Lista 1 estatistica básica

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Introdução à inferência estatística
Lista de exercícios # 1
Entrega terça-feira dia 19 de Fevereiro em papel na sala de aula
(Q.1) Seja X1, X2,...,XN uma sequência de variáveis aleatórias (VAs) identicamente distribuídas independentes com média μ e variância σ2, i.e., E[Xi] = μ e V[Xi]= σ2, i=1,...,N. Considerando isso, faça as demonstrações a seguir requisitadas.
(Q.1.a) (Q.1.a) V(X1 + X2) = 2σ2 + 2cov(X1,X2), em que cov() é o operador covariância;
Var(W)=E((W-E(W))²)
Var(X+Y)=E((X+Y) – E(X+Y))²)
E(X+Y)=E(X)+E(Y), logo
Var(X+Y)=E((X+Y) – (E(X)+E(Y)))² = E((X-E(X))+(Y-E(Y))²) = E[(X-E(X))² + 2[(X-E(X)*(Y-E(Y)] + (Y-E(Y)²] = E(X-E(X))² + E(Y-E(Y))² +2E[(X-E(X))*(Y-E(Y))]
E(X-E(X))² = Var(X) 
E(Y-E(Y))² = Var(Y)
2E[(X-E(X))*(Y-E(Y))]= 2*cov(X,Y)
Logo, E(X-E(X))² + E(Y-E(Y))² +2E[(X-E(X))*(Y-E(Y))] = Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)
(Q.1.b) Generalize o resultado do item anterior para N VAs, i.e., demonstre que: 
(Q.1.c) Assumindo, agora, que as N VAs são independentes, demonstre que , com . Utilize, para isso, o resultado obtido na demonstração do item anterior.
(Q.2) [binomial] Bussab & Morettin (5ª edição) (Cap.6, Exercício 31) Na manufatura de certo artigo, é sabido que um entre dez artigos é defeituoso. Qual a probabilidade de que uma amostra casual de tamanho quatro contenha:
(a) nenhum defeituoso?
(b) exatamente um defeituoso?
(c) exatamente dois defeituosos?
(d) não mais do que dois defeituosos?
(a) 
(b) 
(c) (d) P(0)+P(1)+P(2)= 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 = 0,9963
(Q.3) [normal: utilizar função “pnorm” do R] Bussab & Morettin (5ª edição) Cap.7, Exercício 33
As notas de estatística econômica dos alunos de determinada universidade distribuem-se de acordo com uma distribuição normal, com média 6,4 e desvio padrão 0,8. O professor atribui graus A, B e C da seguinte forma:
	Nota
	Grau
	x < 5
	C
	5 ≤ x < 7,5
	B
	7,5 ≤ x < 10
	A
Numa classe de 80 alunos, qual [é] o número esperado de alunos com grau A? E com grau B? E C?
P(A) = P(7,5≤ X<10) = P((7,5-6,4)/0,8<Z<(10-6,4)/0,8) = P(1,375<Z<4,5) = 0,499997 – 0,41621 = 0,0837 
Logo, o número esperado de alunos com grau A é de 0,0837*80 = 6,696 
P(B) = P(5≤ X<7,5) = P((5-6,4)/0,8<Z<(7,5-6,4)/0,8) = P(-1,75≤X<1,375) = 0,9115 -0,0401 = 0,8714
Logo o número esperado de alunos com grau B é de 0,8714*80= 69,712
P(C) = P(X<5) = P(Z<(5-6,4)/0,8)= P(Z<-1,75) = 0,0401
Logo o número esperado de alunos com grau C é de 0,0401*80= 3,2
(Q.4) [normal] Bussab & Morettin (5ª edição)Cap.7, Exercício 36. Uma enchedora automática de garrafas de refrigerantes está regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de 1.000 cm3 e o desvio padrão de 10 cm3. Pode-se admitir que a variável volume seja normal.
(a) Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor do que 990 cm3? 
(b) Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume líquido não se desvia da média em mais do que dois desvios padrão?
(c) O que acontecerá com a porcentagem do item (b) se a máquina for regulada de forma que a média seja 1.200 cm3 e o desvio padrão 20 cm3?
X~N(1000,10)
(a) P(X<990) = P(Z<(990-1000)/10) = P(Z<-1) = P(Z>1) = 1- P(Z<1) = 1-0,8413= 0,1587
Logo, 15,87% das garrafas terão volume menor do que 990cm³
(b) P(980<X<1020) = P((980-1000)/10<Z<(1020-1000)/10) = P(-2<Z<2)=P(Z<2)–P(Z>-2) = P(Z<2)-P(Z>2) = P(Z≤2) – (1 – P(Z≤2)) = 0,9772 – 1 + 0,9772 = 0,9544
Logo, 95,44% das garrafas não se desviam da media em mais que dois desvios padrões.
(c) P(1180<X<1220) = P((1180-1200)/20<Z<(1220-1200)/20) = P(-1<Z<1) = P(Z<1)-P(Z>-1) = P(Z≤1) – (1-P(Z≤1) = 0,8413 – 1 + 0,8413 = 0,6826
Como 0,6826 < 0,9544, a porcentagem nesse caso será menor. 
(Q.5) [FD conjunta] Bussab & Morettin (5ª edição)Cap.8, Exercício 31. Numa comunidade em que apenas dez casais trabalham, fez-se um levantamento no qual foram obtidos os seguintes valores para os rendimentos anuais:
	Casal
	Rendimento do Homem (X)
	Rendimento da Mulher (Y)
	1
	10
	5
	2
	10
	10
	3
	5
	5
	4
	10
	5
	5
	15
	5
	6
	10
	10
	7
	5
	10
	8
	15
	10
	9
	10
	10
	10
	5
	10
Um casal é escolhido ao acaso entre os dez. Seja X o rendimento do homem e Y o da mulher.
Construa a distribuição de probabilidade conjunta de X e Y;
Determine as distribuições marginais de X e Y;
X e Y são variáveis dependentes? Justifique;
Calcule as médias e variâncias de X e Y e a covariância entre elas;
Considere a VA Z igual à soma dos rendimentos de cada homem e mulher. Calcule a média e variância de Z;
Supondo que todos os casais tenham a renda de um ano disponível, e que se oferecerá ao casal escolhido a possibilidade de comprar uma casa pelo preço de 20, qual a probabilidade de que o casal possa efetuar a compra?
A) e B)
	X / Y
	5
	10
	P(X)
	5
	1/10
	2/10
	3/10
	10
	2/10
	3/10
	5/10
	15
	1/10
	1/10
	2/10
	P(Y)
	4/10
	6/10
	
C) Pode-se verificar se X e Y são v.a. independentes verificando se o produto das probabilidades marginais é igual a probabilidade conjunta para todas as células. Assim, calculando P(X=5)*P(Y=5) = 3/10 * 4/10 = 12 /100 que é diferente de P(X,Y) = 1/10.
D) A média de X é E[X] = 5*(3/10) + 10*(5/10) + 15*(2/10) = 95/10 = 9,5. A media de Y é E[Y] = 5*(4/10) + 10*(6/10) = 80/10 = 8.
A variância de X pode ser calculada como E[X²] - (E[X])² = 25*(3/10) + 100*(5/10) + 225*(2/10) – 9,5² = 12,25
A variância de Y pode ser calculada como E[Y²] - (E[Y])² = 25*(4/10) + 100*(6/10) – 8² = 6
A covariancia de X Y pode ser calculada como Cov(X,Y) = E(XY)-E(X)*E(Y) = ∑XYpxy – E(X)*E(Y) = 5*5*(1/10) + 10*5*(2/10) + 15*5*(1/10) + 10*5*(2/10) + 10*10*(3/10) + 10*15*(1/10) – 9,5*8= -1
E)Z:
	15
	20
	10
	15
	20
	20
	15
	25
	20
	15
A média de Z é E[Z]= 15*(4/10) + 10*(1/10) + 20*(4/10) + 25*(1/10) = 17,5
A variância de Z pode ser calculada como E[Z²] – (E[Z])² = 225*(4/10) + 100*(1/10) + 400*(4/10) + 625*(1/10) – 17,5² = 6,25
F) A probabilidade se da para os casais com renda maior ou igual a 20 em um ano, assim, será de 10/20