AL_CAP_04

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INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
 
CAPÍTULO 4 
 
BASE E DIMENSÃO 
1 Introdução 
Em muitas aplicações, não é interessante trabalhar com um espaço vetorial “inteiro”, mas com 
uma parte deste espaço, ou seja, um subespaço, que seja constituído pelas combinações 
lineares de um dado conjunto de vetores. Será, então, conveniente, escrever os elementos 
desse subespaço como combinações lineares de um conjunto que contenha o menor número 
possível de vetores e que estes sejam escritos de forma simplificada. Este capítulo tratará 
desse assunto. 
2 Base 
Definição: Uma base de um espaço vetorial V sobre um corpo K é um subconjunto finito 
VB ⊂ , satisfazendo as condições: 
a) B gera V, ou seja, o subespaço gerado por B é igual a V. 
b) B é LI. 
Exemplos: 
1) Verificar se o conjunto ( ) ( ) ( ){ }211210321 ,,,,,,,,B −= é uma base do espaço vetorial real 3ℜ . 
É preciso mostrar que são satisfeitas as duas condições da definição. 
(a) Seja ( )z,y,xv = um vetor genérico do 3ℜ . Mostrar-se-á que esse vetor se escreve como 
combinação linear dos vetores de B. Para isso, escreve-se a combinação linear: 
( ) ( ) ( ) ( )211210321 ,,c,,b,,az,y,xv −++== 
e mostra-se que é possível encontrar os escalares a, b e c que tornam a equação verdadeira. 
Tem-se: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )cba,cba,cac,c,cb,b,a,a,az,y,x 223222032 ++−++=−++= . 
Da igualdade de vetores, vem: 





=++
=−+
=+
zcba
ycba
xca
223
2 ; 
Resolve-se esse sistema, com o objetivo de se determinar os escalares a, b e c, obtendo-se: 
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








+−
=
+−−
=
−+
=
5
2
5
37
5
24
zyx
c
zyx
b
zyx
a
. 
Observa-se, assim, que o sistema tem solução, isto é, para cada vetor ( )z,y,x do 3ℜ , tem-se 
um valor para a, b e c, ou seja, todo vetor do 3ℜ pode ser escrito como combinação linear dos 
vetores do B. Logo, B gera o 3ℜ . 
(b) Mostrar-se-á que os vetores de B são LI. Para isso, escreve-se a equação: 
( ) ( ) ( ) ( )000211210321 ,,,,c,,b,,a =−++ , 
de onde vem que: 
( ) ( )0002232 ,,cba,cba,ca =++−++ . 
Portanto: 





=++
=−+
=+
0223
02
0
cba
cba
ca
. 
A resolução desse sistema, por qualquer método, leva à solução trivial: 0=== cba , 
mostrando que os vetores são LI. 
De (a) e (b), conclui-se que o conjunto B é uma base do 3ℜ . 
Observe-se que esses vetores não são coplanares (isto é, não pertencem a um mesmo plano), 
pois, resolvendo-se o determinante de 3ª ordem, cujas linhas são constituídas pelas 
coordenadas dos três vetores, tem-se: 
( ) ( ) 5023042
211
210
321
=+−−++=
−
. 
Sendo o determinante diferente de zero, conclui-se, por resultado da Geometria Analítica, que 
os vetores não são coplanares. Verificou-se, assim, que os vetores de B são LI e não são 
coplanares. 
Esse resultado pode ser generalizado: três vetores não coplanares do 3ℜ são LI. 
2) Verificar se o conjunto { }222 tt,ttB +−+= é uma base do espaço vetorial real ( )ℜ2P , com 
as operações usuais de adição de polinômios e multiplicação por escalar. 
Verificar-se-á, neste exemplo, que, embora os vetores (que, aqui, são polinômios de grau 
menor ou igual a 2, com coeficientes reais) sejam LI, eles não geram o espaço ( )ℜ2P . 
De fato, escrevendo-se a equação: 
( ) ( ) 222 0002 ttttbtta ⋅+⋅+=++−+ , 
vem: 
( ) ( ) 22 0002 tttbatbaa ⋅+⋅+=+−+++ . 
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Da igualdade de polinômios, obtém-se o sistema: 





=+−
=+
=
0
0
02
ba
ba
a
, 
que admite apenas a solução trivial 0== ba , Logo, o conjunto B é LI. 
Para verificar se o conjunto B gera o espaço ( )ℜ2P , é preciso verificar se todo elemento desse 
espaço é combinação linear dos elementos de B. Toma-se, assim, um elemento genérico 
2
210 tataa ++ de ( )ℜ2P e escreve-se a equação: 
( ) ( )222210 2 tttttataa ++−+=++ βα ; 
O objetivo é verificar se é possível encontrar os escalares α e β que tornem essa equação 
verdadeira. Tem-se: 
( ) ( ) 22210 2 tttataa βαβαα +−+++=++ , 
de onde segue-se que: 
( ) ( ) 22210 2 tttataa βαβαα +−+++=++ 
e, portanto, 





+−=
+=
=
βα
βα
α
2
1
0 2
a
a
a
. 
Da 1ª equação, segue-se que 02
1
a=α . Substituindo-se esse valor na 2ª equação, obtém-se: 
01 2
1
aa −=β . Esses valores de α e β substituídos na 3ª equação levam ao resultado: 
100102 2
1
2
1
aaaaaa +−=−+−−= . 
Isso mostra que os elementos de B geram apenas os polinômios de ( )ℜ2P que satisfazem a 
relação 102 aaa +−= , isto é, o subespaço vetorial gerado por B é: 
[ ] ( ){ }10222210 aaa/PtataaB +−=ℜ∈++= , 
que está contido em ( )ℜ2P , ou seja, B gera apenas uma parte de ( )ℜ2P . 
Por exemplo, o polinômio [ ]Btt ∈++ 2451 , pois 514 +−= , isto é, está satisfeita, para os 
coeficientes desse polinômio, a relação 102 aaa +−= . Logo, esse polinômio pode ser escrito 
como combinação linear dos polinômios de B: 
( ) ( )222
2
9
2
2
1
451 tttttt ++−+=++ . 
Por outro lado, o polinômio 2751 tt ++ é um elemento de ( )ℜ2P , mas não pertence a [ ]B , pois 
seus coeficientes não satisfazem a relação 102 aaa +−= . Pode-se ver que esse polinômio não 
é uma combinação linear dos elementos de B, pois, escrevendo-se a equação 
( ) ( )222 2751 tttttt ++−+=++ βα , 
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obtém-se: 
( ) ( ) 22 2751 tttt βαβαα +−+++=++ , 
da qual se segue: 





+−=
+=
=
βα
βα
α
7
5
21
. 
Da 1ª equação, tem-se que 
2
1
=α ; substituindo-se esse valor na 2ª equação, obtém-se 
2
9
=β ; entretanto, substituindo-se na 3ª equação, obtém-se 
2
15
=β , ou seja, o sistema é 
incompatível, mostrando que não é possível encontrar escalares α e β que tornem verdadeira 
a equação 
( ) ( )222 2751 tttttt ++−+=++ βα . 
Se nem todos os elementos de ( )ℜ2P podem ser escritos como combinação linear dos 
elementos de B, conclui-se que esse conjunto não é uma base desse espaço vetorial. 
Observações: 
1) Conforme se viu no Capítulo 2, o vetor nulo é LD. Assim, considerando-se o espaço vetorial 
nulo, isto é, o espaço vetorial que contém apenas o vetor nulo, este não possui base. 
2) Todos os demais espaços vetoriais possuem infinitas bases. De todas estas infinitas bases, 
uma delas é considerada a mais simples e chamada de base canônica. 
As bases canônicas dos principais espaços vetoriais são: 
• { }1:ℜ 
• ( ) ( ){ }1001:2 ,,,ℜ 
• ( ) ( ) ( ){ }100010001:3 ,,,,,,,,ℜ 
M 
• ( ) ( ) ( )








ℜ
44444444 344444444 21
LLLL
scoordenadancomvetoresn
n ,,,,,,,,,,,, 100010001: 
• ( )
































ℜ
10
00
01
00
00
10
00
01
:2 ,,,M 
• ( ) { }nn t,,t,t,P L21:ℜ 
Processo prático para obter uma base de um subespaço do nℜℜℜℜ 
A base será encontrada a partir do conjunto de geradores [ ] nru,,u,uS ℜ⊂= L21 , a partir 
das seguintes propriedades: 
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(1) permutando-se dois dos vetores do conjunto, não se altera o espaço gerado; 
(2) multiplicando-se um dos vetores do conjunto por um escalar não nulo α , não se altera o 
subespaço gerado, isto é: 
[ ] [ ]riri u,,u,,u,uu,,u,,u,u LLLL α2121 = ;(3) somando-se um dos vetores do conjunto com um outro vetor do conjunto multiplicado por 
um escalar não nulo α , não se altera o subespaço gerado, isto é: 
[ ] [ ]rijiri u,,uu,u,,u,uu,,u,,u,u LLLL α+= 2121 ( )ri ≤≤1 ; ( )rj ≤≤1 ; 
(4) se ru,,u,u L21 se apresenta na forma escalonada, ou seja, se o número de zeros iniciais 
de 2u é maior do que o de 1u se, assim, sucessivamente, então os vetores ru,,u,u L21 são 
LI. 
Dessa forma, o processo consiste em dispor os vetores de um sistema de geradores do espaço 
vetorial como linhas de uma matriz e escaloná-la. As linhas não nulas da matriz resultante do 
escalonamento serão vetores LI, os quais formarão a base procurada. 
Exemplo: Seja W um subespaço do 4ℜ que possui o seguinte sistema de geradores: 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]6303411021010112 ,,,,,,,,,,,,,,, − . 
Determinar uma base para W. 
Constrói-se uma matriz com os vetores do conjunto de geradores, considerados em uma 
ordem qualquer. Aqui, colocou-se o vetor ( )2101 ,,, na primeira linha, para facilitar o 
escalonamento da matriz que se fará a seguir: 














−
6303
4110
0112
2101
. 
Escalonando-se a matriz por linhas, vem: 














−−
 →














−
−−
 →














−
++−
+−
0000
0000
4110
2101
0000
4110
4110
2101
6303
4110
0112
2101
3241
21
3
2
LLLL
LL
 
Retirando-se as linhas nulas, restam os vetores ( )2101 ,,, e ( )4110 −− ,,, . Logo, de acordo com o 
processo acima, esses vetores formam uma base para W, isto é, o conjunto 
( ) ( ){ }41102101 −−= ,,,,,,,W é uma base de W. 
De fato, os vetores são LI, pois, da equação 
( ) ( ) ( )000041102101 ,,,,,,b,,,a =−+ , 
vem: 
( ) ( ) ( )00004020 ,,,b,b,b,a,a,,a =−+ , 
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ou seja, 
( ) ( )000042 ,,,ba,ba,b,a =+− , 
de onde se segue que 0== ba e, portanto, os vetores são LI. 
Por outro lado, considerando-se um vetor genérico ( )w,z,y,x de 4ℜ⊂W e escrevendo-se: 
( ) ( ) ( )41102101 ,,,,,,w,z,y,x −+= βα , 
vem: 
( ) ( ) ( )βββααα 4020 ,,,,,,w,z,y,x −+= , 
isto é, 
( ) ( )βαβαβα 42 +−= ,,,w,z,y,x . 
Então: 







+=
−=
=
=
βα
βα
β
α
42w
z
y
x
. 
Portanto, um vetor genérico de W tem suas coordenadas escritas em função de α e β . 
Atribuindo-se, aleatoriamente, valores aos escalares α e β , obtém-se vetores de W. Por 
exemplo, se 1=α e 2=β , obtém-se o vetor ( )10121 ,,, − , que é uma combinação linear dos 
vetores da base: 
( ) ( ) ( )411022101110121 ,,,,,,,,, −⋅+⋅=− . 
Se 0=α e 0=β , obtém-se o vetor nulo ( )0000 ,,, ; se 2−=α e 
2
1
=β , obtém-se o vetor 






−−− 2
2
5
2
1
2 ,,, e assim por diante. Logo, os vetores ( )2101 ,,, e ( )4110 −− ,,, geram W e, 
portanto, o conjunto ( ) ( ){ }41102101 −−= ,,,,,,,W é uma base de W. 
Definição: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um conjunto de vetores 
{ } Vv,,v,v n ⊂L21 é dito LI-maximal se: 
a) { }nv,,v,v L21 é LI 
b) { }w,v,,v,v nL21 é LD, Vw ∈∀ 
Proposição: Um conjunto de vetores { }nv,,v,v L21 é base de um espaço vetorial V se for LI-
maximal. 
Demonstração: 
Hipótese: o conjunto { }nv,,v,v L21 é LI-maximal 
Tese: o conjunto { }nv,,v,v L21 é base de V 
Se, por hipótese, o conjunto de vetores o conjunto { }nv,,v,v L21 é LI-maximal, então, por 
definição, o conjunto é LI. Para mostrar que o conjunto { }nv,,v,v L21 é base de V, resta 
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mostrar que o conjunto gera V. 
De fato, tomando-se um vetor genérico Vu ∈ , tem-se que o conjunto { }u,v,,v,v nL21 é LD, 
pois { }nv,,v,v L21 é LI-maximal. Portanto, um dos vetores é uma combinação linear dos 
demais vetores do conjunto. Ora, o único vetor que pode ser escrito como combinação linear 
dos demais é u, já que nv,,v,v L21 são LI. Conclui-se, assim, que { }nv,,v,v L21 gera V e, 
portanto, é uma base de V. 
3 Dimensão 
Definição: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Denomina-se dimensão do espaço 
V, o número de vetores de qualquer uma de suas bases. 
Notação: ( )Vdim 
Observações: 
1) Se o número de vetores de uma base de um espaço vetorial é finito, diz-se que o espaço é 
de dimensão finita. Neste texto, não serão estudados os espaços de dimensão infinita. 
2) As dimensões dos principais espaços vetoriais são: 
• { }( ) 00 =dim (aqui, { }0 representa o espaço que contém apenas o vetor nulo) 
• ( ) 1=ℜdim 
• ( ) 22 =ℜdim 
• ( ) 33 =ℜdim 
M 
• ( ) ndim n =ℜ 
• ( )( ) nmMdim nm ⋅=ℜ× 
• ( )( ) 2nnnMdim n =⋅=ℜ 
• ( )( ) 1+=ℜ nPdim n 
Exemplos: 
1) Seja ( ){ }024 =+−ℜ∈= tyx/t,z,y,xW . Determinar a dimensão de W. 
Para determinar a dimensão de W, é necessário determinar uma de suas bases. Os elementos 
( )t,z,y,x de W são tais que 02 =+− tyx , isto é, tyx −= 2 . Logo, todo vetor de W pode ser 
escrito na forma: ( )t,z,y,ty −2 , sendo y, z e t números reais. Determina-se, agora, um 
sistema de geradores para W; para isso, observe-se que se pode escrever: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00010100001200022 ,,,t,,,z,,,y,,,tt,z,y,yt,z,y,ty −++=−+=− 
Assim, o conjunto ( ) ( ) ( ){ }000101000012 ,,,,,,,,,,,S −= é um sistema de geradores para W. Para 
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determinar uma base para W, utiliza-se o processo prático para obtenção de base. Assim, 
constrói-se uma matriz com os vetores do conjunto de geradores: 










− 0001
0100
0012
, ou, equivalentemente, 









−
0100
0012
1001
. 
A ordem em que os vetores são colocados nas linhas da matriz não interfere, obviamente, no 
resultado. 
Escalonando-se a matriz por linhas, vem: 









−
 →









−
+
0100
2010
1001
0100
0012
1001
212 LL . 
Observe-se que a matriz está escalonada e não apresenta nenhuma linha nula. Logo, os 
vetores são LI e constituem uma base de W, ou seja, S é base de W. Portanto, ( ) 3=Wdim . 
Observação: Um erro muito comum que se comete é confundir a quantidade de coordenadas 
de um vetor, com a quantidade de vetores de uma base. No exemplo anterior, a base de W é 
constituída de 3 vetores quadri-dimensionais, isto é, com 4 coordenadas, mas ( ) 3=Wdim , que 
é o número de vetores LI que constituem a base. 
2) Determinar a dimensão de [ ]323232 621221 ttt,tt,ttt,tU +−−−+−+−= . 
Observe-se que U é um subconjunto de ( )ℜ3P , que é o conjunto dos polinômios de grau menor 
ou igual a 3, com coeficientes reais; U é gerado pelos polinômios t21 − , 322 ttt −+ , 
321 tt −+ e 3262 ttt +−− , que são chamados, simplesmente, de “vetores”. Esses vetores 
podem ser escritos na forma: 
32 002121 tttt ++−=− ; 
3232 202 tttttt −++=−+ ; 
3232 011 ttttt −++=−+ ; 
3262 ttt +−− . 
Assim, os coeficientes dos polinômios podem ser associados, respectivamente, aos vetores: 
( )0021 ,,,− , ( )1120 −,,, , ( )1101 −,,, e ( )1162 ,,, −− . 
Para determinar uma base de U, constrói-se uma matriz com os coeficientes dos polinômios 
que o geram, ou seja, com os vetores associados aos polinômios: 














−−
−
−
−
1162
1101
1120
0021
. 
A seguir, escalona-se a matriz por linha: 
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












−
−
 →














−−
−
−
−
 →














−−
−
−
−
+
+−
+−
+−
0000
0000
1120
0021
1120
1120
1120
0021
1162
1101
1120
0021
42
32
41
31
2 LL
LL
LL
LL
. 
Observa-se, assim, que restaram apenas duas linhas não nulas na matriz escalonada e, 
portanto, há apenas dois vetores LI no conjunto de geradores, os quais constituem uma base 
para U: ( )0021 ,,,− , ( )1120 −,,, . Logo, os polinômios associados a eles t21 − e 322 ttt −+ são 
os elementos da base de U, isto é, 
{ }32221 tt,tB −+−= 
é base de U e, portanto, ( ) 2=Udim . 
3) Determinar uma base e a dimensão para o espaço das soluções do sistema linear 
( )





=−
=++
=−−−
0
02
0
tz
tyx
tzyx
:L 
Sendo o sistema homogêneo, ele admite pelo menos a solução trivial, isto é, tem-se a solução 
( )0000 ,,, . Para determinar se essa é a única solução ou se há mais de uma solução (neste 
caso, serão infinitas), resolve-se o sistema. Utilizar-se-á, para tal finalidade, o método de 
Gauss, ou seja, o método do escalonamento, trabalhando apenas com a matriz dos 
coeficientes; sendo o sistema homogêneo, não é necessário acrescentar a coluna dos termos 
independentes. Tem-se: 










−
−−−
 →










−
−−−
+−
1100
3230
1111
1100
1012
1111
212 LL . 
Observe-se que a matriz já está escalonada e, assim, o sistema obtido, equivalente ao sistema 
dado, é: 
( )





=−
=++
=−−−
′
0
0323
0
tz
tzy
tzyx
:L . 
Da 3ª equação, segue-se que tz = ; substituindo na 2ª equação, obtém-se: 
ty
3
5
−= . 
Substituindo-se esses valores de z e y na 1ª equação, vem: 
txtttx
3
1
0
3
5
=⇒=−−+ . 
Assim, as soluções do sistema podem ser colocadas na forma: 
( )






ℜ∈∀=−=== t,tz,ty,tx/t,z,y,xS
3
5
3
1
, 
ou, equivalentemente, 
( ){ }ℜ∈∀==−== x,xt,xz,xy/t,z,y,xS 335 . 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
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Observe-se que o conjunto S das soluções do sistema ( )L é um subconjunto do espaço vetorial 
real 4ℜ , que pode ser escrito, ainda, na forma: 
( ){ }ℜ∈∀−= x,x,x,x,xS 335 ; 
Assim, um elemento genérico de S é da forma ( )x,x,x,x 335− , ou seja: 
( ) ( )3351335 ,,,xx,x,x,x −=− , 
o que indica que S é gerado pelo vetor ( )3351 ,,,− . 
Logo, conjunto ( ){ }3351 ,,,B −= é uma base de S e, portanto, ( ) 1=Sdim . 
Teorema da Invariância: Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Então, todas as 
bases de V têm o mesmo número de vetores. 
Demonstração: 
Hipótese: V é um espaço vetorial de dimensão finita 
Tese: duas bases quaisquer de V têm o mesmo número (finito) de elementos 
Sejam { }nv,,v,vB L21= e { }mu,,u,uB L21=′ bases do espaço vetorial V, o qual, por 
hipótese, tem dimensão finita. 
Sendo B uma base, segue-se que B gera V; como B′ é LI, conclui-se, pela proposição anterior, 
que nm ≤ . 
Por outro lado, B′ é base e, portanto, gera V; uma vez que B é LI, conclui-se, pela mesma 
proposição, que mn ≤ . 
Logo, nm = , ou seja, as bases de V têm o mesmo número de vetores. 
Lema: Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e S um subconjunto LI de V. Se v é um 
vetor de V que não está no subespaço gerado por S, então o conjunto obtido acrescentando-se 
v a S é LI. 
Demonstração: 
Hipóteses: V é um espaço vetorial de dimensão finita; S é um subconjunto LI de V; Vv ∈ não 
pertence ao subespaço gerado por S 
Tese: o conjunto obtido acrescentando-se v a S é LI 
Sejam nv,,v,v L21 vetores distintos de S; se 02211 =++++ bvva...vava nn , deve-se ter, 
necessariamente 0=b , pois, caso contrário, escrever-se-ia: 
n
n v
b
a
...v
b
a
v
b
a
v 





−++





−+





−= 2
2
1
1 ; 
e concluir-se-ia que v pertenceria ao subespaço gerado por S, contrariando a hipótese. Sendo 
0=b , tem-se: 
02211 =+++ nnva...vava 
e, como S é LI, segue-se que 021 ==== naaa L , isto é, o conjunto { }v,v,,v,v nL21 é LI. 
Teorema do Completamento: Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n. Se 
{ } Vu,,u,u r ⊂L21 é um conjunto LI com r vetores, sendo nr < , então, existem ( )rn − 
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vetores nrr u,,u,u L21 ++ em V tais que { }nrrr u,,u,u,u,,u,u LL 2121 ++ é uma base de V. 
Este teorema pode ser enunciado, de forma equivalente, da seguinte maneira: 
Teorema do Completamento: Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de 
dimensão finita pode ser completado de modo a formar uma base de V. 
Demonstração: 
Hipóteses: V é um espaço vetorial de dimensão finita n; { } Vu,,u,u r ⊂L21 é um conjunto LI 
com r vetores, sendo nr < 
Tese: existem nrr u,,u,u L21 ++ em V tais que { }nrrr u,,u,u,u,,u,u LL 2121 ++ é uma base 
de V 
Se a dimensão de V é n, então toda base B de V tem n vetores LI, ou seja, B é LI-maximal, e 
qualquer conjunto com 1+n vetores é LD. Seja { }ru,,u,uS L210 = um subconjunto LI de V, 
com nr < . Pelo lema anterior, existem, no máximo, rn − vetores nrr u,,u,u L21 ++ tais que 
o conjunto { }nrrr u,,u,u,u,,u,uS LL 2121 ++= é LI e SS ⊂0 . Logo, S é um conjunto LI-
maximal e, portanto, S é base de V, a qual foi completada a partir de 0S . 
Têm-se, ainda, os resultados seguintes: 
Teorema: Seja V um espaço vetorial tal que ( ) nVdim = . Então: 
(a) qualquer conjunto com 1+n ou mais vetores é LD; 
(b) qualquer conjunto LI com n vetores é base de V. 
Demonstração: 
(a) Hipóteses: ( ) nVdim = 
Tese: qualquer conjunto com 1+n ou mais vetores é LD 
Seja { }nv,,v,vB L21= uma base de V. Suponha-se que o conjunto { }u,v,,v,v'B nL21= seja 
LI. Mostrar-se-á que B' gera V, isto é, que todo elemento Vv ∈ é combinação linear dos 
vetores de B'. De fato, como B é uma base de V, então o vetor v é uma combinação linear dos 
elementos da base, isto é, existem escalares na,,a,a L21 tais que 
nnvavavav +++= L2211 . 
Pode-se escrever: 
uvavavav nn ⋅++++= 02211 L , 
ou seja, v é combinação linear dos vetores de B', de onde se conclui que B' gera V. Por outro 
lado, se B' é LI e gera V, então B' é base de V e, portanto, pode-se concluir que ( ) 1+= nVdim , 
o que contraria a hipótese. Portanto, B' não pode ser LI, isto é, B' é LD. 
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(b) Hipóteses: ( ) nVdim = 
Tese: qualquer conjunto LI com n vetores é base de V 
Seja { }nu,u,u'B L21= um conjunto LI do espaço vetorial V e Suponha-se que B' não gera V. 
Então Vv ∈∃ tal que v não é combinação linear dos elementos de B'. Considere-se, agora, 
{ }v,u,,u,uB nL21=′′ . Pelo lema demonstrado anteriormente, segue-se que B ′′ é LI, o que 
contraria o item (a). Logo, B' gera V e, portanto, é base de V. 
Proposição: Seja VW ⊆ um subespaço de V. Se ( ) ( )VdimWdim = então VW = . 
Demonstração: 
Hipóteses: VW ⊆ é um subespaço de V; ( ) ( )VdimWdim = 
Tese: VW = 
Suponha-se que ( ) ( ) nVdimWdim == e que { }nv,,v,vB L21= seja uma base de W. Como 
VW ⊆ , então B é também base de V. Logo, [ ] VWB == e, portanto, VW = . 
 
Proposição: Seja { }nv,,v,vB L21= uma das bases de um espaço vetorial V. Então, todo 
elemento de V se escreve de maneira única como combinação linear dos vetores da base B. 
Demonstração: 
Hipóteses: { }nv,,v,vB L21= é base de V 
Tese: todo elemento de V se escreve de maneira única como combinaçãolinear dos vetores de 
B 
Seja Vv ∈ ; então, v se escreve como combinação linear dos vetores da base B, ou seja, 
existem escalares na,,a,a L21 tais que nnvavavav +++= L2211 . 
Suponha-se que v possa ser escrito como outra combinação linear dos vetores de B, isto é, 
suponha-se que existam escalares nb,,b,b L21 tais que nnvbvbvbv +++= L2211 . 
Então, tem-se: 
nnnn vbvbvbvavava +++=+++ LL 22112211 , 
isto é, 
022112211 =−−−−+++ nnnn vbvbvbvavava LL , 
ou, ainda, 
( ) ( ) ( ) 0222111 =−++−+− nnn vbavbavba L 
Como { }nv,,v,vB L21= é LI, conclui-se que: 
( )niba ii ≤≤=− 10 , 
isto é, 
( )niba ii ≤≤= 1 
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Portanto, a combinação linear é única. 
Exemplo: Considere-se a seguinte base do 2ℜ : ( ) ( ){ }1132 21 ,v,,vB === ; então, todo vetor 
do 2ℜ é gerado pelos vetores de B, isto é, todo vetor do 2ℜ é uma combinação linear dos 
vetores de B. 
Tomando-se, por exemplo, o vetor ( )52,u = , este se escreve como combinação linear dos 
vetores da base B. Para encontrar essa combinação linear, basta que se escreva a equação: 
( ) ( ) ( )113252 ,b,a, += 
e se determinem os valores de a e b. Tem-se: 
( ) ( ) ( ) ( )ba,bab,ba,a, ++=+= 323252 , 
de onde se segue que: 



=+
=+
53
22
ba
ba
. 
A solução desse sistema linear é: 3=a e 4−=b . Portanto, pode-se escrever: 
( ) ( ) ( )113252 ,b,a, += , ou seja, 21 43 vvu −= . 
Supondo-se que o vetor u admita uma outra combinação linear, diferente desta, por exemplo, 
21 vvu βα += , vem: 
2121 43 vvvvu βα +=−= , 
ou seja, 
043 2121 =+−+ vvvv βα , 
ou, ainda, 
( ) ( ) 043 21 =++− vv βα . 
Sendo os vetores LI, essa equação só se verifica se 03 =−α e 04 =+ β , ou seja, se 
3=α e 4−=β , o que mostra que a combinação linear é única. 
Teorema: Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V. Então: 
( ) ( ) ( ) ( )WUdimWdimUdimWUdim ∩−+=+ . 
Demonstração: 
Hipótese: U e W são subespaços de um espaço vetorial V 
Tese: ( ) ( ) ( ) ( )WUdimWdimUdimWUdim ∩−+=+ 
Seja { }rWU e,,e,eB L21=∩ uma base de WU ∩ . Sendo os vetores dessa base LI em U e em 
W, então, pelo Teorema do Completamento, existem Uu,,u,u s ∈L21 e Ww,,w,w t ∈L21 
tais que { }srU u,,u,u,e,,e,eB LL 2121= é base de U e { }trW w,,w,w,e,,e,eB LL 2121= é 
base de W. 
Observe-se que ( ) rWUdim =∩ , ( ) srUdim += e ( ) trWdim += . Portanto: 
( ) ( ) ( ) tsrrtrsrWUdimWdimUdim ++=−+++=∩−+ (1) 
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Mostrar-se-á, agora, que { }tsrWU w,,w,w,u,,u,u,e,,e,eB LLL 212121=+ é uma base de 
WU + . 
É claro que esse conjunto de vetores gera WU + , pois, se WUv +∈ , então wuv += , sendo 
u escrito como combinação linear da base de U e w, como combinação linear da base de W. 
Assim, [ ] WUB WU +=+ . 
Os vetores de WUB + são LI. 
De fato, supondo-se que existam escalares tsr c,,c,c,b,,b,b,a,,a,a LLL 212121 tais que: 
0221122112211 =+++++++++++ ttssrr wcwcwcubububeaeaea LLL , (2) 
pode-se escrever: 
ttssrr wcwcwcubububeaeaea −−−−=+++++++ LLL 221122112211 . 
Como o vetor ssrr ubububeaeaea +++++++ LL 22112211 é um vetor de U e 
ttwcwcwc −−−− L2211 é um vetor de W, então, pela última igualdade, trata-se do mesmo 
vetor e, portanto, WUwcwcwc tt ∩∈−−−− L2211 . Logo, existem escalares r,,, βββ L21 
tais que: 
rrtt eeewcwcwc βββ +++=−−−− LL 22112211 , 
de onde vem que 
022112211 =+++++++ ttrr wcwcwceee LL βββ . 
Como { }tr w,,w,w,e,,e,e LL 2121 é base de W, seus elementos são LI e, portanto, segue-se 
que 02121 ======== tr ccc LL βββ . Assim, a expressão (2) fica: 
022112211 =+++++++ ssrr ubububeaeaea LL . 
Lembrando que { }sr u,,u,u,e,,e,e LL 2121 é base de U, o que acarreta que os vetores são 
LI, segue-se que 02121 ======== sr bbbaaa LL . Conclui-se, assim, que o conjunto 
{ }tsr w,,w,w,u,,u,u,e,,e,e LLL 212121 é LI, o que demonstra que é uma base de WU + . 
Portanto, 
( ) tsrWUdim ++=+ . (3) 
De (1) e (3), segue-se que ( ) ( ) ( ) ( )WUdimWdimUdimWUdim ∩−+=+ , o que demonstra o 
teorema. 
Exemplos: 
1) Sejam ( ){ }xy/y,xU 22 =ℜ∈= e ( ){ }xy/y,xW −=ℜ∈= 2 , dois subespaços do 2ℜ . Tem-
se: 
- os elementos de U pertencem à reta xy 2= ; logo, ( ) 1=Udim ; 
- os elementos de W pertencem à reta xy −= ; logo, ( ) 1=Wdim ; 
- ( ){ }00,WU =∩ ; logo, ( ) 0=∩WUdim . 
Então, uma vez que ( ) ( ) ( ) ( )WUdimWdimUdimWUdim ∩−+=+ , vem: 
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( ) 2011 =−+=+WUdim . 
Por outro lado, sabe-se que ( ) 22 =ℜdim ; assim, tem-se: 
( ) 2ℜ⊂+WU e ( ) ( ) 22 =ℜ=+ dimWUdim , 
de onde se conclui que 2ℜ=+WU . 
2) Considerem-se os subespaços do 3ℜ : 
( ){ }023 =+−ℜ∈= zyx/z,y,xU e ( ){ }0233 =++ℜ∈= zyx/z,y,xW . 
Determinar uma base para WU + e WU ∩ e suas respectivas dimensões. Em seguida, verificar 
se WU ⊕=ℜ3 , onde ⊕ indica a soma direta de U e W. 
Observe-se que os elementos de U pertencem ao plano contido em 3ℜ , de equação 
02 =+− zyx ; seus pontos (ou vetores) são da forma: ( )z,y,zy −2 e, portanto, pode-se 
escrever: 
( ) ( ) ( )1010122 ,,z,,yz,y,zy −+=− . 
Logo, o conjunto ( ) ( ){ }101012 ,,,,,BU −= é uma base de U, o que indica que ( ) 2=Udim . Por 
outro lado, os elementos de W pertencem ao plano contido em 3ℜ , de equação 
023 =++ zyx ; seus pontos (ou vetores) são da forma: ( )yx,y,x 23 −− e, portanto, pode-se 
escrever: 
( ) ( ) ( )21030123 −+−=−− ,,y,,xyx,y,x ; 
assim, o conjunto ( ) ( ){ }210301 −−= ,,,,,BW é uma base de W, de onde se conclui que 
( ) 2=Wdim . 
Com o objetivo de se determinar uma base para WU + , obtém-se, primeiramente, um 
sistema de geradores, fazendo a união das bases de U e W: 
( ) ( ) ( ) ( ){ }210301101012 −−−=∪= ,,,,,,,,,,,BBS WU . 
Determinam-se, agora, através do processo prático de obtenção de base, quais são os vetores 
LI desse sistema de geradores. Os vetores do conjunto de geradores podem ser colocados em 
qualquer linha da matriz, sem que haja uma ordem obrigatória. Como o objetivo é escalonar a 
matriz por linha, escolhe-se, para a primeira linha, o vetor cuja primeira componente é 1, por 
facilidade; na segunda linha, optou-se por colocar um vetor cuja primeira coordenada já é 
nula. Tem-se, então: 














−
−
−
 →














−
−
−
 →














−
−
−
+−+−
+
800
200
210
301
610
200
210
301
012
101
210
301
4241
31
2 LLLL
LL
 














−
−
−
 → +
000
200
210
301
434 LL . 
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Há, portanto, três vetores LI em S e, portanto, a base de WU + é: 
( ) ( ) ( ){ }200210301 −−−=+ ,,,,,,,,B WU ; 
assim, ( ) 3=+WUdim . 
Uma vez que ( ) 3=+WUdim , ( ) 33 =ℜdim e 3ℜ⊂+WU , segue-se que 3ℜ=+WU . 
Isso significa que o subespaço determinado pela soma de U e W coincide com o espaço 3ℜ . 
Obter-se-ão, agora, informações para o espaço WU ∩ . Sabe-se que: 
( ) ( ) ( ) ( )WUdimWdimUdimWUdim ∩−+=+ ; 
então: 
( )WUdim ∩−+= 223 , ou seja, ( ) 1=∩WUdim . 
Portanto, a base de WU ∩ deve conter apenas um vetor, o qual deve ser comum a U e a W. 
Isso significa que um vetor ( )z,y,x de WU ∩ deve ser escrito como combinação linear dos 
vetores da base de U e como combinação linear dos elementos da base de W, isto é: 
( ) ( ) ( )101012 ,,b,,az,y,x −+= 
e 
( ) ( ) ( )210301 −+−= ,,,,z,y,x βα . 
Igualando as expressões de ( )z,y,x , vem: 
() ( ) ( ) ( )210301101012 −+−=−+ ,,,,,,b,,a βα , 
isto é, 
( ) ( )βαβα 232 −−=− ,,b,a,ba , 
de onde se segue que: 





−−=
=
=−
βα
β
α
23
2
b
a
ba
. 
Substituindo-se a 1ª e a 2ª equações na 3ª, obtém-se: 
( ) ababab 4223 =⇒−−−= 
Considerando-se a expressão: 
( ) ( ) ( )101012 ,,b,,az,y,x −+= 
e substituindo-se ab 4= , obtém-se: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )412421014012 ,,aa,a,a,,a,,az,y,x −=−=−+= ; 
por outro lado, considerando-se a expressão: 
( ) ( ) ( )210301 −+−= ,,,,z,y,x βα 
e substituindo-se aaa 242 −=−=α e a=β , obtém-se: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )412422103012 ,,aa,a,a,,a,,az,y,x −=−=−+−−= , 
que é a mesma expressão obtida anteriormente. Conclui-se, assim que os elementos de WU ∩ 
são gerados pelo vetor ( )412 ,,− , isto é, o conjunto ( ){ }412 ,,B WU −=∩ é base de WU ∩ . 
Para que o espaço 3ℜ seja soma direta de U e W, devem ser satisfeitas as condições: 
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(a) 3WU ℜ=+ 
(b) ( ){ }000 ,,WU =∩ . 
A condição (a) se verifica, pois, sendo ( ) 3=+WUdim e ( ) 33 =ℜdim e 3ℜ⊂+WU , segue-se 
que 3ℜ=+WU . 
A condição (b) não é satisfeita, pois, se ( ){ }000 ,,WU =∩ , ter-se-ia ( ) 0=∩WUdim , pois o 
espaço que contém apenas o vetor nulo tem dimensão zero; entretanto, conforme se mostrou 
acima, ( ) 1=∩WUdim , o que acarreta que ( ){ }000 ,,WU ≠∩ . Conclui-se, assim, que espaço 
3ℜ não é soma direta de U e W. 
Também se pode concluir que ( ){ }000 ,,WU ≠∩ lembrando que a base de WU ∩ é 
( ){ }412 ,,B WU −=∩ , o que significa que o subespaço WU ∩ é constituído pelos pontos que 
pertencem à reta de interseção dos planos 02 =+− zyx e 023 =++ zyx . Sua equação, na 
forma simétrica, é: 
 
412
zyx
==
−
. 
A Figura 7 mostra os planos e a reta de interseção entre eles. 
 
FIGURA 7 
4 Coordenadas de um Vetor 
Trabalhar-se-á, no que se segue, com bases ordenadas, que são aquelas em que as posições 
dos vetores estão fixadas. Assim, dada uma base qualquer { }nv,,v,vB L21= , 1v será 
sempre o primeiro vetor, 2v será o segundo, 3v será o terceiro e, assim por diante, nv será o 
último. 
Considerando-se um espaço vetorial V sobre um corpo K e uma de suas bases ordenadas 
{ }nv,,v,vB L21= , sabe-se que qualquer vetor Vv ∈ se escreve, de maneira única, como 
combinação linear dos vetores da base B, ou seja, existem escalares Ka,,a,a n ∈L21 tais 
que: 
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nnvavavav +++= L2211 . (4) 
Essa combinação linear é única, conforme se mostrou anteriormente. 
Definição: os escalares na,,a,a L21 são chamados de coordenadas do vetor v em relação à 
base B. 
Notação: [ ]














=
n
B
a
a
a
v
M
2
1
. 
Exemplos: 
1) Determinar as coordenadas do vetor ( )851 −−= ,,v em relação às seguintes bases: 
(a) base canônica do 3ℜ 
(b) ( ) ( ) ( ){ }112012011 ,,,,,,,B −= 
(a) A base canônica do 3ℜ é ( ) ( ) ( ){ }100010001 ,,,,,,,,C = . Para encontrar as coordenadas do 
vetor v em relação a essa base, deve-se escrevê-lo como combinação linear dos vetores da 
base, ou seja, escreve-se: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )c,b,a,,c,,b,,a,,v =++=−−= 100010001851 , 
de onde se segue que 1−=a , 5=b e 8−=c . Assim, as coordenadas de v na base canônica 
são: 
[ ]










−
−
=
8
5
1
Cv 
(b) Deve-se, agora, escrever v como combinação dos vetores da base B, isto é: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )cb,ca,cba,,c,,b,,a,,v +−++=−++=−−= 22112102011851 , 
de onde vem que: 





−=+
=−
−=++
8
5
122
cb
ca
cba
 . 
A resolução desse sistema linear conduz à seguinte solução: 15=a , 18−=b e 10=c e, 
portanto, as coordenadas de v na base B são: 
[ ]










−=
10
18
15
Bv 
Observações: 
1) Observe-se que, quando se consideram bases diferentes de um espaço vetorial, as 
coordenadas de um mesmo vetor são diferentes (em geral). 
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2) O item (a) do exemplo anterior mostrou que as coordenadas do vetor ( )851 −−= ,,v , em 
relação à base canônica do 3ℜ , são as próprias coordenadas do vetor. Esse resultado é 
sempre verdadeiro: considerado um espaço vetorial V qualquer, as coordenadas de um vetor 
qualquer de V, em relação à base canônica de V, coincidem com as próprias coordenadas do 
vetor. A menos que se diga algo em contrário, considerar-se-ão as coordenadas de um vetor 
dado sempre em relação à base canônica do espaço ao qual ele pertence. 
3) Considere-se o espaço vetorial real ( )ℜ2P , com as operações usuais de adição de polinômios 
e multiplicação por escalar e o polinômio ( ) 242 tttp ++= deste espaço. Determinar suas 
coordenadas em relação à base { }232112 tt,t,B −+−−= . 
É preciso lembrar que todo elemento de um espaço vetorial é chamado de “vetor”. Assim, 
deve-se escrever o vetor dado como combinação linear dos vetores da base, isto é, escreve-
se: 
( ) ( ) ( ) ( )22 3211242 ttctbatttp −++−+−=++= , 
ou seja, 
( ) ( ) ( ) 22 32242 tctcbcbatt −++−+++−=++ . 
Da igualdade de polinômios, vem: 





=−
=+−
=++−
13
42
22
c
cb
cba
, 
de onde se segue que 
2
7
−=a , 
3
14
−=b e 
3
1
−=c , Assim, as coordenadas do vetor dado, em 
relação à base B, são: 
( )[ ]
















−
−
−
=
3
1
3
14
2
7
Btp . 
Exercícios Propostos 
1) Seja ( ){ }3213203332210 4e52 aaaaaa/PtatataaW −=−=ℜ∈+++= . Deter-minar uma 
base para W e sua dimensão. R: { } ( ) 2452 32 =+−−++= Wdim;tt,ttB 
2) Determinar uma base e a dimensão para UW + e UW ∩ , onde: 
( ){ }tzyx/t,z,y,xW 3e024 −==−ℜ∈= 
e 
( ){ }0224 =−+−ℜ∈= tzyx/t,z,y,xU 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
R: ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) 41000210010102001 =+−=+ UWdim;,,,,,,,,,,,,,,,B UW 
( ) 113
3
7
3
14
=∩












−=∩ UWdim;,,,B UW 
3) Seja ( )








−==ℜ∈





= cdba/M
dc
ba
W e22 . Determinar uma base para W e sua dimensão. 
Estender a base de W para obter uma base de ( )ℜ2M . 
R: 














−






=
11
00
00
12
,BW ; ( )


























−






=ℜ 10
00
00
01
11
00
00
12
2
,,,BM 
4) Seja S o espaço das soluções do sistema linear ( )L . Determinar uma base para S e sua 
dimensão. 
( )







=++
=+++−
=+−+−
=+++
0756
0342
033
022
tzy
tzyx
tzyx
tzyx
:L R: ( ) ( ){ } ( ) 260750657 =−−−−= Sdim;,,,,,,,B 
5) Mostre que o espaço vetorial real 3ℜ é soma direta dos subespaços: 
 ( ){ }0523 =+−ℜ∈= zyx/z,y,xV e ( )






=
−
=ℜ∈= z
yx
/z,y,xW
12
3 .