lista adicional Incerteza

Prévia do material em texto

Lista II
Incerteza
(1) Suponha uma economia com duas firmas, cada uma com 1 vaga, pagando salários w1 = 2 e w2 = 4. Nesta situação, dois trabalhadores desempregados decidem simultaneamente submeter os seus currículos para a firma 1 ou para a firma 2. Caso os trabalhadores submetam os seus currículos a firmas diferentes, ambos são contratados. Caso os dois trabalhadores submetam seu currículo à mesma firma, serão escolhidos aleatoriamente, com probabilidades iguais (ou seja, neste caso o trabalhador é contratado com probabilidade ½ e permanece desempregado, recebendo 0, com probabilidade ½).
Considere que os trabalhadores possuem uma função de utilidade von Neumann-Morgenstern dada por V(p1, p2, p3, ..., pn, c1, c2, ..., cn) = p1u(c1) + p2u(c2) + ...+ pnu(cn), onde pi é a probabilidade associada ao recebimento do salário ci.
a) Escreva este jogo em sua forma normal.
b) Defina u(0), u(2) e u(4) de forma que os agentes sejam avessos, neutros e amantes ao risco.
c) Determine todos os Equilíbrios de Nash em estratégias puras para o caso do agente neutro ao risco.
d) Este resultado poderia ser diferente no caso de agentes amantes ao risco? E quando o agente é avesso ao risco?
Resposta:
a) Jogo na forma normal:
b) Um agente será avesso ao risco quando ele preferir o valor esperado de uma loteria com certeza do que a própria loteria. Isto é, quando (1/2)u(4) + (1/2)u(0) < u(2).
Ele será neutro ao risco quando for indiferente entre o valor esperado de uma loteria com certeza e a própria loteria. Isto é, quando (1/2)u(4) + (1/2)u(0) = u(2).
Analogamente, ele será amante ao risco quando (1/2)u(4) + (1/2)u(0) > u(2).
c) Neste caso, estaríamos considerando que (1/2)u(4) + (1/2)u(0) = u(2) e (1/2)u(2) + (1/2)u(0) = u(1). Logo, o jogo ficaria com o seguinte formato:
É fácil perceber que este jogo possuirá três equilíbrios de Nash: (Firma 1, Firma 2), (Firma 2, Firma 1) e (Firma 2, Firma 2).
d) Agentes amantes ao risco:
Neste caso, temos que (1/2)u(4) + (1/2)u(0) > u(2). Logicamente (1/2)u(2) + (1/2)u(0) < u(2) < u(4). Agora podemos encontrar facilmente os equilíbrios de Nash.
Portanto, teríamos apenas um equilíbrio, onde os dois tentariam trabalhar na firma que paga mais.
Agentes avessos ao risco:
Neste caso, temos que (1/2)u(4) + (1/2)u(0) < u(2) e (1/2)u(2) + (1/2)u(0) < u(2) < u(4). Logo, teremos:
Temos, portanto, dois equilíbrios: o (Firma 1, Firma 2) e o (Firma 2, Firma 1).
(2) Suponha um agente cujas preferências sobre o conjunto de loterias monetárias pode ser representado por uma utilidade von Neumann-Morgenstern cuja utilidade de Bernoulli é dada por (M), em que M é a renda monetária do agente:
a) Se u(M) = log(M), então o agente é avesso ao risco.
b) Seja u(M) = M1/3, o agente não pagaria mais de $2 por uma loteria cujo valor esperado seja $2. 
c) Se as preferências do agente 1 são representadas por u(M) e as preferências do agente 2 são representadas por v(u(M)), em que v é uma função estritamente crescente, então os dois agentes possuem as mesmas preferências.
d) Se u(M) = M, a utilidade esperada de um bilhete de loteria que pague $3, $5 ou $6, todos com mesma probabilidade, é 70/3.
e) Nenhum agente pagaria por um bilhete de loteria um valor maior que o valor esperado da loteria.
Resposta: 
a) Verdadeiro. A segunda derivada é negativa, o que configura aversão ao risco (ver página 06 da nota de aula 02).
b) Verdadeiro. O valor máximo pago por uma loteria é seu equivalente-certeza. Sendo u(M) = M1/3, o agente é avesso ao risco e por isso seu equivalente-certeza é menor que seu valor esperado (no caso igual a $2).
c) Falso. Observe primeiro que u(M) é a utilidade de Bernoulli. Se u(M) = M1/2 (avesso ao risco) e v(M) = M2 (propenso ao risco), tem-se que v(u(M)) = M (neutro ao risco). A atitude do investidor com relação ao risco mudou e portanto u(M) e v(u(M)) representam preferências distintas. 
d) Verdadeiro. E[u(M)]== (1/3)*(3)2 + (1/3)*(5)2 + (1/3)*(6)2 = 70/3. Observe que o agente é neutro ao risco.
e) Falso. Para um agente propenso ao risco com u(M) = M2 com probabilidades iguais, a utilidade esperada da loteria que paga 5 ou 15 é (1/2)*52 + (1/2)*152 = 250/2 = 125. A utilidade do valor esperado é u(10) = 102 = 100. Nesse caso, o agente pagaria até $125 por esse bilhete, que é maior que o valor esperado de $100.
(3) Admita que a função de utilidade de Bernoulli de um investidor seja especificada por u(M) = M1/2, em que M = 150 é sua renda corrente. Suponha que ele deseje aplicar 100% de sua renda na compra de ações de duas empresas A e B. Os preços de mercado dessas ações são hoje iguais a PA = PB = 15, mas podem variar, a depender do estado da natureza, de acordo com a seguinte distribuição de probabilidades:
Determine a utilidade esperada da renda do investidor, admitindo-se que este invista metade de sua renda em ações da empresa A e outra metade em B.
Resposta:
Se a renda é $150 e cada ação custa $15, o agente vai comprar 10 ações, sendo 5 de cada empresa (hipótese do problema).
Eu[(M)] = (1/2)*(5*40 + 5*5)2 + (1/2)*(5*5 + 5*40)2 = 15.
A utilidade esperada é, portanto, 15.
� PAGE \* MERGEFORMAT �5�