Cálculo de Limites

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 1 
 
LIMITE 
 
 
Aparentemente, a idéia de se aproximar o máximo possível de um ponto ou va-
lor, sem nunca alcançá-lo, é algo estranho. Mas, conceitos do tipo limite são usados 
com bastante freqüência. A produtividade máxima teórica de uma máquina ou de uma 
fábrica é um limite, o desempenho ideal (ou limitante) que nunca é atingido na prática, 
mas que, teoricamente pode ser aproximado arbitrariamente. 
 
 Para uma melhor compreensão de limite, vamos considerar a função f dada por 
2
)2)(2()(
−
−+
=
x
xx
xf , definida para todos os valores reais, exceto, é claro, para x = 2. 
Veja, também que podemos simplificar a expressão 
2
)2)(2()(
−
−+
=
x
xx
xf e teremos 
2)( += xxf . 
 Queremos saber, para qual valor f(x) se aproxima, quando x se aproxima de 2. 
Para isso, vamos considerar as seguintes tabelas de valores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Podemos perceber que quanto mais x se aproxima de 2, mas f(x) se aproxima de 
4. Assim, no estudo de limites, o que queremos saber, é qual será o valor de f(x) quando 
x se aproxima de 2. Dizemos, então, que 4 é o limite de 
2
)2)(2()(
−
−+
=
x
xx
xf , quando x 
se aproxima de 2, que podemos representar por 4)(lim
2
=
→
xf
x
 ou 4
2
)2)(2(lim
2
=
−
−+
→ x
xx
x
 
onde a seta (→) indica que x tende (se aproxima) a 2. 
 Note que x jamais assumirá o valor 2; estamos estudando as proximidades de 2 e 
concluindo que f(x) se aproxima de 4. 
 
 
 
x f(x) 
1 3 
1,5 3,5 
1,7 3,7 
1,8 3,8 
1,9 3,9 
1,99 3,99 
1,999 3,999 
. . . . . . 
 
 
x f(x) 
3 5 
2,5 4,5 
2,3 4,3 
2,2 4,2 
2,1 4,1 
2,01 4,01 
2,001 4,001 
. . . . . . 
 
Vamos aproximar x de 2, para va-
lores à esquerda de 2, ou seja, 
tomaremos valores bem próximos 
de, contudo, menores do que 2. 
Vamos aproximar x de 2, para va-
lores à direita de 2, ou seja, toma-
remos valores bem próximos de, 
contudo, maiores do que 2. 
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 2 
DEFINIÇÃO DE LIMITE 
 Dada uma função f: IR → IR dizemos que esta função tem por limite o número 
b, quando x se aproxima de a e x ≠ a, se pudermos tornar os valores de f(x) tão próximos 
de b quanto quisermos, desde que x esteja suficientemente próximo de a. 
 Simbolicamente temos: 
 
 bxf
ax
=
→
)(lim ou bxf →)( quando ax → 
 
 
Quando existe o limite? 
Existe )(lim xf
ax →
, se e somente se: 
1. bxf
ax
=
−→
)(lim 2. bxf
ax
′=
+→
)(lim 3. bb ′= 
O que queremos dizer é que, existe o limite quando, os limites laterais, à esquerda e à 
direita, existirem e se eles forem iguais. 
 
 
PROPRIEDADES 
Para facilitar os problemas que envolvem limites, podemos nos valer das seguintes pro-
priedades: 
 
1. O limite de uma constante é a própria constante. 
kk
ax
=
→
lim 
2. O limite da função identidade, isto é, da função xxf =)( , é o valor da tendência. 
ax
ax
=
→
lim 
3. O limite de uma soma de funções é igual à soma dos limites dessas funções. 
[ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax →→→
+=+ 
4. O limite de uma diferença de funções, é igual à diferença dos limites dessas funções. 
[ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax →→→
−=− 
5. O limite de um produto, é igual ao produto dos limites. 
[ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax →→→
⋅=⋅ 
6. O limite de um quociente, é igual ao quociente dos limites. 
)(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
→
→
→
=





 
7. O limite de uma potência é igual à potência dos limites. 
[ ] n
ax
n
ax
xfxf




=
→→
)(lim)(lim 
8. O limite do logaritmo é igual ao logaritmo do limite. 
[ ]




=
→→
)(limlog)(loglim xfxf
ax
kk
ax
 
 
 
 
 
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 3 
CÁLCULO DE LIMITES 
 
 Para calcular o limite de uma função, a maneira mais fácil é substituir a variável 
x pelo número da tendência, lembrando que quando fazemos isso, é importante saber 
que x, na verdade, não estará assumindo aquele valor substituído, mas sim, um número 
tão próximo dele quanto se queira. 
 
EXEMPLOS 
Calcular os limites: 
a) 3lim
2→x
 
Resolução 
Note que 3 é uma função constante )3)(( =xf e conforme vimos , pelas proprieda-
des, kk
ax
=
→
lim , logo, 33lim
2
=
→x
 
 
b) x
x 5
lim
→
 
Resolução 
Basta substituir x por 5, que nesse caso, diremos “passar o ponto”, assim: 
5lim
5
=
→
x
x
 
 
c) )32(lim
2
1
+
→
x
x
 
Resolução 
“Passando o ponto”, temos 4313
2
12 =+=+⋅ 
NOTA: observe que quando “passamos o ponto” não devemos mais escrever lim, ou 
seja: 
ERRADO: 4)31(lim3
2
12lim)32(lim
2
1
2
1
2
1
=+=





+⋅=+
→→→ xxx
x 
a partir do momento em que você começa a passar o ponto, não é preciso mais es-
crever lim. 
CERTO: 4313
2
12)32(lim
2
1
=+=+⋅=+
→
x
x
 
 
d) )13(lim
1
−
→
x
x
 
Resolução 
213113)13(lim
1
=−=−⋅=−
→
x
x
 
 
e) 
2
3lim
2
2 +
−
→ x
x
x
 
Resolução 
4
1
4
34
22
32
2
3lim
22
21
=
−
=
+
−
=
+
−
→ x
x
x
 
 
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 4 
EXERCÍCIOS 
 
Questão 01 
Calcule os limites: 
a) 5lim
2→x
 d) 
1
32lim
3
1 +
−+
→ x
xx
x
 
b) x
x 3
lim
−→
 e) 
53
423lim 2
23
1
−−
−+−
−→ xx
xxx
x
 
c) )3(lim 2
2
−
→
x
x
 f) 
1
1lim
3 +
+
→ x
x
x
 
 
Questão 02 
Determine: 
a) 7lim
2→x
 d) 





−
−→
xx
x 2
14lim 2
4
 
b) 
3
2lim
1−→x
 e) )13(lim 2
3
−+
→
xx
x
 
c) )5(lim 3
2
xx
x
+
→
 f) )1(lim 234
0
++−
→
xxx
x
 
 
Questão 03 
Calcule: 
a) 2
1
6lim x
x →
 e) )4)(1(lim
3
xx
x
−−
→
 
b) 2
2 2
3lim x
x →
 f) 
1
4lim
2
3 +→ x
x
x
 
c) )4(lim 2
2
−
→
x
x
 g) 
1
lim 2
3
5
−
→ x
x
x
 
d) 
5
32lim
5
1
+
→
x
x
 
 
Questão 04 
Seja 
xxx
xxx
xf
3
365)( 23
23
+−
+−
= , calcule: 
a) )(lim
1
xf
x →
 b) )(lim
2
1
xf
x →
 c) )(lim
1
xf
x −→
 
 
Questão 05 
Determine: 
a) 6
1
)12(lim −
−→
x
x
 b) 223
2
)1523(lim −+−
→
xxx
x
 
 
Questão 06 
Ache o valor de: 
a) 4 4
1
81lim x
x →
 b) 3 2
4
lim x
x →
 
 
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 5 
INDETERMINAÇÕES 
 Se voltarmos ao nosso exemplo inicial 
2
)2)(2()(
−
−+
=
x
xx
xf , e se tentarmos re-
solver o limite dessa função, simplesmente passando o ponto, teremos uma situação que 
iremos chamar de indeterminação, veja: 
0
0
0
04
22
)22)(22(
2
)2)(2(lim
2
=
⋅
=
−
−+
=
−
−+
→ x
xx
x
 (observe que não é possível efetuar a di-
visão por zero, e nesse caso, queremos dividir zero por zero, o que nos leva a uma situa-
ção indeterminada) 
 
PRINCIPAIS INDETERMINAÇÕES 
Temos sete indeterminações usuais: 
1. 
0
0
 2. 00 3. ∞−∞+ 4. ∞⋅0 
 
5. 0∞ 6. ∞±1 7. 
∞±
∞±
 
Onde ∞ é o símbolo de infinito. 
 
Para sair dessas indeterminações devemos fazer uso de conhecimentos básicos de ma-
temática, tais como fatoração de polinômios e racionalização. 
 
 
EXEMPLOS 
Calcular os limites: 
a) 
2
4lim
2
2
−
−
→x
x
x
 
Resolução 
Ao passar o ponto, temos 
0
0
0
44
22
42
2
4lim
22
2
=
−
=
−
−
=
−
−
→ x
x
x
 (que é uma indetermina-
ção) 
Para sair dessa indeterminação, podemos considerar a função 
2
42
−
−
x
x
 e fatorá-la. 
Observe que 42 −x é uma diferença de dois quadrados, isto é, um produto notável 
da forma ))((22 BABABA −+=− , logo, )2)(2(42 −+=− xxx . Assim: 
2
2
)2)(2(
2
42
+=
−
−+
=
−
−
x
x
xx
x
x
 
Agora, temos que )2(lim
2
4lim
2
2
2
+=
−
−
→→
x
x
x
xx
 
Veja que transformamos 
2
4lim
2
2
−
−
→ x
x
x
 em )2(lim
2
+
→
x
x
 e agora, com muita facilidade, 
podemos passar o ponto 422)2(lim
2
=+=+
→
x
x
 
 
 
 
 
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 6 
b) 
2
2lim
2
2
−
−
→ x
xx
x
 
Resolução 
Passando o ponto, temos 
0
0
4
44
22
222
2
2lim
22
2
=
−
=
−
⋅−
=
−
−
→ x
xx
x
 (indeterminação) 
Colocando o x em evidência no numerador, temos x
x
xx
x
xx
=
−
−
=
−
−
2
)2(
2
22
 
Assim, temos que 2lim
2
2lim
2
2
2
==
−
−
→→
x
x
xx
xx
 
 
c) 
3
6lim
2
3 +
−+
−→ x
xx
x
 
Resolução 
Passando o ponto, temos 
0
0
0
639
33
6)3()3(
3
6lim
22
3
=
−−
=
+−
−−+−
=
+
−+
−→ x
xx
x
 (que é 
uma indeterminação) 
Pelos exemplos anteriores, notamos que o ponto de indeterminação é a tendência, 
ou seja, nesse caso, é 3−→x e que podemos passar o −3 para o primeiro membro, 
assim 03 →+x . Agora, é só dividir o numerador )6( 2 −+ xx pelo fator de inde-
terminação )3( +x usando divisão de polinômios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde 2
3
)2)(3(
3
62
−=
+
−+
=
+
−+
x
x
xx
x
xx
 
agora, temos 523)2(lim
3
6lim
3
2
3
−=−−=−=
+
−+
−→−→
x
x
xx
xx
 
 
d) 
3
3lim
3
−
−
→ x
x
x
 
Resolução 
Ao passar o ponto chegamos numa indeterminação, então nesse caso, iremos usar a 
racionalização do denominador 
3
3
)3)(3(
)3()(
)3)(3(
3
3
3
3
22
+=
−
+−
=
−
+−
=
+
+
⋅
−
−
x
x
xx
x
xx
x
x
x
x
 
Agora, 3233)3(lim
3
3lim
33
=+=+=
−
−
→→
x
x
x
xx
 
 
 
62 −+ xx 3+x
xx 32 −−
62 −− x
62 +x
0
2−x
62 −+ xx 3+x
xx 32 −−
62 −− x
62 +x
0
2−x
 
Assim )2)(3(62 −+=−+ xxxx 
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 7 
EXERCÍCIOS 
Questão 01 
Calcular: 
a) 
3
9lim
2
3
−
−
→ x
x
x
 b) 
5
25lim
2
5 +
−
−→ x
x
x
 c) 
x
xx
x 4
lim
2
0
+
→
 
d) 
5
5lim
2
5 +
+
−→ x
xx
x
 e) 
9
81lim
2
9
−
−
→ x
x
x
 f) 
2
2lim
2
2 +
+
−→ x
xx
x
 
 
Questão 02 
Calcule: 
a) 
5
2510lim
2
5
−
+−
→ x
xx
x
 d) 
6
6lim
2
6
−
−
→ x
xx
x
 
b) 
2
145lim
2
2
−
−+
→ x
xx
x
 e) 
1
1lim
23
1
−
−+−
→ x
xxx
x
 
c) 
4
12lim
2
4
−
−−
→ x
xx
x
 f) 
xx
xxx
x 23
24lim 2
23
0 +
+−
→
 
 
Questão 03 
Calcule: 
a) 
62
33lim
234
3
−
−+−
→ x
xxxx
x
 c) 
aa
aaa
a 2
103lim 2
23
2
−
−+
→
 
b) 
4
107lim 2
2
2
−
+−
→ x
xx
x
 d) 
65
4lim 2
2
2 +−
−
→ xx
x
x
 
 
Questão 04 
Calcule: 
a) 
23
12lim 2
2
1 +−
+−
→ xx
xx
x
 d) 
242
23lim 23
23
2 +−−
+−−
→ xxx
xxx
x
 
b) 
45
23lim 2
2
1 ++
++
−→ xx
xx
x
 e) 
335
862lim 24
235
1
−−+
−+−+
→ xxx
xxxx
x
 
c) 
24269
6116lim 23
23
2
−+−
−+−
→ xxx
xxx
x
 
 
Questão 05 
Calcule: 
a) 
35
2lim
22
−+
−
→ x
x
x
 b) 
132
1lim
2
1 +−
−
→ x
x
x
 c) 
x
x
x
11lim
0
−+
→
 
d) 
8
31lim
8
−
−+
→ x
x
x
 e) 
2
2lim
2
−
−
→ x
x
x
 f) 
102
21lim
5
−
−−
→ x
x
x
 
g) 
2
321lim
4
−
−+
→ x
x
x
 h) 
x
xx
x
11lim
2
0
−++
→
 i) 
22
312lim
4
−−
−+
→ x
x
x
 
 
 
 
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 8 
LIMITES INFINITOS 
 
 
 Agora, vamos estudar limites em que a variável x, ou a função f(x), ou ambos, 
tomam valores absolutos arbitrariamente grandes. 
 
EXEMPLOS 
Calcular os limites: 
a) 2lim x
x ∞+→
 
Resolução 
Vamos considerar a tabela para 2)( xxf = 
 
x f(x) 
1 1 
5 25 
10 100 
100 10.000 
1.000 1.000.000 
. . . . . . 
 
b) 2lim x
x ∞−→
 
Resolução 
Vamos considerar a tabela para 2)( xxf = 
 
x f(x) 
−1 1 
−5 25 
−10 100 
−100 10.000 
−1.000 1.000.000 
. . . . . . 
 
 
c) 3lim x
x ∞−→
 
Resolução 
Vamos considerar a tabela para 2)( xxf = 
 
x f(x) 
−1 −1 
−5 −25 
−10 −100 
−100 −10.000 
−1.000 −1.000.000 
. . . . . . 
 
 
A partir da tabela, percebemos que, quanto 
mais x se aproxima de ∞ , mais f(x) se aproxi-
ma de ∞ , logo ∞=
∞+→
2lim x
x
 
 
A partir da tabela, percebemos que, quanto 
mais x se aproxima de ∞− , mais f(x) se apro-
xima de ∞ , logo ∞=
∞−→
2lim x
x
 
 
A partir da tabela, percebemos que, quanto 
mais x se aproxima de ∞− , mais f(x) se apro-
xima de ∞− , logo −∞=
∞−→
2lim x
x
 
 
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 9 
A partir dos exemplos dados, podemos concluir que dada uma função nxxf =)( , 
INn ∈ , temos que: 
 
1. ∞=
∞→
)(lim xf
x
 
2. ∞=
∞−→
)(lim xf
x
, se n for par 
3. −∞=
∞−→
)(lim xf
x
, se n for ímpar 
 
 
 
LIMITE INFINITO FUNDAMENTAL 
 
01lim =





∞±→ xx
 
 
 
EXEMPLOS 
Calcular os limites: 
a) 
5
32lim
+
−
∞+→ x
x
x
 
Resolução 
∞
∞
=
+
−
∞+→ 5
32lim
x
x
x
 (que é uma indeterminação) 
Vamos dividir o numerador e o denominador por x 
x
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
51
32
5
32
5
32
5
32
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
 
então 
x
x
x
x
xx 51
32
lim
5
32lim
+
−
=
+
−
∞+→∞+→
 e agora, aplicamos propriedades de limites 
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
xxx
xx
xx
xx 1lim5lim1lim
1lim3lim2lim
5lim1lim
3lim2lim
51
32
lim
5
32lim
∞+→∞+→∞+→
∞+→∞+→∞+→
∞+→∞+→
∞+→∞+→
∞+→∞+→
⋅+
⋅−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
 
2
1
2
01
02
051
032
5
32lim ==
+
−
=
⋅+
⋅−
=
+
−
∞+→ x
x
x
 
 
Obs.: podemos usar de um raciocínio mais rápido para resolver essa questão, veja: 
basta tomar o termo de maior grau no numerador e no denominador 
22
5
32
==
+
−
x
x
x
x
, logo, 22lim
5
32lim ==
+
−
∞+→∞+→ xx x
x
 
 
 
 
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 10 
b) 
124
342lim 23
23
+−
+−
∞+→ xx
xx
x
 
Resolução 
tomando o termo de maior grau no numerador e no denominador, temos 
2
1
2
1lim
4
2lim
124
342lim 3
3
23
23
===
+−
+−
∞+→∞+→∞+→ xxx x
x
xx
xx
 
 
 
c) 
13
1253lim 2
25
+
−+−
∞+→ x
xxx
x
 
Resolução 
tomando o termo de maior grau no numerador e no denominador,temos 
+∞=+∞===
+
−+−
∞+→∞+→∞+→
33
2
5
2
25
)(lim
3
3lim
13
1253lim x
x
x
x
xxx
xxx
 
 
 
d) 
24
154lim 23
2
+−
+−
∞+→ xx
xx
x
 
Resolução 
tomando o termo de maior grau no numerador e no denominador, temos 
0041lim4lim4lim4lim
24
154lim 3
2
23
2
=⋅=⋅===
+−
+−
∞+→∞+→∞+→∞+→∞+→ xxx
x
xx
xx
xxxxx
 
 
 
e) )1524(lim 23 −−+
∞+→
xxx
x
 
Resolução 
Dessa vez, basta tomar o termo de maior grau do numerador 
∞=∞⋅=∞⋅==−−+
∞+→∞+→
44)4(lim)1524(lim 3323 xxxx
xx
 
 
 
f) 22lim 2 +−
∞−→
xx
x
 
Resolução 
22 2lim22lim xxx
xx ∞−→∞−→
=+− 
mas veja que xxx ⋅=⋅= 222 22 , pois xx =2 
assim, +∞=∞⋅=∞−⋅=⋅==+−
∞−→∞−→∞−→
222lim2lim22lim 22 xxxx
xxx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 11 
EXERCÍCIOS 
Questão 01 
Calcular: 
a) )(lim 4 xx
x
−
∞+→
 b) 
12
15lim 2
23
++
−+
∞+→ xx
xx
x
 c) ( )xx
x
212lim −+
∞+→
 
 
Questão 02 
Calcular: 
a) 25lim x
x ∞+→
 e) 34lim x
x ∞+→
 
b) 25lim x
x ∞−→
 f) 34lim x
x ∞−→
 
c) )6(lim 2x
x
−
∞+→
 g) )8(lim 3x
x
−
∞+→
 
d) )6(lim 2x
x
−
∞−→
 h) )8(lim 3x
x
−
∞−→
 
 
Questão 03 
Calcular: 
a) )(lim 2 xx
x
+
∞+→
 c) )(lim 24 xx
x
−−
∞+→
 
b) )(lim 35 xx
x
+
∞−→
 d) )(lim 79 xx
x
−−
∞−→
 
 
Questão 04 
Calcular: 
a) 
xx
1lim
∞+→
 b) 
xx
2lim
∞−→
 c) 2
3lim
xx
−
∞+→
 d) 3
6lim
xx ∞−→
 
 
Questão 05 
Calcular: 
a) )1(lim 23 −+−
∞+→
xxx
x
 c) )2(lim 24 xxx
x
−+−
∞+→
 
b) )165(lim 2 −−
∞−→
xx
x
 d) )4(lim 23 xxx
x
+−−
∞−→
 
 
Questão 06 
Calcular: 
a) 
73
16lim
2
−
++
∞−→ x
xx
x
 d) 
12
1710lim 4
23
−+−
+−
∞−→ xx
xx
x
 
b) 
135
24lim 3
23
++
+−
∞+→ xx
xx
x
 e) 
13
4lim 25
35
++
+−
∞−→ xx
xxx
x
 
c) 
153
36lim 2
24
−+−
+−
∞+→ xx
xx
x
 
 
Questão 07 
Calcular: 
a) ( )xx
x
313lim −+
∞+→
 c) ( )xxx
x
−++
∞+→
32lim 2 
b) ( )13lim +−+
∞+→
xx
x
 
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 12 
O NÚMERO “e” 
 
 
Vamos considerar a função IRINf →*: definida pela expressão 
n
n
nf 





+=
11)( e 
uma tabela de valores: 
 
n f (n) 
1 2 
2 2,25 
3 2,37 
4 2,44 
5 2,48 
6 2, 52 
7 2, 54 
. . . . . . 
20 2, 65 
. . . . . . 
50 2,69159 
. . . . . . 
100 2,70481 
. . . . . . 
500 2,71557 
. . . . . . 
1.000 2,7169 
. . . . . . 
 
 
 
EXEMPLOS 
Calcular os limites: 
a) 
x
x x
211lim 





+
∞→
 
Resolução 
Veja que 
x
x
211 





+ pode ser escrito como 
2
11














+
x
x
 
logo 2
2
2
22 11lim11lim11lim e
xxx
x
x
x
x
x
x
=














+=














+=





+
→∞→∞→
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos notar que, a medida que n tende para 
infinito ( ∞ ), f(n) tende para o número irracional 
2,7182818284. . . 
Esse número irracional, será representado por 
71,2=e (número de Euler) e diremos que 
e
n
n
n
=





+
∞→
11lim 
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 13 
b) 
x
x x






−
∞−→
11lim 
Resolução 
vamos fazer yx
yx
−=⇒=−
11
 
assim, se −∞→x , então ∞→⇒−∞→− yy 
logo 
1
11lim11lim11lim
−
∞→
−
∞→∞−→ 













+=





+=





−
y
y
y
y
x
x yyx
 
 
e
e
yx
y
y
x
x
111lim11lim 1
1
==














+=





−
−
−
∞→∞−→
 
 
 
c) 
x
x x






+
∞→
21lim 
Resolução 
vamos fazer yx
yx
212 =⇒= 
assim, se ∞→x , então ∞→y 
logo 
22
11lim11lim21lim














+=





+=





+
∞→∞→∞→
y
y
y
y
x
x yyx
 
 
2
2
11lim21lim e
yx
y
y
x
x
=














+=





+
∞→∞→
 
 
 
d) x
x
x
3
0
)31(lim −
→
 
Resolução 
vamos fazer 
y
x
y
x
3
113 −=⇒=− 
assim, se 0→x , então ∞→y 
logo 
y
y
y
y
y
y
x
x yyy
x
9)3(3
3
1
3
3
0
11lim11lim11lim)31(lim
−
∞→
−⋅
∞→
−
∞→→ 






+=





+=





+=− 
 9
9
99
3
0
111lim11lim)31(lim
e
e
yy
x
y
y
y
y
x
x
==














+=














+=− −
−
∞→
−
∞→→
 
 
 
 
 
 
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 14 
EXERCÍCIOS 
Calcular: 
a) 
x
x x
411lim 





+
∞+→
 d) 
x
x x
x





 +
∞+→
6lim g) ( ) x
x
x
1
0
1lim +
→
 
b) 
x
x x
611lim 





+
∞+→
 e) 
x
x x






−
∞−→
11lim h) ( ) x
x
x 4
3
0
1lim +
→
 
c) 
x
x x
431lim 





+
∞+→
 f) 
x
x x






−
∞−→
21lim i) ( ) x
x
x
1
0
61lim +
→
 
 
 
 
 
LIMITE EXPONENCIAL FUNDAMENTAL 
 
 
a
x
a x
x
ln1lim
0
=
−
→
 
 
EXEMPLO 
Calcular 20 5
1lim
2
x
e x
x
−
→
 
Resolução 
passando o ponto, temos 
0
0
0
11
05
1
05
1
5
1lim
0
2
0
20
22
=
−
=
⋅
−
=
⋅
−
=
−
→
ee
x
e x
x
 (indeterminado) 
mas note que 20020
1lim
5
1lim
5
1lim
22
x
e
x
e x
xx
x
x
−
⋅=
−
→→→
 
fazendo Ax =2 e 0→x , então 0→A 
logo 
5
11
5
1ln
5
11lim
5
1lim
5
1lim
0020
2
=⋅=⋅=
−
⋅=
−
→→→
e
A
e
x
e
A
xx
x
x
 
 
 
EXERCÍCIOS 
Calcule os limites: 
a) 
x
x
x
12lim
0
−
→
 d) 
x
xx
x
36lim
0
−
→
 
b) 
x
e
x
x
1lim
5
0
−
→
 e) 
33
1010lim
1
−
−
→ x
x
x
 
c) 
x
x
x 3
12lim
5
0
−
→
 
 
 
 
 
 
 
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 15 
LIMITE TRIGONOMÉTRICO FUNDAMENTAL 
 
 
1lim
0
=
→ x
xsen
x
 
 
 
EXEMPLO 
Calcular 
x
xsen
x
2lim
0→
 
Resolução 
0
0
0
0
0
022lim
0
==
⋅
=
→
sensen
x
xsen
x
 (indeterminação) 
vamos usar o artifício de multiplicar o numerador e o denominador por 2 
2212lim
2
2lim2
2
2lim
2
22lim
0000
=⋅=⋅=





⋅=⋅
→→→→ xxxx x
xsen
x
xsen
x
xsen
 
 
 
EXERCÍCIOS 
Calcular: 
a) 
x
xsen
x 3
8lim
0→
 d) 
xsen
xsen
x 4
5lim
0→
 g) 
5
5lim
5
pi−





 pi
−
pi
→ x
xsen
x
 
b) 
x
xsen
x 2
3lim
0→
 e) 
xsen
xsen
x 10
7lim
0→
 h) 
x
xtg
x 0
lim
→
 
c) 
x
xsen
x 3
5lim
0→
 f) 20
cos1lim
x
x
x
−
→
 i) 
xtg
xsen
x 0
lim
→
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 16 
FUNÇÃO CONTÍNUA 
 
Consideremos o gráfico das funções f1, f2 e f3 a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que a cada x do domínio de f1 associamos um único valor de y e também que o 
gráfico de f1 não é interrompido para x = a, isto é, o gráfico pode ser desenhado de uma 
só vez, sem levantar a ponta do lápis do papel. 
 Mas, o mesmo não acontece com os gráficos de f2 e f3 que não podem ser dese-
nhados sem se levantar a ponta do lápis do papel, isto é, os gráficos são interrompidos 
para x = a. 
 A função f1 é denominada contínua e as funções f2 e f3 são chamadas descontí-
nuas em x = a. 
 O ponto a é chamado ponto de descontinuidade da função. 
 
Para que uma função f(x) seja contínua em x = a do seu domínio, as seguintes condições 
devem ser satisfeitas: 
1. existe f(a) 2. existe )(lim xf
ax →
 3. )()(lim afxf
ax
=
→
 
 
 
EXEMPLOS 
Estude a continuidade ou descontinuidade de cada função: 
a) 
2
4)(
2
−
−
=
x
x
xf 
Resolução 
como a função f(x) não é definida para 2=x , então f(x) não é contínua neste ponto. 
 
 
 
y 
f1 (a) 
a x 
f1 y 
f2 f2 (a) 
a x 
y 
f3 
f3 (a) 
a x 
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 17 
b) 



≥
<−
=
1,
1,23)( 2 xsex
xsex
xf 
Resolução 
devemos verificar as três condições: 
1. 1)1(11)1( 1 =⇒== ff 
2. os limites laterais são: 
 1)23(lim)(lim
11
=−=
−− →→
xxf
xx
 
 1lim)(lim 2
11
==
++ →→
xxf
xx
 
 os limites laterais são iguais, logo 1)(lim
1
=
→
xf
x
 
3. 1)1()(lim
1
==
→
fxf
x
 
Assim, a função é contínua em 1=x 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
Questão 01 
Verificar se a função 
2
4)(
2
−
−
=
x
x
xf é contínua em x = 3. 
 
 
Questão 02 
Verificar se a função 
1
7)(
−
+
=
x
x
xf é contínua em x = 1. 
 
 
Questão 03 
Determinar m ∈ IR de modo que a função 



=
≠+−
=
4,3
4,65)(
2
xsem
xsexx
xf seja contínua 
em x = 4. 
 
 
Questão 04 
Dada a função 
1
1)(
+
−
=
x
x
xf , diga se f(x) é contínua nos pontos: 
a) x = 0 b) x = −1 c) x = 2 
 
 
Questão 05 
Dada a função 
103
5)( 2
−+
+
=
xx
x
xf , diga se f(x) é contínua nos pontos: 
a) x = 5 b) x = 2 
 
 
 
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 18 
Questão 06 
Determine, quando existirem, os pontos de descontinuidade das funções: 
a) 
5
4)(
−
+
=
x
x
xf 
b) 
x
xf 1)( = 
c) 
9
5)( 2
−
=
x
x
xf 
 
 
Questão 07 
Mostre se a função 



=
≠+
=
3,7
3,2)(
xse
xsex
xf é contínua ou descontínua em x = 3. 
 
 
Questão 08 
Verifique se a função real, de variável real definida por 





≥
<<−
≤−
=
3,4
31,2
1,2
)(
2
xse
xsex
xsex
xf , é 
contínua ou descontínua nos pontos: 
a) x = 1 
b) x = 3 
 
 
Questão 09 
Sabendo que a função h(x) = f(x) + g(x) é contínua e que g(m) = 5 e 9)(lim =
→
xf
mx
, de-
termine h(m).