgebra. Isto é comparável com o que Vieta fez com a teoria das 
equações, e Descartes e Fermat com a geometria. 
 A terceira contribuição vital que Leibniz e Newton partilharam, foi a 
simplificação à anti-diferenciação, a determinação de áreas, volumes, e outros 
problemas que eram anteriormente calculados por meio de somas. Portanto, os quatro 
principais problemas – média, tangentes, máxima e mínima, e soma - foram reduzidos 
a diferenciações e anti-diferenciações. 
 Com Newton, a obtenção dum fluente a partir da sua fluxão, corresponde à 
primitivação – integral indefinido – e assim calcula áreas e volumes. Para Leibniz, o 
integral é uma soma infinita de diferenciais – integral definido –, que acaba também, 
por ser calculado por anti-diferenciação. Ambos assentam, assim, na relação inversa 
entre problemas de “quadratura” e de “tangente”. 
 A principal distinção entre o trabalho destes dois homens é que Newton utilizava 
os incrementos infinitamente pequenos em x e em y , como forma de determinar o 
fluxo, ou seja, a derivada. Era essencialmente o limite da razão dos incrementos, à 
medida que eles se iam tornando cada vez mais pequenos. Por outro lado, Leibniz lidava 
directamente com incrementos infinitamente pequenos em x e em y , ou seja, com 
diferenciais, e determinou a relação entre eles. Esta diferença reflecte a orientação para 
a Física de Newton , na qual um conceito como a velocidade é central, e demonstra 
também a preocupação filosófica de Leibniz com as partículas fixas, que ele chamava 
de mónadas. Como consequência, Newton resolveu os problemas da área e volume 
pensando inteiramente em termos da taxa de variação. Para ele a diferenciação era 
básica; este processo e o seu inverso resolvia todos os problemas do Cálculo, e de facto 
a utilização da soma para obter uma área, um volume, ou um centro de gravidade, 
raramente aparece no seu trabalho. Leibniz, por outro lado, pensou primeiramente em 
termos de soma, apesar de estas somas serem, obviamente, avaliadas pela anti-
diferenciação. 
 Uma terceira distinção entre o trabalho destes dois homens, está no facto de 
Newton utilizar livremente séries para representar funções; Leibniz preferia a forma 
fechada. Numa carta a Leibniz em 1676, Newton enfatizava o uso de séries, até mesmo 
para resolver simples equações diferenciais. Apesar de Leibniz utilizar série infinitas, 
ele respondeu que o verdadeiro objectivo deveria ser a obtenção de resultados em 
termos finitos, utilizando funções trigonométricas e logarítmicas, onde as funções 
algébricas não serviam o mesmo propósito. Ele relembrou a Newton a afirmação de 
James Gregory, de que a rectificação de uma elipse e de uma hipérbole, não podiam ser 
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reduzidas às funções logarítmicas e circulares, e desafiou Newton a determinar, através 
do uso de séries se Gregory estava ou não correcto. Newton respondeu que através do 
uso de séries, ele podia decidir se algumas integrações podiam ser alcançadas em termos 
finitos, mas não adiantou qualquer critério. Novamente numa carta de 1712, a John 
Bernoulli, Leibniz contrariou a expansão de funções em série, e afirmou que o Cálculo 
devia servir para reduzir os seus resultados a quadraturas (integrações), sempre que 
necessário, quadraturas envolvendo funções transcendentes. 
 Existem também diferenças na sua forma de trabalhar. Newton era empírico, 
concreto e cauteloso, enquanto que Leibniz, era especulativo, dado a generalizações e 
arrojado. Leibniz ocupava-se mais com fórmulas operacionais para produzir um cálculo 
em termos gerais. Por exemplo, regras para o diferencial de um produto ou cociente de 
funções, a sua regra para ( )uvd n (sendo u e v funções de x ), e uma tabela de 
integrais. Foi Leibniz quem estabeleceu critérios para o Cálculo, o sistema de regras e as 
fórmulas. Newton não se incomodou a formular regras, até mesmo quando podia ter 
generalizado os seus resultados concretos. Ele sabia que se uvz = , então uvvuz ��� += ,
mas não evidenciou este resultado geral. Apesar de Newton ter iniciado muito métodos, 
não os reforçou. As suas magníficas aplicações do Cálculo não apenas demonstraram o 
seu valor, mas, mais do que o trabalho de Leibniz, estimularam e determinaram quase 
toda a tendência da análise do século XVIII. Newton e Leibniz também eram diferentes 
na sua preocupação com os exemplos. Newton não dava importância a este assunto, 
enquanto que Leibniz passava dias a seleccionar um exemplo sugestivo. 
 
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A Controvérsia sobre a Prioridade 
 
Nada do trabalho de Newton sobre o Cálculo foi publicado de 1687, apesar de 
ele ter comunicado os seus resultados a amigos durante os anos de 1665 a 1687. Em 
particular, ele enviou o seu tratado De Analysi em 1669 a Barrow, que o enviou por sua 
vez a John Collins. Leibniz visitou Paris em 1672 e Londres em 1673, e comunicou com 
algumas pessoas que conheciam o trabalho de Newton. Contudo, não publicou os seus 
trabalhos sobre o Cálculo até 1684. Apesar de se levantar aqui a questão de Leibniz 
conhecer ou não os detalhes do trabalho de Newton, Leibniz foi acusado de plágio. 
 Contudo, as investigações efectuadas muito tempo após a sua morte mostraram 
que Leibniz foi um inventor independente das maiores e mais importante ideias sobre o 
Cálculo, apesar de Newton ter desenvolvido também muito trabalho antes de Leibniz. 
Ambos devem muito a Barrow, apesar de que Barrow utilizava métodos geométricos 
quase de forma exclusiva. O significado da controvérsia não está em apurar quem era o 
vencedor, mas sim no facto de os matemáticos serem tendenciosos. Os matemáticos 
continentais, em particular os irmãos Bernoulli, tendiam para o lado de Leibniz 
enquanto que os matemáticos ingleses defendiam Newton. Os dois grupos tornaram-se 
desagradáveis e até amargos entre si. John Bernoulli foi tão longe como ridicularizar e 
caluniar os matemáticos ingleses. 
 Como resultado, os matemáticos ingleses e os continentais cessaram a sua troca 
de ideias. Porque o maior trabalho de Newton, e a sua primeira publicação sobre o 
Cálculo, Principia, utilizou métodos geométricos, os ingleses continuaram a utilizar 
principalmente a geometria durante pelo menos cem anos após a sua morte. Os 
continentais tomaram os métodos analíticos de Leibniz expandindo-os e melhorando-os. 
Isto provou ser mais efectivo; pois não apenas os matemáticos ingleses ficaram para 
trás, como também os matemáticos continentais se viram privados de dar a sua 
contribuição acerca do trabalho que as mentes brilhantes haviam desenvolvido. 
 Carl B. Boyer, no seu livro A History of Mathematics, afirma: “Como 
consequência da infeliz disputa entre Newton e Leibniz, os matemáticos britânicos 
ficaram de certa forma alienados dos trabalhos do continente (...) e o desenvolvimento 
da Matemática não conseguiu acompanhar o rápido progresso dos outros países da 
Europa ao longo do século XVIII”.