8. Transformação da deformação

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 - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA 
PROFESSORA: SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONI 
DISCIPLINA: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
Transformação da deformação 
 
Introdução: 
O estado geral das deformações em um ponto de um corpo. 
 
Deformação Normal: ( )zyx ,, εεε 
Deformação por Cisalhamento: ( )yzxzxy ,, γγγ 
 
Esses seis componentes tendem a deformar cada face de um elemento material 
 
Variam de acordo com a orientação do elemento 
 
No laboratório as medidas são feitas através de extensômetros. 
 
Estado Plano de Deformações 
 ( )yx ,εε ⇒ Dois componentes de deformação normal ( )xyγ ⇒ Um componente de deformação por cisalhamento 
 
 
 
Figura 1. Estado Plano de Deformações. 
 
Observações: O estado plano de deformações não causa um estado plano de tensões e 
vice-versa. 
 
 2
 
Figura 2. 
 
Equações Gerais de Transformação para o Estado Plano de Deformações 
 
Objetivos: Estabelecer equações de transformação que podem ser usadas para 
determinar os componentes de deformação normal e por cisalhamento x’, y’em um 
ponto, desde que os componentes de deformação x, y sejam conhecidos. 
 
Convenção de sinal: 
 
Figura 3. Convenção de Sinais. 
 
Deformação Normal e por Cisalhamento 
 
Determinação de 'xε 
 
θ
θ
sen'dxdy
cos'dxdx
=
=
 (1) 
 
 
Se 0x >ε (Figura 4.b)⇒Alongamento de dx é dxxε ⇒ Alongamento de dx’ é θε cosdxx 
Se 0y >ε (Figura 4.c)⇒Alongamento de dy é dyyε ⇒ Alongamento de dx’ é θε sendyy 
 
 
 
 3
 
 
 
 
 
Figura 4. 
 
Se dx é fixo ⇒ Deslocamento dyxyγ para a direita do topo da linha dy (Figura 4.d)⇒ 
Alongamento de dx’ é θγ osdycxy 
 
Somando-se os três alongamentos: 
 
θγθεθεδ cosdysendycosdx'x xyyx ++= (2) 
Mas, 
 4
'dx
'x
'x
δε = (3) 
 
Substituindo-se (1) em (3) 
 
θθγθεθεε cossensencos xy2y2x'x ++= (4) 
 
A equação de transformação da deformação para determinar 'y'xγ é desenvolvida 
considerando-se a intensidade da rotação que cada segmento de reta dx’ e dy’ sofre 
quando submetido aos componentes da deformação xyyx ,, γεε . 
 
'dx
'yδα = (5) 
 
θγθεθεδ dysencosdysendx'y xyyx −+−= (6) 
 
Utilizando-se (1) e (5). Figura 4.e. 
 ( ) θγθθεεα 2xyyx sencossen −+−= (7) 
 
 
Como mostra a Figura 4.e a reta dy’ gira β . Podemos determinar esse ângulo por uma 
análise semelhante, ou simplesmente substituindo-se θ por 90+θ e assim tem-se: 
 ( ) θγθθεεβ 2xyyx coscossen −+−−= (8) 
 
βαγ −='y'x (9) 
 
Dessa forma, as equações de transformação da deformação de um elemento orientado 
com ângulo θ como mostram a Figura 5 são: 
 
( ) ( )θγθεεεεε 2sen
2
2cos
22
xyyxyx
'x +
−++= (10) 
 
( ) ( )θγθεεγ 2cos
2
2sen
22
xyyx'y'x +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−= (11) 
 
Para determinar 'yε , basta substituir θ por ( )90+θ em (10) e assim tem-se: 
( ) ( )θγθεεεεε 2sen
2
2cos
22
xyyxyx
'y −
−−+= (12) 
 
Faça uma comparação com as equações do estado plano de tensão 
 
 
 5
 
Figura 5. 
 
Deformações Principais: Deformações normais sem deformações por cisalhamento 
 
 
( )
yx
xy
p2tg εε
γθ −= (13) 
 
2
xy
2
yxyx
2,1 222 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −±+= γεεεεε (14) 
 
Deformação por Cisalhamento Máxima no Plano 
 
( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−=
xy
yx
c2tg γ
εεθ (15) 
 
 
2
xy
2
yxnoplanomax
222 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −±= γεεγ (16) 
 
2
yx
med
εεε += (17) 
 
 
Circulo de Mohr – Estado Plano de Deformações 
 
 
As equações (10) e (11) podem ser escritas na forma 
 
( ) 2
2
xy2
médx R2
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+− γεε (18) 
 
Onde: 
 6
2
yx
méd
εεε += (19) 
 
R= 
2
xy
2
yx
22 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ − γεε
 (20) 
 
Centro do círculo fica no ponto ( )0,médε . 
 
 
Construção do Círculo 
 
1. Estabelecer um sistema de coordenadas tal que a abscissa represente a deformação 
normal ε , com sentido positivo para a direita e a ordenada represente metade do valor 
da deformação por cisalhamento, 2/γ , com sentido positivo para baixo. 
 
2. Determinar o centro do círculo C, que está localizado no eixo ε a uma distância ( ) 2yxméd εεε += da origem. 
 
3. Marcar o ponto de referência A ( )2, xyx γε . 
 
4. Conectar o ponto A ao ponto C e determinar o raio R pelo triângulo sombreado. 
 
5. Uma vez determinado R, traçar o círculo 
 
 
 
Figura 6. 
 
 
 
Deformações Principais 
 
1. As deformações principais, 1ε e 2ε são as coordenadas dos pontos B e D na Figura 
7.a onde 02/ =γ . 
 
 7
2. Determinar a orientação do plano sobre o qual 1ε atua pelo círculo calculando 1p2θ 
por meio de trigonometria (medido no sentido anti-horário a partir da reta de referência 
radial CA até a reta CB). Figura 7.a. Lembrar que a rotação de 1pθ deve ser na mesma 
direção, a partir do eixo de referência do elemento x para o eixo x’. Figura 7.b. 
 
 
 
 
Figura 7. 
 
Deformações por Cisalhamento Máximo no Plano 
 
1. A deformação normal média e a metade da deformação por cisalhamento máxima no 
plano são determinadas como coordenadas E e F. Figura 7.a 
 
2. Calcular 1s2θ por meio de trigonometria (medido no sentido horário a partir da reta 
de referência radial CA até a Reta CE). 
 
Deformações no plano arbitrário 
 
1. Para um plano especificado por um ângulo θ utiliza-se trigonometria para se 
calcular a deformação normal e por cisalhamento. 
 
2. O ângulo conhecido θ do eixo x’é medido no círculo como θ2 . 
3. Se for necessário saber o valor de 'yε , determiná-lo calculando-se a coordenada 
ε do ponto Q. A reta CQ localiza-se a 180º de CP e, desse modo, representa 
uma rotação de 90º do eixo x’. 
 
 
 8
Exercícios: 
1. O estado de deformação no ponto do suporte tem componentes ( )6x 10200 −−=ε , ( )6y 10650 −−=ε , ( )6xy 10175 −−=γ . Usar as equações de transformação da 
deformação para determinar as deformações planas equivalentes em um 
elemento orientado a o20=θ no sentido anti-horário em relação à posição 
original. Esquematizar no plano x-y o elemento distorcido em virtude dessas 
deformações 
 
Figura8. 
resp: ( ) ( ) ( )6'y'x6'y6'x 10423,10541,10309 −−− −=−=−= γεε 
 
2. O elemento infinitesimal que representa um ponto do material está sujeito ao 
estado plano de deformações ( )6x 10500 −=ε , ( )6y 10300 −−=ε , ( )6xy 10200 −=γ , o 
qual tende a torcê-lo como mostra a Figura 9.a. Determinar as deformações 
equivalentes que atuam sobre um elemento orientado a 30º no sentido horário 
em relação a posição original. 
 
 
 
Figura 9. 
Solução: Figuras 9.b e 9.c 
Resp: ( )6'x 10213 −=ε , ( )6'y 104,13 −−=ε , ( )6'y'x 10793 −=γ 
 
 9
3. O elemento infinitesimal que representa um ponto do material está sujeito ao 
estado plano de deformações ( )6x 10350 −−=ε , ( )6y 10200 −=ε , ( )6xy 1080 −=γ , o 
qual tende a torcê-lo como mostra a Figura 11.a. Determinar as deformações 
principais no ponto e a orientação do elemento a elas correspondente. 
 
 
Figura 11. 
Solução: Figura 11.b 
 
Resp. oop 9,85e14,4−θ ( )61 10353 −−=ε , 2'x εε = 
 
4. O estado plano de deformações em um ponto é representado pelos componentes ( )6x 10250 −=ε , ( )6y 10150 −−=ε e ( )6xy 10120 −=γ . Determinar as deformações 
principais e a orientação do elemento. 
 
Solução: 
 
Figura 12. 
Resp: ( ) ( ) o1p6261 35,8,10159,10259 =−== −− θεε 
 
5. O estado plano de deformações em um ponto é representado pelos componentes ( )6x 10250 −=ε , ( )6y 10150 −−=ε e ( )6xy 10120 −=γ . Determinar as deformações por 
cisalhamento máximas no plano e a orientação do elemento. 
 
Resp: ( ) ( ) o1s6méd6'y'x 6,36,1050,10418 === −− θεγ 
 10
5.O estado plano de deformações em um ponto é representado pelos componentes ( )6x 10300 −=ε , ( )6y 10100 −−=ε e ( )6xy 10100 −=γ . Determinar o estado de 
deformação de um elemento orientado a 20º no sentido horário em relação a 
posição informada. 
 
Resp: ( ) ( ) ( )6'y6'y'x6'x 103,91,1052,10309 −−− −=−=−= εγε 
 
 
Obs: Estudar os exercícios resolvidos do prof. Duran. 
 
Referências Bibliográficas: 
 
1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books, 
1995. 
2. Gere, J. M. Mecânica dos Materiais, Editora Thomson Learning 
3. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000. 
 
Observações: 
1- O presente texto é baseado nas referências citadas. 
2- Todas as figuras se encontram nas referências citadas.