11 integral definida e calculo de areas volume

Prévia do material em texto

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 1 
INTEGRAIS DEFINIDAS 
 
 
Seja f(x) uma função definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida 
de f(x), de a até b, é um número real, e é indicado pelo símbolo: 
∫
b
a
dxxf )( , onde: 
a é o limite inferior de integração 
b é o limite superior de integração 
f(x) é o integrando 
 
 
 
QUESTÕES 
Questão 01 
Calcular: 
a) ∫
1
0
dxx b) ∫
b
dxx
0
 c) ∫
2
1
2 dxx d) ∫
pi
4
0
cos dxx 
 
Questão 02 
Calcular: 
a) ∫ +
1
0
)42( dxx b) ∫
−
+−
1
1
2 )1( dxxx c) ∫ ++
1
0
2 )32( dxxx 
d) ∫
−
1
0 21
1 dx
x
 e) ∫
e
dx
x
x
0
ln
 f) ∫ +
1
0
1 dxx 
g) ∫
−
2
1
4 dxx h) ∫
16
1 x
dx
 i) ∫
27
8
3 dxx j) ∫ −
14
13
10)13( dxx 
 
Questão 03 
Calcule o valor de cada integral definida: 
a) ∫
− +
3
2
3
1 23x
dx
 b) ∫ +
1
0
)32( dxx c) ∫
−
0
1
67 dxx 
d) ∫
4
1
dxx e) ∫ +
2
0
14 dxx f) ∫
−
+
2
1
2)1( dxx 
g) ∫
−
a
a ax
dxx3
2 222 )( h) ∫ +
b
bx
dxx2
0 22
 i) ∫ −
1
0
2 )( dxxx 
j) ∫
−
−+
2
1
)2)(1( dxxx k) ∫ −
a
dxxxa
0
32 )( l) ∫ +
1
0
9)1( dxx 
m) ∫ −
b
dxxb
0
2)( n) ∫ −
1
0
22 )1( dxxx o) ∫ 





+
2
1
21 dx
x
x 
p) ∫
−
+−1
0
2
3
65 dx
x
xx
 q) ∫
− +
2
1 24
3 dx
x
x
 r) ∫
−
+
⋅
2
2
1
2
2
3 dxex
x
 
t) ∫
pi
⋅
2
0
2 cos dxxxsen u) ∫
pi
pi ⋅
3
4
23 sec dxxxtg v) ∫
−
8,0
2,0 21
dx
x
x
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 2 
2xy =
xy 3=
x 
y 
9 
3 
a) 
−2 2 
y 
x 
8 
28 xy −=
b) 
2xy = 
CÁLCULO DE ÁREAS 
 
 
 
 
Questão 01 
Calcular a área limitada por: 
a) 22 xxy −= e o eixo x, acima do eixo x 
b) 2xy = e xy −= 2 
c) xseny = e o eixo x, para pi≤≤ x0 
 
Questão 02 
Calcule a área limitada por: 
a) 2xy = e o eixo x, para 30 ≤≤ x 
b) 2xy = e 22 xxy −= 
c) 24 xxy −= e o eixo x, acima do eixo x 
d) 2xy = e 21
2
x
y
+
= 
e) xxy 22 += e xy −= 
f) 2xy = e xy = 
 
 
Questão 03 
Calcule a área limitada por: 
a) xy cos= e o eixo x, 
2
0 pi≤≤ x b) xy cos= e o eixo x, pi≤≤ x0 
c) 
x
y 1= e o eixo x, 41 ≤≤ x d) xy = e 3xy = , 20 ≤≤ x 
 
 
Questão 04 
Calcule a área da região indicada na figura: 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 3 
a) 24)( xxxf −=
y 
x 
b) 
y 
x 
2)( xxf =
3 
 
 
 
 
Questão 05 
Calcule a área sob as funções f(x): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 2 
1 
xey =
c) 
d) y 
2 x 
xey −=
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 4 
c) 
x
xf 1)( =
y 
x 1 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 06 
Calcule a área limitada pela intersecção das funções xxf =)( e 68)( 2 −+−= xxxg . 
 
 
Questão 07 
Ache a área limitada pela curva 23 3xxy += , pelo eixo x e pelas retas 0=x e 2=x . 
 
 
Questão 08 
Ache a área limitada pela curva 422 −= xyx , pelo eixo x e pelas retas 2=x e 4=x . 
 
 
Questão 09 
Ache a área no primeiro quadrante limitada pelo eixo x e pela curva 326 xxxy −+= . 
 
 
Questão 10 
Ache a área total entre a parábola xxy 42 −= , o eixo x e a reta 2−=x . 
 
 
Questão 11 
Ache a área limitada pela curva 322 xxxy −+= , pelo eixo x e pelas retas 1−=x e 
1=x . 
 
Questão 12 
Ache a área limitada pelas curvas 2xy = e xy = . 
 
 
Questão 13 
Ache a área limitada pelas curvas 3xy = e 22xy = . 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 5 
CÁLCULO DE VOLUME 
 
 
 
Questão 01 
A região entre a curva xy = , 40 ≤≤ x e o eixo x gira em torno do eixo x para gerar 
um sólido. Determine seu volume. 
 
Questão 02 
Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por xy = e 
pelas retas 2=y e 0=x , em torno do eixo y. 
 
Questão 03 
Determine o volume do sólido obtido com a rotação em torno da reta 1=y , da região 
definida por xy = e pelas retas 1=y e 4=x . 
 
Questão 04 
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo x da região sob a cur-
va xy = de 0 a 1. 
 
Questão 05 
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por 3xy = , 8=y e 
0=x ao redor do eixo y. 
 
Questão 06 
A região R limitada pelas curvas xy = e 2xy = é girada ao redor do eixo x. Encontre o 
volume do sólido resultante. 
 
Questão 07 
Ache o volume de um sólido obtido pela rotação ao redor do eixo y da região entre 
xy = e 2xy = . 
 
Questão 08 
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação ao redor da reta 2=y , da região entre 
xy = e 2xy = . 
 
Questão 09 
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação ao redor da reta 1−=x entre xy = e 
2xy = . 
 
Questão 10 
Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo y, da região 
compreendida entre o eixo y e a curva 
y
x
2
= , 41 ≤≤ y . 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 6 
Questão 11 
Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno da reta 3=x , da região 
compreendida entre a parábola 12 += yx e a reta 3=x . 
 
 
Questão 12 
A região compreendida entre a parábola 2xy = e a reta xy 2= no primeiro quadrante 
gira em torno do eixo y para gerar um sólido. Determine o volume do sólido. 
 
 
Questão 13 
A região limitada pela curva 12 += xy e pela reta 3+−= xy gira em torno do eixo x 
para gerar um sólido. Determine o volume desse sólido. 
 
Questão 14 
Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região sombreada em torno do 
eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 15 
Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região sombreada em torno do 
eixo y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 2 
1 
y 
x 3 
2