Prova 2 - Resolução (2014/2)

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Universidade Federal de Vic¸osa - UFV
EST 103 - Elementos de Estat´ıstica - 2a Prova
1º Semestre 2014 - 27/05/2014
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Nome: Matr´ıcula:
Assinatura: . Favor apresentar documento com foto.
• ATENC¸A˜O: Sua nota sera´ divulgada no sistema SAPIENS, portanto informe a seguir a turma na
qual esta´ matriculado.
Turma Hora´rio Local Professor
T1 2=10-12 5=08-10 PVB308 Ge´rson
T4 3=18-20 5=20-22 PVB306 Paulo
Instruc¸o˜es: Leia com atenc¸a˜o
• Interpretar corretamente as questo˜es e´ parte da avaliac¸a˜o, portanto o estudante NA˜O PODE fazer
perguntas ao professor ou ao monitor durante a realizac¸a˜o da prova;
• Na˜o vale chutar!!! APRESENTE OS CA´LCULOS ORGANIZADAMENTE. QUESTO˜ES SEM
OS CA´LCULOS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS!;
• Na˜o e´ permitido desgrampear a prova;
• Esta prova conte´m 4 questo˜es em pa´ginas enumeradas de 1 a 8, total de 30 pontos. Favor conferir
antes de iniciar;
• BOA PROVA.
1
1. (05 pontos) Com o objetivo de verificar, em uma certa regia˜o, a relac¸a˜o existente entre o n´ıvel
de escolaridade me´dio dos pais e o n´ıvel de escolaridade dos filhos, observou-se uma amostra de
9 indiv´ıduos adultos, verificando o nu´mero de anos que estes frequentaram (e tiveram aprovac¸a˜o)
em escolas regulares (Y ) e o nu´mero me´dio de anos que os seus pais frequentaram (e tiveram
aprovac¸a˜o) em escolas regulares (X). Para facilitar, os seguintes resultados foram obtidos:
n = 9;
n∑
i=1
Xi = 36;
n∑
i=1
X2i = 220;
n∑
i=1
Yi = 66;
n∑
i=1
Y 2i = 672;
n∑
i=1
XiYi = 378.
SQDX = 76; SQDY = 188; SPDXY = 114.
Utilize estas informac¸o˜es e responda aos itens abaixo:
a) (03 pontos) Calcule o coeficiente de correlac¸a˜o;
Temos que
ρ̂ = rX,Y =
SPDXY√
SQDXSQDY
=
378− (36)(66)
9√(
220− (36)2
9
)(
672− (66)2
9
) = 114√76× 188 = 0, 9537
b) (02 pontos) Interprete, dentro do contexto do problema, o valor obtido no item (1a).
Temos que rX,Y = 0, 9537, assim X e Y sa˜o positivamente correlacionados, isto e´, a` medida que
o nu´mero me´dio de anos que os pais frequentaram (e tiveram aprovac¸a˜o) em escolas regulares
tende a aumentar, o nu´mero de anos que os indiv´ıduos frequentaram (e tiveram aprovac¸a˜o) em
escolas regulares tende, tambe´m a aumentar.
Ou equivalentemente:
Temos que rX,Y = 0, 9537, assim X e Y sa˜o positivamente correlacionados, isto e´, a` medida que
o nu´mero me´dio de anos que os pais frequentaram (e tiveram aprovac¸a˜o) em escolas regulares
tende a diminuir, o nu´mero de anos que os indiv´ıduos frequentaram (e tiveram aprovac¸a˜o) em
escolas regulares tende, tambe´m a diminuir.
2
2. (10 pontos) Quando a empresa “Paste´is S.A.” admite candidatos em sua rede, em geral, eles
passam por horas de treinamento antes de entrarem em servic¸o. Alguns dos empregados que
passaram por treinamento foram estudados, analisando-se a relac¸a˜o entre a quantidade de paste´is
produzidos (Y ) por hora e a quantidade de horas de treinamento a` qual os funciona´rios foram
submetidos (X), a empresa obteve:
X 2 6 8 8 12 16 20 20 22 26
Y 58 105 88 118 117 137 157 169 149 202
Utilizando estas informac¸o˜es, responda a`s seguintes questo˜es:
a) (04 pontos) Obter a equac¸a˜o da regressa˜o linear simples;
Temos que
n = 10,
n∑
i=1
Xi = 140,
n∑
i=1
X2i = 2528,
n∑
i=1
Yi = 1300,
n∑
i=1
Y 2i = 184730,
n∑
i=1
XiYi = 21040.
SQDX = 568, SQDY = 15730, SPDXY = 2840.
Assim
β̂1 =
SPDXY
SQDX
=
21040− 140×1300
10
2528− (140)2
10
=
2840
568
= 5
β̂0 = Y¯ − β̂1X¯ = 1300
10
− 5× 140
10
= 130− 70 = 60
Ŷi = β̂0 + β̂1Xi = 60 + 5Xi
b) (02 pontos) Qual a interpretac¸a˜o da estimativa obtida para o coeficiente da regressa˜o, β̂1?
β̂1 = 5 e´ o aumento me´dio estimado no nu´mero de paste´is produzidos em uma hora pelos
empregados quando aumenta-se em uma hora a quantidade de horas de treinamento a` qual os
funciona´rios foram submetidos.
3
c) (02 pontos) O coeficiente de determinac¸a˜o R2 foi de 90,27%. Interprete este valor;
Interpretac¸a˜o: percentual da variabilidade observada na quantidade de paste´is produzidos
por hora explicado pela regressa˜o linear simples (RLS) nos valores das quantidades de horas de
treinamento a` qual os funciona´rios foram submetidos.
d) (01 ponto) Para um indiv´ıduo que teve 14 horas de treinamento, qual a quantidade me´dia
estimada de paste´is por ele produzida por hora?
Soluc¸a˜o: Xi = 14⇒ Ŷi =? Temos que Ŷi = 60 + 5Xi, assim:
Ŷi = 60 + 5× 14 = 130
Para um indiv´ıduo que teve 14 horas de treinamento, estima-se que, em me´dia, a quantidade
de paste´is por ele produzida por hora e´ de 130 unidades.
e) (01 ponto) Se um indiv´ıduo teve 30 horas de treinamento, qual a quantidade me´dia estimada
de paste´is por ele produzida por hora? O que voceˆ pode dizer acerca desta estimativa?
Soluc¸a˜o: Xi = 30⇒ Ŷi =? Temos que Ŷi = 60 + 5Xi, assim:
Ŷi = 60 + 5× 30 = 210
Esta estimativa obtida trata-se de uma extrapolac¸a˜o, haja vista que no estudo a quantidade de
horas de treinamento variou de 2h a 26h, desta forma, esta estimativa na˜o e´ confia´vel.
4
3. (10 pontos) Suponha que em uma locadora, os fregueses podem escolher dentre treˆs diferentes
geˆneros a saber Come´dia, Romance, Policial. Ale´m disso,
• 50% dos filmes alugados, sa˜o Come´dias;
• 10% dos filmes alugados, sa˜o Romances;
• 40% dos filmes alugados, sa˜o Policiais.
Ale´m disso,
• 60% das Come´dias sa˜o alugadas por Homens;
• 35% dos Romances sa˜o alugados por Homens;
• 15% dos filmes policiais sa˜o alugados por Mulheres;
a) (05 pontos) Qual a probabilidade de que uma Mulher alugue um filme?
Soluc¸a˜o: Sejam
• C : “o filme alugado e´ uma come´dia”;
• R : “o filme alugado e´ um romance”;
• P : “o filme alugado e´ policial”;
• M : “o filme foi alugado por uma mulher”.
Considerando os eventos acima descritos e o diagrama de a´rvores abaixo temos:
P (M) = P (C)P (M |C) + P (R)P (M |R) + P (P )P (M |P )
= 0, 5× 0, 4 + 0, 1× 0, 65 + 0, 4× 0, 15
= 0, 325
Desta forma, a probabilidade de que uma mulher alugue um filme e´ 0,325.
b) (05 pontos) Suponha que uma mulher alugue um filme. Determine a probabilidade condicional
de que o aluguel seja de um filme de Romance.
Pelo diagrama de a´rvore dado abaixo, vemos que
5
P (R|M) = P (R ∩M)
P (M)
=
P (R)P (M |R)
P (C)P (M |C) + P (R)P (M |R) + P (P )P (M |P )
=
0, 1× 0, 65
0, 5× 0, 4 + 0, 1× 0, 65 + 0, 4× 0, 15
=
0, 065
0, 325
= 0, 2
M c
C
0,6
0,4
M
M c
•
0,5
0,1
0,4
R
0,35
0,65
M
M c
P
0,85
0,15
M
Assim sabendo que uma mulher alugou um filme, a probabilidade de que o geˆnero do filme seja
Romance e´ 0,2.
6
4. (05 pontos) Dentre os alunos de uma universidade,
• 68% dos alunos na˜o fumam;
• 12% consomem bebida alcoo´lica e sa˜o fumantes;
Selecionado um aluno ao acaso determine a probabilidade de que:
a) (02 pontos) O aluno apenas fume (e na˜o beba);
Soluc¸a˜o: Sejam A : “O aluno fuma” e B : “O aluno bebe”.
Do enunciado temos P (Ac) = 0, 68 e P (A ∩B) = 0, 12. Desejamos encontrar P (A ∩Bc)
Como P (A) = 1− P (Ac) temos que P (A) = 1− 0, 68 = 0, 32.
P (A ∩Bc) = P (A)− P (A ∩B)
= 0, 32− 0, 12 = 0, 20.
Assim a probabilidade de que o aluno apenas fume (e na˜o beba) e´ 0,20.
0, 20
A
S
0, 68
0, 12
B
b) (03 pontos) Qual a probabilidade de que o aluno seja fumante e consuma bebida alcoo´lica?
Soluc¸a˜o:
P (A ∩B) = P (B ∩ A) = 0, 12.
7
Formula´rio
X¯ =
n∑
i=1
Xi
n
S2X =
1
n− 1

n∑
i=1
X2i −
(
n∑
i=1
Xi
)2
n
 SX =
√
S2X
ρ̂ = rX,Y =
SPDXY√
SQDXSQDY
SPDXY =
n∑
i=1
XiYi −
(
n∑
i=1
Xi)(
n∑
i=1
Yi
)
n
SQDX =
n∑
i=1
X2i −
(
n∑
i=1
Xi
)2
n
Ŷi = β̂0 + β̂1Xi ε̂i = Yi − Ŷi SQtotal = SQDY
r2 (%) =
SQregressa˜o
SQtotal
100% β̂1 =
SPDXY
SQDX
β̂0 = Y¯ − β̂1X¯
SQregressa˜o =
(SPDXY )
2
SQDX
SQregressa˜o = β̂21SQDX SQregressa˜o = β̂1SPDXY
P (φ) = 0 P (S) = 1 0 ≤ P (A) ≤ 1
P (A) =
n (A)
n (S)
P (A|B) = n (A ∩B)
n (B)
P (Ac) = 1− P (A)
P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
P (A|Bc) = P (A ∩B
c)
P (Bc)
P (A ∩Bc) = P (A)− P (A ∩B)
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) P (B) =
n∑
i=1
P (B|Ai)P (Ai)
P (A) = P (A|B)P (B) + P (A|Bc)P (Bc) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
P (Aj|B) = P (B|Aj)P (Aj)n∑
i=1
P (B|Ai)P (Ai)
8