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Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 1 de 13 Gabarito - Função Modular 1) Construir o gráfico da função definida em ℜ . ≥ <<− −≤− = 22 22 22 )( xse xsex xse xf 2) Construa o gráfico da função 23)( 2 +−= xxxf . 2 2 2 2 2 3 2, 3 2 0 1 23 2 3 2, 3 2 0 1 2 x x se x x x ou x x x x x se x x x − + − + ≥ ⇒ ≤ ≥ − + = − + − − + < ⇒ < < -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8x y 0 1 2 3 4 5 6 7 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x y Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 2 de 13 3) Construa o gráfico da função 22)( 2 ++−= xxxxf . <<⇒<−+− ≥≤⇒≥−− =− 2002,2 2002,2 2 22 22 2 xxxsexx xouxxxsexx xx <<+++− ≥≤++− = 20,22 20,22)( 2 2 xsexxx xouxsexxx xf <<++− ≥≤+− = 20,23 20,2)( 2 2 xsexx xouxsexx xf 4) Construa o gráfico da função 24)( 2 −−−= xxxf . <<−⇒<−+− ≥−≤⇒≥−− =− 2204,4 2204,4 4 22 22 2 xxsex xouxxsex x <⇒<−+− ≥⇒≥−− =− 202,2 202,2 2 xxsex xxsex x 0 5 10 15 20 25 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x y -2 2 2 4x − = 2x − = 2 4 2x x− − − = 42 −x 42 +− x 2 4x − 2+− x 2+− x 2−x 62 −+ xx 22 ++− xx 22 −− xx Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 3 de 13 ≥−− <<−++− −≤−+ = 2,2 22,2 2,6 )( 2 2 2 xsexx xsexx xsexx xf 5) Resolver as seguintes equações em ℜ . a) 213 =−x − = = ⇒ −= = ⇒ −=− =− 3 1 1 13 33 213 213 x x x x x x { }1,31−=S b) 132 −=−x S = ∅ c) 2542 =+− xx 034 254 2 2 =+− =+− xx xx 074 254 2 2 =+− −=+− xx xx 4 1216 )3(14)4( 4 2 2 =∆ −=∆ ⋅⋅−−=∆ −=∆ acb 012 2816 )7()1(4)4( 4 2 2 <−=∆ −=∆ ⋅⋅−−=∆ −=∆ acb -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x y Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 4 de 13 1 2 4 2 2 3 1 x x x ± = = = { }3,1=S 6) Resolver em ℜ as seguintes equações. a) 03214 =+−− xx 03214 =+−− xx 3214 +=− xx −= = ⇒ −= = ⇒ −−=− +=− 3 1 2 26 42 3214 3214 x x x x xx xx { }2,31−=S b) 1452 −=−+ xxx =−+ =−− ⇒ +−=−+ −=−+ 065 043 145 145 2 2 2 2 xx xx xxx xxx 0432 =−− xx 0652 =−+ xx 25 169 )4(14)3( 4 2 2 =∆ +=∆ −⋅⋅−−=∆ −=∆ acb 49 2425 )6()1(4)5( 4 2 2 =∆ +=∆ −⋅⋅−+=∆ −=∆ acb 1 2 3 5 2 4 1 x x x ± = = = − 1 2 5 7 2 1 6 x x x − ± = = = − { }4,1,1,6 −−=S Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 5 de 13 7) Resolver as seguintes equações em ℜ . a) 152 −=− xx Só existirá resposta para essa equação se 01≥−x Portanto: 101 ≥⇒≥− xx = = ⇒ +=+ +−=− ⇒ +−=− −=− 2 4 512 512 152 152 x x xx xx xx xx Como as raízes são maiores que 1, o conjunto solução é: { }4,2=S b) 323152 22 −+=−+ xxxx Só existirá resposta para essa equação se 0322 ≥−+ xx Portanto: 0322 ≥−+ xx 16 124 )3(14)2( 4 2 2 =∆ +=∆ −⋅⋅−+=∆ −=∆ acb 1 2 2 4 2 1 3 x x x − ± = = = − ou seja, 13 ≥−≤ xoux Assim sendo: 13 0 0)13( 013 323152 2 22 −= = =+ =+ −+=−+ x x xx xx xxxx Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 6 de 13 63 1 6 1917 36172289)6(34)17(4 06173 323152 22 2 22 −==⇒ ±− = =+=−⋅⋅−+=−=∆ =−+ +−−=−+ xouxx acb xx xxxx As raízes 0 e 3 1 não satisfazem à condição de existência da função modular. Portanto, o conjunto solução é: { }13,6 −−=S 8) Resolver em ℜ as inequações abaixo. a) 534 ≤− x Pela condição de existência da função modular, teremos: 5345 ≤−≤− x 4534445 −≤−−≤−− x Subtraindo 4 139 ≤−≤− x Dividindo por -3 3 13 −≥≥ x Reescrevendo 33 1 ≤≤− x { }331/ ≤≤−ℜ∈= xxS b) 174 −≥−x Para qualquer valor de x o módulo, por definição, sempre será positivo. ℜ=S 9) Resolver em ℜ as inequações abaixo. a) 1552 <+− xx Pela condição de existência da função modular, teremos: 1551 2 <+−<− xx Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 7 de 13 >+− <+− ⇒ −>+− <+− 065 045 155 155 2 2 2 2 xx xx xx xx 0452 <+− xx 0652 >+− xx 9 1625 414)5( 4 2 2 =∆ −=∆ ⋅⋅−−=∆ −=∆ acb 1 2425 )6()1(4)5( 4 2 2 =∆ −=∆ ⋅⋅−−=∆ −=∆ acb 1 2 5 3 2 4 1 x x x ± = = = 1 2 5 1 2 3 2 x x x ± = = = { }4321/ <<<<ℜ∈= xouxxS b) 2 12 1 ≤ − + x x 12 1 0 2 x x− ≠ ⇒ ≠ 0 12 15 0 12 241 02 12 1 2 12 1 ≥ − − ≥ − −++ ≥+ − + −≥ − + x x x xx x x x x 0 12 33 0 12 241 02 12 1 2 12 1 ≤ − +− ≤ − +−+ ≤− − + ≤ − + x x x xx x x x x Determinação das raízes: 5 1015 =⇒=− xx 1033 =⇒=+− xx 3 2 1 4 1 2 4 3 Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 8 de 13 2 1012 =⇒=− xx 2 1012 =⇒=− xx S1: { }2151/1 >≤ℜ∈= xouxxS S2: { }121/2 ≥<ℜ∈= xouxxS { }151/21 ≥≤ℜ∈=∩= xouxxSSS 10) Resolver em ℜ as seguintes inequações. a) 0731 ≤+−− xx 1º Caso: 11 −=− xx , se 101 ≥⇒≥− xx 1/2 1/5 1/5 1/2 - - + + + - + - + 1 1/2 1/2 1 + - - + - + + + - 1/2 1/5 1 1/5 1/2 1 Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 9 de 13 3 62 062 0731 0731 ≥ −≤− ≤+− ≤+−− ≤+−− x x x xx xx { }3/1 ≥ℜ∈= xxS 2º Caso: 11 +−=− xx , se 101 <⇒<− xx 1 3 7 0 1 3 7 0 4 8 4 8 2 x x x x x x x − − + ≤ − + − + ≤ − ≤ − ≥ ≥ 2S = ∅21 SSS ∪= { }3/ ≥ℜ∈= xxS b) 06342 ≤+−− xxx 1º Caso: xxxx 44 22 −=− , se 40042 ≥≤⇒≥− xouxxx 3 1 1 3 2 1 1 2 2 1 3 1 2 3 Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 10 de 13 61 067 0634 0634 2 2 2 ≤≤ ≤+− ≤+−− ≤+−− x xx xxx xxx { }64/1 ≤≤ℜ∈= xxS 2º Caso: xxxx 44 22 +−=− , se 40042 <<⇒<− xxx 32 06 0634 0634 2 2 2 ≥−≤ ≤++− ≤+−+− ≤+−− xoux xx xxx xxx { }43/2 <≤ℜ∈= xxS 21 SSS ∪= { }63/ ≤≤ℜ∈= xxS 11) Resolver as seguintes inequações em ℜ . a) xxx −≤+−− 142 <⇒<−+− ≥⇒≥−− =− 202,2 202,2 2 xxsex xxsex x 3 0 -2 4 -2 0 4 3 4 3 6 3 6 4 1 0 6 0 1 6 4 Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 11 de 13 −<⇒<+−− −≥⇒≥++ =+ 404,4 404,4 4 xxsex xxsex x 1º Caso: 4−<x 5 61 16 142 −≤ −≤ −≤ −≤+−− x x x xxx { }5/1 −≤ℜ∈= xxS 2º Caso: 24 <≤− x 3 3 212 122 142 −≥ ≤− +≤+− −≤−− −≤+−− x x xx xx xxx { }23/2 <≤−ℜ∈= xxS 3º Caso: 2≥x 7 61 16 142 ≤ +≤ −≤− −≤+−− x x x xxx -4 2 =− 2x =+ 4x =+−− 42 xx 2+− x 2+− x 2−x 4−− x 4+x 4+x 6 22 −− x 6− -4 -5 -5 -4 7 2 2 7 -3 -4 2 -4 -3 2 Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 12 de 13 { }72/3 <≤ℜ∈= xxS 321 SSSS ∪∪= { }735/ ≤≤−−≤ℜ∈= xouxxS b) 3432 2 +−≥+−− xxxx <⇒<−+− ≥⇒≥−− =− 202,2 202,2 2 xxsex xxsex x −<⇒<+−− −≥⇒≥++ =+ 303,3 303,33 xxsex xxsex x 1º Caso: 3−<x -3 2 =− 2x =+ 3x =+−− 32 xx 2+− x 2+− x 2−x 3−− x 3+x 3+x 5 12 −− x 5− 2 -3 -5 7 2 -3 -5 7 Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 13 de 13 3432 2 +−≥+−− xxxx 6262 024 534 345 2 2 2 +≤≤− ≤−− ≤+− +−≥ x xx xx xx 1S = ∅ 2º Caso: 23 <≤− x 3432 2 +−≥+−− xxxx 012 042 3412 2 2 <−=∆ ≥−+− +−≥−− xx xxx 2S = ∅ 3º Caso: 2≥x 3432 2 +−≥+−− xxxx 016 084 534 345 2 2 2 <−=∆ ≤+− −≤+− +−≥− xx xx xx 3S = ∅ 321 SSSS ∪∪= S = ∅ -3 -3 62 − 62 + 62 − 62 + 2 -3 -3 2 2 2
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