Vetores - Aula

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Sumário
Aula 1: Vetores Geométricos 9
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Transitando pelas definições . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Medida de um segmento . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Segmentos eqüipolentes . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1 Propriedades da eqüipolência . . . . . . . . 14
1.5 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Mais algumas definições . . . . . . . . . . . 15
1.6 Operações com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.1 Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.2 Propriedades da adição . . . . . . . . . . . 17
1.6.3 Diferença de vetores . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.4 Multiplicação por um número real . . . . . 18
1.6.5 Propriedades da multiplicação por um nú-
mero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Ângulos de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.10 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 24
1.11 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Aula 2: Os Espaços Vetoriais 27
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Decomposição de um vetor no Plano (R2) . . . . . 28
2.3 Igualdade e Operações . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.1 Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.2 Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Decomposição do Espaço (R3) . . . . . . . . . . . . 36
2.4.1 Igualdade e Operações . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Aula 3: Produto de Vetores - Parte I 43
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.1 Propriedades do Produto Interno . . . . . . 46
3.2.2 Projeção de um vetor . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Aula 4: Produto de Vetores - Parte II 57
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 Propriedades do produto vetorial . . . . . . . . . . 61
4.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.6 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 73
4.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Aula 5: A Reta 75
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2 Equação vetorial da reta . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3 Equações paramétricas da reta . . . . . . . . . . . 79
5.4 Reta definida por dois pontos . . . . . . . . . . . . 79
5.5 Equações simétricas da reta . . . . . . . . . . . . . 81
5.6 Equações reduzidas da reta . . . . . . . . . . . . . 82
5.7 Paralelismo de retas relativo aos planos e eixos co-
ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.7.1 Retas paralelas aos planos coordenados . . . 83
5.7.2 Retas paralelas aos eixos coordenados . . . 84
5.8 Mais algumas propriedades . . . . . . . . . . . . . 85
5.9 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.10 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.11 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 92
5.12 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Aula 6: O Plano 93
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2 Equação geral do plano . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3 Equação vetorial e Equações paramétricas do plano 96
6.4 Mais algumas propriedades . . . . . . . . . . . . . 98
6.4.1 Interseção (entre planos e entre retas e planos)101
6.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.7 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 104
6.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Aula 7: Distâncias 105
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.2 Distância de ponto à reta . . . . . . . . . . . . . . 106
7.3 Distância de ponto a plano . . . . . . . . . . . . . 108
7.3.1 Distâncias de ponto à reta no plano . . . . 110
7.4 Distância entre duas retas . . . . . . . . . . . . . . 112
7.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.7 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 115
7.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Aula 8: Cônicas - Parte I 117
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.2 Um pouco de História . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.3 Conceituando as cônicas . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.4 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.5 Translação dos eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.8 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 133
8.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Aula 9: Cônicas - Parte II 135
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.2 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.3 Equação reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.4 Translação da elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.5 Equações paramétricas da elipse . . . . . . . . . . . 144
9.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.8 Comentário sobre as Atividades . . . . . . . . . . . 148
9.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Aula 10: Cônicas - Parte III 151
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.2 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.3 Equações reduzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
10.4 Translações de uma hipérbole . . . . . . . . . . . . 162
10.5 Equações paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.8 Comentário sobre as Atividades . . . . . . . . . . . 168
10.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
1
AULA
1
LIVRO
Vetores Geométricos
META
Introduzir a definição de vetor.
OBJETIVOS
Identificar vetores no plano e no
espaço e suas propriedades. Efetuar
operações com vetores (adição, dife-
rença e multiplicação por escalar).
Vetores Geométricos
1.1 Introdução
Seja bem-vindo, caro aluno! Este é o nosso primeiro encontro, entre
tantos que estão por vir. A partir de agora, você vai conhecer um
pouco sobre Geometria Analítica.
Nascida das diversas necessidades das técnicas da agrimensura
e da arquitetura, a Geometria Clássica, muito estudada por diver-
sos intelectuais, toma uma nova roupagem. A Geometria Analítica,
por sua vez, baseia-se na idéia de representar os pontos da reta por
números reais, os pontos do plano por pares ordenados de núme-
ros e os pontos no espaço por ternos ordenados de números reais.
Nesta concepção, as linhas e as superfícies, no plano e no espaço,
são descritas por meio de equações, permitindo um tratamento al-
gébrico de questões de natureza geométrica e, reciprocamente, umtratamento geométrico de algumas situações algébricas.
Por volta de 1637, a criação da Geometria Analítica deve-se a
dois matemáticos franceses, Pierre de Fermat (1601-1665) e René
Descartes (1596-1650), simultaneamente. E o mais curioso nesta
história é que ambos eram graduados em Direito, nenhum deles
matemático profissional. Esta interação entre Geometria e Álge-
bra foi responsável por diversas descobertas na Matemática e suas
aplicações.
Neste nosso primeiro encontro, você vai conhecer um dos ele-
mentos principais da Geometria Analítica: os vetores, seu conceito
geométrico, a definição das operações que podem ocorrer entre eles,
além de suas propriedades. Também vai compreender que muitas
grandezas físicas, como velocidade, força, deslocamento e impulso
precisam da magnitude, da direção e do sentido para serem com-
10
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
1
AULA
pletamente identificadas. Essas grandezas são chamadas grandezas
vetoriais ou simplesmente vetores.
Será que deu para aguçar um pouquinho a sua curiosidade?
Quer saber mais? Então venha conosco para a nossa primeira
etapa.
1.2 Transitando pelas definições
Esta aula está segmentada em duas partes. Nesta primeira, vamos
apresentar para você, caro aluno, algumas definições que serão
fundamentais para a compreensão da etapa seguinte.
Definição 1.1. [Reta orientada - eixo] Uma reta r é orientada
quando se fixa nela um sentido de percurso considerado positivo
e indicado por uma seta. O sentido oposto é negativo. Uma reta
orientada é denominada eixo.
Definição 1.2. [Segmento orientado] Um segmento orientado
é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado
origem do segmento e o segundo, extremidade.
O segmento orientado de origem A e extremidade B será re-
presentado por AB e geometricamente indicado por uma seta que
caracteriza de forma visual o sentido do segmento (ver figura 1.2).
Definição 1.3. [Segmento nulo e oposto]
11
Vetores Geométricos
Figura 1.1: Segmento orientado AB
1. Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com
a origem.
2. Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA
oposto de AB.
1.3 Medida de um segmento
Fixando uma unidade de comprimento, podemos associar a cada
segmento orientado um número real não negativo. A medida do
segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O
comprimento do segmento AB é indicado por AB.
Figura 1.2: Nesta ilustração o segmento orientado u representa o
comprimento unitário.
Observação 1. (a) Os segmentos nulos têm comprimentos igual
a zero.
(b) AB = BA.
12
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
1
AULA
Dois segmentos orientados não nulos, AB e CD, têm a mesma
direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas ou coin-
cidentes.
Figura 1.3: Segmentos orien-
tados de mesma direção.
Figura 1.4: Segmentos orien-
tados opostos.
As próximas figuras ilustram segmentos orientados que são
coincidentes (isto é , ambos os segmentos estão na mesma reta).
Figura 1.5: Figura 1.6:
1.4 Segmentos eqüipolentes
Definição 1.4. Dois segmentos orientados AB e CD são eqüi-
polentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o
mesmo comprimento (veja nas figuras (1.7) e (1.8)). Sempre que
os segmentos AB e CD forem eqüipolentes, serão representados
por AB ∼ CD.
Para que o segmento AB seja eqüipolente a CD (na figura
13
Vetores Geométricos
Figura 1.7:
Figura 1.8: Neste caso, os seg-
mentos AB e CD não perten-
cem à mesma reta.
(1.8)), é necessário que AB//CD e ABCD formem um paralelo-
gramo.
1.4.1 Propriedades da eqüipolência
Agora que você já sabe o que é um segmento eqüipolente, vamos
apresentar-lhe as suas propriedades.
(i) AB ∼ AB (reflexiva).
(ii) Se AB ∼ CD, então CD ∼ AB (simétrica).
(iii) Se AB ∼ CD e CD ∼ EF , então AB ∼ EF (transitiva).
(iv) Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe um
único ponto D, tal que AB ∼ CD.
1.5 Vetores
Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de
todos os segmentos orientados eqüipolentes a AB. Esse conjunto
é indicado por ~v .
14
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
1
AULA
O vetor determinado por AB é denotado por:
−−→
AB ou B − A
ou ~v.
Observação 2. Qualquer vetor
−−→
AB é um representante do conjunto
vetores desde que tenha a mesma direção, mesmo sentido e com-
primento de AB.
Indicamos o módulo (ou magnitude) de ~v por |~v|.
1.5.1 Mais algumas definições
Vetores iguais - Dois vetores
−−→
AB e
−−→
CD são iguais se, e somente
se, AB ∼ CD.
Vetor nulo - Os segmentos nulos, por serem eqüipolentes entre
si, determinam um único vetor, chamado de vetor nulo ou
vetor zero, indicado por
~0.
Vetores opostos - Dado ~v =
−−→
AB, o vetor
−−→
BA é o oposto de
−−→
AB
e o indicamos por −−−→AB ou −~v.
Vetor unitário - ~v é unitário se |~v| = 1.
Versor - O versor de um vetor não nulo ~v é o vetor unitário de
mesma direção e mesmo sentido de ~v. (Veja a figura (1.9).)
15
Vetores Geométricos
Figura 1.9: ~u1 e ~u2 são uni-
tários, mas ~u1 tem a mesma
direção de ~v. Portanto, ~u1 é
versor de ~v.
Figura 1.10: Neste caso, ~u, ~v
e ~w pertencem ao plano pi.
Figura 1.11: ~u, ~v e ~w não são
coplanares. Figura 1.12: ~s = ~u+ ~v
Vetores colineares - ~u e ~v são considerados vetores colineares
se tiverem a mesma direção. Em outras palavras, ~u e ~v são
colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes
à mesma reta ou em retas paralelas.
Vetores coplanares - se os vetores não nulos ~u,~v e ~w têm re-
presentantes AB, CD e EF pertencentes ao mesmo plano,
dizemos que são coplanares. (Veja a figura (1.10)).
16
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
1
AULA
1.6 Operações com vetores
Agora que você já está mais entrosado com o conteúdo de nossa
aula, pois já conheceu alguns conceitos importantes, podemos avan-
çar um pouquinho mais. Vamos apresentar para você, nesta se-
gunda parte de nossa aula, os mecanismos para efetuar as opera-
ções com vetores.
1.6.1 Adição
Definição 1.5. Sejam os vetores ~u e ~v representados pelos seg-
mentos orientados AB e BC. Os pontos A e C determinam um
vetor ~s, que é a soma dos vetores ~u e ~v, ou seja,
~s = ~u+ ~v.
Veja a figura (1.13).
Figura 1.13: ~u = ~AB, ~v = ~BC e ~s = ~AC.
1.6.2 Propriedades da adição
Sejam ~u, ~v e ~w vetores quaisquer, valham:
Comutativa - ~u+ ~v = ~v + ~u
Associativa - (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w)
17
Vetores Geométricos
Elemento Neutro - Existe um elemento
~0, tal que
~v +~0 = ~0 + ~v = ~v, ∀~v.
Inverso Aditivo - Para todo vetor ~v existe um único vetor −~v
(vetor oposto de ~v), tal que
~v + (−~v) = (−~v) + ~v = ~0.
1.6.3 Diferença de vetores
Definição 1.6. Dizemos que
~d é a diferença de dois vetores ~u e
~v se ~d = ~u− ~v, ou seja,
~d = ~u+ (−~v).
Nas figuras (1.14) e (1.15) estão representados os vetores ~u e ~v,
respectivamente, pelos segmentos orientados AB e AC. ABCD é
um paralelogramo cujas diagonais AD e BC representam, respec-
tivamente, ~s e ~d (soma e diferença).
Figura 1.14: ~s = ~u+ ~v Figura 1.15: c
1.6.4 Multiplicação por um número real
Definição 1.7. Dados um vetor ~v 6= ~0 e um número real k 6= 0,
chamamos de produto do escalar k pelo vetor ~v o vetor ~p = k~v, tal
que:
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Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
1
AULA
1. [Módulo] |~p| = |k~v| = |k||~v|;
2. [Direção] a mesma de ~v;
3. [Sentido]
 o mesmo de ~v se k > 0,
o contrário de ~v se k < 0.
• Se k = 0 ou ~v = ~0, o produto é ~0.
• Seja um vetor k~v, em que ~v 6= ~0. Fazendo com que k varie
sobre R (o conjunto dos números reais), obtemos os infini-
tos vetores colineares a ~v (além de serem também colineares
entresi). Por outro lado, para quaisquer dois vetores ~u e ~v,
colineares, sempre existe um k ∈ R, tal que
~u = k ~v.
• O versor de ~v 6= ~0 é o vetor unitário ~u = 1|~v| ~v ou ~u =
~v
|~v| .
Veja que
|~u| =
∣∣∣∣ ~v|~v|
∣∣∣∣ = |~v||~v| = 1,
para todo ~v 6= ~0. Assim, temos que ~v = |~v| ~u, ou seja, todo vetor é
o produto de seu módulo pelo vetor unitário de mesma direção e
mesmo sentido que ~v.
19
Vetores Geométricos
1.6.5 Propriedades da multiplicação por um número
real
Sejam ~u e ~v vetores quaisquer e a e b números reais (também
conhecidos como escalares). Assim, temos as seguintes proprieda-
des:
Associativa: a(b~v) = (ab)~v;
Identidade: 1~v = ~v;
Distributividade em relação aos escalares: (a + b)~v =
a~v + b~v;
Distributividade em relação aos vetores: a(~v+~u) = a~v+
a~u.
É bom que você atente para os exemplos que lhe apresentamos,
pois são fundamentais para auxiliá-lo na resolução dos exercícios
ao final desta aula.
Exemplo 1.6.1. Dados os vetores ~u, ~v e ~w, como na figura a
seguir, vamos construir o vetor 2~u− 3~v + 1
2
~w = ~s.
20
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
1
AULA
Figura 1.16: Solução, ~s =
2~u− 3~v + 1
2
~w.
1.7 Ângulos de dois vetores
Definição 1.8. O ângulo de dois vetores ~u e ~v não nulos é o
ângulo θ formado pelas semi-retas OA e OB, como na figura (1.8),
e tal que 0 ≤ θ ≤ pi.
• Se θ = pi, ~u e ~v têm a mesma direção e sentidos contrários.
• Se θ = 0, ~u e ~v têm a mesma direção e mesmo sentido.
21
Vetores Geométricos
• Se θ = pi
2
, ~u e ~v são ortogonais (isto é, são perpendiculares),
e denotamos por ~u⊥~v. Neste caso, temos que |~u + ~v|2 =
|~u|2 + |~v|2.
• O vetor ~0 é considerado ortogonal a qualquer vetor.
• Se ~u é ortogonal a ~v e m um número real qualquer, ~u é
ortogonal a m~v.
1.8 Resumo
Nesta aula, você aprendeu que o segmento orientado no plano re-
presenta um objeto geométrico: o vetor, que por sua vez pode ser
representado algebricamente e, como conseqüência, possibilita de-
finir operações como adição, diferença e produto por um escalar.
22
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
1
AULA
Além disso, você aprendeu que existe um ângulo entre dois vetores,
ainda que suas extremidades não coincidam.
1.9 Atividades
1. Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações a
seguir.
(a) Se ~u = ~v, então |~u| = |~v|.
(b) Se |~u| = |~v|, então ~u = ~v.
(c) Se ~u ‖ ~v, então ~u = ~v.
(d) Se ~u = ~v, então ~u ‖ ~v.
(e) Se |~w| = |~u|+ |~v|, então ~u ~v e ~w são paralelos.
(f) Se
−−→
AB =
−−→
DC, então ABCD (vértices nesta ordem) é
paralelogramo.
2. Dados os vetores ~u e ~v da figura, mostrar um representante
do vetor através de um gráfico: (a) ~u− ~v
(b) ~v − ~u
(c) −~v − 2~u
(d) 2~u− 3~v
3. Determine o vetor ~x em função de ~u e ~v nas figuras a seguir.
23
Vetores Geométricos
(a) (b) (c)
4. Dados três pontos A, B, C não-colineares, como na figura a
seguir, representar o vetor ~x nos seguintes casos:
(a) ~x =
−−→
BA+ 2
−−→
BC;
(b) ~x =
1
2
−→
CA+ 2
−−→
BA;
(c) ~x =
−→
AC +
−−→
CB −−−→AB.
5. Sabendo que o ângulo entre os vetores ~u e ~v é de 30o, deter-
minar o ângulo formado pelos vetores a seguir.
(a) ~u e −~v (b) −~u e 2~v (c) −~u e −~v (b) 3~u e 5~v
1.10 Comentário das atividades
Se você conseguiu fazer a atividade 1, então entendeu os rudi-
mentos dos conceitos de módulo e vetores paralelos. E quanto às
atividades 2,3 e 4 ? Conseguiu resolvê-las? Então já entendeu a
idéia de soma, diferença de vetores, além de multiplicação por um
escalar. E a atividade 5? Se você conseguiu resolvê-la, ajuda a
fixar a idéia do ângulo entre vetores. Se ainda tiver dificuldades,
volte e reveja com cuidado os conceitos apresentados na aula. Não
esqueça que há tutores que o ajudarão a eliminar as suas dúvidas.
Desde já, lembre-se de discutir os conteúdos com seus colegas.
24
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
1
AULA
1.11 Referências
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo, Ma-
kron Books, 1987.
LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de
Janeiro, IMPA, 2005.
BOLDRINI, José Luiz, 'Álgebra Linear . São Paulo, Harbra, 1980.
25
2
AULA
1
LIVRO
Os Espaços Vetoriais
META
Promover a identificação de vetores
no plano e no espaço e suas propri-
edades.
OBJETIVOS
Decompor um dado vetor relativa-
mente a uma base de vetores.
Estabelecer a igualdade entre veto-
res.
Reconhecer propriedades entre
vetores, como o paralelismo.
PRÉ-REQUISITOS
Para seguir avante nesta aula, é ne-
cessário que você tenha compreen-
dido os conceitos apresentados na
aula anterior.
Os Espaços Vetoriais
2.1 Introdução
Olá! Que bom encontrá-lo novamente! Espero que tenha gostado
da nossa primeira aula. Nela definimos o objeto geométrico, vetor
e algumas de suas propriedades.
Nesta aula, iremos identificar e localizar pontos no plano (bi-
dimensional) e no espaço (tridimensional). Veremos que é possí-
vel decompor um dado vetor (no plano ou no espaço) com uma
combinação (linear) de outros vetores. Verificaremos também que
propriedades algébricas inerentes às operações entre vetores acarre-
tam em propriedades geométricas sobre esses, como por exemplo, a
existência de um elemento neutro aditivo que implica um elemento
neutro na soma de vetores, a saber, o vetor nulo.
2.2 Decomposição de um vetor no Plano (R2)
Dados dois vetores não colineares (ver Aula 1) ~v1 e ~v2, qualquer
vetor ~v pode ser decomposto dependendo de ~v1 e ~v2. Para isso,
devemos encontrar a1, a2 ∈ R, tal que
~v = a1 ~v1 + a2 ~v2 (2.1)
Exemplo 2.2.1. Sejam ~v1 e ~v2 vetores não colineares e ~v qualquer
vetor no mesmo plano de ~v1 e ~v2.
28
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
2
AULA
Exemplo 2.2.2. No caso em que o vetor ~v tiver a mesma direção
de ~v1 ou de ~v2, ~v não é a diagonal do paralelogramo e um dos
números reais a1 ou a2 é nulo.
Neste caso, o número a1 = 0, e a partir de ~v = a1 ~v1 + a2 ~v2,
temos que
~v = 0 · ~v1 + a2 ~v2 ⇒ ~v = a2 ~v2.
Definição 2.9.
1. Dizemos que ~v é a combinação linear de ~v1 e ~v2 sempre
que ~v for representado como em (2.1).
2. O par de vetores ~v1 e ~v2 não colineares é chamado de base
no plano.
3. Os números reais a1 e a2 de (2.1) são chamados componen-
tes ou coordenadas de ~v em relação à base {~v1, ~v2}.
Por conveniência, sempre tomamos as bases ortonormais.
Definição 2.10. Uma base {~e1, ~e2} é considerada ortonormal se
os seus vetores forem ortogonais (isto é , ~e1 ⊥ ~e2) e unitários (ou
seja, |~e1| = |~e2| = 1).
Observação 3. Embora tenhamos definido uma base ortonormal
como um conjunto, iremos pensá-la como um conjunto ordenado,
29
Os Espaços Vetoriais
isto é, numa base β = {~e1, ~e2}, temos que o primeiro elemento da
base é ~e1 e o segundo, ~e2.
Exemplo 2.2.3. Considere a base ortonormal ilustrada na figura(2.17),
no plano xOy, e um vetor ~v cujas componentes são 2 e 4.
Figura 2.17: ~v2 e ~v2 são ortonormais.
Notação 1. Consideraremos, de agora em diante, que os vetores
com extremidades na origem e nos pontos (1,0) e (0,1) serão re-
presentados por
~i e ~j respectivamente. Isto é,
(1, 0) =~i e (0, 1) = ~j.
Tendo uma base fixada, podemos fazer uma correspondência
biunívoca entre os pares ordenados (x, y) do plano (R2) e os veto-
res. Desta forma,
~v = (x, y)
é a expressão analítica de ~v. Assim, nomeamos x como abcissa
e y como ordenada.
30
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
2
AULA
Figura 2.18:
~i e ~j como base
para o plano R2.
Figura 2.19: Neste caso, o ve-
tor arbitrário ~v = x~i+ y~j, em
que x, y ∈ R, são as compo-
nentes de ~v em relação à base{~i,~j}.
Exemplo 2.2.4. Seja ~v = 2~i + (−3)~j, podemos representar por
~v = (2,−3) ∈ R2. Perceba que,
2~i = (2, 0),
(−3)~j = (0,−3) e assim
~v = 2~i+ (−3)~j = (2 + 0, 0 + (−3)) = (2,−3)
2.3 Igualdade e Operações
2.3.1 Igualdade
Os vetores ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2) são iguais se, e somente se,
x1 = x2 e y1 = y2, e assim, ~u = ~v.
Exemplo 2.3.1. Os vetores ~u = (2, 1) e ~v = (2, 1) são iguais,
porém, ~p = (2, 1) e ~q = (1, 2) não o são.
2.3.2 Operações
Sejam os vetores ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2) e λ ∈ R, define-se:
31
Os Espaços Vetoriais
1. ~u+ ~v = (x1 + x2, y1 + y2);
2. λ~u = (λx1, λy1).
Exemplo 2.3.2. Sejam os vetores ~u = (2,−1) e ~q = (1, 3), temos
que
~u+ ~q = (2 + 1,−1 + 3) = (3, 2)
e
3~u = (3 · 2, 3 · (−1)) = (6,−3).
Figura 2.20: ~u+ ~q = (3, 2). Figura 2.21: 3~u = (6,−3).
Com base nas operações definidas anteriormente, constatamos
que o conjunto dos vetores tem as propriedades que apresentaremos
a seguir.
Teorema 2.1. Para quaisquer vetores ~u, ~v e ~w, tem-se
A1) ~u+ ~v = ~v + ~u;
A2) (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w);
A3) ~u+~0 = ~u;
A4) ~u+ ~(−u) = ~0.
e para quaisquer ~u e ~v e α, β ∈ R, tem-se
32
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
2
AULA
P1) α(β~u) = (αβ)~u;
P2) (α+ β)~u = α~u+ β~u;
P3) α(~u+ ~v) = α~u+ α~v;
P4) 1~v = ~v.
Observação 4. O vetor
~0 denota o vetor nulo, isto é, ~0 = (0, 0).
Demonstração. É importante que você acompanhe o nosso racio-
cínio, pois vamos verificar a seguir algumas das propriedades que
já apresentamos. Dados ~u = (x1, y1), ~v = (x2, y2) e ~w = (x3, y3),
temos que:
• em (A1),
~u+ ~v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2).
Mas como sabemos que as coordenadas de ambos os vetores
são números reais, e como os reais são comutativos em relação
à soma, ou seja, x1 + x2 = x2 + x1 e y1 + y2 = y2 + y1, assim
~u+ ~v = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1)
= (x2, y2) + (x1, y1) = ~v + ~u.
• em (A4), iremos supor ~w = (a1, a2), tal que
~0 = ~u+ ~w = (x1, y1) + (a1, a2) = (x1 + a1, y1 + a2)
Deste modo, ~u+ ~w = ~0⇔ (x1 +a1, y1 +a2) = (0, 0), e assim,
x1 + a1 = 0 e y1 + a2 = 0⇒ a1 = −x1 e a2 = −y1,
portanto, ~w = (−x1,−y1) = −~u.
33
Os Espaços Vetoriais
• já em (P2), sejam α, β ∈ R, tal que
(α+ β)~u = (α+ β) · (x1, y1) = ((α+ β)x1, (α+ β)y1) .
Mas sabemos que os números reais são comutativos em rela-
ção à soma e à multiplição, como também têm a propriedade
da distributividade,
((α+ β)x1, (α+ β)y1) = (αx1 + βx1, αy1 + βy1)
= (αx1, αy1) + (βx1, βy1)
e assim,
(α+ β)~u = (αx1, αy1) + (βx1, βy1)
= α(x1, y1) + β(x1, y1) = α~u+ β~u.
Agora que você acompanhou o nosso raciocínio e compreendeu
todo o desenvolvimento das propriedades demonstradas, deixamos
para você a atividade a seguir.
Exercício 2.3.1. Mostre cada um dos itens das propriedades que
não foram demonstradas.
Exemplo 2.3.3. Dados os vetores ~u = (3,−1) e ~v = (−1, 2), na
equação
4(~u− ~v) + 1
3
~w = 2~u− ~w
pretendemos determinar o vetor ~w. Para isso, faremos uso das
propriedades das operações entre vetores. Façamos
4(~u− ~v) + 1
3
~w = 2~u− ~w ⇒
1
3
~w + ~w = 2~u− 4(~u− ~v)⇒
4
3
~w = −2~u+ 4~v
34
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
2
AULA
então, temos
4
3
~w = −2~u+ 4~v ⇒
4~w = −6~u+ 12~v ⇒
~w =
−6
4
~u+
12
4
~v ⇒
~w =
−3
2
~u+ 3~v.
Fazendo a substituição, chegamos a
~w =
−3
2
~u+ 3~v ⇒
~w =
−3
2
(3,−1) + 3(−1, 2)⇒
~w =
(−9
2
,
3
2
)
+ (−3, 6)
ou podemos escrever assim: ~w =
(−9
2
− 3, 3
2
+ 6
)
=
(−15
2
,
15
2
)
,
ou se preferir, desta forma:
~w =
−15
2
(1,−1)
.
Definição 2.11 (Vetor Definido por Dois Pontos). Consi-
dere o vetor
−−→
AB de origem no ponto A = (x1, y1) e extremidade
em B = (x2, y2). Como na figura (2.22), as coordenadas de
−−→
AB
são obtidas por
−−→
AB = B −A, assim
−−→
AB = (x2 − x1, y2 − y1).
Exemplo 2.3.4. Na figura (2.24), observamos que os segmentos
orientados AB, CD e OP representam o mesmo vetor (3, 1), pois
−−→
AB = B −A = (1, 4)− (−2, 3) = (3, 1)
−−→
CD = D − C = (4, 3)− (1, 2) = (3, 1)
−−→
OP = P −O = (3, 1)− (0, 0) = (3, 1)
35
Os Espaços Vetoriais
Figura 2.22:
~AB = B −A
Figura 2.23:
~AB = (x2 −
x1, y2 − y1)
Figura 2.24: Os segmentos orientados AB, CD e OP representam
o mesmo vetor (3, 1).
2.4 Decomposição do Espaço (R3)
Nesta segunda etapa de nossa aula, procederemos nossos estudos
de forma análoga à decorrida na seção (2.2), porém, com algumas
adequações necessárias.
Dados três vetores não coplanares ~v1, ~v2 e ~v3, qualquer vetor ~v
pode ser decomposto dependendo de ~v1, ~v2 e ~v3. Para isso, devemos
encontrar a1, a2, a3 ∈ R, tal que
~v = a1 ~v1 + a2 ~v2 + a3 ~v3 (2.1)
36
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
2
AULA
Analogamente ao que ocorre no plano, o vetor ~v é a combinãção
linear dos vetores da base, isto é, sempre existem números reais
a1, a2, a3, tal que a decomposição do espaço seja satisfeita, em que
a1, a2, a3 são as componentes de ~v em relação à base considerada
(neste caso, {~v1, ~v2, ~v3}).
Uma base no espaço é ortonormal se os três vetores forem uni-
tários e, dois a dois, ortogonais. Assim como fizemos para o plano,
iremos adotar uma base entre muitas, como a base canônica re-
presentada por {~i,~j,~k}.
Em alguns livros são
adotados {e1, e2, e3}
em vez de {~i,~j,~k} e
ainda representando o
vetor por uma letra do
alfabeto, v em vez de
~v.
A reta com a direção de
~i é o eixo dos x (das abscissas), a
reta com a direção do vetor
~j é o eixo dos y (das ordenadas) e a
reta com a direção do vetor
~k é o eixo dos z (das cotas). As setas
indicam o sentido positivo de cada eixo. Esses eixos são chamados
de eixos coordenados.
Observação 5. O vetor
~0 denota o vetor nulo, isto é, ~0 = (0, 0, 0).
Cada par de eixos determina um plano coordenado, como ilus-
trado nas figuras (2.25), (2.26) e (2.27).
Notação 2. A cada ponto P no espaço (R3) corresponde uma terna
(x1, y1, z1) de números reais chamados coordenadas de P .
37
Os Espaços Vetoriais
Figura 2.25: plano
xy
Figura 2.26: plano
xz
Figura 2.27: plano
yz
Figura 2.28: P = (x1, y1, z1) Figura 2.29: P = (2, 4, 3)
Observando a figura (2.29), temos:
A = (2, 0, 0) - ponto no eixo dos x quando y = z = 0.
B = (0, 4, 0) - ponto no eixo dos y quando x = z = 0.
C = (0, 0, 3) - ponto no eixo dos z quando x = y = 0.
D = (2, 4, 0) - ponto no plano xy quando z = 0.
E = (0, 4, 3) - ponto no plano yz quando x = 0.
F = (2, 0, 3) - ponto no plano xz quando y = 0.
Seja ~v = x~i+ y~j + z~k, em que x, y e z são as componentes de
~v na base canônica {~i,~j,~k}, como fizemos para vetores no plano.
38
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
2
AULA
Figura 2.30: ~v = x~i+ y~j + z~k
Figura 2.31: ~v = 2~i+ 4~j + 3~k
O conjunto formado por um ponto e por uma base constitui
um sistema referencial.
• O espaço tem três dimensões, ou seja, é tridimensional,
porque qualquer uma de suas bases tem três vetores.
• O plano tem dimensão 2, ou seja, bidimensional.
• A reta tem dimensão 1, ou seja, unidimensional.
Por outro lado, a representação geométrica do conjunto R é a reta
chamada de reta real. O produto cartesiano R×R = R2 (ou ainda,
R2 = {(x, y);x, y ∈ R}) tem como representação geométrica o
plano cartesiano. E por fim, o produto cartesiano R×R×R = R3
(ou ainda, R3 = {(x, y, z);x, y, z ∈ R}) tem como representação
geométrica o espaço cartesiano.
2.4.1 Igualdade e Operações
Definição 2.12 (Igualdade). Dois vetores ~u = (x1, y1, z1) e ~v =
(x2, y2, z2) são iguais se, e somente se, x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2.
39
Os Espaços Vetoriais
Figura 2.32: Reta
real, R.
Figura 2.33: Plano
cartesiano,R2 =
R× R.
Figura 2.34: Espaço
cartesiano, R3 =
R× R× R.
Definição 2.13 (Soma e Produto por um escalar). Dados
os vetores ~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2) e λ ∈ R, define-se:
• ~u+ ~v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
• λ~u = (λx1, λy1, λz1)
Na soma 2~i + 4~j + 3~k, sabendo
que
2~i = 2(1, 0, 0) = (2, 0, 0)
4~j = 4(0, 1, 0) = (0, 4, 0)
3~k = 3(0, 0, 1) = (0, 0, 3)
Observando no plano xy, temos
que:
~v = 2~i+ 4~j + ~k
= (2, 0, 0) + (0, 4, 0)︸ ︷︷ ︸+(0, 0, 3)
vetor tracejato
= (2, 4, 0) + (0, 0, 3)= (2, 4, 3)
Figura 2.35: A soma dos ve-
tores que estão no plano xy,
2~i+ 4~j, é ilustrada pelo vetor
tracejado, enquanto a soma do
vetor tracejado ao vetor 3~k re-
sulta no vetor ~v .
40
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
2
AULA
Definição 2.14 (Vetor Definido por Dois Pontos). Se A =
(x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) são dois pontos quaisquer no espaço,
então
−−→
AB = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)
Notação 3. Em vez de escrever ~v = 2~i+ 3~j+ 4~k, podemos escrever
~v = (2, 3, 4). Assim,
~i−~j = (1,−1, 0)
2~i− 3~j + ~k = (2,−3, 1)
4~k = (0, 0, 4)
em particular, {~i,~j,~k} = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
Definição 2.15 (Condição de Paralelismo de Dois Veto-
res). Se dois vetores ~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2) são coline-
ares (ou paralelos), existe um número λ ∈ R, tal que ~u = λ~v, ou
seja (x1, y1, z1) = λ(x2, y2, z2). Esta é a condição de paralelismo de
dois vetores. Representamos por ~u//~v dois vetores ~u e ~v paralelos.
Exemplo 2.4.1. Determinar os valores de m e n para que sejam
paralelos os vetores ~u = (m+ 1, 3, 2) e ~v = (2, 1, 2n).
Para encontrarmos m e n, iremos usar a condição de parale-
lismo de dois vetores, assim, temos
(m+ 1, 3, 2) = λ(2, 1, 2n),
ou seja, 
m+ 1 = 2λ
3 = λ
2 = 2nλ
.
O que resulta em m = 5 e n = 1/3.
41
Os Espaços Vetoriais
2.5 Resumo
Nesta aula, aprendemos que um vetor pode ser decomposto sob
uma combinação linear de outros vetores. Conhecemos o conceito
de base ortonormal e aprendemos que é possível usá-lo para descre-
ver qualquer vetor num plano (ou espaço) coordenado, como uma
combinação linear dos vetores desta base. Além disso, também
verificamos algumas propriedades das operações entre vetores.
2.6 Atividades
1. Exprima o vetor ~w = (1, 1) como combinação linear de ~u =
(−2, 1) e ~v = (1,−1).
2. Quais são as condições de a e b, números reais, para que os
vetores do plano ~u = (2a+1, 1) e ~v = (3, 2b−3) sejam iguais?
3. Dados os vetores ~u = (2,−4), ~v = (−5, 1) e ~w = (−12, 6),
determinar k1 e k2, tal que ~w = k1~u+ k2~v.
4. Encontre os números λ1 e λ2, tal que ~w = λ1~v1 +λ2~v2, sendo
~v1 = (1,−2, 1), ~v2 = (2, 0, 4) e ~w = (−4,−4,−10).
5. No quadrado ABCD tem-se A = (−1,−3) e B = (5, 6).
Quais são as coordenadas dos vértices C e D?
42
3
AULA
1
LIVRO
Produto de Vetores -
Parte I
META:
Apresentar a definição de produto
escalar (ou produto interno) entre
vetores e suas propriedades.
OBJETIVOS:
Reconhecer e efetuar produtos esca-
lares entre vetores. Interpretar, geo-
metricamente, os produtos vetoriais
entre vetores, como o ângulo entre
vetores, a desigualdade triangular e
a projeção de um vetor sobre outro.
Produto de Vetores - Parte I
3.1 Introdução
Olá, caro aluno! Estamos aqui, novamente, para mais uma de
nossas aulas. Espero que os conteúdos apresentados nas au-
las anteriores tenham sido produtivos para você. Está conse-
guindo acompanhar o nosso raciocínio? Estão surgindo mui-
tas dúvidas? Lembre-se de que há um tutor para esclarecê-
las, e é bom que você entre em contato com ele sempre que
necessário.
Nesta aula, introduziremos o primeiro conceito sobre pro-
duto entre vetores, a saber, o produto escalar (ou produto
interno), em que dois vetores são convertidos em um escalar.
Além disso, vamos estudar suas propriedades e como inter-
pretar os vetores geometricamente. Abordaremos, também,
uma desigualdade triangular.
3.2 Produto Escalar
Definição 3.16. Dados os vetores ~u = x1~i + y1~j + z1~k e
~v = x2~i + y2~j + z2~k, definimos que o produto escalar (ou
produto interno usual), representado por ~u ·~v (também é
indicado por 〈~u,~v〉), é o número real
〈~u,~v〉 = x1x2 + y1y2 + z1z2
Em particular, se ~u, ~v ∈ R2, em que ~u = x1~i + y1~j e ~v =
x2~i + y2~j, o produdo escalar fica definido de forma análoga
à anterior, isto é,
〈~u,~v〉 = x1x2 + y1y2.
44
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
3
AULA
Exemplo 3.2.1. Sendo ~v = 3~i − ~j − 2~k e ~w = ~i + ~j − ~k
vetores em R3, podemos escrevê-los como, ~v = (3,−1,−2) e
~w = (1, 1,−1), e assim
〈~v, ~w〉 = 〈(3,−1,−2), (1, 1,−1)〉 = 3 ·1+(−1) ·1+(−2) ·(−1)
⇒ 〈~v, ~w〉 = 4
Definição 3.17. Denominamos demódulo de um vetor ~v =
(x, y, z), representado por |~v|, o número real não negativo,
|~v| =
√
〈~v,~v〉 (3.1)
que em coordenadas fica
|~v| =
√
x2 + y2 + z2.
Em R2, podemos definir módulo de modo similar, ou seja,
dado um vetor no plano ~u = (x, y), seu módulo será o número
real não negativo
|~u| =
√
〈~u, ~u〉
, ou ainda em coordenadas
, |~u| =
√
x2 + y2.
Exemplo 3.2.2.
• Seja ~v ∈ R3, com ~v = (1, 0,−1)⇒ |~v| = √12 + 02 + (−1)2 =
√
2.
• Seja ~v ∈ R2, com ~v = (−2,√5)⇒ |~v| =
√
(−2)2 + (√5)2 =
√
9 = 3.
45
Produto de Vetores - Parte I
• (Versor de um Vetor) Seja ~v ∈ R3, dado por ~v =
(1, 0,−1), o seu versor ~w será dado por
~w =
~v
|~v| =
1√
2
(1, 0,−1)
e assim,
~w =
∣∣∣∣ 1√2(1, 0,−1)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣( 1√2 , 0,− 1√2)
∣∣∣∣
=
√(
1√
2
)2
+ 02 +
(
− 1√
2
)2
=
√
2
2
= 1
O versor do vertor ~v é, na verdade, um vetor unitário.
• (Distância entre dois pontos) A distância entre
dois pontos A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) é dada
por
d(A,B) =
∣∣∣−−→AB∣∣∣ = |B −A|
e, deste modo,
d(A,B) =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2, A,B ∈ R3.
coincide com a definição de distância entre dois pontos
no espaço. Para o caso do plano, basta-nos suprimir a
terceira coordenada, isto é,
d(A,B) =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2,
neste caso, A = (x1, y1), B = (x2, y2) pontos do R2.
3.2.1 Propriedades do Produto Interno
Para quaisquer que sejam os vetores ~u = (x1, y1, z1), ~v =
(x2, y2, z2), ~w = (x3, y3, z3) em R3 e λ ∈ R, tal que:
46
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
3
AULA
(i) 〈~u, ~u〉 ≥ 0 e 〈~u, ~u〉 = 0 ⇔ ~u = ~0 = (0, 0, 0). De fato,
pois por definição 〈~u, ~u〉 ≥ 0, e se 〈~u, ~u〉 = 0, então
|~u| = 0⇔ ~u = ~0.
(ii) 〈~u,~v〉 = 〈~v, ~u〉 (Comutativa) Veja que 〈~u,~v〉 = x1x2+
y1y2 + z1z2 = x2x1 + y2y1 + z2z1 = 〈~v, ~u〉, pois as coor-
denadas de ~u e ~v são números reais e valem a comuta-
tividade do produto e da soma em R.
(iii) 〈~u, (~v + ~w)〉 = 〈~u,~v〉+ 〈~u, ~w〉 (Distributiva com re-
lação à soma de vetores) De fato, pois
〈~u, (~v + ~w)〉 = 〈(x1, y1, z1), (x2, y2, z2) + (x3, y3, z3)〉
= 〈(x1, y1, z1), (x2 + x3, y2 + y3, z2 + z3)〉
= x1(x2 + x3) + y1(y2 + y3) + z1(z2 + z3)
= (x1x2 + y1y2 + z1z2) + (x1x3 + y1y3 + z1z3)
= 〈~u,~v〉+ 〈~u, ~w〉
(iv) 〈λ~u,~v〉 = λ〈~u,~v〉 = 〈~u, λ~v〉
Exercício 3.2.1. A verificação desta propriedade fica
como atividade para você.
(v) 〈~u, ~u〉 = |~u|2 De fato, temos que |~u| = √〈~u, ~u〉. Assim,
(|~u|)2 =
(√
〈~u, ~u〉
)2 ⇒ |~u|2 = 〈~u, ~u〉
Exemplo 3.2.3. |~u+ ~v|2 = |~u|2 + 2〈~u,~v〉+ |~v|2 para quais-
quer vetores ~u~v ∈ R2 (esta igualdade também é válida caso
os vetores pertençam ao R3).
47
Produto de Vetores - Parte I
Temos que
|~u+ ~v|2 = 〈~u+ ~v, ~u+ ~v〉
= 〈~u, ~u+ ~v〉+ 〈~v, ~u+ ~v〉 (pela propriedade (ii) e (iii))
= 〈~u, ~u〉+ 〈~u,~v〉+ 〈~v, ~u〉+ 〈~v,~v〉 (por (iii))
= |~u|2 + 2〈~u,~v〉+ |~v|2
Definição 3.18 (Ângulo de Dois Vetores). Se ~u 6= ~0,
~v 6= ~0 e se θ é o ângulo dos vetores ~u e ~v, então:
〈~u,~v〉 = |~u||~v| cos θ (3.2)
Esta definição também não depende da condição de os veto-
res estarem em R2 (no plano) ou em R3 (no espaço). Assim,
caro aluno, é importante que você atente para o que é preciso
fazer caso queiramos obter o ângulo θ a partir dos vetores já
conhecidos.
Veja que na equação (3.2)temos o seguinte
cos θ =
〈~u,~v〉
|~u| |~v| (3.3)
e assim, obtemos
θ = arc cos
( 〈~u,~v〉
|~u| |~v|
)
(3.4)
Exemplo 3.2.4. Para calcular o ângulo entre os vetores ~u =
(1, 1, 4) e ~v = (−1, 2, 2), façamos o seguinte movimento
cos θ =
〈~u,~v〉
|~u| |~v| =
〈(1, 1, 4), (−1, 2, 2)〉
|(1, 1, 4)| |(−1, 2, 2)|
cos θ =
−1 + 2 + 8√
18 · 3 =
9
9
√
2
=
√
2
2
⇒ θ = arc cos
(√
2
2
)
E assim, temos que θ = 45o.
48
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
3
AULA
Em relação ao ângulo entre dois vetores ~u e ~v, percebemos
que:
(a) 〈~u,~v〉 > 0, com base na equação (3.3), temos que cos θ >
0, e assim 0 ≤ θ < 90o ( ou seja, um ângulo agudo).
(b) 〈~u,~v〉 < 0, por (3.3), temos que cos θ < 0, e assim
90o ≤ θ < 180o ( ou seja, um ângulo obtuso).
(c) 〈~u,~v〉 = 0, por (3.3), temos que cos θ = 0, e assim
θ = 90o ( neste caso, um ângulo reto).
Figura 3.36: 0 ≤
θ < 90o. Figura 3.37: 90
o ≤
θ < 180o.
Figura 3.38: θ =
90o.
Observe que na equação (3.3) temos que
| cos θ| =
∣∣∣∣ 〈~u,~v〉|~u| |~v|
∣∣∣∣ ⇒ |〈~u,~v〉| = | cos θ| |~u| |~v| ,
e devemos lembrar que 0 ≤ | cos θ| ≤ 1. Assim,
|〈~u,~v〉| ≤ |~u| |~v| , (3.5)
para quaisquer vetores ~u e ~v (sejam eles pertencentes ao plano
ou ao espaço).
Exemplo 3.2.5. O triângulo formado pelos vértices A =
(2, 3, 1), B = (2, 1,−1) e C = (2, 2,−2) é retângulo?
Para respondermos esta questão, é importante observarmos
se algum dos pares de vetores que determinam os lados do
49
Produto de Vetores - Parte I
triângulo ABC são perpendiculares. Para isso,
−−→
AB = (0,−2,−2)
−→
AC = (0,−1,−3)
−−→
BC = (0, 1,−1)
então, temos que
〈−−→AB,−→AC〉 = 〈(0,−2,−2), (0,−1,−3)〉 = 8
〈−−→AB,−−→BC〉 = 〈(0,−2,−2), (0, 1,−1)〉 = 0
Portanto, 〈−−→AB,−−→BC〉 = 0, isto é, no vértice B, os lados AB
e BC formam um ângulo de 90o. Isso nos permite concluir
que o triângulo ABC é retângulo.
Exemplo 3.2.6. Determinar um vetor ortogonal aos vetores
~u = (1,−1, 0) e ~v = (1, 0, 1). Para isso, vamos considerar um
vetor ~w = (x, y, z) ortogonal a ~u e a ~v. Sendo assim,
〈~w, ~u〉 = 〈(x, y, z), (1,−1, 0)〉 = x− y = 0
〈~w,~v〉 = 〈(x, y, z), (1, 0, 1)〉 = x+ z = 0
Portanto, nosso problema agora se reduz a solucionar o sis-
tema x− y = 0x+ z = 0 ⇒
x = yx = −z
Isso significa dizer que as soluções são vetores na forma ~w =
(x, x,−x). Deste modo, basta-nos escolher um reprensen-
tante desses vetores, por exemplo, tomando x = 1, e assim,
(1, 1,−1) é uma solução.
50
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
3
AULA
3.2.2 Projeção de um vetor
Definição 3.19. Sejam os vetores ~u e ~v, com ~u 6= 0, ~v 6= 0
e θ o ângulo formado por eles. Se o vetor ~w representa a
projeção de ~u sobre ~v, é definido por
proj ~v ~u =
(〈~u,~v〉
〈~v,~v〉
)
~v ou proj ~v ~u =
(〈~u,~v〉
|~v|2
)
~v (3.6)
Figura 3.39: 0 ≤ θ < 90o Figura 3.40: 90o ≤ θ < 180o
Tanto o triângulo retângulo representado na figura (3.39)
quanto o da figura (3.40) nos permitem compreender que
|~w| = |~u| |cos θ| = |~u| |〈~u,~v〉||~u| |~v| =
|〈~u,~v〉|
|~v|
Como ~w e ~v têm a mesma direção, ~w = λ~v e λ ∈ R, então,
|~w| = |λ| |~v| ⇒ |λ| = |~w| 1|~v| =
|〈~u,~v〉|
|~v|
1
|~v|
|λ| = |〈~u,~v〉||~v|2 ⇒ ~w =
( |〈~u,~v〉|
|~v|2
)
~v
E assim, proj ~v ~u =
( |〈~u,~v〉|
|~v|2
)
~v.
51
Produto de Vetores - Parte I
Exemplo 3.2.7. Vamos determinar proj ~v ~u em que ~u =
(2, 3) e ~v = (1,−1). Observe que
〈~u,~v〉 = 〈(2, 3), (1,−1)〉 = 2− 3 = −1
〈~v,~v〉 = 〈(1,−1), (1,−1)〉 = 1 + 1 = 2
E assim,
proj ~v ~u =
(〈~u,~v〉
|~v|2
)
(1,−1) = −1
2
(1,−1) = (−1
2
,
1
2
)
Considerando os vetores ~u e ~v (pertencentes ao plano ou ao
espaço) e usando as propriedades de produto escalar, temos
que
〈~u+ ~v, ~u+ ~v〉 = 〈~u, ~u+ ~v〉+ 〈~v, ~u+ ~v〉
⇓
〈~u+ ~v, ~u+ ~v〉 = 〈~u, ~u〉+ 〈~u,~v〉+ 〈~v, ~u〉+ 〈~v,~v〉
como |~u + ~v|2 = 〈~u + ~v, ~u + ~v〉, |~u|2 = 〈~u, ~u〉 e |~v|2 = 〈~v,~v〉,
além de que 〈~u,~v〉 = 〈~v, ~u〉 (pois os ambientes a que os vetores
52
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
3
AULA
pertencem são Rn, com n = 2 ou 3). Assim, fazendo as
devidas substituições, chegamos a
|~u+ ~v|2 = |~u|2 + 2〈~u,~v〉+ |~v|2
⇓
|~u+ ~v|2 = |~u|2 + 2| cos θ| |~u| |~v|+ |~v|2
≤ |~u|2 + 2|~u| |~v|+ |~v|2
≤ (|~u|+ |~v|)2
Portanto, obtemos
|~u+ ~v| ≤ |~u|+ |~v| (3.7)
Esta desigualdade é chamada de Desigualdade Triangu-
lar. Veja os exercícios (5b e 5d).
3.3 Resumo
Nesta aula, conhecemos a definição de produto escalar (ou
produto interno) entre vetores e suas propriedades. Além
disso, verificamos que o uso do produto escalar entre dois ve-
tores permite-nos encontrar o cosseno do ângulo entre eles.
Definimos a projeção de um vetor sobre outro e a desigual-
dade triangular.
3.4 Atividades
(a) Dados os vetores ~u = (2,−3,−1) e ~v = (1,−1, 4), cal-
cular:
i. 〈2~u,−~v〉;
53
Produto de Vetores - Parte I
ii. 〈~u+ 3~v,~v − 2~u〉;
iii. 〈~u+ ~v, ~u− ~v〉;
iv. 〈~u+ ~v,~v − ~u〉.
(b) Verificar para os vetores ~u = (4,−1, 2) e ~v = (−3, 2,−2)
as seguintes desigualdades:
i. (Desigualdade de Schwarz) |〈~u,~v〉| ≤ |~u| |~v|;
ii. (Desigualdade Triangular) |~u+~v| ≤ |~u|+ |~v|.
(c) Prove que 〈~u + ~v, ~u − ~v〉 = |~u|2 − |~v|2 para quaisquer
vetores ~u~v ∈ R2.
(d) Prove as seguintes propriedades do comprimento (ou
módulo) de um vetor.
i. |~v| = 0 se, e somente se, ~v = 0;
ii. |~v + ~w| ≤ |~v|+ |~w|;
iii. |λ~v| = |λ| |~v|;
iv. |−~v| = |~v|.
(e) Sabendo que |~u| = √2, |~v| = 3 e que ~u e ~v formam um
ângulo de
3
4
pi, determine:
i. |〈2~u− ~v, ~u− 2~v〉|;
ii. |~u− 2~v|.
(f) Mostre que a definição de ângulo entre vetores pode ser
obtida atravez da lei dos cossenos observando a figura
[Lei dos Cossenos]
Num triângulo cujos la-
dos medem a, b, c vale a
igualdade
a2 = b2+c2−2bc ·cos θ,
sendo θ o ângulo entre
os segmentos que me-
dem b e c.
(3.6).
54
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
3
AULA
Figura 3.41: θ é o ângulo entre ~u e ~v.
3.5 Comentário das atividades
Se você conseguiu fazer as atividades 1,4 e 5, então entendeu
a definição do produto escalar (ou produto interno) e de mó-
dulo de um vetor. Já as atividaes 2 e 3, se você as resolveu,
tratam de importantes propriedades geométricas dos vetores
e serão úteis nas disciplinas que virão mais adiante.
55
Produto de Vetores - Parte I
3.6 Referências
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo,
Makron Books, 1987.
LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear.
Rio de Janeiro, IMPA, 2005.
BOLDRINI, José Luiz, 'Algebra Linear . São Paulo, Harbra,
1980.
56
4
AULA
1
LIVRO
Produto de Vetores -
Parte II
META
Apresentar o produto vetorial entre
vetores e suas propriedades.
OBJETIVOS
Reconhecer e efetuar produtos
vetoriais entre vetores.
Reconhecer propriedades ligadas
aos produtos vetoriais entre vetores,
como a área de um paralelogramo
que tem como lados dois vetores e o
produto misto com sua representa-
ção geométrica.
PRÉ-REQUISITOS
Para que você possa ter um bom
desempenho nesta aula, é necessário
que saiba reconhecer e efetuar pro-
dutos escalares entre vetores, além
de interpretá-los geometricamente.
Produto de Vetores - Parte II
4.1 Introdução
Olá! Estamos aqui para mais um encontro em que tran-
sitaremos pelos produtos entre vetores. Na aula passada,
introduzimos o conceito de produto escalar entre vetores e
suas propriedades. Além disso, aplicamos esse produtopara
encontrar, por exemplo, o cosseno do ângulo entre eles.
Em continuidade ao tema da aula anterior, em que definimos
e vimos algumas aplicações do produto escalar (ou produto
interno), nesta aula estudaremos outro produto, isto é, o
vetorial, que, diferentemente do produto escalar, permite a
conversão de dois vetores no espaço em outro vetor. Esta
operação tem um significado geométrico interessante que será
mostrado no transcorrer da aula. Você conhecerá, também,
o produto misto cujo valor absoluto representamos como 1/6
do volume de um tetraedro.
4.2 Produto vetorial
Nesta primeira seção, vamos apresentar a você o produto
vetorial. Seu resultado difere do produto escalar por ser um
vetor e não um escalar. Seu uso principal associa-se ao fato de
o resultado de um produto vetorial ser sempre perpendicular
a ambos os vetores originais. Assim, comecemos pela sua
definição e, logo em seguida, você verá que há algumas formas
diferentes de representá-lo.
Definição 4.20 (Produto vetorial). Dados os vetores
~u = (x1, y1, z1)
58
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
4
AULA
(ou ~u = x1~i+y1~j+z1~k) e ~v = (x2, y2, z2) (ou ~u = x2~i+y2~j+
z2~k) tomados nesta ordem, chamamos de produto vetorial
dos vetores ~u e ~v, os vetores
~u× ~v = (y1z2 − z1y2)~i+ (z1x2 − x1z2)~j + (x1y2 − y1x2)~k
ou simplesmente,
~u× ~v = (y1z2 − z1y2 , z1x2 − x1z2 , x1y2 − y1x2)
Outra maneira de escrevermos o produto vetorial, muito útil
e fácil de usar, é
~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ou
~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣y1 z1y2 z2
∣∣∣∣∣∣~i−
∣∣∣∣∣∣x1 z1x2 z2
∣∣∣∣∣∣~j +
∣∣∣∣∣∣x1 y1x2 y2
∣∣∣∣∣∣~k
Observação 6. Chamamos a sua atenção neste ponto, caro
aluno, pois é fundamental perceber que 〈~u, ~u × ~v〉 = 0 ou
〈~v, ~u× ~v〉 = 0, pois (sendo ~u e ~v não nulos e não colineares)
〈~u, ~u× ~v〉 = x1(y1z2 − z1y2) + y1(z1x2 − x1z2) + z1(x1y2 − y1x2)
= x1y1z2 − x1z1y2 + y1z1x2
−y1x1z2 + z1x1y2 − z1y1x2
= 0
O mesmo ocorre para 〈~v, ~u × ~v〉 = 0. Isto significa que os
vetores ~u e ~v são ortogonais a ~u×~v, isto é, ~u×~v não está no
mesmo plano que ~u e ~v. Portanto, não faz sentido estudar-
mos produtos vetoriais entre vetores no plano, pois não seria
possível encontrar o vetor ~u× ~v.
59
Produto de Vetores - Parte II
Exemplo 4.2.1. Sejam ~u = (5, 4, 3) e ~v = (1, 0, 1) vetores
em R3. Deste modo,
~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
5 4 3
1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (4− 0)
~i+ (3− 5)~j + (0− 4)~k
⇒ ~u× ~v = 4~i− 2~j − 4~k = (4,−2,−4).
Veja ainda que
~v × ~u =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 0 1
5 4 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (0− 4)
~i+ (5− 3)~j + (4− 0)~k
⇒ ~v × ~u = −4~i+ 2~j + 4~k = (−4, 2, 4).
Portanto, neste exemplo, ~u × ~v = −(~v × ~u). Mas será que
esta propriedade é válida para quaisquer dois vetores em R3?
Para que você possa verificar se isto é possível, acompanhe o
nosso raciocínio no próximo tópico.
60
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
4
AULA
4.3 Propriedades do produto vetorial
Agora que você sabe o que é um produto vetorial, vamos
apresentar-lhe as propriedades desse produto.
Sejam ~u = (x1, y1, z1), ~v = (x2, y2, z2), ~w = (x3, y3, z3) ∈ R3
e λ ∈ R, tal que
(V1) ~u × ~u = ~0, qualquer que seja ~u ∈ R3. De fato, pela
definição temos o seguinte
~u× ~u =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
x1 y1 z1
x1 y1 z1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (y1z1 − z1y1)~i+ (z1x1 − x1z1)~j + (x1y1 − y1x1)~k
= (0)~i+ (0)~j + (0)~k
⇒ ~u× ~u = (0, 0, 0) = ~0.
Como conseqüência disso, temos que
~i ×~i = ~j × ~j =
~k × ~k = ~0.
(V2) ~u× ~v = −(~v × ~u). De fato, veja que
~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (y1z2 − z1y2)~i+ (z1x2 − x1z2)~j + (x1y2 − y1x2)~k
~v × ~u =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
x2 y2 z2
x1 y1 z1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (y2z1 − z2y1)~i+ (z2x1 − x2z1)~j + (x2y1 − y2x1)~k
⇒ ~u× ~u = −(~v × ~u), ∀ ~u,~v ∈ R3.
61
Produto de Vetores - Parte II
A partir desta propriedade, temos como resultado que
~i×~j = −(~j ×~i)
~j × ~k = −(~k ×~j)
~i× ~k = −(~k ×~i)
(V3) ~u×(~v+ ~w) = ~u×~v+~u× ~w. De fato, se ~v = (x2, y2, z2)
e ~w = (x3, y3, z3), verificamos que ~v+ ~w = (x2+x3, y2+
y3, z2 + z3), e assim,
~u× (~v + ~w) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
x1 y1 z1
x2 + x3 y2 + y3 z2 + z3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
⇒ ~u× (~v + ~w) = (y1(z2 + z3)− z1(y2 + y3))~i+
+(z1(x2 + x3)− x1(z2 + z3))~j+
+(x1(y2 + y3)− y1(x2 + x3))~k
⇒ ~u× (~v + ~w) = ((y1z2 − z1y2) + (y1z3 − z1y3))~i+
+((z1x2 − x1z2) + (z1x3 − x1z3))~j+
+((x1y2 − y1x2) + (x1y3 − y1x3))~k
⇒ ~u× (~v + ~w) =(
(y1z2 − z1y2)~i+ (z1x2 − x1z2)~j + (x1y2 − y1x2)~k
)
︸ ︷︷ ︸+
~u× ~v
+
(
(y1z3 − z1y3)~i+ (z1x3 − x1z3)~j + (x1y3 − y1x3)~k
)
︸ ︷︷ ︸
~u× ~w
~u× (~v + ~w) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
x1 y1 z1
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
62
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
4
AULA
Portanto, ~u× (~v + ~w) = ~u× ~v + ~u× ~w, ∀ ~u,~v, ~w ∈ R3.
(V4) (λ~u)× ~v = λ(~u× ~v).
Exercício 4.3.1. A verificação desta propriedade fica
como exercício.
(V5) ~u× ~v = ~0 se, e somente se, um dos vetores é nulo ou se
~u e ~v são colineares. De fato, se ~u = ~0, então,
~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
0 0 0
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
~i+ 0~j + 0~k = ~0
E se ~u e ~v não forem ambos nulos, mas colineares, isto
é, ~v = λ~u, então
~u× ~v = ~u× (λ~u) =︸︷︷︸ λ(~u× ~u)
por (V4)
Mas como sabemos da propriedade V1, obtemos λ(~u×
~u) = λ(~0)⇒ ~u× ~v = ~0.
(V6) ~u × ~v é ortogonal simultaneamente aos vetores ~u e ~v.
Então, se 〈~u, ~u× ~v〉 = 〈~v, ~u× ~v〉 = 0, ~u× ~v é ortogonal
simultaneamente aos vetores ~u e ~v.
Perceba que
〈~u, ~u× ~v〉 = x1
∣∣∣∣∣∣y1 z1y2 z2
∣∣∣∣∣∣+ y1
∣∣∣∣∣∣x1 z1x2 z2
∣∣∣∣∣∣+ z1
∣∣∣∣∣∣x1 y1x2 y2
∣∣∣∣∣∣
e assim, obtemos
〈~u, ~u× ~v〉 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x1 y1 z1
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
63
Produto de Vetores - Parte II
Pois neste caso o determinante tem duas linhas iguais.
Fazendo o mesmo para 〈~v, ~u×~v〉, constatamos (de modo
análogo) que
〈~u, ~u× ~v〉 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x2 y2 z2
x1 y1 z1
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
Portanto, ~u× ~v é ortogonal simplesmente aos vetores ~u
e ~v.
(V7) O triedro {~u,~v,~v× ~u} é positivamente orientado. Se-
Um triedro {~u,~v,~v ×
~u} (supondo que ~u e
~v sejam não colineares)
diz-se positivamente
orientado (em relação
ao sistemas de eixos fi-
xados, no caso, xyz)
quando é positivo o de-
terminante cujas linhas
são formadas pelas co-
ordenadas dos vetores
dados, na ordem em
que são listados.
jam α ∈ R e ~u,~v, ~u× ~v ∈ R3, tal que
α =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
y1z2 − z1y2 z1x2 − x1z2 x1y2 − y1x2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
em que ~u = (x1, y1, z1), ~v = (x2, y2, z2) e
~u× ~v = (y1z2 − z1y2, z1x2 − x1z2, x1y2 − y1x2) .
Assim, obtemos
α = 〈~u× ~v, ~u× ~v〉 = |~u× ~v|2 > 0.
.
Exercício 4.3.2. Mostre a igualdade entre o determi-
nante e o número real 〈~u × ~v, ~u × ~v〉 da propriedade
(V7).
(V8) (Identidade de Lagrange)
〈~u× ~v, ~u× ~v〉 = 〈~u, ~u〉 · 〈~v,~v〉 − 〈~u,~v〉2 (4.1)
64
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
4
AULA
De fato,
~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣y1 z1y2 z2
∣∣∣∣∣∣~i+
∣∣∣∣∣∣x1 z1x2 z2
∣∣∣∣∣∣~j +
∣∣∣∣∣∣x1 y1x2 y2
∣∣∣∣∣∣~k.
Portanto,
|~u×~v|2 = (y1z2−z1y2)2+(z1x2−x1z2)2+(x1y2−y1x2)2
Mas, temos que
|~u|2|~v|2 = (x21 + y21 + z21)(x22 + y22 + z22) e
〈~u,~v〉2 = (x1x2 + y1y2 + z1z2)2
. Efetuando as operações indicadas, verificamos que
|~u× ~v|2 = |~u|2|~v|2 − 〈~u,~v〉2.
(V9) Se ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 e se θ é o ângulo entre os vetores ~u e ~v,
então
|~u× ~v| = |~u| · |~v| sen θ. (4.2)
De acordo com a identidade de Lagrange, na equação
(4.1), temos
|~u× ~v|2 = |~u|2 |~v|2 − 〈~u,~v〉2
ou seja,
|~u× ~v|2 = |~u|2 |~v|2 − (|~u| |~v| cos θ)2
⇓
|~u× ~v|2 = |~u|2 |~v|2(1− cos2 θ)
⇒ |~u× ~v|2 = |~u|2 |~v|2(sen 2θ)
65
Produto de Vetores -Parte II
pois 1− cos2 θ = sen 2θ. E sabemos que
|~u× ~v|2 = |~u|2 |~v|2(sen 2θ)
⇓
|~u× ~v| = |~u| |~v|(sen θ)
.
Tal qual na propriedade (V7), percebemos que os vetores da
base canônica {~i,~j,~k} são válidos.
~i×~j =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 0 0
0 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
⇒~i×~j = ~k
e para as outras combinações:
~j × ~k = ~i
~k ×~i = ~j
percebemos ainda que
~j ×~i = −~k
~k ×~j = −~i
~i× ~k = −~j
No paralelogramo ABCD a seguir, observamos que ~u =
−−→
AB
e ~v =
−→
AC. A altura do paralelogramo relativa aos lados CD
e AB é dada por |~v|sen θ.
66
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
4
AULA
Assim, a área do paralelogramo é dada por
ÁreaABCD = |~u|︸︷︷︸ · (|~v| sen θ)︸ ︷︷ ︸,
base altura
Portanto,
|~u× ~v| = ÁreaABCD
Exemplo 4.3.1. Determine o vetor ~w, tal que ~w seja or-
togonal ao eixo−y e ~u = ~w × ~v, sendo ~u = (1, 1,−1) e
~v = (2,−1, 1).
Como ~w ⊥ eixo − y deve ser da forma ~w = (x, 0, z), assim,
~u = ~w × ~v equivale a
(1, 1,−1) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~k ~k
x 0 z
2 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ou ainda, (1, 1,−1) = (z,−x+2z,−x). Basta-nos solucionar
os sistemas 
z = 1
−x+ 2z = 1
−x = −1
cuja solução é x = 1 e z = 1. Logo, ~w = (1, 0, 1).
67
Produto de Vetores - Parte II
Exemplo 4.3.2. Seja um triângulo eqüilátero ABC de lado
10. Calcular |−−→AB ×−→AC|.
Veja que
|−−→AB ×−→AC| = |−−→AB| · |−→AC| senα
em que α é o ângulo interno de ABC no vértice A.
Como α = 60o, tem-se que |−−→AB ×−→AC| = (10) · (10) sen 60o
⇒ |−−→AB ×−→AC| = 100
√
3
2
= 50
√
3
Mas como o valor 50
√
3 representa a área do paralelogramo,
portanto a área do triângulo é a metade, ou seja, ÀreaABC = 25
√
3 .
Exemplo 4.3.3. Dados os pontosA = (2, 1, 1), B = (3,−1, 0)
e C = (4, 2,−2), vamos determinar:
(i) a área do triângulo ABC;
(ii) a altura do triângulo relativa ao vértice C.
68
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
4
AULA
Resolução do exemplo:
(i) A partir do triângulo ABC podemos construir o para-
lelogramo ABCD, cuja área é o dobro da área do tri-
ângulo. Assim, com base nos vetores
−−→
AB e
−→
AC, temos
A4 =
1
2
|−−→AB ×−−→BC|
Mas
−−→
AB = (1,−2,−1), −→AC = (2, 1,−3) e
|−−→AB ×−−→BC| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 −2 −1
2 1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = |(7, 1, 5)|
Logo,
A4 =
1
2
√
49 + 25 + 1 =
5
2
√
3u.a.
(ii) Já para obtermos a altura do triângulo indicado na fi-
gura, basta lembrarmos que
AABCD = (base)(altura) = b h.
Assim, como a base b no triângulo é dada por |−−→AB|,
obtemos
h =
A
b
=
|−−→AB ×−→AC|
|−−→AB|
=
√
75
|(1,−2,−1)| =
5
2
√
2 u.c.
Definição 4.21. Chama-se produto misto dos vetores ~u =
(x1, y1, z1), ~v = (x2, y2, z2) e ~w = (x3, y3, z3), tomados nesta
ordem, o número real
〈~u,~v × ~w〉 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
69
Produto de Vetores - Parte II
Também denotado por 〈~u,~v × ~w〉 = (~u,~v, ~w).
Figura 4.42: Produto misto dado pelos vetores
~AB, ~AC e ~AD.
Sejam A,B,C e D pontos não colineares e os vetores ~u =
−−→
AB, ~v =
−→
AC e ~w =
−−→
AD também não colineares. Esses
vetores determinam um paralelepípedo como na figura (4.42),
cujo volume é
V = (Área da base) · (altura).
Note que a altura é
h = |~w|. cos θ
h = |~w| 〈~u× ~v, ~w〉|~u× ~v| · |~w|
h =
〈~u× ~v, ~w〉
|~u× ~v|
e que a área da base é dada por A
base
= |~u× ~v|. Logo
V = h ·A
base
⇒ V = 〈~u× ~v, ~w〉.
Se ~u = (x1, y1, z1), ~v = (x2, y2, z2) e ~w = (x3, y3, z3), pode-
mos reescrever o volume do paralelepípedo da seguinte forma
V = |(~u,~v, ~w)| = |〈~u,~v × ~w〉|
ou seja, V = |〈~u,~v × ~w〉|.
70
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
4
AULA
Exemplo 4.3.4 (Volume do Tetraedro). O volume do
tetraedro (como ilustrado na figura (4.42)) é dado por
Vt =
1
6
∣∣∣(−−→AB,−→AC,−−→AD)∣∣∣
e assim, se um tetraedro é formado pelos pontosA = (1, 2,−1),
B = (5.0, 1), C = (2,−1, 1) e D = (6, 1,−3) como vértices,
temos que ∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 −2 2
1 −3 2
5 −1 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 36⇒ Vt =
1
6
|36|
Portanto, o volume do tetraedro é Vt = 6 u.v. .
4.4 Resumo
Nesta aula, conhecemos a definição vetorial entre vetores e
suas propriedades. Conhecemos também a possibilidade de
usar o produto vetorial para representar a área de um pa-
ralelogramo. Definimos o produto misto e o representamos
geometricamente como o volume do paralelogramo formado
por três vetores não todos coplanares.
4.5 Atividades
(a) Se ~u = (3,−1,−2), ~v = (2, 4,−1) e ~w = (−1, 0, 1),
determine:
i. |~u× ~v|;
ii. 2~v × 3~v;
71
Produto de Vetores - Parte II
iii. ~u× ~w + ~w × ~u;
iv. 〈~u,~v × ~w〉.
(b) Determine o vetor ~x, tal que 〈~x, (1, 4,−3)〉 = −7 e ~x×
(4,−2, 1) = (3, 5,−2).
(c) Dados os vetores ~u = (3, 1, 1), ~v = (−4, 9, 3) e ~w =
(1, 2, 0), determine ~x de modo que ~x ⊥ ~w e ~x×~u = −~v.
(d) Encontre um vetor ortogonal ao plano determinado pe-
los pontos P , Q e R e calcule a área do triângulo PQR.
i. P = (3, 0, 0), Q = (0, 3, 0), R = (0, 0, 2)
ii. P = (2, 3, 0), Q = (0, 2, 1), R = (2, 0, 2)
(e) Fixando o sistema de coordenadas com a base canônica
no espaço, mostre que para quaisquer vetores ~u, ~v, ~w e
~t vale ∣∣∣∣∣∣〈~u, ~w〉 〈~u,
~t 〉
〈~v, ~w〉 〈~v,~t 〉
∣∣∣∣∣∣ = 〈~u× ~v, ~w × ~t 〉.
(f) (Aplicação Física) O produto vetorial é uma impor-
tante ferramenta utilizada na Física. Entre algumas
das suas aplicações, podemos citar o torque. A equação
O torque é uma gran-
deza vetorial represen-
tada pela letra grega
τ , que está relacionada
à posibilidade de um
corpo sofrer uma tor-
ção ou alterar seu mo-
vimento de rotação.
para o cálculo do torque é
~τ = ~r × ~F
em que |~r| é a distância do ponto de aplicação da força
~F ao eixo de rotação a que o corpo está vinculado.
72
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
4
AULA
• Calcule o torque sobre a barra AB em que −−→AB =
~r = 2~j em metros, ~F = 10~i (em newtons) e o eixo
de rotação é o eixo−z.
4.6 Comentário das atividades
Ao resolver as atividades 1, 2 e 3, você entendeu a defini-
ção de produto vetorial. Quanto às atividades 4, 5 e 6, se
as concluiu, você trabalhou as propriedades do produto veto-
rial. Caso não tenha obtido sucesso na resolução das questões
desta aula, lembre-se sempre de que você dispõe de um tutor
para tirar suas dúvidas. Faço bom proveito deste recurso.
4.7 Referências
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo,
Makron Books, 1987.
LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear.
Rio de Janeiro, IMPA, 2005.
BOLDRINI, José Luiz, 'Algebra Linear . São Paulo, Harbra,
1980.
73
5
AULA
1
LIVRO
A Reta
META
Expor o conceito das equações
de retas no plano e espaço e suas
propriedades geométricas.
OBJETIVOS
Identificar a equação da reta nas
formas vetorial, paramétrica, simé-
trica e reduzida.
Reconhecer as propriedades geo-
métricas do paralelismo, retas aos
planos e eixos geométricos.
PRÉ-REQUISITOS
Para que você possa ter um bom de-
sempenho nesta aula, é necessário
que saiba reconhecer e efetuar pro-
dutos escalares e vetoriais entre ve-
tores, além de interpretar geometri-
camente esses produtos.
A Reta
5.1 Introdução
Olá! Aos poucos estamos avançando nesta nossa caminhada
pela Geometria Analítica. Na aula passada, aprendemos o
que é um produto vetorial entre vetores e suas propriedades.
Além disso, verificamos que é possível utilizar esse produto
para representar a área de figuras geométricas como o pa-
ralelogramo. Também apresentamos a você a definição de
produto misto, sua representação geométrica e seu valor ab-
soluto.
Nesta aula, vamos aprofundar nossos estudos sobre as retas.
Acredito que você já deve ter algum conhecimento a respeitodelas, pois já estudou um pouco de Geometria Analítica na 3
a
série do Ensino Médio. Assim, vamos definir algumas formas
de representá-las no plano e também no espaço.
Em um dos postulados de sua obra "Os Elementos", Eucli-
des nos mostra que dados dois pontos distintos, existe uma
única reta que os contêm. Munidos deste pensamento, po-
demos não apenas confirmar mas também definir equações
vetoriais de retas no plano e no espaço, além da equação pa-
ramétrica e reduzida da reta. Estudaremos as propriedades
do paralelismo entre retas, entre retas e eixos coordenados e
entre retas e planos coordenados, além de ângulos constituí-
dos entre retas.
76
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
5
AULA
5.2 Equação vetorial da reta
Consideremos um ponto A = (x1, y1, z1) e um vetor não nulo
~v = (a, b, c). Seja r a reta que passa pelo ponto A e tem a
direção de ~v. Um ponto P = (x, y, z) pertence à reta r se, e
somente se, o vetor
−→
AP é paralelo a ~v, isto é,
−→
AP = t~v (5.1)
para algum t ∈ R.
A partir da equação (5.1), verificamos que
P −A = t~v
ou ainda
P = A+ t~v, (5.2)
que em coordenadas fica
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c) (5.3)
Qualquer uma das equações (5.1),(5.2) ou (5.3) é denominada
equação vetorial de r, o vetor ~v é chamado vetor diretor
da reta r e t é denominado o parâmetro.
Exemplo 5.2.1. A reta r que passa por A = (1,−1, 4) e
tem a direção de ~v = (2, 3, 2) tem equação vetorial de acordo
com (5.3):
r : (x, y, z) = (1,−1, 4) + t(2, 3, 2)
em que (x, y, z) representa um ponto de r arbitrário. Para
obtermos a reta, basta-nos fazer o parâmetro t variar sobre
77
A Reta
os números reais.
t = 1 ⇒ P1 = (1,−1, 4) + 1 · (2, 3, 2) = (2, 3, 6)
t = 0 ⇒ P0 = (1,−1, 4)
t = −1 ⇒ P−1 = (−1,−4, 2)
t = 3 ⇒ P3 = (7, 8, 10)
Figura 5.43: P = A+ t~v.
Observação 7. A equação que representa a reta r no exemplo
anterior não é única. Existem, na verdade, infinitas equações,
pois basta tomar outro ponto de r em vez do ponto A, ou
outro vetor qualquer não nulo que seja múltiplo de ~v, por
exemplo,
(x, y, z) = (1,−1, 4) + t(4, 6, 4)
é outra equação vetorial de r em que se utilizou o vetor 2~v =
(4, 6, 4) como vetor diretor em vez de ~v = (2, 3, 2).
78
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
5
AULA
5.3 Equações paramétricas da reta
Da equação vetorial da reta
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c)
ou ainda
(x, y, z) = (x1 + ta, x2 + tb, x3 + tc),
pela condição de igualdade, obtém-se
x = x1 + at
y = y1 + bt
z = z1 + ct
(5.1)
As equações (5.1) são chamadas equações paramétricas
da reta.
Exemplo 5.3.1. A reta r que passa pelo pontoA = (3,−4, 2)
e é paralela ao vetor ~v = (2, 1,−3), de acordo com (5.1), tem
equações paramétricas
r :

x = 3 + 2t
y = −4 + t
z = 2− 3t
5.4 Reta definida por dois pontos
A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A
(ou por B) e tem a direção do vetor ~v =
−−→
AB.
Exemplo 5.4.1. Escrever equações paramétricas da reta r
que passa por A = (3,−1,−2) e B = (1, 2, 4).
79
A Reta
Tomando o ponto A e o vetor ~v =
−−→
AB = B−A = (−2, 3, 6),
obtemos
r :

x = 3− 2t
y = −1 + 3t
z = −2 + 6t
Podemos, ainda, usando a equação paramétrica da reta, de-
finir uma parametrização para um segmento de reta.
Exemplo 5.4.2 (Equações Paramétricas de um Seg-
mento de Reta). Consideremos a reta r do exemplo (5.4.1)
e nela o segmento AB (origem A e extremidade B). As equa-
ções vetoriais dos segmentos AB e BA com 0 ≤ t ≤ 1 são
P = A+ t(B −A) e (5.1)
P = B + t(A−B), (5.2)
respectivamente, em que P = (x, y, z) é um ponto arbitrário
na reta r.
Note que
t = 0 ⇒ P = A+ 0 · (B −A) = A
t = 1 ⇒ P = A+ 1 · (B −A) = B
para o segmento AB, enquanto para o segmento BA temos
t = 0 ⇒ P = B + 0 · (A−B) = B
t = 1 ⇒ P = B + 1 · (A−B) = A
Podemos ainda reescrever a equação (5.1) de modo equiva-
lente por
P = tB + (1− t)A. (5.3)
O mesmo ocorre para (5.2), tal que P = tA+ (1− t)B.
80
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
5
AULA
5.5 Equações simétricas da reta
Das equações paramétricas
x = x1 + at y = y1 + bt z = z1 + ct
supondo que abc 6= 0, temos
t =
x− x1
a
t =
y − y1
b
t =
z − z1
c
Como cada ponto da reta é correspondente a um único valor
de t, temos que
x− x1
a
=
y − y1
b
=
z − z1
c
(5.1)
As equações (5.1) são denominadas equações simétricas
da reta que passa pelo ponto A = (x1, y1, z1) e tem a direção
do vetor ~v = (a, b, c).
Exemplo 5.5.1. A reta que passa pelo ponto A = (3, 0,−5)
e tem direção do vetor ~v = (2, 2,−1) tem equações simétricas
x− 3
2
=
y
2
=
z + 5
−1
Para obtermos os outros pontos da reta, basta atribuirmos
um valor a uma das variáveis. Por exemplo, para x = 5,
temos
5− 3
2
= 1 =
y
2
=
z + 5
−1 ⇒

y
2
= 1
z + 5
−1 = 1
e assim, y = 2 e z = −6. Portanto, o ponto (5, 2,−6) per-
tence à reta r.
81
A Reta
5.6 Equações reduzidas da reta
Da equação (5.1), temos que
x− x1
a
=
y − y1
b
e
x− x1
a
=
z − z1
c
e assim podemos fazer
y = y1 +
b
a
(x− x1) e z = z1 + c
a
(x− x1).
Ou seja, podemos expressar y e z em função da variável x, e
assim constatamos que y e z podem ser da seguinte forma:
y = mx+ n e z = px+ q.
Deste modo, um ponto da reta pode ser encontrado usando
P = (x,mx+ n, px+ q), em que
m =
b
a
e n = y1 − b
a
x1
p =
c
a
e q = z1 − c
a
x1
Observação 8. O mesmo pode ser feito para qualquer das
outras duas variáveis(y e z), desde que abc 6= 0.
Exemplo 5.6.1. Seja a reta r definida pelo ponto A =
(2,−4,−3) e pelo vetor diretor ~v = (1, 2,−3) e expressa pelas
equações simétricas:
x− 2
1
=
y + 4
2
=
z + 3
−3
E assim, fazendo
x− 2
1
=
y + 4
2
e
x− 2
1
=
z + 3
−3
⇒ y = 2x− 8 e z = −3x+ 3.
82
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
5
AULA
Desta forma, podemos encontrar todos os pontos da reta,
pois eles obedecem a P = (x, 2x − 8,−3x + 3), ∀x ∈ R, em
que P é um ponto arbitrário na reta r.
ATENÇÃO
Apesar de todas as equações de reta no espaço (R3) definidas
e ilustradas nos exemplos desta aula, podemos sempre redu-
zir a dimensão para o plano (R2), bastando-nos suprimir a
variável z.
5.7 Paralelismo de retas relativo aos pla-
nos e eixos coordenados
5.7.1 Retas paralelas aos planos coordenados
Uma reta é paralela a um dos planos xy, xz ou yz se seus
vetores diretores forem paralelos ao correspondente plano.
Neste caso, umas das componentes do vetor é nula.
Perceba que para a figura (5.44) as equações paramétricas
de r são: 
x = −1 + 2t
y = 2 + 3t
z = 4
Mas no caso da figura (5.45), as equações paramétricas de r
são: 
x = 1 −t
y = 5
z = 2t
83
A Reta
Figura 5.44: r ‖ (plano − xy),
em que A = (−1, 2, 4) e ~v =
(2, 3, 0) (~v//plano− xy.
Figura 5.45: r passa por A =
(1, 5, 0) e ~v = (−1, 0, 2).
5.7.2 Retas paralelas aos eixos coordenados
Uma reta é paralela a um dos eixos (eixo − x, eixo − y
ou eixo− z) se seus vetores diretores forem paralelos a ~i =
(1, 0, 0) ou a ~j = (0, 1, 0) ou a ~k = (0, 0, 1). Neste caso, duas
das componentes do vetor são nulas.
Exemplo 5.7.1. Seja r a reta que passa por A = (2, 3, 4) e
tem a direção do vetor ~v = (0, 0, 3). Como a direção de ~v é a
mesma de
~k, pois ~v = 3~k, a reta r é paralela ao eixo eixo−z.
A reta r pode ser representada pelas equações
x = 2
y = 3
z = 4 + 3t
As figuras (5.47) e (5.48) apresentam retas que passam por
A = (x1, y1, z1) e são paralelas aos eixos eixo− y e eixo− x,
84
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
5
AULA
Figura 5.46: A = (2, 3, 4) e ~v = (0, 0, 3).
respectivamente. Suas equações são,de forma respectiva,
x = x1
y = y1 + k · t
z = z1
e

x = x1 + k · t
y = y1
z = z1,
com k ∈ R fixo e t parâmetro.
Figura 5.47: A = (x1, y1, z1) e
~v = ~j.
Figura 5.48: A = (x1, y1, z1) e
~v = ~k.
5.8 Mais algumas propriedades
Definição 5.22 (Ângulos de Duas Retas). Sejam as
retas r1 e r2 com as direções de ~v1 e ~v2, respectivamente.
85
A Reta
Chama-se ângulo de duas retas r1 e r2 o menor ângulo de
um vetor diretor de r1 e de um vetor diretor de r2. Sendo θ
este ângulo, então
cos θ =
|〈~v1, ~v2〉|
|~v1| |~v2| com 0 ≤ θ ≤ .
pi
2
(5.1)
Exemplo 5.8.1. Calcular o ângulo entre as retas
r1 :

x = 3 + t
y = t
z = −1− 2t
e r2 :
x+ 2
−2 =
y − 3
1
=
z
1
Perceba que os vetores diretores de r1 e r2 são, respectiva-
mente, ~v1 = (1, 1 − 2) e ~v2 = (−2, 1, 1). Da equação (5.1)
podemos depreender que
cos θ =
|〈~v1, ~v2〉|
|~v1| |~v2| =
|〈(1, 1,−2), (−2, 1, 1)〉|
|(1, 1,−2)| |(−2, 1, 1)| =
| − 2 + 1− 2|√
6
√
6
=
1
2
Portanto, θ = arc cos
(
1
2
)
=
pi
3
rad = 60o.
Definição 5.23 (Retas Ortogonais). Sejam as retas r1
e r2 com as direções de ~v1 e ~v2, respectivamente. Então
r1 ⊥ r2 ⇔ 〈~v1, ~v2〉 = 0
Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. No
entanto, apesar de ambas as retas r1 e r2 da figura (5.23)
serem ortogonais a r, não são concorrentes, a r e sim per-
pendiculares.
Exemplo 5.8.2. Portanto, as retas r1 e r2 dadas a seguir
86
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
5
AULA
Figura 5.49: r1 ‖ r2, embora r1 ⊥ r.
são ortogonais.
x = t
y = −2t+ 1
z = 4t
e

x = 3− 2t
y = 4 + t
z = t
Pois sendo ~v1 = (1,−2, 4) e ~v2 = (−2, 1, 1) vetores diretores
de r1 e r2 e
〈~v1, ~v2〉 = 1(−2)− 2(1) + 4(1) = 0,
as retas r1 e r2 são ortogonais.
Definição 5.24 (Retas ortogonais a Duas retas). Se-
jam as retas r1 e r2 não paralelas, com as direções de ~v1 e
~v2, respectivamente, então toda reta r simultaneamente or-
togonal a r1 e r2 terá a direção de um vetor ~v, tal que 〈~v,~v1〉 = 0〈~v,~v2〉 = 0 (5.2)
87
A Reta
Ao invés de assumirmos ~v 6= ~0 como uma solução particular
de (5.2), poderíamos usar
~v = ~v1 × ~v2 (5.3)
como vetor diretor da reta r, bastando conhecer um de seus
pontos.
Exemplo 5.8.3. Determinar equações paramétricas da reta
r que passa pelo ponto A = (3, 4,−1) e é ortogonal às retas
r1 : (x, y, z) = (0, 0, 1)+t(2, 3,−4) e r2 :

x = 5
y = t
z = 1− t.
As direções de r1 e r2 são definidas pelos vetores ~v1 = (2, 3,−4)
e ~v2 = (0, 1,−1). Assim,
~v1 × ~v2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
2 3 −4
0 1 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (1, 2, 2)
Portanto, r :

x = 3 + t
y = 4 + 2t
z = −1 + 2t
Exemplo 5.8.4 (Interseção de Duas Retas). Vamos
verificar se as retas r1 e r2 são concorrentes e, em caso afir-
mativo, determinar o ponto de interseção:
(a)
r1 :

x = 3 + h
y = 1 + 2h
z = 2− h
e r2 :

x = 5 + 3t
y = −3− 2t
z = 4 + t
88
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
5
AULA
(b)
r1 :
 y = xz = 1− x e r2 :

x = −t
y = 1 + t
z = 2t
(c)
r1 :
 y = x+ 2z = −x− 1 e r2 : x+ 1−2 = y − 1−2 = z + 12 .
Se existir um ponto (x, y, z) comum às duas retas, suas co-
ordenadas obedecem a todas as equações de r1 e r2.
Solução:(a) Igualando as expressões, temos que
3 + h = 5 + 3t
1 + 2h = −3− 2t
2− h = 4 + t
⇒

h− 3t = 2
2h+ 2t = −4
−h− t = 2
Portanto, a solução é h = t = −1 e, assim, (2,−1, 3) o
ponto de interseção entre as retas r1 e r2.
Solução:(b) Fazendo as devidas substituições, temos o sistema 1 + t = −t2t = 1 + t
A partir disso, constatamos que t = − 1
2
e t = 1. Por-
tanto, como o sistema não tem solução, não existe um
ponto de interseção.
Solução:(c) Observe que os vetores diretores de r1 e r2 são, respec-
tivamente, ~v1 = (1, 1,−1) e ~v2 = (−2,−2, 2), ou seja,
~v2 = −2~v1. Portanto, as retas são paralelas e não coinci-
dentes, pois o ponto (0, 2,−1) ∈ r1, mas (0, 2,−1) /∈ r2.
89
A Reta
E assim, não existe um ponto de interseção entre as
retas r1 e r2.
5.9 Resumo
Nesta aula, definimos a equação vetorial da reta e, para isso,
usamos apenas um vetor e um ponto do plano (ou do espaço)
para defini-la. Conhecemos outra forma de representá-la, isto
é, através de sua equação paramétrica, descrita por algumas
equações que dependem de apenas um parâmetro. Com base
na definição da equação vetorial da reta, definimos também
uma reta por dois pontos e um segmento parametrizado. Co-
nhecemos propriedades importantes das retas, como o para-
lelismo de retas relativo aos planos e eixos coordenados, e
ângulos entre duas retas.
5.10 Atividades
(a) Determine uma equação vetorial da reta r definida pelos
pontos A = (2,−3, 4) e B = (1,−1, 2) e verifique se os
pontos C = (
5
2
,−4, 5) e D = (−1, 3, 4) pertencem à r.
(b) Dada a reta r : (x, y, z) = (−1, 2, 3)+t(2,−3, 0), escreva
equações paramétricas de r.
(c) Determine as equações paramétricas da reta que passa
pelos pontos A e B nos seguintes casos:
i. A = (1,−1, 2) e B = (2, 1, 0);
ii. A = (0, 0, 0) e B = (0, 1, 0).
90
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
5
AULA
(d) O ponto P = (m, 1, n) pertence à reta que passa por
A = (3,−1, 4) e B = (4,−3,−1). Detemine P .
(e) Verifique se os pontos P1 = (5,−5, 6) e P2 = (4,−1, 12)
pertencem à reta
r :
x− 3
−1 =
y + 1
2
=
z − 2
−2 .
(f) Determine o ponto da reta r :
x− 1
2
=
y + 3
−1 =
z
4
que
tem:
i. abscissa 5;
ii. ordenada 2.
(g) Determine o ângulo entre as retas:
r1 :

x −2− t
y = t
z = 3− 2t
e r2 :
x
2
=
y + 6
1
=
z − 1
1
(h) Determine o valor de n para que seja de 30o o ângulo
entre as retas
r1 :
 y = nx+ 5z = 2x− 2 e r2 : x− 24 = y5 = z3
(i) Verifique se as retas a seguir são concorrentes e, em caso
afirmativo, encontre o ponto de interseção:
r1 :

x = 2− t
y = 4− t
z = −t
e r2 :

x = −3 + 6h
y = 1 + 7h
z = −1 + 13h
91
A Reta
5.11 Comentário das atividades
Se você entendeu a definição de equação vetorial da reta,
então conseguiu fazer as atividades 1,2 e 3. Se resolveu a
atividade 4, entendeu o conceito de equação de reta definida
por dois pontos. Quanto às questões 5 e 6, pôde concluí-las?
Então você compreendeu a definição de equação simétrica
da reta. Se fez as atividades 7, 8 e 9, então entendeu os
conceitos de equação paramétrica da reta, ângulo entre duas
retas e interseção entre retas, respectivamente.
5.12 Referências
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo,
Makron Books, 1987.
LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear.
Rio de Janeiro, IMPA, 2005.
BOLDRINI, José Luiz, 'Algebra Linear . São Paulo, Harbra,
1980.
92
6
AULA
1
LIVRO
O Plano
META
Apresentar a definição de equações
de planos no espaço e suas proprie-
dades geométricas.
OBJETIVOS
Identificar a equação do plano
nas formas vetorial, paramétrica,
simétricas e reduzidas.
Reconhecer as propriedades geomé-
tricas do paralelismo e perpendicu-
larismo entre planos e entre planos
e retas.
PRÉ-REQUISITOS
Saber identificar a equação da reta
nas formas em que foram apresenta-
das na aula anterior e reconhecer as
propriedades geométricas do parale-
lismo.
O Plano
6.1 Introdução
Olá! Na aula passada, verificamos que é possível definir a
equação vetorial da reta utilizando apenas um vetor e um
ponto do plano. Além disso, aprendemos a representar a
reta a partir da sua equação paramétrica, definir uma reta
por dois pontos e um segmento parametrizado. Também foi
possível conhecer as propriedades das retas.
O principal