12.1 Energia de deformação na flexão

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 - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA 
PROFESSORA: SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONI 
DISCIPLINA: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
Energia de deformação na flexão 
 
Aplicações: Vigas que se comportam de uma maneira elástica linear, ou seja, o material 
segue a lei de Hooke e as deflexões e rotações precisam ser pequenas. 
 
Seja uma viga biapoiada submetida à flexão pura. A curva de deflexão é um arco 
circular quase plano de curvatura constante 
EI
M=κ . O ângulo θ compreendido por esse 
arco é igual a ρL , onde L é o comprimento da viga e ρ o raio de curvatura. 
Dessa forma, tem-se: 
EI
MLLL === κρθ (1) 
 
 
Figura 1 - Viga em flexão pura. 
 
A relação (1) é mostrada na Figura 2. Conforme os binários de flexão aumentam 
gradualmente em magnitude desde zero até seus valores máximos, eles realizam o 
trabalho W representado pela área hachurada abaixo da linha OA e é dado por: 
2
MUW θ== (2) 
 
 2
 
 
Figura 2 - Diagrama mostrando a relação linear entre os momentos fletores M e o 
ângulo θ . 
 
Teorema de Castigliano 
Combinando as equações (1) e (2) obtém-se a expressão da energia de deformação 
armazenada em uma viga em flexão pura: 
EI2
LMU
2
= ; 
L2
EIU
2θ= (3a, b) 
 
Flexão Não-Uniforme 
As equações 3a e b aplicam-se a um elemento de viga como na Figura 3 e integra-se ao 
longo do comprimento, onde, 
2
2
dx
ddxd νκθ == (4) 
 
 
Figura 3 - Vista lateral de um elemento de uma viga submetida ao momento fletor M. 
 
A energia de deformação dU do elemento é dada por qualquer uma das seguintes 
equações: 
EI2
dxMdU
2
= ; ( ) dx
dx
d
2
EIdx
dx
d
dx2
EI
dx2
dEIdU
2
2
22
2
22
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛== ννθ (5a, b) 
 3
Integrando-se as equações anteriores ao longo do comprimento de uma viga tem-se: 
 
∫= dxEI2MU 2 ; ∫ ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛= dxdxd2EIU
2
2
2ν (6a, b) 
 
Se a força de cisalhamento for considerada será armazenada na viga uma energia de 
deformação adicional. 
 
 
Exercício: 
 
Uma viga engastada AB está submetida a um carregamento P em sua extremidade livre 
A. Determine a energia de deformação da viga e a deflexão vertical Aδ devido ao 
carregamento P na extremidade A da viga. 
 
 
Figura 4 - Viga engastada e livre suportando um carregamento simples P. 
 
Resposta: 
EI6
LPU
32
= , 
EI3
PL3
A =δ 
 
 
Teorema de Castigliano 
 
Objetivo: 
Encontrar as deflexões de uma estrutura a partir da deformação da estrutura. 
 
 
Seja uma viga engastada com um carregamento P atuando na extremidade livre como 
na Figura 4. A energia de deformação dessa viga é dada por: 
 
EI6
LPU
32
= (7) 
 
 4
Derivando-se a expressão (7) em relação ao carregamento P tem-se 
 
EI3
PL
EI6
LP
dP
d
dP
dU 332 =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= (8) 
 
A equação (8) mostra que a derivada da energia de deformação com relação ao 
carregamento é igual a deflexão correspondente ao carregamento. O teorema de 
Castigliano é uma afirmação generalizada dessa observação. 
 
 
Dedução do teorema de Castigliano para Qualquer número de Carregamentos 
 
Histórico 
 
Um dos mais famosos teoremas na análise estrutural foi descoberto por Carlos Alberto 
Pio Castigliano (1847-1884), engenheiro italiano. 
 
Considerações 
 
Consideremos uma viga submetida a qualquer número de carregamentos, digamos n 
carregamentos com suas respectivas deflexões como está apresentada na Figura 5. 
 
 
Figura 5 - Viga suportando n carregamentos. 
 
Quando os carregamentos são aplicados à viga, eles aumentam gradualmente de em 
grandeza desde zero até seus valores máximos. Ao mesmo tempo, cada um dos 
carregamentos move-se através de seus deslocamentos correspondentes e produz 
trabalho. 
O trabalho total realizado pelos carregamentos é igual a Energia de deformação U 
armazenada na viga: 
 
W=U (9) 
 
W é uma função dos carregamentos atuantes na viga. 
 5
 
 
Consideremos que o enésimo carregamento é aumentado levemente pela quantidade dPi 
enquanto os outros carregamentos são mantidos constantes. Esse aumento no 
carregamento irá causar um pequeno aumento dU na energia de deformação da viga. 
Esse aumento na energia de deformação pode ser expresso como a taxa de variação de 
U com relação a Pi vezes o pequeno aumento Pi. Dessa forma o aumento na energia de 
deformação é: 
 
i
i
dP
P
UdU ∂
∂= (10) 
Em que iPU ∂∂ é a taxa de variação de U com relação a iP (Uma vez que U é uma 
função de todos os carregamentos, a derivada com relação a qualquer um dos 
carregamentos é uma derivada parcial). A energia de deformação da viga é dada por: 
i
i
dP
P
UUdUU ∂
∂+=+ (11) 
onde U é a energia de deformação da eq. (9). 
 
Como o princípio da superposição mantém-se para essa viga, a energia de deformação 
total é independente da ordem em que os carregamentos são aplicados. 
Quando o carregamento dPi é aplicado primeiro, ele produz energia de deformação 
igual à metade do produto do carregamento dPi e seu deslocamento correspondente idδ . 
A quantidade de energia de deformação devido o carregamento dPi é: 
2
ddP ii δ (12) 
 
Quando todos os carregamentos são aplicados a força dPi se move através do 
deslocamento iδ . Fazendo isso ela produz trabalho adicional igual ao produto da força e 
da distância através da qual ela se move dado por: 
iidPδ (13) 
 
A energia de deformação final para a segunda seqüência de carregamento é: 
 
ii
ii dPU
2
ddP δδ ++ (14) 
Igualando (11) e (14) 
i
i
ii
ii dP
P
UUdPU
2
ddP
∂
∂+=++ δδ (15) 
Podemos descartar o primeiro termo porque ele contém o produto de dois diferenciais e 
é infinitesimalmente pequeno comparado aos outros termos. Obtemos então a seguinte 
relação: 
i
i P
U
∂
∂=δ (16) 
 
Essa é a equação conhecida como Teorema de Castigliano 
 
A derivada parcial da energia de deformação de uma estrutura com relação a qualquer 
carregamento é igual ao deslocamento correspondente aquele carregamento. 
 6
 
 
 
Referências Bibliográficas: 
 
1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books, 
1995. 
2. Gere, J. M. Mecânica dos Materiais, Editora Thomson Learning 
3. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000. 
 
Observações: 
1- O presente texto é baseado nas referências citadas. 
2- Todas as figuras se encontram nas referências citadas.