AL_EXERCICIOS

Prévia do material em texto

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
 
EXERCÍCIOS GERAIS 
1) Mostrar que, para qualquer escalar k e quaisquer vetores u e v, ( ) kvkuvuk −=− . 
2) Sejam: ℜ⊂X um conjunto não vazio e um corpo K. Mostrar que o conjunto V das funções 
definidas em X e tomando valores em K, munido das operações: 
(i) ( )( ) ( ) ( )xgxfxgf +=+ , Vg,f ∈∀ , Xx ∈∀ 
(ii) ( )( ) ( )xkfxkf = , Vf ∈∀ , Kk ∈∀ , Xx ∈∀ 
é um espaço vetorial sobre K. 
3) Mostrar que o conjunto ( ){ }ℜ∈= b,a/b,aV não é um espaço vetorial sobre ℜ , em relação 
a cada uma das operações de adição e multiplicação por escalar em V, definidas a seguir: 
(a) ( ) ( ) ( )db,cad,cb,a ++=+ e ( ) ( )b,kab,ak = 
(b) ( ) ( ) ( )b,ad,cb,a =+ e ( ) ( )kb,kab,ak = 
(c) ( ) ( ) ( )db,cad,cb,a ++=+ e ( ) ( )bk,akb,ak 22= 
4) Mostrar que W é subespaço de 3ℜ , em cada um dos casos seguintes: 
(a) ( ){ }ℜ∈= b,a/,b,aW 0 
(b) ( ){ }0=++= cba/c,b,aW 
5) Escrever o vetor ( )521 ,,u −= como combinação linear dos vetores: 
( )1111 ,,v = ; ( )3212 ,,v = ; ( )1123 ,,v −= . R.: 321 236 vvvu ++−= 
6) Seja V o espaço vetorial real das funções ℜ→ℜ:f . 
(a) Considerando-se ( ) tetf 2= , ( ) 3ttg = e ( ) tth = , pergunta-se: os vetores { }h,g,f são LI ou 
LD? R.: LI 
(b) O conjunto { }tt e,e 2 é LI ou LD? R.: LI 
7) Se os vetores u, v e w são LI, mostrar que são LI: 
(a) { }wvu,vu,vu +−−+ 2 
(b) { }wvu,vu,u +++ 
8) Demonstrar que: vu + e vu − são LI ⇔ u e v são LI . 
9) Considerando-se o espaço vetorial real 3ℜ , pergunta-se: os vetores ( )0111 ,,v = ; 
( )1122 ,,v = e ( )1343 ,,v = são LD ou LI? R.: LD 
10) Considerem-se o espaço vetorial complexo CCCC sobre o corpo K e os vetores i e 1−i . 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
(a) Mostrar que esses vetores são LD, quando se considera CCCC como um espaço vetorial sobre 
o corpo CCCC=K . 
(b) Mostrar que esses vetores são LI, quando se considera CCCC como um espaço vetorial sobre o 
corpo ℜ=K . 
11) Seja ( )ℜ3P o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 com coeficientes 
reais. Verificar se são LI ou LD os vetores: 153 23 ++−= tttu ; 5942 23 ++−= tttv e 
2823 ++−= tttw . R.: LI 
12) Sejam { }ne,,e,e L21 vetores LI. Se u é combinação linear desses vetores, isto é, se 
nneaeaeau +++= L2211 , demonstrar que essa representação é única. 
13) Escrever a matriz 





=
2- 1
1- 3
A como combinação linear das seguintes matrizes: 






−
=
10
11
1M ; 





−
=
01
11
2M ; 




 −
=
00
11
3M R.: 321 22 MMMA +−= 
14) Determinar uma base e a dimensão do espaço das soluções ( )∗S do sistema linear 
( )





0 = t - z 
0 = t + y + 2x
0 = t - z - y - x 
:S . R.: base: { }3351 ,,,B −= ; ( ) 1=∗SDim 
15) Verificar se os seguintes conjuntos de vetores formam uma base do 3ℜ : 
(a) ( ) ( ){ }511111 ,,,,, − R.: não 
(b) ( ) ( ) ( ) ( ){ }212013101321 −−− ,,,,,,,,,,, R.: não 
(c) ( ) ( ) ( ){ }112321111 ,,,,,,,, − R.: sim 
(d) ( ) ( ) ( ){ }435521211 ,,,,,,,, R.: não 
16) Seja W o subespaço do 4ℜ gerado pelos vetores ( )3521 −− ,,, ; ( )4132 −,,, e ( )5383 −− ,,, . 
(a) Encontrar uma base e a dimensão de W. R.: ( ) ( ){ }29703521 ,,,,,,, −−− ; ( ) 2=WDim 
(b) Estender a base de W para uma base do 4ℜ . 
R.: ( ) ( ) ( ) ( ){ }1000010029703521 ,,,,,,,,,,,,,,, −−− 
17) Considere-se o espaço vetorial real ( )ℜ3P de todos os polinômios com coeficientes reais de 
grau menor ou igual a 3. Determinar as coordenadas do polinômio ( ) 321 tttp −+= em 
relação: 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
(a) à base canônica de ( )ℜ3P . R.: ( )[ ]














−
=
1
0
2
1
Ctp 
(b) à base { }32 1111 t,t,t,B −−−= R.: ( )[ ]














−
=
1
0
2
2
Btp 
18) Seja CCCC o espaço vetorial complexo sobre o corpo ℜ=K . Determinar as coordenadas do 
vetor iz 21 −= em relação à base { }i,iB +−= 11 . R.: [ ]












−
=
2
1
2
3
Bz 
19) A matriz de mudança de uma base B do 2ℜ para a base ( ) ( ){ }2011 ,,, deste mesmo espaço 
é 





32
01
. Determinar a base B. R.: 


















−=
3
2
0
3
1
1 ,,,B 
20) Encontrar a dimensão e uma base do espaço de soluções do sistema: 





0 = 5t + s + 8z + 6y + 3x
0 = t + s+ 3z + 2y + x 
0 = 3t+ s - 2z + 2y + x 
 . R.: ( ) ( ) ( ){ }10207012050012 ,,,,,,,,,,,,, −−− 
21) Determinar quais subconjuntos de nℜ são subespaços: 
(a) ( ){ }0121 ≥x/x,,x,x( nL R.: não 
(b) ( ){ }02 2121 =+ xx/x,,x,x nL R.: sim 
(c) ( ){ }12 2121 =+ xx/x,,x,x nL R.: não 
22) Demonstrar que W não é subespaço vetorial do espaço vetorial ( )ℜ2M das matrizes de 
ordem 2 sobre ℜ , onde: 
(a) W consiste de todas as matrizes cujo determinante é nulo; 
(b) W consiste de todas as matrizes A para as quais AA =2 . 
23) Sejam ( ){ }0=++= cba/c,b,aU , ( ){ }0=−= ca/c,b,aV ( ){ }ℜ∈= c/c,,W 00 
subespaços do 3ℜ . Demonstrar que são verdadeiras as somas abaixo. Quando a soma é 
direta? 
(a) VU +=ℜ3 R.: não é soma direta 
(b) WU +=ℜ3 R.: é soma direta 
(c) WV +=ℜ3 R.: é soma direta 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
24) Seja 4ℜ⊂M tal que ( ) ( )[ ]43210111 ,,,,,,,M = . Calcular a dimensão de M e determinar uma 
base do 4ℜ que contenha uma base de M. 
R.: ( ) 2=Mdim ; base: ( ) ( ) ( ) ( ){ }4321011101000010 ,,,,,,,,,,,,,,, 
25) Mostrar que: ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]1110331211010011 −−−= ,,,,,,,,,,,,,, . 
26) Sejam ( ) ( ) ( )[ ]644402023121 ,,,,,,,,,,,V −−= e ( ) ( )[ ]30200101 ,,,,,,,W = subconjuntos do 4ℜ . 
Mostrar que V e W geram o mesmo subespaço. 
27) Considere-se o espaço vetorial ( )ℜnP dos polinômios de grau menor ou igual a n com 
coeficientes reais. Sejam: 
( ) ( ) ( ){ }011 =ℜ∈= p/PxpW n e ( ) ( ) ( ){ }022 =ℜ∈= p/PxpW n . 
Determinar 21 WW ∩ e 21 WW + . 
28) Considere-se o corpo ℜ dos números reais como espaço vetorial sobre o corpo Q dos 
números racionais. Mostrar que os conjuntos { }3 21 ,, e { }33 24 22 −+− ,, geram o 
mesmo subespaço de ℜ . 
29) Considerem-se os seguintes subespaços do 4ℜ : { }0=++= dcb/d,c,b,aU e 
( ){ }dceda/d,c,b,aW 20 ==+= . Calcular uma base e a dimensão dos subespaços: U, W, 
WU + e WU ∩ . 
R.: base de U: ( ) ( ) ( ){ }101001100001 ,,,,,,,,,,, −− ; ( ) 3=Udim ; 
base de W: ( ) ( ){ }12010010 ,,,,,,, − ; ( ) 2=Wdim ; 
base de WU + : ( ) ( ) ( ) ( ){ }1000110001100001 ,,,,,,,,,,,,,,, −− ; ( ) 4=+ WUdim ; 
base de WU ∩ : ( ){ }1231 ,,,−− ; ( ) 1=∩WUdim 
30) Determinar as coordenadas do vetor ( ) 3412 ℜ∈= ,,u em relação às bases: 
(a) canônica R.: [ ]










=
4
1
2
Cu 
(b) ( ) ( ) ( ){ }101101111 −= ,,,,,,,,B R.: [ ]










−
=
1
2
1
Bu 
31) Determinar as coordenadas da matriz ( )ℜ∈





2
0 2
1- 1
M em relação à base: 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
































=
2 1
0 0
 
0 2
0 0
 
0 0
1 0
 
1 0
0 1
,,,B R.: ( )[ ]













−
−
=
2
1
4
5
1
1
Bt(p 
32) Determinar a matriz de mudança da base ( ) ( ) ( ){ }300010011 ,,,,,,,,B = para a base canônica 
do 3ℜ . R.: [ ]










−=
3
100
011
001
B
CM 
33) Considerem-se as bases { }321 e,e,eB = e { }321 g,g,gC = do 3ℜ , relacionadas da 
seguinte forma: 





++=
++=
+=
3213
3212
311
2
2
eeeg
eeeg
eeg
. 
Determinar a matriz de mudança da base B para C e de C para B. 
R.: [ ]










==
111
210
121
PM
B
C ; [ ]












−
−
−−
== −
2
1
2
1
2
1
2
3
2
1
2
1
1 101PM CB 
34) Considere-se o espaço vetorial ( )ℜ2P dos polinômios de grau menor ou igual a 2 com 
coeficientes reais. A matriz de mudança da base { }211 t,tB −+= para uma base C desse 
espaço é 





− 11
21
. Determinar a base C. 
R.: { }t,C 312 += 
35) Verificar quais das aplicações abaixo são transformações lineares: 
(a) 22 ℜ→ℜ:T , definida por ( ) ( )x,yxy,xT += R.: sim 
(b) ℜ→ℜ3:T , definida por ( ) zyxz,y,xT 432 +−= R.: sim 
(c) ℜ→ℜ2:T , definida por ( ) xyy,xT = R.: não 
36) Seja ℜ→ℜ2:T a transformação linear tal que ( ) 311 =,T e ( ) 210 =,T . Determinar a 
expressão de ( )y,xT . R.: ( ) yxy,xT 2+= 
37) Seja 34 ℜ→ℜ:T a transformação linear definida por: 
( ) ( )tzyx,tzx,tzyxt,z,y,xT −++−+++−= 32 . 
Encontrar uma base e a dimensão de: 
(a) ( )TIm R.: base: ( ) ( ) ( ){ }200210111 ,,,,,,,,B = ; ( )( ) 3=TImdim 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
(b) ( )TKer R.: base: ( ){ }0112 ,,,B −−= ; ( )( ) 1=TKerdim 
38) Determinar a expressão da transformação linear 23 ℜ→ℜ:T tal que: 
( ) ( )22111 ,,,T = , ( ) ( )11101 ,,,T = e ( ) ( )11101 −=− ,,,T . R.: ( ) ( )zy,yxz,y,xT ++= 
39) Seja 33 ℜ→ℜ:T o operador linear definido por: 
( ) ( )zyx,zy,zyxz,y,xT 22 −++−+= . 
Encontrar uma base e a dimensão de: 
(a) ( )TIm R.: base: ( ) ( ){ }110101 −= ,,,,,B ; ( )( ) 2=TImdim 
(b) ( )TKer R.: base: ( ){ }113 ,,B −= ; ( )( ) 1=TKerdim 
40) Determinar uma transformação linear 34 ℜ→ℜ:T cujo núcleo é gerado pelos vetores 
( )4321 ,,, e ( )1110 ,,, . R.: ( ) ( )zyx,zyx,t,z,y,xT ++−+−−= 0 
41) Determinar uma transformação linear 33 ℜ→ℜ:T cuja imagem é gerada pelos vetores 
( )321 ,, e ( )654 ,, . R.: ( ) ( )yx,yx,yxz,y,xT 63524 +++= 
42) Sejam 23 ℜ→ℜ:F e 23 ℜ→ℜ:G transformações lineares definidas por: 
( ) ( )zy,xz,y,xF += 2 e ( ) ( )y,yxz,y,xG −= . 
Encontrar as expressões que definem as transformações: 
(a) GF + R.: ( )( ) ( )zy,yxz,y,xGF +−=+ 23 
(b) F3 R.: ( )( ) ( )zy,xz,y,xF 3363 += 
(c) GF 52 − R.: ( )( ) ( )zy,yxz,y,xGF 23552 +−+−=− 
43) Sejam 23 ℜ→ℜ:F e 22 ℜ→ℜ:G transformações lineares definidas por: 
( ) ( )zy,xz,y,xF += 2 e ( ) ( )x,yy,xG = . 
Determinar, se possível, as expressões de: GF o e FG o . 
R.: ( )( ) ( )x,zyz,y,xFG 2+=o ; GF o não está definida 
44) Sejam 22 ℜ→ℜ:F e 22 ℜ→ℜ:G transformações lineares definidas por: 
( ) ( )x,yxy,xF −= e ( ) ( )0,xy,xG = . 
Determinar, se possível, as expressões de: 
(a) GF 32 + R.: ( )( ) ( )x,yxy,xGF 22532 −=+ 
(b) GF o R.: ( )( ) ( )x,xy,xGF =o 
(c) FG o R.: ( )( ) ( )0,yxy,xFG −=o 
(d) 2F R.: ( )( ) ( )yx,yy,xF −−=2 
(e) 2G R.: ( )( ) ( )02 ,xy,xG = 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
45) Determinar a representação matricial de cada um dos seguintes operadores do 2ℜ , em 
relação às bases indicadas: 
(a) ( ) ( )xy,xy,xT −= 32 ; base canônica do 2ℜ R.: [ ] 





−
=
31
02
CT 
(b) ( ) ( )yx,yxy,xT 543 +−= ; base ( ) ( ){ }3221 ,,,B = R.: [ ] 





−−
=
2921
5237
BT 
46) Determinar o operador linear 22 ℜ→ℜ:T cuja matriz em relação à base ( ) ( ){ }2111 ,,,B = é 






2 1
0 1
. R.: ( ) ( )yx,xy,xT += 22 
47) Seja T o operador linear 22 ℜ→ℜ:T cuja matriz em relação à base ( ) ( ){ }1111 −= ,,,B é 






5 0
0 1
. Determinar a matriz de T em relação à base canônica do 2ℜ . R.: [ ] 





−
−
=
32
23
CT 
48) Sejam 32 ℜ→ℜ:F e 32 ℜ→ℜ:G transformações lineares tais que 
( ) ( )y,yx,xy,xF 2−= e que a matriz de GF + em relação às bases canônicas do 2ℜ e 3ℜ é 










33
10
12
. Determinar a matriz de G em relação a essas bases e a expressão da ( )y,xG . 
R.: [ ]










−=
13
21
11
G ; ( ) ( )yx,yx,yxy,xG ++−+= 32 
49) Considere-se o espaço vetorial ( )ℜ2M das matrizes de ordem 2 sobre ℜ . Sejam: 






−
−
=
22
11
M um elemento desse espaço e ( ) ( )ℜ→ℜ 22 MM:T a transformação linear 
definida por ( ) MAAT = , ( )ℜ∈∀ 2MA . Encontrar uma base e a dimensão de: 
(a) ( )TKer R.: base: 




















=
10
10
01
01
,B ; ( )( ) 2=TKerdim 
(b) ( )TIm R.: base: 














−






−
=
20
10
02
01
,B ; ( )( ) 2=TImdim 
50) Mostrar, em cada caso, que o operador linear 33 ℜ→ℜ:T é inversível e determinar uma 
expressão para 1−T : 
(a) ( ) ( )z,zy,zyxz,y,xT 423 −−−= R.: ( ) ( )z,zy,zyxz,y,xT 41431 +++=− 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
(b) ( ) ( )y,zx,zxz,y,xT −+= R.: ( ) 




 −+
=−
22
1 yx,z,
yx
z,y,xT 
51) Determinar quais dos operadores lineares 33 ℜ→ℜ:T são automorfismos: 
(a) ( ) ( )z,zy,zyxz,y,xT 423 −−−= R.: sim 
(b) ( ) ( )zyx,yx,xz,y,xT −+−= 2 R.: sim 
52) Considere-se o operador linear 33 ℜ→ℜ:T satisfazendo as seguintes condições: 
( ) ( )111001 ,,,,T = , ( ) ( )101010 ,,,,T = e ( ) ( )400210 ,,,,T = . 
Pergunta-se: T é um isomorfismo? Caso seja, determinar o isomorfismo inverso. 
R.: sim; ( ) 




 +−+−
=−
24
431 zx,
zyx
,yz,y,xT 
53) Seja ( ) ( )ℜ→ℜ 22 MP:T tal que ( ) 





+
+
=++
211
1002
21
a
aa
aa
a
tataaT o . Determinar a matriz de 
T em relação à base { }2211 t,t, ++ do espaço ( )ℜ2P e à base 




















−











−
30
00
01
00
00
10
00
12
,,, do espaço ( )ℜ2M . R.: 
















−
−−−
=
3
1
3
1
2
5
2
3
2
1
2
1
0
010
3
1
P 
54) Sejam { }21 e,eB = uma base do espaço vetorial V e VV:T → o operador linear para o 
qual se têm: ( ) 211 23 eeeT −= e ( ) 212 4eeeT += . Se { }21 f,fC = é uma base de V para a qual 
se têm 211 eef += e 212 32 eef += , encontrar a matriz de T em relação à base C. 
R.: 





1- 2-
11 8 
 
55) Encontrar todos os autovalores e uma base para cada um dos autoespaços seguintes: 
(a) 22 ℜ→ℜ:T , definido por: ( ) ( )yx,yxy,xT 533 ++= 
R.: 21 =λ ; base de ( )1λV : ( ){ }131 −= ,B ; 62 =λ ; base de ( )2λV : ( ){ }112 ,B = 
(b) 33 ℜ→ℜ:T , definido por: ( ) ( )zy,zy,zyxz,y,xT 322 ++++= 
R.: 11 =λ ; base de ( )1λV : ( ) ( ){ }1100011 ,,,,,B −= ; 42 =λ ; base de ( )2λV : ( ){ }2112 ,,B = 
56) Para cada matriz abaixo, encontrar todos os autovalores e os autovetores: 
(a) 





3 1
2 2
 R.: 11 =λ ; ( )121 −= ,v ; 42 =λ ; ( )112 ,v = 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERARLuiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
(b) 










311
242
113
 R.: 21 =λ ; ( )0111 ,,v −= e ( )1012 −= ,,v ; 62 =λ ; ( )1213 ,,v = 
57) Mostrar que o operador linear 33 ℜ→ℜ:T cuja matriz é dada por 










−
−
−
7816
438
449
 é 
diagonalizável e exibir sua matriz na forma diagonal. R.: 










−
−
300
010
001
 
58) Verificar quais dos operadores lineares abaixo é diagonalizável. Exibir a matriz dos que 
forem diagonalizáveis em relação à base de autovetores. 
(a) ( ) ( )zx,zyx,zxz,y,xT 3222 +−++= 
R.: é diagonalizável; [ ]










=
400
020
001
BT , ou 










200
040
001
 ou L










400
010
002
 
(b) ( ) ( ) ( )taaaataaT 101010 7968 −+−=+ 
R.: é diagonalizável; [ ] 





−
=
10
02
BT ou 




−
20
01
 
59) Considere-se o operador linear ( ) ( )TSMTSM:T 22 → , onde ( )TSM2 é o espaço vetorial das 
matrizes triangulares superiores de ordem 2, cuja base canônica é 


























=
10
00
00
10
00
01
,,C . 
Mostrar que o operador linear 





++−
=





cba
ba
c
ba
T
30
33
0
 é diagonalizável e exibir sua matriz 
em relação à base de autovetores. 
R.: é diagonalizável; [ ]










=
100
030
003
BT ou 










300
030
001
 
60) Verificar quais dos operadores lineares abaixo é diagonalizável. Exibir a matriz dos que 
forem diagonalizáveis em relação à base de autovetores. 
(a) ( ) ( )zyx,zyx,zyxz,y,xT −−−+++= 
R.: é diagonalizável; [ ]










−
=
200
020
001
BT ou 










−
200
020
001
 ou L










− 200
010
002
 
(b) ( ) 




 +−
=
4
32
4
6 yx
,
yx
y,xT 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
R.: é diagonalizável; [ ] 







=
10
0
4
5
BT ou 







4
50
01
 
(c) ( ) ( )z,zy,zyxz,y,xT 2352 −−+−= R.: não é diagonalizável 
(d) ( ) ( )zyx,zyx,zyxz,y,xT ++++++= 332232 
R.: é diagonalizável; [ ]










−
−=
200
010
006
BT ou 










−
−
100
020
006
 ou L










−
−
600
010
002
 
(e) ( ) ( ) ( ) ( ) 22102102102210 3 taaataaaaaatataaT ++−+−++++=++ 
R.: é diagonalizável; [ ]










=
200
020
001
BT ou 










100
020
002