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Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva 
Página 1 de 13 
 
Gabarito - Função Modular 
 
 
1) Construir o gráfico da função definida em ℜ . 
 





≥
<<−
−≤−
=
22
22
22
)(
xse
xsex
xse
xf 
2) Construa o gráfico da função 23)( 2 +−= xxxf . 
 
2 2
2
2 2
3 2, 3 2 0 1 23 2
3 2, 3 2 0 1 2
x x se x x x ou x
x x
x x se x x x

− + − + ≥ ⇒ ≤ ≥
− + = 
− + − − + < ⇒ < <
 
 
 
 
 
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8x
y
0
1
2
3
4
5
6
7
-2 -1 0 1 2 3 4 5
x
y
Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva 
Página 2 de 13 
 
3) Construa o gráfico da função 22)( 2 ++−= xxxxf . 
 



<<⇒<−+−
≥≤⇒≥−−
=−
2002,2
2002,2
2
22
22
2
xxxsexx
xouxxxsexx
xx 
 



<<+++−
≥≤++−
=
20,22
20,22)(
2
2
xsexxx
xouxsexxx
xf 
 



<<++−
≥≤+−
=
20,23
20,2)(
2
2
xsexx
xouxsexx
xf 
 
4) Construa o gráfico da função 24)( 2 −−−= xxxf . 
 



<<−⇒<−+−
≥−≤⇒≥−−
=−
2204,4
2204,4
4
22
22
2
xxsex
xouxxsex
x 
 



<⇒<−+−
≥⇒≥−−
=−
202,2
202,2
2
xxsex
xxsex
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
5
10
15
20
25
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
y
-2 2 
2 4x − =
2x − =
2 4 2x x− − − =
42 −x 42 +− x 2 4x −
2+− x 2+− x 2−x
62 −+ xx 22 ++− xx 22 −− xx
Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva 
Página 3 de 13 
 





≥−−
<<−++−
−≤−+
=
2,2
22,2
2,6
)(
2
2
2
xsexx
xsexx
xsexx
xf 
5) Resolver as seguintes equações em ℜ . 
 
a) 213 =−x 
 




−
=
=
⇒



−=
=
⇒



−=−
=−
3
1
1
13
33
213
213
x
x
x
x
x
x
 
 { }1,31−=S 
 
b) 132 −=−x 
 
S = ∅ 
 
c) 2542 =+− xx 
 
034
254
2
2
=+−
=+−
xx
xx
 
074
254
2
2
=+−
−=+−
xx
xx
 
 
4
1216
)3(14)4(
4
2
2
=∆
−=∆
⋅⋅−−=∆
−=∆ acb
 
012
2816
)7()1(4)4(
4
2
2
<−=∆
−=∆
⋅⋅−−=∆
−=∆ acb
 
 
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
y
Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva 
Página 4 de 13 
 
1
2
4 2
2
3
1
x
x
x
±
=
=
=
 
 
{ }3,1=S 
 
6) Resolver em ℜ as seguintes equações. 
 
a) 03214 =+−− xx 
 
03214 =+−− xx 
3214 +=− xx 
 




−=
=
⇒



−=
=
⇒



−−=−
+=−
3
1
2
26
42
3214
3214
x
x
x
x
xx
xx
 
 
{ }2,31−=S 
 
b) 1452 −=−+ xxx 
 



=−+
=−−
⇒



+−=−+
−=−+
065
043
145
145
2
2
2
2
xx
xx
xxx
xxx
 
 
0432 =−− xx 0652 =−+ xx 
 
25
169
)4(14)3(
4
2
2
=∆
+=∆
−⋅⋅−−=∆
−=∆ acb
 
49
2425
)6()1(4)5(
4
2
2
=∆
+=∆
−⋅⋅−+=∆
−=∆ acb
 
 
1
2
3 5
2
4
1
x
x
x
±
=
=
= −
 1
2
5 7
2
1
6
x
x
x
− ±
=
=
= −
 
 
{ }4,1,1,6 −−=S 
 
 
 
 
 
Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva 
Página 5 de 13 
 
7) Resolver as seguintes equações em ℜ . 
 
a) 152 −=− xx 
 
Só existirá resposta para essa equação se 01≥−x 
 
Portanto: 101 ≥⇒≥− xx 
 



=
=
⇒



+=+
+−=−
⇒



+−=−
−=−
2
4
512
512
152
152
x
x
xx
xx
xx
xx
 
 
Como as raízes são maiores que 1, o conjunto solução é: 
 
{ }4,2=S 
 
b) 323152 22 −+=−+ xxxx 
 
Só existirá resposta para essa equação se 0322 ≥−+ xx 
 
Portanto: 0322 ≥−+ xx 
 
16
124
)3(14)2(
4
2
2
=∆
+=∆
−⋅⋅−+=∆
−=∆ acb
 1
2
2 4
2
1
3
x
x
x
− ±
=
=
= −
 
 
ou seja, 13 ≥−≤ xoux 
 
Assim sendo: 
 
13
0
0)13(
013
323152
2
22
−=
=
=+
=+
−+=−+
x
x
xx
xx
xxxx
 
 
 
Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva 
Página 6 de 13 
 
63
1
6
1917
36172289)6(34)17(4
06173
323152
22
2
22
−==⇒
±−
=
=+=−⋅⋅−+=−=∆
=−+
+−−=−+
xouxx
acb
xx
xxxx
 
 
As raízes 0 e 3
1
 não satisfazem à condição de existência da função 
modular. Portanto, o conjunto solução é: 
 
{ }13,6 −−=S 
 
8) Resolver em ℜ as inequações abaixo. 
 
a) 534 ≤− x 
 
Pela condição de existência da função modular, teremos: 
 
5345 ≤−≤− x 
4534445 −≤−−≤−− x Subtraindo 4 
139 ≤−≤− x Dividindo por -3 
3
13 −≥≥ x Reescrevendo 
33
1 ≤≤− x 
 { }331/ ≤≤−ℜ∈= xxS 
 
b) 174 −≥−x 
 
Para qualquer valor de x o módulo, por definição, sempre será positivo. 
 
ℜ=S 
 
9) Resolver em ℜ as inequações abaixo. 
 
a) 1552 <+− xx 
 
Pela condição de existência da função modular, teremos: 
 
1551 2 <+−<− xx 
 
Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva 
Página 7 de 13 
 



>+−
<+−
⇒



−>+−
<+−
065
045
155
155
2
2
2
2
xx
xx
xx
xx
 
 
0452 <+− xx 0652 >+− xx 
 
9
1625
414)5(
4
2
2
=∆
−=∆
⋅⋅−−=∆
−=∆ acb
 
1
2425
)6()1(4)5(
4
2
2
=∆
−=∆
⋅⋅−−=∆
−=∆ acb
 
 
1
2
5 3
2
4
1
x
x
x
±
=
=
=
 1
2
5 1
2
3
2
x
x
x
±
=
=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{ }4321/ <<<<ℜ∈= xouxxS 
 
b) 2
12
1 ≤
−
+
x
x
 
 
12 1 0
2
x x− ≠ ⇒ ≠ 
 
0
12
15
0
12
241
02
12
1
2
12
1
≥
−
−
≥
−
−++
≥+
−
+
−≥
−
+
x
x
x
xx
x
x
x
x
 
0
12
33
0
12
241
02
12
1
2
12
1
≤
−
+−
≤
−
+−+
≤−
−
+
≤
−
+
x
x
x
xx
x
x
x
x
 
 
Determinação das raízes: 
 
5
1015 =⇒=− xx 1033 =⇒=+− xx 
3 2 1 4 
1 2 4 3 
Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva 
Página 8 de 13 
 
2
1012 =⇒=− xx 2
1012 =⇒=− xx 
 
 
S1: 
 
 
 
 
 
 
 
 { }2151/1 >≤ℜ∈= xouxxS 
 
S2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 { }121/2 ≥<ℜ∈= xouxxS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 { }151/21 ≥≤ℜ∈=∩= xouxxSSS 
 
10) Resolver em ℜ as seguintes inequações. 
 
a) 0731 ≤+−− xx 
 
1º Caso: 11 −=− xx , se 101 ≥⇒≥− xx 
 
 
 
1/2 1/5 
1/5 1/2 
- 
- 
+ 
+ + 
- + 
- + 
1 1/2 
1/2 1 
+ 
- 
- 
+ - 
+ + 
+ - 
 
 
1/2 1/5 1 
1/5 1/2 1 
Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva 
Página 9 de 13 
 
 
 
3
62
062
0731
0731
≥
−≤−
≤+−
≤+−−
≤+−−
x
x
x
xx
xx
 
 
 
{ }3/1 ≥ℜ∈= xxS 
 
2º Caso: 11 +−=− xx , se 101 <⇒<− xx 
 
1 3 7 0
1 3 7 0
4 8
4 8
2
x x
x x
x
x
x
− − + ≤
− + − + ≤
− ≤ −
≥
≥
 
 
2S = ∅21 SSS ∪= 
 
{ }3/ ≥ℜ∈= xxS 
 
b) 06342 ≤+−− xxx 
 
1º Caso: xxxx 44 22 −=− , se 40042 ≥≤⇒≥− xouxxx 
 
3 1 
1 3 
2 1 
1 2 
2 1 3 
1 2 3 
Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva 
Página 10 de 13 
 
61
067
0634
0634
2
2
2
≤≤
≤+−
≤+−−
≤+−−
x
xx
xxx
xxx
 
 
 
{ }64/1 ≤≤ℜ∈= xxS
 
 
2º Caso: xxxx 44 22 +−=− , se 40042 <<⇒<− xxx 
 
32
06
0634
0634
2
2
2
≥−≤
≤++−
≤+−+−
≤+−−
xoux
xx
xxx
xxx
 
 
 
{ }43/2 <≤ℜ∈= xxS
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 SSS ∪= 
 
{ }63/ ≤≤ℜ∈= xxS 
 
11) Resolver as seguintes inequações em ℜ . 
 
a) xxx −≤+−− 142 
 



<⇒<−+−
≥⇒≥−−
=−
202,2
202,2
2
xxsex
xxsex
x 
 
3 0 -2 4 
-2 0 4 3 
4 3 6 
3 6 
4 1 0 6 
0 1 6 4 
Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva 
Página 11 de 13 
 



−<⇒<+−−
−≥⇒≥++
=+
404,4
404,4
4
xxsex
xxsex
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º Caso: 4−<x 
 
 
5
61
16
142
−≤
−≤
−≤
−≤+−−
x
x
x
xxx
 
 
 
 
{ }5/1 −≤ℜ∈= xxS 
 
 
2º Caso: 24 <≤− x 
 
3
3
212
122
142
−≥
≤−
+≤+−
−≤−−
−≤+−−
x
x
xx
xx
xxx
 
 
 
{ }23/2 <≤−ℜ∈= xxS 
 
 
3º Caso: 2≥x 
 
 
7
61
16
142
≤
+≤
−≤−
−≤+−−
x
x
x
xxx
 
-4 2 
=− 2x
=+ 4x
=+−− 42 xx
2+− x 2+− x 2−x
4−− x 4+x 4+x
6 22 −− x 6−
-4 -5 
-5 -4 
7 2 
2 7 
-3 -4 2 
-4 -3 2 
Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva 
Página 12 de 13 
 
 
 
{ }72/3 <≤ℜ∈= xxS 
 
 
 
 
 
 
 
 
321 SSSS ∪∪= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{ }735/ ≤≤−−≤ℜ∈= xouxxS 
 
b) 3432 2 +−≥+−− xxxx 
 



<⇒<−+−
≥⇒≥−−
=−
202,2
202,2
2
xxsex
xxsex
x 
 



−<⇒<+−−
−≥⇒≥++
=+
303,3
303,33
xxsex
xxsex
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º Caso: 3−<x 
 
-3 2 
=− 2x
=+ 3x
=+−− 32 xx
2+− x 2+− x 2−x
3−− x 3+x 3+x
5 12 −− x 5−
2 -3 -5 7 
2 -3 -5 7 
Disciplina: Introdução ao Cálculo Prof. Rogério Dias Dalla Riva 
Página 13 de 13 
 
3432 2 +−≥+−− xxxx 
6262
024
534
345
2
2
2
+≤≤−
≤−−
≤+−
+−≥
x
xx
xx
xx
 
 
 
1S = ∅ 
 
2º Caso: 23 <≤− x 
 
3432 2 +−≥+−− xxxx 
012
042
3412
2
2
<−=∆
≥−+−
+−≥−−
xx
xxx
 
2S = ∅ 
 
3º Caso: 2≥x 
 
3432 2 +−≥+−− xxxx 
016
084
534
345
2
2
2
<−=∆
≤+−
−≤+−
+−≥−
xx
xx
xx
 
 
 
3S = ∅ 
 
321 SSSS ∪∪= 
 
S = ∅ 
 
 
-3 
-3 
62 − 62 +
62 − 62 +
2 -3 
-3 2 
2 
2

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