gabarito_lista6_2006.2

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DEPARTAMENTO DE ECONOMIA / PUC-Rio
Microeconomia II
Lista 6_2006.2 - Gabarito
Questão 1
a) Firma transforma 1
3
de dinheiro em uma unidade de lixo tóxico, de forma que firma tem rendimen-
tos constantes de escala com custo marginal e médio constantes e iguais a 1
3
 Logo, em equilíbrio, lucro
da firma é zero e o preço de uma unidade de lixo estocado é 1
3
 Dinheiro é o numerário da economia.
Desta forma, Tom maximiza
 = ln + 3
sujeito à restrição
1
3
 + = 10
A CPO deste problema é
z}|{
1
3 =
1
3
=⇒  = 1
Substituindo este resultado na restrição orçamentária:
 = 10− 1
3
1 =
29
3
Como Rob não pode pagar para firma não estocar, é obrigado a aceitar  = 1 de lixo tóxico nas cidade.
A quantidade Pareto-eficiente de lixo tóxico  satisfaz a condição de eficiência
z}|{
1
3 +
z }| {
− 4
1−  =
1
3
=⇒
z}|{
1
3 =
1
3
−
+
z }| {
4
1−  (1)
É claro que w=1 não satisfaz a condição de eficiência.
b) Neste caso, Rob, que não gosta de lixo tóxico, tem direito a cidade livre de lixo tóxico, de forma
que Tom precisa pagar um preço q a Rob por cada unidade de lixo estocado na cidade. Logo, dado este
preço q, precisamos determinar o quanto Tom demanda de lixo estocado e o quanto Rob oferta de lixo
tóxico (o quanto ele deixa Tom estocar na cidade).
A demanda de Tom por lixo tóxico e dinheiro maximiza
 = ln + 3
sujeito à restrição µ
1
3
+ 
¶
 + = 10
Logo, a demanda de Tom por lixo tóxico  () satisfaz a CPO deste problema:
z }| {
1
3 () =
1
3
+  =⇒  () = 1
1 + 3 (2)
1
Substituindo este resultado na restrição orçamentária:
 = 10−
µ
1
3
+ 
¶
1
1 + 3 =
29
3
Por sua vez, Rob maximiza
 = 4 ln (1− ) +
sujeito à restrição
 = 10 +  ⇐⇒  −  = 10
Logo, a oferta de Rob de lixo estocado () satisfaz a CPO deste problema:
z }| {
− 4
1− () = − =⇒ () = 1−
4
   ≥ 4 (3)
e
() = 0 se   4
O preço ¯ de equilíbrio iguala a demanda de Tom com a oferta de Rob, de forma que
 (¯) = (¯) = ¯ (4)
Supondo ¯ ≥ 4, temos que
 (¯)z }| {
1
1 + 3¯ =
(¯)z }| {
1− 4¯ =⇒ ¯ ' 4 3  4
Combinando as condições (2), (3) e (4):
z}|{
1
3¯ =
1
3
+ ¯ = 1
3
+
z }| {
4
1− ¯ (5)
Comparando as expressões (1) e (5), conclui-se que ¯ =   ou seja, ¯ é Pareto-eficiente. Quando
um mercado para lixo tóxico é criado, a alocação de equilíbrio competitivo é Pareto-eficiente (Primeiro
Teorema do Bem-Estar).
c) Neste caso, a firma precisa pagar a Tom um preço  por cada unidade de lixo estocado. Neste
caso, o custo médio e marginal da firma é constante e igual a 1
3
+  A firma precisa cobrar este preço
para ter lucro zero em equilíbrio. Observe a sutileza: Tom paga 1
3
+ por unidade de lixo estocado para
a firma e ao mesmo tempo recebe dela  por cada unidade de lixo estocado.
Além disso, Tom, que gosta de lixo tóxico, tem direito a estocar o quanto quiser de lixo tóxico na
cidade, de forma que Rob precisa lhe pagar um preço q por cada unidade de lixo que não é estocado.
No item a), sabemos que na ausência de mercado, Tom vai querer estocar w=1. Desta forma, se estocar
apenas w1, Rob terá de pagar para Tom q(1-w). Logo, as quantidades ótimas de lixo estocado e
dinheiro para Tom maximizam
2
 = ln + 3
sujeito à restrição orçamentáriaµ
1
3
+ 
¶
 + = 10 +  +  (1−  )
⇐⇒ 1
3
 + = 10 +  (1−  )
⇐⇒
µ
1
3
+ 
¶
 + = 10 + 
Logo, a quantidade ótima de lixo tóxico  () para Tom satisfaz a CPO deste problema:
z }| {
1
3 () =
1
3
+  =⇒  () = 1
1 + 3 (6)
Por sua vez, as quantidades ótimas de lixo estocado e dinheiro para Rob maximizam
 = 4 ln (1− ) +
sujeito à restrição
 = 10−  (1− )
⇐⇒  −  = 10− 
Logo, a quantidade ótima de lixo tóxico () para Rob satisfaz a CPO deste problema:
z }| {
− 4
1− () = − =⇒ () = 1−
4
   ≥ 4 (7)
e
() = 0 se   4
O preço ¯ de equilíbrio é tal que
 (¯) = (¯) = ¯ (8)
Supondo ¯ ≥ 4, temos que
 (¯)z }| {
1
1 + 3¯ =
(¯)z }| {
1− 4¯ =⇒ ¯ ' 4 3  4
Combinando as condições (6), (7) e (8):
z}|{
1
3¯ =
1
3
+ ¯ = 1
3
+
z }| {
4
1− ¯ (9)
3
Comparando as expressões (1) e (9), conclui-se que ¯ =   ou seja, ¯ é Pareto-eficiente. Quando
um mercado para lixo tóxico é criado, a alocação de equilíbrio competitivo é Pareto-eficiente (Primeiro
Teorema do Bem-Estar).
A diferença entre os itens b) e c) é a distribuição dos direitos de propriedade sobre a estocagem do
lixo. Qualquer que seja esta distribuição, a criação de um mercado competitivo para a externalidade
garante Pareto-eficiência. Observe ainda que o preço de equilíbrio e a quantidade de lixo estocado é a
mesma nos itens b) e c). Isto é uma decorrência das preferências quasi-lineares. No entanto, observe
que as quantidades consumidas de dinheiro serão diferentes. Como os direitos de propriedade favorecem
Rob no item b), seu consumo de dinheiro e bem-estar neste item será maior que no item c), o inverso
acontecendo com Tom. A mudança nos direitos de propriedade equivale a uma distribuição de riqueza.
4
Questão 2:
a) O lucro Π de cada filme i com um total de N filmes produzidos é
Π = 10
³
10− 13
´
− 20
No equilíbrio competitivo, com livre entrada e saída, o lucro de cada filme é zero. Logo, o número
de filmes em esqulíbrio  satisfaz
Π = 10
³
10−13
´
− 20 = 0
=⇒  = 125
b) O número ótimo de filmes  maximiza o lucro total da indústria Π:
Π = Π = 10
³
10− 13
´
− 20 = 100 23 − 20
 satisfaz CPO:
2
3
100−13 − 20 = 0
=⇒  = 100
9
 125 = 
c) Planejador central escolhe  que maximiza a soma do excedente do consumidor com o lucro
conjunto das firmas:
z }| {
50 23 +
Πz }| {
100 23 − 20
= 150 23 − 20
 satisfaz CPO:
2
3
150−13 − 20 = 0
=⇒  = 125
5