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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 1 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
Questão 02 
Calcule as integrais indefinidas: 
a) 
22 xa
dx
 
 
RESOLUÇÃO 
dx
a
xa
dx
a
x
a
aa
dx
a
xa
a
xa
dx
22
2
2
2
22
2
22
2
22
1
1111
1
 
Agora, fazemos 
adudx
dx
du
adx
du
a
x
u
a
x 1 
Logo: 
du
u
a
a
adu
ua
dx
a
xa
222222 1
11
1
11
1
11 
c
a
x
arc
a
cutgarc
a
11
 
 
 
 
b) 
xsen
dxx
1
cos
 
 
RESOLUÇÃO 
Nesse caso, devemos fazer 
dudxx
dx
du
x
dx
du
senxusenx coscos)1(1
 
Agora vamos resolver a questão 
xsen
dxx
1
cos
 
Observe que 
du
u
du
u
dxx
senxxsen
dxx
2
1
11
cos
1
1
1
cos
 
csenxcucuc
u
c
u
duu 122
1
2
2
1
1
2
1
2
12
1
1
2
1
2
1 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 2 
c) 
xx
dx
ln
 
RESOLUÇÃO 
Observe que 
dx
xxxx
dx 1
ln
1
ln
 
Agora é só fazer 
dudx
xdx
du
xdx
du
xux
11
)(lnln
 
Logo: 
cxcudu
u
dx
xxxx
dx
lnlnln
11
ln
1
ln
 
 
 
 
d) 
249 x
xdx
 
Resolução 
Observe que 
xdx
xx
xdx
22 49
1
49
 
Fazendo 
dx
du
x
dx
du
xux 8)49(49 22
 
duxdxduxdxduxdx
8
1
8)1(8
 
Agora, temos que 
du
u
xdx
xx
xdx
8
11
49
1
49 22
 
cucuc
u
duudu
u
4
1
1
2
8
1
2
18
1
8
11
8
1
2
12
1
2
1
2
1
 
cx 249
4
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 3 
e) 
249 x
dx
 
Resolução 
Para resolver essa questão, devemos criar o seguinte artifício, dividimos numerador 
e denominador por 3, assim: 
dx
xx
dx
3
49
3
1
49 22
 (agora, jogamos o 
3
1
 para fora da integral) 
dx
x
dx
xx
dx
3
49
1
3
1
3
49
3
1
49 222
 (observe que 
93
 assim: 
dx
x
dx
x
dx
xx
dx
9
49
1
3
1
3
49
1
3
1
3
49
3
1
49 2222
 ( daí, temos uma 
propriedade de radicais que diz que o quociente dos radicais é o radical dos quocien-
tes, logo: 
dx
x
dx
x
dx
xx
dx
9
49
1
3
1
3
49
1
3
1
3
49
3
1
49 2222
 
dx
x
dx
x
dx
x 222
3
2
1
1
3
1
9
4
9
9
1
3
1
9
49
1
3
1 
E agora é só fazer 
dudx
dx
du
dx
dux
u
x
32
3
2
3
2
3
2 
dudx
2
3
 
E finalmente: 
du
u
du
u
dx
x
222 1
1
2
3
3
1
2
3
1
1
3
1
3
2
1
1
3
1 
c
x
senarccusenarcdu
u 3
2
2
1
2
1
1
1
2
1
2
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 4 
f) 
dxex x
2
 
Resolução 
Aqui, basta fazer 
dx
du
x
dx
du
xux 222
 
duxdxduxdxduxdx
2
1
2)1(2
 
Agora 
cedueduexdxedxex uuuxx
2
1
2
1
2
122
 
ce x
2
2
1
 
 
 
g) 
dxe x5
 
Resolução 
Essa é muito simples, veja: 
 xdxedxe
A
x )( 55
 (note que não mudamos a variável x e sim 
5e
) 
Logo 
 c
e
e
c
A
A
dxAxdxedxe
xx
x
A
x
5
5
55
ln
)(
ln
)(
 
Observe agora que 
5logln 55 ee e
 
E assim 
 cec
e
c
e
e
c
A
A
dxAxdxedxe x
xxx
x
A
x 5
5
5
5
55
5
1
5ln
)(
ln
)(
 
 
 
h) 
dxxx 212
 
Resolução 
Essa também é simples, veja: 
Basta fazer 
duxdx
dx
du
x
dx
du
xux 22)1(1 22
 
Daí é só substituir 
duuxdxxdxxx 2112 22
 
cxcucuc
u
c
u
duu 3232
32
3
1
2
1
2
1
)1(
3
2
3
2
3
2
2
3
1
2
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 5 
i) 
dxxx )2(cos 43
 
Resolução 
Fazemos 
dx
du
x
dx
du
xux 344 4)2(2
 
dudxxdudxx
4
1
4 33
 
Agora 
duudxxxdxxx
4
1
cos)2(cos)2(cos 3443
 
cxsencusenduu )2(
4
1
4
1
cos
4
1 4
 
 
 
j) 
dxx 12
 
Resolução 
Essa é mais simples ainda, veja: 
Basta fazer 
dudx
dx
du
dx
du
xux 22)12(12
 
dudx
2
1
 
Agora 
cuc
u
duuduudxx 2
32
3
2
1
3
2
2
1
2
32
1
2
1
2
1
12
 
cxcu 33 )12(
3
1
3
1
 
 
 
k) 
dx
x 241
1
 
Resolução 
Desta vez, também precisamos de um pequeno artifício, veja: 
dx
x
dx
x 22 )2(1
1
41
1
 
E agora, fazemos 
dudx
dx
du
dx
du
xux
2
1
2)2(2
 
E finalmente 
du
u
du
u
dx
x
dx
x 2222 1
1
2
1
2
1
1
1
)2(1
1
41
1
 
cxsenarccusenarc )2(
2
1
2
1