Prova 2 - Resolução 2013/2

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Universidade Federal de Vic¸osa - UFV
EST 103 - Elementos de Estat´ıstica - 2a Prova
2º Semestre 2013 - 19/12/2013
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fggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggh
Nome: Matr´ıcula:
Assinatura: . Favor apresentar documento com foto.
• ATENC¸A˜O: Sua nota sera´ divulgada no sistema SAPIENS, portanto informe a seguir a turma na
qual esta´ matriculado.
Turma Hora´rio Local Professor
T1 4=08-10 6=10-12 PVB209 Ge´rson
T2 4=14-16 6=16-18 PVB307 Ge´rson
T3 3=18-20 5=20-22 PVA223 Paulo
Instruc¸o˜es: Leia com atenc¸a˜o
• Interpretar corretamente as questo˜es e´ parte da avaliac¸a˜o, portanto o estudante NA˜O PODE fazer
perguntas ao professor ou ao monitor durante a realizac¸a˜o da prova;
• Na˜o vale chutar!!! APRESENTE OS CA´LCULOS ORGANIZADAMENTE. QUESTO˜ES SEM
OS CA´LCULOS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS!;
• Na˜o e´ permitido desgrampear a prova;
• Esta prova conte´m 5 questo˜es em pa´ginas enumeradas de 1 a 8, total de 30 pontos . Favor conferir
antes de iniciar;
• BOA PROVA.
1
Formula´rio
X¯ =
n∑
i=1
Xi
n
S2X =
1
n− 1

n∑
i=1
X2i −
(
n∑
i=1
Xi
)2
n
 SX =
√
S2X
ρ̂ = rX,Y =
SPDXY√
SQDXSQDY
SPDXY =
n∑
i=1
XiYi −
(
n∑
i=1
Xi
)(
n∑
i=1
Yi
)
n
SQDX =
n∑
i=1
X2i −
(
n∑
i=1
Xi
)2
n
Ŷi = β̂0 + β̂1Xi ε̂i = Yi − Ŷi SQtotal = SQDY
r2 (%) =
SQregressa˜o
SQtotal
100% β̂1 =
SPDXY
SQDX
β̂0 = Y¯ − β̂1X¯
SQregressa˜o =
(SPDXY )
2
SQDX
SQregressa˜o = β̂21SQDX SQregressa˜o = β̂1SPDXY
P (φ) = 0 P (S) = 1 0 ≤ P (A) ≤ 1
P (A) =
n (A)
n (S)
P (A|B) = n (A ∩B)
n (B)
P (Ac) = 1− P (A)
P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
P (A|Bc) = P (A ∩B
c)
P (Bc)
P (A ∩Bc) = P (A)− P (A ∩B)
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) P (B) =
n∑
i=1
P (B|Ai)P (Ai)
P (A) = P (A|B)P (B) + P (A|Bc)P (Bc) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
P (Aj|B) = P (B|Aj)P (Aj)n∑
i=1
P (B|Ai)P (Ai)
X ∼ P (m); P (X = k) = m
ke−m
k!
; E (X) = m; V (X) = m
X ∼ P (λ); P (X = k) = λ
ke−λ
k!
; E (X) = λ; V (X) = λ
X ∼ B (n; p) ; P (X = k) =
 n
k
 pk(1− p)n−k; E (X) = np; V (X) = npq
Cn,k =
 n
k
 = n!
(n− k)!k! q = 1− p
2
1. (6 pontos) Com o objetivo de verificar, em uma certa regia˜o, a relac¸a˜o existente entre o n´ıvel
de escolaridade me´dio dos pais e o n´ıvel de escolaridade dos filhos, observou-se uma amostra de
9 indiv´ıduos adultos, verificando o nu´mero de anos que estes frequentaram (e tiveram aprovac¸a˜o)
em escolas regulares (Y ) e o nu´mero me´dio de anos que os seus pais frequentaram (e tiveram
aprovac¸a˜o) em escolas regulares (X), sendo que a escolaridade dos pais variou de zero a nove anos
de estudo. Neste estudo obteve-se:
n = 9;
n∑
i=1
Xi = 34;
n∑
i=1
X2i = 200;
n∑
i=1
Yi = 66;
n∑
i=1
Y 2i = 672;
n∑
i=1
XiYi = 360.
SQDX = 71, 56; SQDY = 188; SPDXY = 110, 67.
Utilize estas informac¸o˜es e responda aos itens abaixo:
a) (1,2 pontos) Obter a equac¸a˜o da regressa˜o linear simples.
β̂1 =
SPDXY
SQDX
=
360− 34×66
9
200− (34)2
9
=
110, 67
71, 56
= 1, 5465
β̂0 = Y¯ − β̂1X¯ = 66
9
− 1, 5465× 34
9
= 7, 3333− 5, 8424 = 1, 4909
Ŷi = β̂0 + β̂1Xi = 1, 4909 + 1, 5465Xi
b) (1,2 pontos) Qual a interpretac¸a˜o da estimativa obtida para o coeficiente da regressa˜o?
Soluc¸a˜o: β̂1 = 1, 5465 e´ o aumento me´dio estimado, em anos, de escolaridade dos filhos quando
aumenta-se em um ano a escolaridade dos pais.
3
c) (1,2 pontos) Para um filho que tem escolaridade de 10 anos de estudo, qual a escolaridade
estimada de seus pais?
Soluc¸a˜o: Ŷi = 10⇒ Xi =?
De 1a) temos que Ŷi = 1, 4909 + 1, 5465Xi, assim:
10 = 1, 4909 + 1, 5465Xi
1, 5465Xi = 10− 1, 4909
Xi =
8, 5091
1, 5465
Xi = 5, 5022
d) (1,2 pontos) Se os pais estudaram por 6 anos, qual a estimativa do tempo de estudo do filho?
Soluc¸a˜o: Xi = 6⇒ Ŷi =?
Ŷi = 1, 4909 + 1, 5465× 6 = 10, 7699
e) (1,2 pontos) Qual o tempo de estudo estimado de um filho cujos pais estudaram por 10 anos?
o que voceˆ pode dizer acerca desta estimativa?
Soluc¸a˜o: Xi = 10⇒ Ŷi =?
Ŷi = 1, 4909 + 1, 5465× 10 = 16, 9559
Esta estimativa obtida trata-se de uma extrapolac¸a˜o, haja vista que no estudo a escolaridade
dos pais variou de zero a nove anos de estudo e, assim sendo, esta estimativa na˜o e´ confia´vel.
4
2. (6 pontos) Suponha que para uma prova de EST 103, os alunos se distribuem em treˆs grupos a
saber, A, B e C, sendo que os alunos de cada grupo sa˜o tais que:
• 30% dos alunos, sa˜o do grupo A (estudaram mais de 10 horas semanais);
• 60% dos alunos, sa˜o do grupo B (estudaram de zero a 10 horas semanais);
• 10% dos alunos, sa˜o do grupo C (na˜o estudaram para a prova).
Ale´m disso,
• 90% dos alunos, do grupo A devem obter nota superior a` me´dia;
• 50% dos alunos, do grupo B devem obter nota superior a` me´dia;
• 10% dos alunos, do grupo C devem obter nota superior a` me´dia;
Suponha que um aluno foi selecionado aleatoriamente e verificou-se que ele obteve nota inferior
a` me´dia. Determine a probabilidade condicional de que ele na˜o tenha estudado para a prova.
Soluc¸a˜o: Sejam
• A : “aluno estudou mais de 10 horas semanais”;
• B : “aluno estudou de zero a 10 horas semanais”;
• C : “aluno na˜o estudou para a prova”;
• D : “aluno obteve nota superior a` me´dia”.
Considerando os eventos acima descritos e o diagrama de
a´rvores ao lado temos:
P (C|Dc) = P (C ∩D
c)
P (Dc)
=
P (C)P (Dc|C)
P (A)P (Dc|A) + P (B)P (Dc|B) + P (C)P (Dc|C)
=
0, 1× 0, 9
0, 3× 0, 1 + 0, 6× 0, 5 + 0, 1× 0, 9
=
0, 09
0, 42
=
9
42
= 0, 2143
D
A
0,9
0,1
Dc
D
•
0,3
0,6
0,1
B
0,5
0,5
Dc
D
C
0,1
0,9
Dc
5
3. (6 pontos) Dentre os alunos de uma universidade,
• 33% sa˜o fumantes;
• 42% consomem bebida alcoo´lica;
• 10% consomem bebida alcoo´lica e sa˜o fumantes;
Selecionado um aluno ao acaso determine a probabilidade de que:
a) (3 pontos) O aluno apenas beba (e na˜o fume);
Soluc¸a˜o: Sejam A : “O aluno fuma” e B : “O aluno bebe”. Assim
P (Ac ∩B) = P (B)− P (A ∩B)
= 0, 42− 0, 10
= 0, 32
A B
0, 23 0, 10 0, 32
0, 35
b) (3 pontos) O aluno apenas fume (e na˜o beba), ou na˜o consuma nem a´lcool nem cigarro.
Soluc¸a˜o:
P ((A ∩Bc) ∪ (Ac ∩Bc)) = P ((A ∪ Ac) ∩Bc) = P (S ∩Bc) = P (Bc) = 1− P (B)
= 1− 0, 42 = 0, 58
0,23 0,32
0,35
A B
0,10
6
4. (6 pontos - Binomial) Um motorista comprou cinco pneus novos de uma certa marca para o seu
carro. Sabe-se que
1
4
dos pneus desta marca costumam apresentar defeito e, torna-se importante
estudar esta varia´vel, devido a periculosidade de que haja um acidente por causa de um pneu neste
estado. Qual a probabilidade de que ele tenha comprado:
(a) (3 pontos) Exatamente treˆs pneus defeituosos.
Soluc¸a˜o: Seja X : “Nu´mero de pneus defeituosos em cinco comprados”.
Temos que X ∼ B
(
5;
1
4
)
, assim
P (X = 3) = C5,3
(
1
4
)3(
1− 1
4
)5−3
= 10× 1
64
× 9
16
=
45
512
= 0, 0879
(b) (3 pontos) Todos os pneus em perfeito estado.
Soluc¸a˜o:
P (X = 0) = C5,0
(
1
4
)0(
1− 1
4
)5−0
= 1× 1× 243
1024
= 0, 2373
7
5. (6 pontos - Poisson) Em uma rodovia ocorrem, em me´dia, dois acidentes por meˆs. Qual a
probabilidade de, nos pro´ximos TREˆS MESES, ocorreram exatamente cinco acidentes?
Soluc¸a˜o: Seja X : “Nu´mero de acidentes que ocorrem em treˆs meses”.
Temos que X ∼ P (6), pois como ocorre, em me´dia dois acidentes por meˆs, em treˆs meses ocorrem,
em me´dia seis acidentes. Assim
P (X = 5) =
65e−6
5!
=
7776e−6
120
=
324
5
× e−6
= 0, 1606
8