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abbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbc dddddd Universidade Federal de Vic¸osa - UFV EST 103 - Elementos de Estat´ıstica - 2a Prova 1º Semestre 2014 - 27/05/2014 eeeeee fggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggh Nome: Matr´ıcula: Assinatura: . Favor apresentar documento com foto. • ATENC¸A˜O: Sua nota sera´ divulgada no sistema SAPIENS, portanto informe a seguir a turma na qual esta´ matriculado. Turma Hora´rio Local Professor T1 2=10-12 5=08-10 PVB308 Ge´rson T4 3=18-20 5=20-22 PVB306 Paulo Instruc¸o˜es: Leia com atenc¸a˜o • Interpretar corretamente as questo˜es e´ parte da avaliac¸a˜o, portanto o estudante NA˜O PODE fazer perguntas ao professor ou ao monitor durante a realizac¸a˜o da prova; • Na˜o vale chutar!!! APRESENTE OS CA´LCULOS ORGANIZADAMENTE. QUESTO˜ES SEM OS CA´LCULOS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS!; • Na˜o e´ permitido desgrampear a prova; • Esta prova conte´m 4 questo˜es em pa´ginas enumeradas de 1 a 8, total de 30 pontos. Favor conferir antes de iniciar; • BOA PROVA. 1 1. (05 pontos) Com o objetivo de verificar, em uma certa regia˜o, a relac¸a˜o existente entre o n´ıvel de escolaridade me´dio dos pais e o n´ıvel de escolaridade dos filhos, observou-se uma amostra de 9 indiv´ıduos adultos, verificando o nu´mero de anos que estes frequentaram (e tiveram aprovac¸a˜o) em escolas regulares (Y ) e o nu´mero me´dio de anos que os seus pais frequentaram (e tiveram aprovac¸a˜o) em escolas regulares (X). Para facilitar, os seguintes resultados foram obtidos: n = 9; n∑ i=1 Xi = 36; n∑ i=1 X2i = 220; n∑ i=1 Yi = 66; n∑ i=1 Y 2i = 672; n∑ i=1 XiYi = 378. SQDX = 76; SQDY = 188; SPDXY = 114. Utilize estas informac¸o˜es e responda aos itens abaixo: a) (03 pontos) Calcule o coeficiente de correlac¸a˜o; Temos que ρ̂ = rX,Y = SPDXY√ SQDXSQDY = 378− (36)(66) 9√( 220− (36)2 9 )( 672− (66)2 9 ) = 114√76× 188 = 0, 9537 b) (02 pontos) Interprete, dentro do contexto do problema, o valor obtido no item (1a). Temos que rX,Y = 0, 9537, assim X e Y sa˜o positivamente correlacionados, isto e´, a` medida que o nu´mero me´dio de anos que os pais frequentaram (e tiveram aprovac¸a˜o) em escolas regulares tende a aumentar, o nu´mero de anos que os indiv´ıduos frequentaram (e tiveram aprovac¸a˜o) em escolas regulares tende, tambe´m a aumentar. Ou equivalentemente: Temos que rX,Y = 0, 9537, assim X e Y sa˜o positivamente correlacionados, isto e´, a` medida que o nu´mero me´dio de anos que os pais frequentaram (e tiveram aprovac¸a˜o) em escolas regulares tende a diminuir, o nu´mero de anos que os indiv´ıduos frequentaram (e tiveram aprovac¸a˜o) em escolas regulares tende, tambe´m a diminuir. 2 2. (10 pontos) Quando a empresa “Paste´is S.A.” admite candidatos em sua rede, em geral, eles passam por horas de treinamento antes de entrarem em servic¸o. Alguns dos empregados que passaram por treinamento foram estudados, analisando-se a relac¸a˜o entre a quantidade de paste´is produzidos (Y ) por hora e a quantidade de horas de treinamento a` qual os funciona´rios foram submetidos (X), a empresa obteve: X 2 6 8 8 12 16 20 20 22 26 Y 58 105 88 118 117 137 157 169 149 202 Utilizando estas informac¸o˜es, responda a`s seguintes questo˜es: a) (04 pontos) Obter a equac¸a˜o da regressa˜o linear simples; Temos que n = 10, n∑ i=1 Xi = 140, n∑ i=1 X2i = 2528, n∑ i=1 Yi = 1300, n∑ i=1 Y 2i = 184730, n∑ i=1 XiYi = 21040. SQDX = 568, SQDY = 15730, SPDXY = 2840. Assim β̂1 = SPDXY SQDX = 21040− 140×1300 10 2528− (140)2 10 = 2840 568 = 5 β̂0 = Y¯ − β̂1X¯ = 1300 10 − 5× 140 10 = 130− 70 = 60 Ŷi = β̂0 + β̂1Xi = 60 + 5Xi b) (02 pontos) Qual a interpretac¸a˜o da estimativa obtida para o coeficiente da regressa˜o, β̂1? β̂1 = 5 e´ o aumento me´dio estimado no nu´mero de paste´is produzidos em uma hora pelos empregados quando aumenta-se em uma hora a quantidade de horas de treinamento a` qual os funciona´rios foram submetidos. 3 c) (02 pontos) O coeficiente de determinac¸a˜o R2 foi de 90,27%. Interprete este valor; Interpretac¸a˜o: percentual da variabilidade observada na quantidade de paste´is produzidos por hora explicado pela regressa˜o linear simples (RLS) nos valores das quantidades de horas de treinamento a` qual os funciona´rios foram submetidos. d) (01 ponto) Para um indiv´ıduo que teve 14 horas de treinamento, qual a quantidade me´dia estimada de paste´is por ele produzida por hora? Soluc¸a˜o: Xi = 14⇒ Ŷi =? Temos que Ŷi = 60 + 5Xi, assim: Ŷi = 60 + 5× 14 = 130 Para um indiv´ıduo que teve 14 horas de treinamento, estima-se que, em me´dia, a quantidade de paste´is por ele produzida por hora e´ de 130 unidades. e) (01 ponto) Se um indiv´ıduo teve 30 horas de treinamento, qual a quantidade me´dia estimada de paste´is por ele produzida por hora? O que voceˆ pode dizer acerca desta estimativa? Soluc¸a˜o: Xi = 30⇒ Ŷi =? Temos que Ŷi = 60 + 5Xi, assim: Ŷi = 60 + 5× 30 = 210 Esta estimativa obtida trata-se de uma extrapolac¸a˜o, haja vista que no estudo a quantidade de horas de treinamento variou de 2h a 26h, desta forma, esta estimativa na˜o e´ confia´vel. 4 3. (10 pontos) Suponha que em uma locadora, os fregueses podem escolher dentre treˆs diferentes geˆneros a saber Come´dia, Romance, Policial. Ale´m disso, • 50% dos filmes alugados, sa˜o Come´dias; • 10% dos filmes alugados, sa˜o Romances; • 40% dos filmes alugados, sa˜o Policiais. Ale´m disso, • 60% das Come´dias sa˜o alugadas por Homens; • 35% dos Romances sa˜o alugados por Homens; • 15% dos filmes policiais sa˜o alugados por Mulheres; a) (05 pontos) Qual a probabilidade de que uma Mulher alugue um filme? Soluc¸a˜o: Sejam • C : “o filme alugado e´ uma come´dia”; • R : “o filme alugado e´ um romance”; • P : “o filme alugado e´ policial”; • M : “o filme foi alugado por uma mulher”. Considerando os eventos acima descritos e o diagrama de a´rvores abaixo temos: P (M) = P (C)P (M |C) + P (R)P (M |R) + P (P )P (M |P ) = 0, 5× 0, 4 + 0, 1× 0, 65 + 0, 4× 0, 15 = 0, 325 Desta forma, a probabilidade de que uma mulher alugue um filme e´ 0,325. b) (05 pontos) Suponha que uma mulher alugue um filme. Determine a probabilidade condicional de que o aluguel seja de um filme de Romance. Pelo diagrama de a´rvore dado abaixo, vemos que 5 P (R|M) = P (R ∩M) P (M) = P (R)P (M |R) P (C)P (M |C) + P (R)P (M |R) + P (P )P (M |P ) = 0, 1× 0, 65 0, 5× 0, 4 + 0, 1× 0, 65 + 0, 4× 0, 15 = 0, 065 0, 325 = 0, 2 M c C 0,6 0,4 M M c • 0,5 0,1 0,4 R 0,35 0,65 M M c P 0,85 0,15 M Assim sabendo que uma mulher alugou um filme, a probabilidade de que o geˆnero do filme seja Romance e´ 0,2. 6 4. (05 pontos) Dentre os alunos de uma universidade, • 68% dos alunos na˜o fumam; • 12% consomem bebida alcoo´lica e sa˜o fumantes; Selecionado um aluno ao acaso determine a probabilidade de que: a) (02 pontos) O aluno apenas fume (e na˜o beba); Soluc¸a˜o: Sejam A : “O aluno fuma” e B : “O aluno bebe”. Do enunciado temos P (Ac) = 0, 68 e P (A ∩B) = 0, 12. Desejamos encontrar P (A ∩Bc) Como P (A) = 1− P (Ac) temos que P (A) = 1− 0, 68 = 0, 32. P (A ∩Bc) = P (A)− P (A ∩B) = 0, 32− 0, 12 = 0, 20. Assim a probabilidade de que o aluno apenas fume (e na˜o beba) e´ 0,20. 0, 20 A S 0, 68 0, 12 B b) (03 pontos) Qual a probabilidade de que o aluno seja fumante e consuma bebida alcoo´lica? Soluc¸a˜o: P (A ∩B) = P (B ∩ A) = 0, 12. 7 Formula´rio X¯ = n∑ i=1 Xi n S2X = 1 n− 1 n∑ i=1 X2i − ( n∑ i=1 Xi )2 n SX = √ S2X ρ̂ = rX,Y = SPDXY√ SQDXSQDY SPDXY = n∑ i=1 XiYi − ( n∑ i=1 Xi)( n∑ i=1 Yi ) n SQDX = n∑ i=1 X2i − ( n∑ i=1 Xi )2 n Ŷi = β̂0 + β̂1Xi ε̂i = Yi − Ŷi SQtotal = SQDY r2 (%) = SQregressa˜o SQtotal 100% β̂1 = SPDXY SQDX β̂0 = Y¯ − β̂1X¯ SQregressa˜o = (SPDXY ) 2 SQDX SQregressa˜o = β̂21SQDX SQregressa˜o = β̂1SPDXY P (φ) = 0 P (S) = 1 0 ≤ P (A) ≤ 1 P (A) = n (A) n (S) P (A|B) = n (A ∩B) n (B) P (Ac) = 1− P (A) P (A|B) = P (A ∩B) P (B) P (A|Bc) = P (A ∩B c) P (Bc) P (A ∩Bc) = P (A)− P (A ∩B) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) P (B) = n∑ i=1 P (B|Ai)P (Ai) P (A) = P (A|B)P (B) + P (A|Bc)P (Bc) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) P (Aj|B) = P (B|Aj)P (Aj)n∑ i=1 P (B|Ai)P (Ai) 8
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