Apostila Vetores -- resolvidos --

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NOTA DE AULA 
PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO 
 
 
VETORES 
 
01.INTRODUÇÃO 
Em Física, há duas categorias de grandezas: as escalares e as vetoriais. As primeiras caracterizam‐se apenas pelo 
valor  numérico,  acompanhado  da  unidade  de  medida.  Já  as  segundas  requerem  um  valor  numérico  (sem  sinal), 
denominado módulo ou intensidade, acompanhado da respectiva unidade de medida e de uma orientação, isto é, uma 
direção e um sentido. 
Na figura abaixo, o comprimento   = 4,75cm medido por uma régua milimetrada é uma grandeza escalar, já que 
fica totalmente determinado pelo valor numérico (4,75) acompanhado da unidade de medida (cm). 
 
 
FIGURA 1 ― Régua milimetrada. 
 
São também escalares as grandezas: área, massa, tempo, energia, potência, densidade, pressão, temperatura, 
carga elétrica e tensão elétrica, dentre outras. 
Agora, observe, na figura abaixo, que o deslocamento sofrido pelo carro ao movimentar‐se de P até Q é uma 
grandeza vetorial, caracterizada por um módulo (10 m), uma direção (leste‐oeste) e um sentido (de oeste para leste). 
 
 
 
 
FIGURA 2 ―Deslocamento sofrido por 
um carro. 
 
São  também  vetoriais  as  grandezas:  velocidade,  aceleração,  força,  impulso,  quantidade  de movimento  (ou 
momento linear), vetor campo elétrico e vetor indução magnética, dentre outras. 
Atenção: não confunda direção com sentido, pois são conceitos diferentes. Uma reta define uma direção. A essa direção 
podemos associar dois sentidos. 
Na figura seguinte, os carros A e B percorrem uma mesma avenida retilínea e vão se cruzar. Suas velocidades 
têm a mesma direção, mas sentidos opostos. 
 
 
FIGURA  3  ―  Carros  A  e  B  na mesma 
direção, mas sentidos opostos. 
 
 
02. VETOR 
Um vetor pode ser esboçado graficamente por um segmento de reta orientado (seta), como mostrado na figura 
a seguir: 
 
 
FIGURA 4 ― Representação de um Vetor. 
 
O comprimento    do segmento orientado está associado ao módulo do vetor, a reta suporte r fornece a direção 
e a orientação (ponta aguçada do segmento) evidencia o sentido. 
 
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FIGURA 5 ― Placas  indicativas  informando sobre 
direção e sentido. 
 
 
Nas placas  indicativas existentes nas cidades, o motorista obtém  informações sobre direção e sentido a serem 
seguidos para chegar a um determinado destino. Essas informações se referem às grandezas vetoriais deslocamento e 
velocidade do veículo. 
Até este capítulo, velocidade e aceleração foram tratadas com caráter escalar, isto é, não nos preocupamos com 
a  natureza  vetorial  dessas  grandezas, mas  apenas  com  seus  valores  algébricos. Note  que  essa  é  uma  simplificação 
conveniente  e  permitida  quando  as  trajetórias  são  previamente  conhecidas.  Insistimos,  entretanto,  que  ambas  são 
grandezas vetoriais, cabendo‐lhes, além do módulo ou intensidade, uma direção e um sentido. 
Podemos  definir  vetor  como  um  ente matemático  constituído  de  um módulo,  uma  direção  e  um  sentido, 
utilizado em Física para representar as grandezas vetoriais. 
 
 
 
FIGURA 6 ― Características de um vetor. 
 
No exemplo da figura a seguir, um homem está empurrando um bloco horizontalmente para a direita, aplicando 
sobre ele uma força de intensidade 200 N (N = newton, a unidade de força no SI). 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 7― Homem empurrando um bloco. 
 
 
A força de 200 N que o homem aplica no bloco (grandeza física vetorial) está representada pelo segmento de 
reta orientado, de comprimento 5,0 unidades, em que cada unidade de comprimento equivale a 40 N. 
A notação de um vetor é feita geralmente se utilizando uma letra sobreposta por uma pequena seta, como, por 
exemplo, a, b,  V,  F
  
 ou em NEGRITO. 
Outra notação  também  comum é obtida nomeando‐se  com  letras maiúsculas  as extremidades do  segmento 
orientado que representa o vetor.  
 
 
FIGURA 8 ― Notação de um vetor. 
 
Nessa  notação,  faz‐se  sempre  a  letra  que  nomeia  a  ponta  aguçada  da  seta menos  a  letra  que  nomeia  a 
extremidade oposta (ou "origem"):  a

= B ‐A. 
 
 
3 
03.SOMA E DIFERENÇA DE VETORES 
Os cálculos envolvendo uma grandeza escalar são feitos pelas operações aritméticas usuais. Por exemplo, 6 kg + 
3 kg = 9 kg ou 4 x 2 s = 8 s. Contudo, os cálculos que envolvem vetores necessitam de operações específicas. 
Para entender mais de vetores e as operações com eles envolvidas, começaremos com uma grandeza vetorial 
muito simples, o deslocamento. O deslocamento é simplesmente a variação da posição de um ponto.  (O ponto pode 
representar uma partícula ou um objeto pequeno.) Na figura 9a, representamos a variação da posição de um ponto P1 
ao ponto P2 por uma  linha  reta unindo  estes pontos,  com  a ponta da  flecha  apontando para P2 para  representar o 
sentido do deslocamento. O deslocamento é uma  grandeza  vetorial, porque devemos especificar não  só  a distância 
percorrida como também a direção e o sentido do deslocamento. Caminhar 3 km do sul para o norte  leva a um  local 
completamente diferente de uma  caminhada de 3 km para o  sudeste. Estes dois deslocamentos possuem o mesmo 
módulo, mas direções e sentidos diferentes. 
Vamos representar a grandeza vetorial por uma única letra, tal como a letra 

A , que indica o deslocamento na 
figura 9a. Neste curso sempre designaremos uma grandeza vetorial por um tipo normal e com uma flecha sobre a letra. 
Fazemos  isto para você  lembrar que uma grandeza vetorial possui propriedades diferentes das grandezas escalares; a 
flecha  serve  para  lembrar  que  uma  grandeza  vetorial  possui  direção  e  sentido.  Se  você  não  fizer  esta  distinção  na 
notação entre uma grandeza vetorial e uma grandeza escalar, poderá ocorrer também uma confusão na sua maneira de 
pensar. 
O  comprimento  do  segmento  fornece  o módulo  do  vetor,  a  direção  é  indicada  pelo  segmento  da  reta  e  o 
sentido é indicado pela seta. O deslocamento é sempre dado por um segmento de reta que fornece o módulo que liga o 
ponto inicial ao ponto final da trajetória, mesmo no caso de uma trajetória curva. Na figura 9b, a partícula se deslocou 
ao longo de uma trajetória curva do ponto P1 ao ponto P2, porém o deslocamento é dado pelo mesmo vetor 

A . Note 
que o vetor deslocamento não é associado com a distância total da trajetória descrita. Caso a partícula continuasse a se 
deslocar até o ponto P3 e depois retornasse ao ponto P1, seu deslocamento na trajetória fechada seria igual a zero. 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 9 ― (a) O vetor 

A  é o deslocamento do ponto P1 
ao ponto P2. (b) O deslocamento é um vetor cuja direção é 
sempre traçada do ponto  inicial até o ponto final, mesmo 
no caso de uma trajetória curva. Quando o ponto final da 
trajetória  coincide  com o ponto  inicial, o deslocamento é 
igual a zero. 
 
Vetores paralelos são aqueles que possuem a mesma direção e o mesmo sentido. Se dois vetores possuem o 
mesmo módulo  e  a mesma  direção  e  sentido  eles  são  iguais,  independentemente  do  local  onde  se  encontram  no 
espaço. Na figura 10 o vetor 

A  que liga o ponto P1 ao ponto P2 possui o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo 
sentido do vetor 

A ' que liga o ponto P3 com o ponto P4. Estes dois deslocamentos são iguais, embora eles comecem em 
pontos diferentes. Na figura 10, vemos que 

A  = 

A '. Duas grandezas vetoriais são iguais somente quando elas possuem 
o mesmo módulo e a mesma direção e sentido. 
Contudo, o  vetor  B

 na  figura 10 não é  igual  a 

A , porque possui  sentido  contrário  ao do deslocamento 

A . 
Definimos um vetor negativo como um vetor que possui mesmo módulo e direção do vetor dado, mas possui sentido 
contrário ao sentido deste vetor. O vetor negativo de um vetor 

A  é designado por ‐

A , onde usamos um sinal negativo 
em negrito para enfatizar sua natureza vetorial. Caso 

A  seja um vetor de 87 m apontando do norte para o sul, então      
‐

A  será um vetor de 87 m apontando do sul para o norte. Logo, a relação entreo vetor 

A  e o vetor  B

 na figura 10 
pode  ser  escrita  como 

A   =  ‐B

 ou  B

  =  ‐

A . Quando dois  vetores 

A   e  B

 possuem  a mesma direção, mas  sentidos 
contrários, possuindo ou não o mesmo módulo, dizemos que eles são antiparalelos. 
 
 
4 
 
 
FIGURA 10 ― O deslocamento de P3 até P4 é igual ao 
deslocamento de P1 até P2. O deslocamento B

 de P5 
até  P6  possui  o  mesmo  módulo  de 

A   e  de 

A ', 
porém  seu  sentido  é  oposto;  o  deslocamento  B

  é 
um vetor igual e contrário ao vetor 

A . 
 
Normalmente  representamos  o  módulo  de  uma  grandeza  vetorial  (o  comprimento,  no  caso  do  vetor 
deslocamento) usando a mesma  letra do vetor, porém sem a pequena seta. O uso de barras verticais  laterais é uma 
notação alternativa para o módulo de um vetor: 
(Módulo de 

A ) = A =  l

A l.                                              [1 .2] 
Por definição, o módulo de um vetor é uma grandeza escalar (um número), sendo sempre positivo. Note que 
um vetor nunca pode ser  igual a um escalar porque eles representam grandezas diferentes. A expressão "

A  = 6 m" é 
tão errada quanto dizer "2 laranjas = 3 maçãs"! 
 
3.1 SOMA DE VETORES 
Muitas vezes, encontra‐se em vários problemas não somente um vetor, mas dois ou mais vetores. Para se saber 
o efeito  total combinado destes dois vetores, é necessário obter o vetor resultante, ou seja, somá‐los para obter um 
vetor cujo efeito seja igual ao efeito combinado de todos os vetores do problema. 
Pode‐se obter o vetor resultante através de métodos gráficos (desenhos) e de métodos analíticos (cálculo). 
Graficamente,  têm‐se dois processos: o método do paralelogramo,  indicado para  soma de dois  vetores e o método 
geométrico, indicado para soma de vários vetores. A seguir, são apresentados os dois métodos: 
 
3.1.1)Regra do polígono 
Considere os vetores a, b,  c,  d e e 
   
representados abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 11― Vetores a, b,  c,  d e e 
   
 
 
 
Como podemos obter o vetor soma (ou resultante)  s

, dado por  s =a b +c d + e  
    
? 
Para  responder a essa questão,  faremos outra  figura associando  sequencialmente os  segmentos orientados  ‐ 
representativos  dos  vetores  parcelas  ‐,  de modo  que  a  "origem"  de  um  coincida  com  a  ponta  aguçada  do  que  lhe 
antecede. Na construção dessa figura, devemos preservar as características de cada vetor: módulo, direção e sentido. 
De acordo com a figura a seguir, o que se obtém é uma linha segmentada, denominada linha poligonal. 
 
 
 
 
 
 
FIGURA  12  ―Soma  dos  Vetores a, b,  c,  d e e 
   
pela  regra 
do polígono. 
 
Então, temos que: 
a

 = B ‐ A; b

 = C ‐ B;  c

 = D ‐ C; d

 = E ‐ D e e

 = F ‐ E. 
 
5 
Logo: 
s

 =(B‐A) + (C‐B) + (D‐C) + (E‐D) + (F‐H) 
Assim:  s

 = F ‐ A 
Na figura abaixo, está ilustrado o vetor resultante  s

. O segmento orientado que representa  s

 sempre fecha o 
polígono e  sua ponta aguçada coincide com a ponta aguçada do  segmento orientado que  representa o último vetor 
parcela. 
 
 
 
 
 
 
FIGURA  13―Resultado  da  Soma  dos  vetores
a, b,  c,  d e e 
   
pela regra do polígono. 
 
A esse método de adição de vetores damos o nome de regra do polígono. 
Notas: 
•Vale a propriedade comutativa, isto é, a ordem dos vetores parcelas não altera o vetor soma. 
a b c d e b e d a c        
        
 
•Se a linha poligonal dos vetores parcelas for fechada, então o vetor soma será nulo, como ocorre no caso da soma dos 
vetores  a, b e c 
 
da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
FIGURA  14  ―  Resultado  da  Soma  dos 
Vetores a, b e c 
 
pela regra do polígono. 
 
s =a b c 0  
   
 
 
3.1.2)Regra do paralelogramo 
Considere  os  vetores  a e b

representados  na  figura  15.1.  Admitamos  que  seus  segmentos  orientados 
representativos tenham "origens" coincidentes no ponto O e que o ângulo formado entre eles seja Θ. 
Na figura 2, está feita a adição  a b

pela regra do polígono. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA  15  ―  Soma  dos  Vetores a e b

e  seu 
resultado pela regra do paralelogramo. 
 
 
6 
Observe  que  o  segmento  orientado  representativo  do  vetor  resultante  s

  nada mais  é  que  a  diagonal  do 
paralelogramo formado. 
Assim, dados dois  vetores, é  sempre possível obter‐se graficamente o  vetor  soma  (resultante) pela  regra do 
paralelogramo: fazemos com que os segmentos orientados representativos dos vetores tenham "origens" coincidentes; 
da  ponta  aguçada  do  segmento  orientado  que  representa  um  dos  vetores,  traçamos  uma  paralela  ao  segmento 
orientado  que  representa  o  outro  vetor  e  vice‐versa;  o  segmento  orientado  representativo  do  vetor  resultante  é  a 
diagonal do paralelogramo obtido. 
Retomando  a  figura  anterior, em que  aparece  a  soma  a b

dada pela  regra do paralelogramo,  temos que o 
módulo do vetor soma (resultante)  s

 pode ser obtido aplicando‐se uma  importante relação matemática denominada 
Lei dos cossenos ao triângulo formado pelos segmentos orientados representativos de a, b e s
 
. 
Sendo a o módulo de  a

, b o módulo de b

 e s o módulo de s

, temos: 
s2 = a2 + b2 ‐ 2ab cos(180°‐ Θ) 
Mas: 
cos(180°‐ Θ) =‐cosΘ  
Assim: 
s2 = a2 + b2 + 2ab cosΘ                  [1] 
Casos particulares 
I.  a

 e b

 têm a mesma direção e o mesmo sentido: 
 
Neste caso, Θ = 0°; então, cos0° = 1. 
s2 = a2 + b2 + 2ab   =>    s2 = (a + b)2 
s = a + b                                                 [2] 
 
II.  a

 e b

têm a mesma direção e sentidos opostos: 
 
Neste caso, Θ = 180°; então, cos180° = ‐1. 
s2 = a2 + b2 – 2ab   =>    s2 = (a ‐ b)2 
s = a – b                                                    [3] 
 
III.  a

 e b

são perpendiculares entre si: 
 
Neste caso, Θ = 90°; então, cos90° = 0. 
s2 = a2 + b2                                                   [4] 
 
3.2 DIFERENÇA DE VETORES 
A diferença vetorial nada mais é do que um caso especial da soma vetorial. Efetuar a diferença vetorial entre 
dois vetores 

A  e 

B  significa realizar a soma do vetor 

A  com o oposto do outro vetor 

B . Sendo que o oposto do vetor 

B  é um vetor idêntico ao vetor original, porém com sentido contrário.   
 
7 
 
 
 
 
 
FIGURA 16 ― Vetores opostos. 
 
Por se tratar de um caso especial da soma vetorial, todas as considerações feitas para soma também valem para 
diferença vetorial, e os métodos de obtenção do vetor diferença  D

são os mesmos processos de obtenção do vetor 
resultante ou vetor soma. Veja o exemplo com o método geométrico: 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 17 ― Diferença dos vetores A e B
 
. 
 
 
04.COMPONENTES DE UM VETOR E VETORES UNITÁRIOS 
O método geométrico de adicionar vetores não é o procedimento  recomendado em situações que  requerem 
grande precisão, ou em problemas  tridimensionais, pois  somos  forçados  a desenhá‐los  em um papel bidimensional. 
Nesta seção descrevemos um método de adicionar vetores que utiliza as projeções de um vetor ao longo dos eixos de 
um sistema de coordenadas retangular. 
Considere um vetor 

A  no plano xy fazendo um ângulo arbitrário Θ com o eixo x positivo, como na figura 18a. O 
vetor 

A  pode ser representado por suas componentes retangulares, Ax e Ay. A componente Ax representa a projeção de 
A ao  longo do eixo  x, e Ay  representa a projeção de 

A  ao  longo do eixo  y. As  componentes de um  vetor, que  são 
grandezas escalares, podem ser positivas ou negativas. Por exemplo, na figura 18a, Ax e Ay são ambas positivas. O valor 
absoluto das componentes são os módulos dos vetores componentes associados Ax e Ay. 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA  18  ―  (a)  Um  vetor 

A   no  plano  xy  pode  ser 
representado  por  seus  vetores  componentes  Ax    e  Ay.  (b)  O 
vetor componente y, Ay ĵ , pode ser movido para a direita de tal 
forma que ele seja adicionado a Ax. O vetor soma dos vetorescomponentes  é 

A .  Esses  três  vetores  formam  um  triângulo 
retângulo. 
 
 
8 
A  figura 18b mostra novamente os  vetores  componentes, mas  com o  vetor  componente  y deslocado de  tal 
forma  que  ele  seja  adicionado  vetorialmente  ao  vetor  componente  x.  Esse  diagrama  nos  mostra  dois  aspectos 
importantes.  Em  primeiro  lugar,  um  vetor  é  igual  à  soma  de  seus  vetores  componentes.  Assim,  a  combinação  dos 
vetores  componentes  é  um  substituto  válido  para  o  vetor  real.  O  segundo  aspecto  é  que  o  vetor  e  seus  vetores 
componentes  formam  um  triângulo  retângulo.  Assim,  podemos  deixar  o  triângulo  ser  um modelo  para  o  vetor  e 
podemos usar a trigonometria de triângulos retângulos para analisar o vetor. Os catetos do triângulo têm comprimentos 
proporcionais às componentes (dependendo de qual fator de escala foi escolhido), e a hipotenusa tem um comprimento 
proporcional ao módulo do vetor. 
Da  figura  18b  e  da  definição  do  seno  e  do  co‐seno  de  um  ângulo,  vemos  que  cosΘ  = Ax/A  e  senΘ  = Ay/A. 
Portanto, as componentes de 

A  são dadas por 
Ax = A cosΘ       e        Ay = A senΘ                            [5] 
É importante notar que ao utilizar essas equações componentes, Θ tem de ser medido em sentido anti‐horário a 
partir do eixo x positivo. De nosso triângulo, segue‐se que o módulo de 

A  e sua direção estão relacionados com suas 
componentes por meio do teorema de Pitágoras e da definição da função tangente: 
A2 = Ax
2 + Ay
2                                                                [6] 
tg Θ = Ay/Ax                                                                                                        [7] 
Para obter Θ, podemos escrever Θ = tg‐1 (Ay/Ax), que é lida "Θ” é igual ao ângulo cuja tangente é a razão Ay/Ax. 
Observe que os sinais das componentes Ax e Ay dependem do ângulo Θ. Por exemplo, sen Θ = 120°, Ax é negativa e Ay é 
positiva. Por outro lado, se Θ = 225°, tanto Ax quanto Ay são negativas.  
Se você escolher eixos de referência ou um ângulo diferentes daqueles mostrados na figura 18, as componentes 
do  vetor  têm  de  ser  modificadas  de  acordo  com  isso.  Em  muitas  aplicações  é  mais  conveniente  expressar  as 
componentes de um vetor em um sistema de coordenadas  tendo eixos que não são horizontais e verticais, mas que 
ainda são perpendiculares entre si. Suponha que um vetor 

B  faça um ângulo Θ, com o eixo x' definido na figura 19.  
 
 
 
 
 
FIGURA 19 ― As componentes do vetor 

B  em um sistema de 
coordenadas que está inclinado. 
 
As componentes de 

B  ao longo desses eixos são dadas por Bx’ = B cosΘ’ e por By = B senΘ’, como na Equação 
(5).  O módulo  e  a  direção  de 

B   são  obtidos  das  expressões  equivalentes  às  Equações  (6)  e  (7).  Assim,  podemos 
expressar as componentes de um vetor em qualquer sistema de coordenadas que seja conveniente para uma situação 
particular. 
Grandezas vetoriais são expressas  freqüentemente em  termos dos vetores unitários. Um vetor unitário é um 
vetor sem dimensões com módulo unitário e é usado para especificar uma direção. Os vetores unitários não têm outro 
significado  físico.  São  usados  simplesmente  como  conveniência  prática  ao  descrever‐se  uma  direção  no  espaço. Os 
vetores unitários fornecem uma notação conveniente para cálculos que envolvem os componentes de vetores. Sempre 
usaremos acento circunflexo ou "chapéu" (^) para simbolizar um vetor unitário e distingui‐lo de um vetor comum cujo 
módulo pode ser igual a 1 ou diferente de 1. 
Usaremos  os  símbolos  ˆˆ ˆi, j e k   para  representar  vetores  unitários  apontando  nas  direções  x,  y  e  z, 
respectivamente.  Assim,  os  vetores  unitários  ˆˆ ˆi, j e k formam  um  conjunto  de  vetores mutuamente  perpendiculares, 
como mostrado na figura 20a, onde o módulo de cada vetor unitário é igual a um; isto é, l î l = l ĵ l = l k̂ l = 1. 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 20 ― (a) Os vetores unitários  ˆˆ ˆi, j e k  estão direcionados 
ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente, (b) Um vetor 

A  no 
plano xy  tem vetores componentes Ax e Ay onde Ax e Ay  são as 
componentes de 

A . 
 
Considere um vetor 

A  no plano xy, como na figura 20b. O produto da componente Ax com o vetor unitário  î  é 
o  vetor  componente Ax î  paralelo  ao  eixo  x  com magnitude Ax. Da mesma  forma, Ay ĵ   é um  vetor  componente de 
magnitude Ay paralelo ao eixo y. Ao utilizar a forma unitária de um vetor, estamos simplesmente multiplicando um vetor 
(o vetor unidade) por um escalar (a componente). Assim, a notação de vetor unitário para o vetor 

A  é escrita 
 

x y
ˆ ˆA  A i   A j                                                          [8] 
Suponha  agora  que  você  deseje  adicionar  o  vetor 

B   ao  vetor 

A ,  onde 

B   tem  componentes  Bx  e  By.  O 
procedimento  para  realizar  essa  soma  é  simplesmente  adicionar  as  componentes  x  e  y  separadamente.  O  vetor 
resultante   
  
R  A   B  é, portanto, 
      x x y yˆ ˆR  A    B i + A    B j                               [9] 
Assim, as componentes do vetor resultante são dadas por 
Rx = Ax+ Bx 
Ry = Ay+ By                                                               [10] 
O módulo de  R

  e o  ângulo que  ele  faz  com o  eixo  x podem  então  ser obtidos de  suas  componentes utilizando  as 
relações 
2 2 2 2 2
x y x x y yR R R (A B ) (A B )                      [11] 

  

y y y
x x x
R A B
tg
R A B
                                                  [12] 
O  procedimento  que  acabamos  de  descrever  para  adicionar  dois  vetores  A

  e  B

  utilizando  o método  de 
componente pode ser checado usando‐se um diagrama como a figura 21. 
A  extensão  desses métodos  para  vetores  tridimensionais  é  direta.  Se  A

  e  B

  têm  componentes  x,  y  e  z, 
expressamos os vetores na forma 
  
  


x y z
x y z
ˆˆ ˆA  A i   A j   A k 
ˆˆ ˆB  B i   B j   B k 
 
A soma de 

A  e 

B  é 
             x x y y z z ˆˆ ˆR A B A    B i    A  B j   (A    B )k                [13] 
O mesmo procedimento pode ser usado para adicionar três ou mais vetores. Se um vetor 

R  tem componentes 
x, y e z, o módulo do vetor é 
 
10
2 2 2 2
x y zR    R  R    R  
   
 
O ângulo Θ que 

R  faz com o eixo x é dado por 
  xx
R
cos              
R
 
com expressões similares para os ângulos em relação aos eixos y e z. 
 
 
 
 
 
FIGURA 21 ― Uma construção geométrica mostrando a 
relação entre as componentes da resultante 

R  de dois 
vetores e as componentes individuais. 
 
 
05. PRODUTOS DE VETORES 
Podemos escrever concisamente muitas outras relações entre grandezas físicas usando produtos de vetores. Os 
vetores não são números comuns, de modo que o produto comum não é diretamente aplicado para vetores. Vamos 
definir três tipos de produtos usando vetores. O primeiro será denominado produto de um escalar por um vetor dando 
como resultado um novo vetor. O segundo será o produto de dois vetores denominado produto escalar,  fornece um 
resultado  que  é  uma  grandeza  escalar.  O  terceiro,  também  será  o  produto  de  dois  vetores,  denominado  produto 
vetorial, fornece outra grandeza vetorial. 
 
5.1 PRODUTO DE UM ESCALAR POR UM VETOR 
O produto de um escalar e por um vetor  A

 é um novo vetor com as seguintes características: 
Módulo:  eA  
Direção: a mesma de  A

 
 Sentido: depende do sinal de e: 
e > 0: mesmo sentido de  A

 
e < 0: sentido oposto de  A

. 
Para dividir  A

 por e , basta multiplicar  A

 por (1/e) . 
Na figura abaixo mostramos o resultado do produto de um escalar e por um vetor A

com e = 3 e e  = ‐3. 
 
 
 
 
 
FIGURA 22 ― Produto de um escalar e por um vetor  A

 
 
5.2 PRODUTO ESCALAR 
O produto escalar de dois vetores A e B
 
é designado por  A B
 
 
Para definir o produto escalar  AB
 
de dois vetores  A e B
 
, desenhamos o início destes vetores no mesmo ponto 
(figura 23a). O ângulo entre os vetores é designado por Θ como indicado: o ângulo Θ está sempre compreendido entre 
0o e 180°. A figura 23b mostra a projeção do vetor B

 na direção de  A

; esta projeção é dada por B

cosΘ e corresponde 
ao componente de B

 paralelo ao vetor  A

. (Podemos obter componentes ao longo de qualquer direção conveniente e 
não somente nas direções dos eixos Ox e Oy.)  
 
11
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 23 ― (a) Dois vetores desenhados a partir de um mesmo 
ponto para definir o produto escalar  A B
 
= AB cosΘ. (b) B cosΘ é o 
componente de  B

 paralelo ao vetor  A

 e  A B
 
 é o produto deste 
componente pelo módulo de  A

. (c)  A B
 
 é também o produto do 
módulo de B

 pelo componente de A paralelo ao vetor B

. 
 
 
Definimos  A B
 
 como sendo o módulo de  A

 multiplicado pelo componente de B

 paralelo ao vetor  A

. Ou seja, 
A B
 
= AB cosΘ = l

A l.lB

l cosΘ     (definição do produto escalar),             [14] 
onde Θ está compreendido entre 0° e 180°. 
Como alternativa, podemos definir  A B
 
 como o produto do módulo de B

 multiplicado pelo componente de  A

 
na direção do vetor  B

, como  indicado na figura 23c. Logo,  A B
 
= BA cosΘ =  lB

l.  l

A l cosΘ, confirmando as Equações 
(14). 
O produto  escalar  é uma  grandeza  escalar, não  é um  vetor, possuindo um  valor positivo, negativo ou nulo. 
Quando Θ está compreendido entre 0° e 90°, o produto escalar é positivo. Quando Θ está compreendido entre 90° e 
180°, o produto escalar é negativo. Desenhe um diagrama análogo ao da figura 23 porém com Θ compreendido entre 
90° e 180°, para você se convencer de que nesse caso o componente de B

 na direção do vetor  A

 é negativo, do mesmo 
modo que o componente de  A

 na direção do vetor B

. Finalmente, quando Θ = 90°,  A B 0
 
. O produto escalar de dois 
vetores ortogonais é sempre igual a zero. 
Para  dois  vetores  arbitrários,  A e B
 
,  ABcosΘ  =  BAcosΘ.  Isto  significa  que  A B B A
   
.  O  produto  escalar 
obedece à lei comutativa da multiplicação; a ordem dos dois vetores não importa. 
Usaremos o produto escalar no capítulo de Trabalho e Energia para definir o trabalho realizado por uma força. 
Quando uma  força constante  F

 é aplicada a um corpo, que sofre um deslocamento  s

, o  trabalho W  (uma grandeza 
escalar) realizado por esta força é dado por 
W   F   s
 
. 
O trabalho realizado por uma força é positivo quando o ângulo entre  F e s
 
estiver compreendido entre 0° e 90°, 
negativo  se  este  ângulo  estiver  compreendido  entre  90°  e  180°  e  igual  a  zero  quando  F e s
 
forem  dois  vetores 
ortogonais.  Em  capítulos  posteriores  usaremos  o  produto  escalar  para  diversas  finalidades,  desde  o  cálculo  de  um 
potencial elétrico até a determinação dos efeitos produzidos pela variação de campos magnéticos em circuitos elétricos. 
Podemos calcular o produto escalar  A B
 
 diretamente quando os componentes x, y e z dos vetores  A e B
 
forem 
conhecidos. Para ver como  isto é  feito, vamos calcular o produto escalar dos vetores unitários.  Isto é  fácil, visto que 
ˆˆ ˆi, j e k  são vetores mutuamente ortogonais. Usando as Equações (14), achamos 
ˆ ˆi i  = ˆ ˆj j  =  ˆ ˆk k  = 1 . 1 . cos0° =1 
ˆ ˆi j  =  ˆî k  =  ˆĵ k = 1 . 1 . cos90° =0 
 
5.3 PRODUTO VETORIAL 
 
12
O  produto  vetorial  de  dois  vetores  A e B
 
é  designado  pelo  símbolo  A B
 
.  Usaremos  este  produto  em  um 
capítulo posterior  para descrever o torque e o momento angular. Mais tarde também usaremos frequentemente este 
produto para campos magnéticos, quando então ele nos será útil para determinar relações entre direções espaciais para 
diversas grandezas vetoriais. 
Para  definir  o  produto  vetorial  A B
 
  de  dois  vetores  A e B
 
desenhamos  os  dois  vetores  com  início  em  um 
mesmo ponto (figura 24a).  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA  24  ―  (a)  Dois  vetores  A e B
 
  situados  em  um 
mesmo plano; o produto vetorial  A B
 
 é perpendicular a 
este  plano  e  seu  sentido  é  dado  pela  regra  da  mão 
direita.  (b)  A B
 
=  ‐B A
 
,  o  produto  vetorial  de  dois 
vetores é anticomutativo. 
 
Assim, os dois vetores ficam situados em um mesmo plano. Definimos o produto vetorial como uma grandeza 
vetorial perpendicular a este plano  (isto é, perpendicular  tanto ao vetor  A

 quanto ao vetor B

) e possuindo módulo 
dado por AB senΘ. Isto é, seC A B 
  
, então 
l C

l = AB senΘ = l

A l.lB

l senΘ     (módulo do produto vetorial de  A e B
 
).                     [15] 
Medimos o ângulo Θ entre  A e B
 
 como sendo o menor ângulo entre estes dois vetores, ou seja, o ângulo Θ está 
compreendido entre 0o e 180°. Logo,  l C

l na Equação  (15) possui  sempre valor positivo, como era de esperar para o 
módulo de um vetor. Note que quando  A e B
 
forem dois vetores paralelos ou antiparalelos, Θ= 0° ou 180° e l C

l = 0. Ou 
seja,  o  produto  vetorial  de  dois  vetores  paralelos  ou  antiparalelos  é  sempre  igual  a  zero.  Em  particular,  o  produto 
vetorial de um vetor com ele mesmo é  igual a zero. Para avaliar o contraste entre o produto escalar e o módulo do 
produto vetorial de dois vetores,  imagine que o ângulo entre os vetores  A e B
 
 possa variar enquanto  seus módulos 
permanecem constantes. Quando  A e B
 
 são paralelos, o produto escalar possui seu valor máximo enquanto o módulo 
do produto vetorial é  igual a  zero. Quando  A e B
 
  são perpendiculares, o produto escalar é  igual a  zero enquanto o 
módulo do produto vetorial possui seu valor máximo. 
Existem  sempre dois  sentidos para uma direção ortogonal a um plano, um para  cima e outro para baixo do 
plano. Escolhemos o sentido de  A B
 
 do seguinte modo:  imagine que o vetor  A

 sofra uma rotação em torno de um 
eixo ortogonal ao plano até que ele se superponha com o vetor B

, escolhendo nesta rotação o menor ângulo entre os 
vetores  A e B
 
. Faça uma rotação dos quatro dedos neste sentido; o dedo polegar apontará no sentido de  A B
 
. A regra 
da mão direita é indicada na figura 24a. O sentido do produto vetorial é também dado pela rotação de um parafuso de 
rosca direita quando ele avança ao ser girado de  A

 para B

, conforme indicado. 
Analogamente, determinamos o sentido de  B A
 
fazendo uma rotação de  B

 para  A

 como  indicado na  figura 
24b. O  resultado é um vetor oposto ao vetor  A B
 
. O produto vetorial não é comutativo! De  fato, para dois vetores 
A e B
 
 
A B
 
= ‐B A
 
.                                                               [16] 
 
13
Assim  como  fizemos  para  o  caso  do  produto  escalar,  podemos  fazer  uma  interpretação  geométrica  para  o 
módulo do produto vetorial. Na figura 25a, B senΘ é o componente de B

 em uma direção perpendicular à direção de A

. 
Pela Equação (15) vemos que o módulo de  A B
 
 é igual ao módulo de  A

 multiplicado pelo componente de B

 em uma 
direção perpendicular à direção de  A

. A  figura 25b mostra que o módulo de  A B
 
é  também  igual ao módulo de  B

 
multiplicado pelo componente de  A

 em uma direção perpendicular à direção de  B

. Note que a figura 25 mostra um 
caso no qual Θ está compreendido entre 0o e 90°; você deve desenhar um diagrama semelhante para Θ compreendido 
entre 90° e 180° para verificar que a mesma interpretação geométrica vale para o módulo de A B
 
. 
 
 
 
 
 
 
FIGURA  25  ―  (a)  BsenΘ  é  o  componente  de  B

  em  uma 
direção perpendicular à direção de  A

, e o módulo de  A B
 
 é 
igual ao produto do módulo de  A

 por este componente, (b) O 
módulo de A B
 
 é também igual ao módulo de B

 multiplicado 
pelo  componentede  A

  em  uma  direção  perpendicular  à 
direção de B

. 
 
Quando  conhecemos os  componentes de  A

 e de  B

, podemos  calcular os  componentes do produto vetorial 
mediante  procedimento  análogo  ao  adotado  para  o  produto  escalar.  Inicialmente  convém  fazer  uma  tabela  de 
multiplicação vetorial para os vetores unitários  ˆˆ ˆi , j e k . O produto vetorial de um vetor com ele mesmo é igual a zero, 
logo 
ˆ ˆi i  = ˆ ˆj j  =  ˆ ˆk k  =  0

 
O  zero  com  a  flechinha  é  para  lembrar  que  este  produto  fornece  um  vetor  nulo,  isto  é,  aquele  cujos 
componentes são nulos e não possui direção definida. Usando as Equações (15) e (16) e a regra da mão direita, achamos 
ˆˆ ˆ ˆ ˆi j j i k     
ˆ ˆˆ ˆ ˆj k k j i                                                                               [17] 
ˆ ˆˆ ˆ ˆk i i k j     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01.No plano quadriculado abaixo, estão representados três vetores:   x ,  y e z
  
. 
 
Determine o módulo do vetor soma s   x   y   z  
   
. 
SOLUÇÃO: 
 
Aplicando‐se o Teorema de Pitágoras no triângulo destacado, vem: 
s2 = 32 + 42  
 s = 5u 
 
02.Duas forças  1 2F e F
 
estão aplicadas sobre uma partícula, de modo que a força resultante é perpendicular a  1F

 . Se | 1F

| 
= x e | 2F

| = 2x, qual o ângulo entre  1 2F e F
 
? 
SOLUÇÃO: 
 
1
2
F x 1
sen
F 2x 2
30
90
120
   
  
   
  
 
 
03.Quais são as propriedades dos vetores a e b

 tais que: 
a)  a b c 
 
  e  a + b = c 
SOLUÇÃO: 
Temos que: 
   c   c    a   b   a   b    a   a   b   b  2a b                 
ou seja: 
c2 = a2 +b2 + 2abcosΘ 
Para que c = a + b é necessário que Θ = 0 pois 
c2 = a2 + b2 + 2ab = (a+b)2 
Portanto a| b 
 
b)   a   b   a   b  
  
 
 
15
SOLUÇÃO: 
Da equação acima, temos que: 
a   a   b   b    
2b   0    
b   0
  


  
 
 
 
 
c)  a   b   c    
 
 e   a2+b2=c2 
SOLUÇÃO: 
Como 
c2 =a2 +b2 + 2abcosΘ  para que 
c2 = a2 + b2+ 2ab = (a+ b)2  
devemos ter 
Θ = π/2   
portanto  
a   b

 
 
04.Prove que dois vetores devem ter o mesmo módulo para que sua soma seja perpendicular á sua diferença. 
SOLUÇÃO: 
    2 2a   b     a b a  b 0  
a   b
    

  
 
 
05.Dois vetores são dados por  ˆ ˆa   3i 5j 

 e  ˆ ˆb   2i   4j 

.  
Calcule:  
a) a   b

 
SOLUÇÃO: 
 
ˆˆ ˆi j k
ˆ ˆa   b =  3 5 0 k 3.4 5.2 2k
2 4 0
 
 
    
 
 

 
 
b)  a   b

 
SOLUÇÃO: 
a   b

 = 3.2 + 5.4 = 26 
 
c)   a  b    b    
SOLUÇÃO: 
     ˆ ˆ ˆ ˆa  b    b =  5i   9j   2i   4j  5.2   9.4   46        
 
06.Determine o valor de a para que o vetor   ˆ ˆu   ai   10j 

 seja ortogonal ao vetor   ˆ ˆv    4i   2j  

. 
SOLUÇÃO: 
Para que sejam ortogonais devemos ter: 
u v 0
 
 
‐4a + 20 = 0 
a = 5 
 
07.Considere as seguintes forças (em newtons): 
1
ˆ ˆF 2i   3j 

                         
2
ˆ ˆF   3i   5j  

 
3
ˆ ˆF  5i   2j 

                         
4
ˆ ˆF   i 6j  

 
Calcule:  
a) o módulo do vetor resultante,  
 
16
SOLUÇÃO: 
Podemos escrever diretamente: 
Fx = 2‐3 + 5‐1 = 3  
Fy = 3 + 5 + 2‐6 = 4 
a) O módulo do vetor resultante é dado por: 
F=(32 + 42)1/2 = 251/2 = 5N 
b) a tangente do ângulo formado entre o vetor resultante e o eixo Ox. 
SOLUÇÃO: 
A tangente do ângulo entre a força resultante e o eixo Ox é dada por: 
tanα= Fy/Fx = 4/3 = 1,333 
 
08. Dados dois vetores,  
x y z
x y z
ˆˆ ˆa   a i   a j   a k 
ˆˆ ˆb   b i   b j   b k
  
  

  
determine o produto escalar  a b

. 
SOLUÇÃO: 
Multiplicando  escalarmente membro  a membro  as  duas  relações  anteriores  e  lembrando  que  ˆˆ ˆi,  j e k   são  vetores 
unitários ortogonais entre si, obtemos facilmente a expressão solicitada: 
X X y y Z Za   b   a b    a b    a b  

 
 
09.Considere as forças: 
1
2
3
ˆ ˆF    2i   j
ˆˆ ˆF     i   j + k
ˆˆ ˆF     i   j + k
 
 
 



 
onde as forças são dadas em newtons e todas as unidades são do sistema MKS. Calcule a força que deve ser adicionada 
a este conjunto de forças para que a soma vetorial de todas as quatro forças seja igual a zero.  
SOLUÇÃO: 
Procuramos uma força  4F

 que deverá equilibrar o conjunto das três forças dadas. Esta força procurada será dada por: 
4
ˆˆ ˆF  xi   yj   zk  

                 (1) 
onde x, y e z são os componentes da força procurada. O newton (N) é a unidade de cada componente das forças é, de 
modo  que  não  é  necessário  fazer  nenhuma  conversão  de  unidade,  ficando  implícito  que  todas  as  unidades  são 
homogêneas; portanto, não mencionaremos mais as unidades deste problema. 
Como sabemos, para fazer uma soma vetorial basta somar algebricamente os componentes dos vetores, ou seja: 
     1 2 3 4 ˆˆ ˆF  F  F  F   4   x i    1   y i    3   z k        
   
 
Para que a soma vetorial indicada acima seja nula, cada componente deve ser igual a zero, isto é, 
4 + x = 0;        1 + y = 0;        3 + z = 0 
Das relações anteriores obtemos: 
x = ‐4;        y = ‐1;        z = ‐ 3 
Substituindo estes valores na  relação  (1), determinamos a  força necessária para equilibrar o conjunto das  três  forças 
dadas: 
4
ˆˆ ˆF   4i   j   3k   

 
 
10.Dois vetores formam um ângulo de 110°. Um dos vetores é de 20 unidades de comprimento e faz um ângulo de 40° 
com o vetor resultante da soma dos dois. Determine o módulo do segundo vetor e do vetor soma. 
SOLUÇÃO: 
Vamos supor que  c a  b 
 
e que | a

| = 20, fazendo um ângulo α=40° com o vetor resultante  c

. 
Escolhendo o eixo Ox na direção e  sentido do vetor  a

 então o ângulo entre o vetor  b

 e este eixo vale Θ = 110°  (o 
mesmo que entre  a e b

). 
 
17
 
Cálculo do módulo do vetor  b

 Da mesma  forma,  α é o ângulo entre o vetor  c

 e o eixo Ox  (figura). Em  termos das 
componentes: 
ax = acos0° = 20  
bx = bcos110° = −0,34b  
cx = ax + bx = 20 − 0,34b 
ay = sen0° = 0  
by = bsen110° = 0,94b  
cy = ay + by = 0,94b 
ˆ ˆc  (20   0,34b)i 0,94bj  

 
Para α = 40°, e como sabemos que 
x
y
c
tg
c
0,94b
tg40
20 0,34b
0,94b (20 0,34b).tg40
 
 

  
 
com tg 40° = 0,84, temos: 
0,94b = (20 − 0,34b) . 0,84  
0,94b + 0,29b = 16,8  
b = 13,7 que é o módulo do vetor b

. 
Para calcular o módulo do vetor  c

, basta usar sua representação 
ˆ ˆc (20   0,34b)i 0,94bj  

para b = 13,7. Assim, 
ˆ ˆ ˆ ˆc (20   0,34.13,  7)i 0,94.13,7 j 15,3i 12,9 j    

 
2 2c 15,3 12,9 20  

 
 
 
EXERCÍCIOS PARA RESOLVER 
 
01. Quais das grandezas seguintes são vetores e quais não são: força, temperatura, o volume da água em um pote, as 
avaliações de um show de TV, a altura de um prédio, a velocidade de um carro esportivo, a idade do Universo? 
 
02. É possível adicionar uma grandeza vetorial a uma grandeza escalar? Explique. 
 
03. Dois vetores que tenham módulos diferentes podem ser combinados de modo que sua resultante seja nula? E três 
vetores? 
 
04. Um vetor pode ter módulo nulo se uma de suas componentes é diferente de zero? 
 
05. Suponha que  1 2d   d  d 
  
. Isto significa que temos de ter  1d d
 
, ou  2d d
 
? Se não, explique por quê. 
 
06. Explique em que sentido uma equação vetorial contém mais informação que uma equação escalar. 
 
07. Se  a b

 = 0, isto quer dizer que  a e b

são perpendiculares entre si? Se  a b

=  a c
 
, isso quer dizer queb c
 
? 
 
08. Se  a b

 = 0, é necessário que  a

 seja paralelo a b

? O inverso é verdadeiro? 
 
 
18
09. (a) Mostre que, se  invertermos os sentidos de todas as componentes de um vetor, então o próprio vetor também 
terá invertido o seu sentido. (b) Mostre que se invertermos as componentes de dois vetores que formam um produto 
vetorial, então o vetor produto não é alterado. (c) O vetor produto, nesse caso, é um vetor? 
 
10.Considere dois deslocamentos, um de módulo 3m e outro de módulo 4m. Mostre como os vetores deslocamentos 
podem ser combinados de modo que o deslocamento resultante tenha módulo  
a) 7m    b) 1m    c) 5m 
 
11. Dois vetores  a e b

são somados. Mostre graficamente, com diagramas vetoriais, que o módulo da resultante não 
pode ser maior do que a + b nem menor do que |a – b|; as barras verticais significam valor absoluto. 
 
12. Um quarto tem como dimensões 3,0m x 3,7m x 4,3m. Uma mosca parte de um dos vértices e termina no vértice 
diametralmente oposto. 
a) Ache o vetor deslocamento num referencial cujos eixos coordenados sejam paralelos às arestas do quarto. 
b) Qual é o módulo do deslocamento?  
c) Poderia o  comprimento da  trajetória percorrida pela mosca  ser menor do que essa distância? Maior do que essa 
distância? Igual a essa distância? 
d) Se a mosca anda em vez de voar, qual é o comprimento da trajetória mais curta que ela pode tomar? 
 
13. 
a) Qual é a soma, na notação de vetores unitários, dos dois vetores  ˆ ˆa   5i   3j 

 e  ˆ ˆb    –  3i   2j 

? 
b) Qual é o módulo e a direção de a b

? 
 
14. Dois vetores são dados por  ˆˆ ˆa   4i   3j + k 

e  ˆˆ ˆb  –   i   j + 4k 

. Encontre  
a)  a b

 
b)  a b

 
c) um vetor  c

tal que  a b c 0  
 
 
 
15. Dois vetores  A e B
 
têm módulos  iguais de 12,7 unidades. Eles estão orientados como mostra a  figura e sua soma 
vetorial é  r

. Encontre: 
a) as componentes x e y de  r

  
b) o módulo de  r

  
c) o ângulo que  r

 faz como o eixo + x. 
 
16. Um vetor  a

 de módulo  igual a 10 unidades e outro vetor  b

 de módulo  igual a 6 unidades apontam para direções 
que fazem um ângulo de 60° entre si.  
a) Determine o produto escalar entre os dois vetores e  
b) o produto vetorial entre eles. 
 
17. a) Usando vetores unitários ao  longo de três  lados de um cubo, expresse as diagonais de um cubo em termos de 
seus lados, que têm comprimento a. 
b) Determine os ângulos formados pelas diagonais com os lados adjacentes. 
c) Determine o comprimento das diagonais. 
 
18. Mostre para qualquer vetor  a

, que 
a)  a a
 
= a2    b)  a a
 
 = 0 
 
19.Considere as forças: 
 
19
1
2
3
4
ˆˆ ˆF  2i  3j   k
ˆˆF     i  k
ˆ ˆF   i   j
ˆˆ ˆF   i   j   k
  
  
  
   




 
Determine a força  5F

 necessária para equilibrar a ação destas quatro forças. 
 
20. Dados dois vetores,  
x y z
x y z
ˆˆ ˆa   a i   a j   a k 
ˆˆ ˆb   b i   b j   b k
  
  

  
determine o produto vetorial  a b

. 
 
21. Mostre que  a b

 pode ser expresso por um determinante 3 x 3 como 
  a b

=  x y z
x y z
ˆˆ ˆi j k
a a a
b b b
 
22. Três vetores somam zero, como no triângulo retângulo da figura.  
 
Calcule  
a)  a b

    b)  a c
 
    c) b c
 
    d)  a b

   e)  a c
 
   f) b c
 
 
 
23. (a) Determine os componentes e o módulo de  r a b c  
  
 se  ˆˆ ˆa 5i 4 j 6k  

,   ˆˆ ˆb 2i 2j 3k   

 e   ˆˆ ˆc 4i 3j 2k  

. (b) 
Calcule o ângulo entre  r

 e o eixo z positivo. 
 
24.Sejam b e c
 
dois lados quaisquer de um triângulo.  Deduza uma relação para obter a área deste triangulo em função 
dos vetores b e c
 
. 
 
25.Mostre que:  
a)  u v v u
   
 
b) u v v u  
   
 
c) u (v w) u (w v)  
     
 
 
26.Mostre que: 
u (v w) w (u v) v (w u)    
        
 
 
27.Dados os vetores 
ˆ ˆt    i   j 

 
ˆ ˆv   2i   3j 

 
ˆ ˆv    i   j 

 
calcule os seguintes produtos:  
a)  t  (u v)
  
 
b)  t  (u v) 
  
 
c)  ( t  u) v 
  
 
 
28. Determine o valor de m para que o vetores   ˆˆ ˆc 3i 5j 9k  

 e  ˆˆ ˆa 7i mj 4k  

 sejam perpendiculares entre si. 
 
 
20
29.Considere os vetores: 
1
2
3
4
5
6
ˆ ˆF    2i   3j
ˆ ˆF    ‐5i   5j
ˆ ˆF    ‐7i  4 j
ˆ ˆF    ‐2i   3j
ˆ ˆF    8i   2j
ˆ ˆF    2i  j
 
 
 
 
 
 






 
Calcule:  
a) o módulo da resultante:  
b) o ângulo formado entre  a

 resultante e o eixo Ox. 
 
30.Sabendo que:  1 2 3v v v 0  
  
 
Calcule o dobro da área A formada por estes três vetores. 
 
31. Mais  tarde,  em  nossos  estudos  de  física,  encontraremos  grandezas  representadas  por  (A B) C 
 
. Quaisquer  que 
sejam os vetores A,BeC
 
, prove que  (A B) C A (B C)    
    
.  
a)Calcule  (A B) C 
 
 para os três vetores:  ˆ ˆA 3i 5j 

,  ˆˆ ˆB i 2j 2k  

 e  ˆˆ ˆC 2i 4 j 3k  

.  
b) Calcule  A (B C) 
 
. 
 
32.Seja:  t  (u v) 
  
.Determine o sinal dos seguintes produtos:  
a) u ( v) 
 
 
b)  ( u) ( v)  
 
 
c)  v u
 
 
d)  v ( u) 
 
 
 
33.Considere  um  paralelepípedo  de  lados  a,  b e c
 
.  Deduza  uma  relação  para  o  cálculo  do  volume  V  deste 
paralelepípedo em função dos vetores  a,  b e c
 
. 
 
34.Considere os vetores: 
ˆ ˆt    i  2j
ˆ ˆu 2i   j
ˆ ˆv    i   j
 
 
 



 
Faça as operações: 
a)  t u  u v
   
 
b) u v
 
 
c)  t (u v)
  
                                 
d)  t (u v) 
  
 
 
35.Considere os pontos (1,1,3) e (2,3,6). Escreva o vetor d

 com origem no primeiro ponto e extremidade no segundo. 
 
36. Os vetores A e B
 
têm módulos iguais de 5,00. Se a soma de A e B
 
é o vetor 6,00 ĵ , determine o ângulo entre A e B
 
. 
 
37. Dois vetores  A e B
 
têm módulos perfeitamente iguais. Para o módulo de  A B
 
ser n vezes maior que o módulo de 
A B
 
, qual deve ser o ângulo entre eles? 
 
38. Cada um dos vetores deslocamento  A e B
 
 mostrados na figura tem um módulo de 3,00 m. Encontre graficamente 
(a) A B
 
. (b) A B
 
. (c) B A
 
, (d) A 2B
 
. Informe todos os ângulos no sentido anti‐horário a partir do eixo x positivo. 
 
21
 
39. Dados os vetores  ˆ ˆ ˆ ˆA   2,00i   6,00 j  e B   3,0i   2,0 j   
 
 
a) trace o vetor soma  S A B 
  
e o vetor diferença D A B 
  
.  
b) calcule  S e D
 
em termos dos vetores unitários. 
 
40. Uma pessoa  indo para uma caminhada segue a  trajetória mostrada na  figura. O passeio  total consiste em quatro 
trajetórias em linha reta. No final da caminhada, qual é o deslocamento resultante da pessoa medido a partir do ponto 
de partida? 
 
41. O vetor  A

 tem componentes x e y de ‐8,70 cm e 15,0 cm, respectivamente; o vetor  B

tem componentes x e y de 
13,2 cm e ‐6,60 cm, respectivamente. Se  A   B  3C  0  
  
, quais são as componentes de C

? 
 
42. Considere dois vetores  ˆ ˆ ˆ ˆA   3i   2j  e  B      i   4j    
 
. Calcule 
a) A B
 
 
b) A B
 
 
c) I A B
 
I  
d) I A B
 
I 
e) as direções de A B
 
e A B
 
. 
 
43. O vetor  A

 tem componentes x, y, e z de 8,00, 12,0 e ‐ 4,00 unidades, respectivamente. 
a) Escreva uma expressão vetorial para A

 em notação de vetor unitário,  
b) Obtenha uma expressão de  vetor unitário para o  vetor  B

  com um quarto do  comprimento de  A

  apontando na 
mesma direção que  A

.  
c) Obtenha uma  expressão de  vetor unitário para um  vetor  C

  com  três  vezes o  comprimento de  A

  apontando na 
direção oposta à de  A

. 
 
44. Um vetor B

 tem componentes x, y, e z de 4,00, 6,00, e 3,00 unidades, respectivamente. Calcule o módulo de B

 e os 
ângulos que B

 faz com os eixos coordenados. 
 
45. Se   ˆ ˆA    6,00i   8,00 j  unidades,  ˆ ˆB    8.00i   3,00 j   unidades, e     ˆ ˆC    26,0i   19,0 j  unidades, determine   a 
e b tal que aA   bB   C   0  
  
. 
 
46.A  figura mostra um hexágono  regular de  lado a  sobre o qual  se apóiam 5 vetores.Determine a  resultante desses 
vetores. 
 
22
 
 
47. Determine o módulo do vetor resultante em cada um dos sistemas abaixo. Todas as figuras são polígonos regulares 
de lado 1. 
 
 
 
48.Considere  três  vetors    X, Y e Z
  
de módulos  respectivamente  iguaisa  x,  y  e  z.  Determine  os módulos máximo  e 
mínimo do soma  X Y Z 
  
nos seguintes casos: 
a)   x = 5;y = 8 e z = 10. 
b)   x = 3;y = 7e z = 15. 
 
49.Dois vetores são dados por  ˆˆ ˆa 3i 2j k  

    e     ˆˆ ˆb 3i j 2k  

 
Determine o vetor 3a 2b

. 
 
50.No plano quadriculado abaixo, estão representados três vetores:   1 2 3 4v ,  v , v  e v
   
. 
 
 
 
Determine o módulo do vetor  1 2 3 43v  v + 2v    v 
   
. 
 
51. Dados dois vetores  ˆ ˆa 2i j 

 e  ˆ ˆb i j 

, determine o módulo e a direção de  a

, de  b

, de  (a b)

, de  (a b)

 e de 
(b a)
 
. 
 
52.Um  vetor  v

 possui módulo  igual  a 4 m  e  está  situado  a 45°  com  a direção Oeste‐Leste no  sentido  anti‐horário. 
Determine o módulo, a direção e o sentido dos seguintes vetores: (a)  v /2

, (b)  2v

.