Prova 2 - Resolução (2014/2)

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Universidade Federal de Vic¸osa - UFV
EST 103 - Elementos de Estat´ıstica - 2a Prova
2º Semestre 2014 - 27/10/2014
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fggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggh
Nome: Matr´ıcula:
Assinatura: . Favor apresentar documento com foto.
ˆ ATENC¸A˜O: Sua nota sera´ divulgada no sistema SAPIENS, portanto informe a seguir a turma na
qual esta´ matriculado.
Turma Hora´rio Local Professor
T1 4=08-10 6=10-12 PVB209 Paulo/Camila
T2 4=14-16 6=16-18 PVB307 Camila
T3 2=18-20 4=20-22 PVA223 Camila
Instruc¸o˜es: Leia com atenc¸a˜o
ˆ Interpretar corretamente as questo˜es e´ parte da avaliac¸a˜o, portanto o estudante NA˜O PODE fazer
perguntas ao professor ou ao monitor durante a realizac¸a˜o da prova;
ˆ Na˜o vale chutar!!! APRESENTE OS CA´LCULOS ORGANIZADAMENTE. QUESTO˜ES SEM
OS CA´LCULOS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS!;
ˆ Na˜o e´ permitido desgrampear a prova;
ˆ Esta prova conte´m 4 questo˜es em pa´ginas enumeradas de 1 a 11, total de 30 pontos . Favor conferir
antes de iniciar;
ˆ BOA PROVA.
1
1. (12 pontos) Com o objetivo de verificar, em um certo estado, a relac¸a˜o existente entre o n´ıvel de
pobreza da populac¸a˜o e a taxa de roubos e furtos do munic´ıpio, observou-se uma amostra de 12
munic´ıpios. Os dados coletados sa˜o apresentados a seguir:
Taxa de roubos e furtos 5,7 6,2 6,3 6,0 7,2 8,0 7,9 8,2 8,6 8,5 8,8 8,9
Nı´vel de pobreza 0,58 0,62 0,63 0,65 0,68 0,72 0,75 0,83 0,85 0,90 0,92 0,98
Utilize estas informac¸o˜es e responda aos itens abaixo:
a) (01 pontos) Qual deve ser a varia´vel dependente e a varia´vel independente?
A varia´vel dependente (Y) e´ a taxa de roubos e furtos do munic´ıpio e a varia´vel independente
(X) e´ o n´ıvel de pobreza da populac¸a˜o.
b) (2 pontos) Calcule o coeficiente de correlac¸a˜o entres essas duas varia´veis e interprete em termos
do problema.
Considere os somato´rios a seguir:
n = 12;
n∑
i=1
Xi = 9, 11;
n∑
i=1
X2i = 7, 1117;
n∑
i=1
Yi = 90, 3;
n∑
i=1
Y 2i = 694, 97;
n∑
i=1
XiYi = 70, 184.
O coeficiente de correlac¸a˜o entre as duas varia´veis e´ dado por:
rX,Y =
n∑
i=1
XiYi −
(
n∑
i=1
Xi
)(
n∑
i=1
Yi
)
n√√√√√
 n∑
i=1
X2i −
(
n∑
i=1
Xi
)2
n

√√√√√
 n∑
i=1
Y 2i −
(
n∑
i=1
Yi
)2
n

=
70, 184− 9,11×90,3
12√(
7, 1117− 9,112
12
)(
694, 97− 90,32
12
) = 0, 93776 (calculadora)
Ou,
rX,Y =
SPDXY√
SQDXSQDY
=
1, 63125√
0, 19569× 15, 46250 = 0, 93777
Temos que rX,Y = 0, 93776 > 0, assim X e Y sa˜o positivamente correlacionadas, isto e´, a`
medida que o n´ıvel de pobreza da populac¸a˜o tende a aumentar, a taxa de roubos e furtos do
munic´ıpio tende, tambe´m a aumentar.
2
Ou equivalentemente:
Temos que rX,Y = 0, 93776 > 0, assim X e Y sa˜o positivamente correlacionadas, isto e´, a`
medida que o n´ıvel de pobreza da populac¸a˜o tende a diminuir, a taxa de roubos e furtos do
munic´ıpio tende, tambe´m a diminuir.
c) (2 pontos) Suponha que exista uma relac¸a˜o linear entre as varia´veis. Calcule o coeficiente
da regressa˜o e interprete em termos do problema.
β̂1 =
n∑
i=1
XiYi −
(
n∑
i=1
Xi
)(
n∑
i=1
Yi
)
n
n∑
i=1
X2i −
(
n∑
i=1
Xi
)2
n
=
70, 184− 9,11×90,3
12
7, 1117− 9,112
12
= 8, 33582 (calculadora)
Ou,
β̂1 =
SPDXY
SQDX
=
1, 63125
0, 19569
= 8, 33589
β̂1 = 8, 33582 e´ o aumento me´dio estimado na taxa de roubos e furtos do munic´ıpio quando
aumenta-se em uma unidade o n´ıvel de pobreza da populac¸a˜o.
d) (2 pontos) Calcule a constante da regressa˜o e, se poss´ıvel, interprete em termos do pro-
blema.
β̂0 = Y¯ − β̂1X¯ =
n∑
i=1
Yi
n
− β̂1
n∑
i=1
Xi
n
=
90, 3
12
− 8, 335829, 11
12
= 1, 19667 ou
β̂0 = 1, 19672 (calculdadora)
Na˜o e´ poss´ıvel interpretar β̂0, uma vez que X = 0 na˜o pertence ao intervalo de dados
observados para a varia´vel X.
e) (1.5 pontos) Qual e´ a taxa de roubos e furtos, predita pela equac¸a˜o de regressa˜o, para um
munic´ıpio com o n´ıvel de pobreza igual a 0,75? Obtenha o desvio da regressa˜o.
A reta da regressa˜o encontrada e´ dada por:
Ŷ = 1, 19672 + 8, 33582X
3
. Assim, a estimativa da taxa de roubos e furtos para um munic´ıpio com n´ıvel de pobreza
0,75 e´ igual a:
Ŷ = 1, 19672 + 8, 33582× 0, 75 = 7, 448585
. E o desvio dado por:
ê = Y − Ŷ = 7, 9− 7, 448585 = 0, 451415
f) (1.5 pontos) Qual e´ a taxa de roubos e furtos, predita pela equac¸a˜o de regressa˜o, para um
munic´ıpio com o n´ıvel de pobreza igual a 0,47? Comente sobre esta estimativa.
A estimativa da taxa de roubos e furtos para um munic´ıpio com n´ıvel de pobreza 0,47 e´
igual a:
Ŷ = 1, 19672 + 8, 33582× 0, 47 = 5, 114555
. Pore´m, esta estimativa obtida trata-se de uma extrapolac¸a˜o, uma vez questa que no
estudo o n´ıvel de pobreza (X) variou de 0,58 a 0,98, desta forma, esta estimativa na˜o e´ confia´vel.
g) (2 pontos) Calcule o coeficiente de determinac¸a˜o e interprete em termos do problema.
O coeficiente de determinac¸a˜o e´ dado por:
r2 = (rX,Y )
2 = 0, 937762 = 0, 87939
87, 939% da variabilidade observada na taxa de furtos e roubos do munic´ıpio e´ explicada pela
regressa˜o linear simples (RLS) nos valores do n´ıvel de pobreza da populac¸a˜o.
4
2. (06 pontos) Uma marca de computadores pode apresentar defeitos no hardware e no software.
Sabendo que a probabilidade de um computador:
ˆ ter defeito no hardware e´ de 0,08;
ˆ ter defeito no software e no hardware e´ de 0,05;
ˆ na˜o ter defeito e´ de 0,90.
Selecionado um computador ao acaso determine a probabilidade de que:
a) (02 pontos) O computador tenha, pelo menos, um defeito.
Considere os seguintes eventos:
ˆ A : o computador ter defeito no hardware;
ˆ B : o computador ter defeito no software.
Assim, pelas informac¸o˜es do exerc´ıcio, tem-se que:
P (A) = 0, 08, P (A ∩B) = 0, 05 e P ((A ∪B)c) = 0, 90
Sendo assim, a probabilidade de que o computador tenha, pelo menos, um defeito (A ∪B)
e´ dada por:
P (A ∪B) = 1− P ((A ∪B)c) = 1− 0, 90 = 0, 10.
Pode-se resolver tambe´m utilizando o diagrama de Venn. Assim, a probabilidade de que
o computador tenha, pelo menos, um defeito e´ igual a P (pelo menos um defeito ) = 0, 03 +
0, 02 + 0, 05 = 0, 10.
0, 03 0, 02
A
S
0, 90
0, 05
B
5
b) (02 pontos) O computador tenha defeito apenas no software (e na˜o no hardware);
A probabilidade de que o computador tenha defeito apenas no software (e na˜o no hardware)
(Ac ∪B) e´ dada por:
P (Ac ∪B) = P (B)− P (A ∩B)
. A P (B) pode ser obtida utilizando a resposta do item anterior, ou seja,
P (B) = P (A ∪B)− P (A) + P (A ∩B) = 0, 10− 0, 08 + 0, 05 = 0, 07
. Portanto,
P (Ac ∪B) = P (B)− P (A ∩B) = 0, 07− 0, 05 = 0, 02.
Pode-se resolver tambe´m utilizando o diagrama de Venn. Assim,a probabilidae de que o
computador tenha defeito apenas no software (e na˜o no hardware) e´ igual a
P ( ter defeito no software e na˜o ter no hardware) = 0, 02.
0, 03 0, 02
A
S
0, 90
0, 05
B
c) (02 pontos) O computador tenha exatamente um dos defeitos.
A probabilidade de que o computador tenha exatamente um dos defeitos (Ac ∪B) ∩
(A ∪Bc) e´ dada por:
P ((Ac ∪B) ∩ (A ∪Bc)) = P (Ac ∩B) + P (A ∩Bc) = P (A) + P (B)− 2P (A ∩B) =
= 0, 08 + 0, 07− 2× 0, 05 = 0, 05.
Pode-se resolver tambe´m utilizando o diagrama de Venn. Assim,a probabilidae de que o
computador tenha exatamente um dos defeitos e´ igual a
6
P ( exatamente um defeito) = 0, 03 + 0, 02 = 0, 05.
0, 03 0, 02
A
S
0, 90
0, 05
B
7
3. (4 pontos) Um restaurante oferece ao final das refeic¸o˜es os servic¸os de cafe´ e de sobremesa.
Registraram-se, durante um longo tempo, os pedidosdos clientes, tendo-se chegado a` conclusa˜o de
que, ao terminar a refeic¸a˜o, 20% dos clientes pedem sobremesa e 40% dos clientes na˜o pedem cafe´.
Determine a probabilidade de que o cliente pec¸a pelo menos um dos dois servic¸os nos seguintes
casos:
a) (02 pontos) Pedir cafe´ e pedir sobremesa sa˜o mutuamente exclusivos.
Considere os seguintes eventos:
ˆ A : o indiv´ıduo pedir cafe´;
ˆ B : o indiv´ıduo pedir sobremesa.
Assim, pelas informac¸o˜es do exerc´ıcio, tem-se que:
P (Ac) = 0, 40 e P (B) = 0, 20
. Por meio dessas probabilidades, tem-se que P (A) = 1− P (Ac) = 1− 0, 40 = 0, 6.
Se A e B sa˜o eventos mutuamente exclusivos enta˜o P (A ∩B) = 0, e portanto a probabi-
lidade de que o cliente pec¸a pelo menos um dos dois servic¸os e´ dada por:
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 0, 6 + 0, 20− 0 = 0, 80.
b) (02 pontos) Pedir cafe´ e pedir sobremesa sa˜o eventos independentes.
Se A e B sa˜o eventos independentes enta˜o P (A ∩B) = P (A)P (B) = 0, 60×0, 20 = 0, 12,
e portanto a probabilidade de que o cliente pec¸a pelo menos um dos dois servic¸os e´ dada por:
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 0, 60 + 0, 20− 0, 12 = 0, 68.
8
4. (8 pontos) Os arquivos da pol´ıcia revelam que, dentre os motoristas v´ıtimas de acidentes auto-
mobil´ısticos:
ˆ 15% sa˜o procedentes da regia˜o A;
ˆ 20% sa˜o procedentes da regia˜o B;
ˆ 65% sa˜o procedentes da regia˜o C;
Sabe-se ainda que, as porcentagens de motoristas alcoolizados, por regia˜o, sa˜o dadas por:
ˆ 50% para a regia˜o A;
ˆ 40% para a regia˜o B;
ˆ 80% para a regia˜o C;
Se um motorista e´ selecionado aleatoriamente, pede-se:
a) (03 pontos) Qual a probabilidade desse motorista na˜o estar alcoolizado? Considere os
seguintes eventos:
ˆ A : o motorista ser procedente da regia˜o A;
ˆ B : o motorista ser procedente da regia˜o B;
ˆ C : o motorista ser procedente da regia˜o C;
ˆ E : o motorista estar alcoolizado;
ˆ Ec : o motorista na˜o estar alcoolizado;
Considerando os eventos acima descritos e o diagrama de a´rvore abaixo temos que a a
probabilidade do motorista na˜o estar alcoolizado e´ dada por:
P (Ec) = P (A)P (Ec|A) + P (B)P (Ec|B) + P (C)P (Ec|C) =
= 0, 15× 0, 50 + 0, 20× 0, 60 + 0, 65× 0, 20 = 0, 325.
b) (05 pontos) Suponha que o motorista esteja alcoolizado. Determine a probabilidade condici-
onal de que ele seja procedente da regia˜o A.
Pelo diagrama de a´rvore abaixo, a probabilidade de que o motorista seja procedente da
regia˜o A, dado que ele esta´ alcoolizado e´ dada por:
9
P (A|E) = P (A ∩ E)
P (E)
=
P (A)P (E|A)
P (A)P (E|A) + P (B)P (B|E) + P (C)P (C|E)
=
0, 15× 0, 50
0, 15× 0, 50 + 0, 20× 0, 40 + 0, 65× 0, 80
=
0, 075
0, 675
= 0, 11111
Ec
A
0,50
0,50
E
Ec
•
0,15
0,20
0,65
B
0,40
0,60
E
Ec
C
0,80
0,20
E
10
Formula´rio
X¯ =
n∑
i=1
Xi
n
S2X =
1
n− 1

n∑
i=1
X2i −
(
n∑
i=1
Xi
)2
n
 SX =
√
S2X
ρ̂ = rX,Y =
SPDXY√
SQDXSQDY
SPDXY =
n∑
i=1
XiYi −
(
n∑
i=1
Xi
)(
n∑
i=1
Yi
)
n
SQDX =
n∑
i=1
X2i −
(
n∑
i=1
Xi
)2
n
Ŷi = β̂0 + β̂1Xi ε̂i = Yi − Ŷi SQtotal = SQDY
r2 (%) =
SQregressa˜o
SQtotal
100% β̂1 =
SPDXY
SQDX
β̂0 = Y¯ − β̂1X¯
SQregressa˜o =
(SPDXY )
2
SQDX
SQregressa˜o = β̂21SQDX SQregressa˜o = β̂1SPDXY
P (φ) = 0 P (S) = 1 0 ≤ P (A) ≤ 1
P (A) =
n (A)
n (S)
P (A|B) = n (A ∩B)
n (B)
P (Ac) = 1− P (A)
P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
P (A|Bc) = P (A ∩B
c)
P (Bc)
P (A ∩Bc) = P (A)− P (A ∩B)
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) P (B) =
n∑
i=1
P (B|Ai)P (Ai)
P (A) = P (A|B)P (B) + P (A|Bc)P (Bc) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
P (Aj|B) = P (B|Aj)P (Aj)n∑
i=1
P (B|Ai)P (Ai)
11