calculo-aula27-100716092715-phpapp01

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MAT – 001 – CÁLCULO 1 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
CÁLCULO 1 – AULA 27 
 
 
3.17 – CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES: 
 
3.17.1 – Funções Crescentes e Decrescentes: 
 
Neste item procuraremos empregar o conceito de derivadas para identificar funções 
crescentes ou decrescentes. 
Porém, é necessário primeiramente definir Função Crescente e Função Decrescente. 
Seja a função definida pela lei ( )xfy = , que seja contínua num intervalo ℜ⊂I e seja 
0
x um 
ponto desse intervalo. 
Então definimos: 
 
A – Função Crescente: 
 
Para todo 
( ) ( )
( ) ( )


>⇒>
<⇒<
∈
00
00
:
xfxfxxse
xfxfxxse
Ix , então dizemos que a função é crescente neste 
intervalo. 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
0 x 0x x 
( )xf 
( )
0
xf 
( )xf 
( )xfy = 
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Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
B – Função Decrescente: 
 
Para todo 
( ) ( )
( ) ( )


<⇒>
>⇒<
∈
00
00
:
xfxfxxse
xfxfxxse
Ix , então dizemos que a função é decrescente neste 
intervalo. 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.17.2 – Intervalos de Crescimento e Decrescimento de Funções: 
 
Podemos identificar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função definida 
pela lei ( )xfy = simplesmente analisando os sinais de sua derivada ( )xf ′ . 
Seja ( )xfy = uma função crescente num intervalo ℜ⊂I e vamos tomar retas tangentes à 
curva dessa função em pontos variados deste intervalo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
0 x 0x x 
( )xf 
( )
0
xf 
( )xf 
( )xfy = 
y 
x 
0 
α α α 
( )xfy = 
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Neste caso, percebemos que 




∈
2
,0
π
α e 0>αtg . 
Vamos, agora, repetir este procedimento, considerando que a função ( )xfy = seja 
decrescente num intervalo ℜ⊂I . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, percebemos que 




∈ π
π
α ,
2
 e 0<αtg . 
De acordo com a Interpretação Geométrica da Derivada, ( ) αtgxf =′ para todo ponto x do 
Domínio da função onde ela é derivável. 
Portanto, para um intervalo ℜ⊂I onde a função é contínua, podemos concluir que: 
 
 
 
 
 
Assim, para identificarmos os intervalos de crescimento ou decrescimento de uma função 
( )xf , basta estudarmos os sinais de sua derivada ( )xf ′ . 
 
EXEMPLOS: 
 
01) Identificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função ( ) 76
2
5
3
23
−+−= x
xx
xf . 
 
y 
0 
x 
α α α 
( )xfy = 
( ) ( )
( ) ( ) IemedecrescentéxfentãoIemxfSe
IemcrescenteéxfentãoIemxfSe
,0
,0
<′
>′
 
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Temos: ( ) 652 +−=′ xxxf 
Como a derivada é um polinômio de 2o grau e devemos estudar os seus sinais, vamos 
primeiramente achar as suas raízes. 
Para 0652 =+− xx temos 2=x ou 3=x . 
Estudo de Sinais: 
 
 
Concluímos que: 
• ( )xf é crescente para 2<x ou 3>x ; 
• ( )xf é decrescente para 32 << x . 
 
02) Estudar os intervalos de crescimento e decrescimento da função ( ) 12492 23 +−−= xxxxf . 
Temos: ( ) 24186 2 −−=′ xxxf 
Resolvendo a equação ( ) 0=′ xf , temos as raízes: 1−=x e 4=x . 
Estudo de Sinais: 
 
 
Concluímos que: 
• ( )xf é crescente para 1−<x ou 4>x ; 
• ( )xf é decrescente para 41 <<− x . 
 
03) Estude a função ( )
3
3
−
+
=
x
x
xf quanto ao seu crescimento ou decrescimento. 
Temos: ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )22 3
6
3
3.13.1
−
−
=′⇒
−
+−−
=′
x
xf
x
xx
xf 
Estudo de Sinais: 
 
 
 
 
 
+++++++−−−−−−−−−++++++ 
2 3 
x ( )xf ′ 
+++++++−−−−−−−−−++++++ 
1− 4 
x ( )xf ′ 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
+++++++++++++ +++++++++++ 
 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
3 
3 
x 
x 
x 
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Percebemos que a derivada ( )xf ′ é negativa para todos os pontos do Domínio desta função. 
Portanto, a função dada é estritamente decrescente (ou monótona) no seu domínio. 
 
3.18 – MÁXIMOS E MÍNIMOS RELATIVOS: 
 
3.18.1 – Definições: 
 
Seja ( )xfy = uma função contínua num intervalo ℜ⊂I e seja Ix ∈
0
. 
Então definimos: 
 
A – Máximo Relativo: 
 
A função ( )xfy = tem Máximo Relativo no ponto 
0
x se ( ) ( )
0
xfxf < para todo x nas 
vizinhanças de 
0
x . 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
x = ponto de Máximo Relativo 
 ( )
0
xf = Máximo Relativo 
 
 
y 
x 
0 x 
0
x x 
( )
0
xf 
( )xf 
( )xfy = 
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B – Mínimo Relativo: 
A função ( )xfy = tem Mínimo Relativo no ponto 
0
x se ( ) ( )
0
xfxf > para todo x nas 
vizinhanças de 
0
x . 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
x = ponto de Mínimo Relativo 
 ( )
0
xf = Mínimo Relativo 
Observação: 
Os pontos de Máximo ou Mínimo Relativos são chamados de extremantes e os valores 
Máximo e Mínimo Relativos são chamados de extremos. 
 
0
x = Extremante 
 ( )
0
xf = Extremo 
EXEMPLO: 72492 23 +−−= xxxy 
 
 
 
 
 
 
 
y 
0 x 0x x 
( )
0
xf 
( )xf 
x 
( )xfy = 
y 
x 
0 1− 
20 
4 
105− 
72492
23 +−−= xxxy 
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Conclusões: 
1−=x ⇒ Ponto de Máximo Relativo 20=y ⇒ Máximo Relativo 
4=x ⇒ Ponto de Mínimo Relativo 105−=y ⇒ Mínimo Relativo 
 
3.18.2 – Teorema de Fermat: 
 
O Teorema de Fermat é importante para o estudo de Máximos e Mínimos Relativos, porque 
ele é o primeiro passo que se deve dar para a determinação dos extremantes de uma função, 
quando eles existem. 
Este Teorema afirma que: 
 
“Se 
0
x é extremante de uma função ( )xf e se existe ( )
0
xf ′ , então ( ) 0
0
=′ xf .” 
 
Demonstração: 
 
Conforme é do nosso conhecimento, todo Teorema é composto de Hipóteses e Teses. As 
Hipóteses são as afirmações que são feitas e consideradas verdadeiras. Tese é aquilo que se 
quer provar a partir das Hipóteses. 
No nosso caso, as Hipóteses são: 
• 
0
x é extremante da função ( )xf (ponto de Máximo ou Mínimo Relativo); 
• ( )
0
xf ′ existe 
Nestas condições, a Tese a ser provada é que ( ) 0
0
=′ xf . 
Vamos admitir que ( )
0
xf ′ fosse diferente de zero. 
Desta forma, temos dois casos a considerar: 
 
1o Caso: ( ) 0
0
>′ xf 
Se ( ) 0
0
>′ xf então, por definição, a função ( )xfy = é crescente nas vizinhanças de 
0
x . 
Neste caso, podemos admitir dois valores 
1
x e 
2
x nas vizinhanças do ponto 
0
x , de modo que 
se tenha: ( ) ( ) ( )
201201
xfxfxfxxx <<⇒<< . 
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Como ( ) ( )
01
xfxf < e ( ) ( )
02
xfxf > então não podemos afirmar que 
0
x seja extremante da 
função ( )xfy = . 
Logo, ( )
0
xf ′ não pode se maior que zero. 
 
2o Caso: ( ) 0
0
<′ xf 
Se ( ) 0
0
<′ xf então, por definição, a função ( )xfy = é decrescentenas vizinhanças de 
0
x . 
Neste caso, podemos admitir dois valores 
1
x e 
2
x nas vizinhanças do ponto 
0
x , de modo que 
se tenha: ( ) ( ) ( )
201201
xfxfxfxxx >>⇒<< . 
Como ( ) ( )
01
xfxf > e ( ) ( )
02
xfxf < então não podemos afirmar que 
0
x seja extremante da 
função ( )xfy = . 
Logo, ( )
0
xf ′ não pode se menor que zero. 
Concluímos, finalmente, que ( )
0
xf ′ só pode ser igual a zero. 
 
EXEMPLO: 
 
Na aula anterior mostramos que a função definida por ( ) 72492 23 +−−= xxxxf tinha como 
extremantes os valores 1−=x (ponto de Máximo Relativo) e 4=x (ponto de Mínimo Relativo). 
Temos: ( ) 24186 2 −−=′ xxxf 
 
Para ( ) ( ) 012418611 =−′⇒−+=−′⇒−= ffx 
 
Para ( ) ( ) 0424729644 =′⇒−−=′⇒= ffx 
 
Observações: 
 
O1: O Teorema de Fermat afirma que uma condição necessária para que 0x seja extremante 
de uma função ( )xf é que ( ) 0
0
=′ xf . 
Porém, esta condição não é suficiente, ou seja, o fato de se ter ( ) 0
0
=′ xf não implica, 
necessariamente, que 
0
x é um extremante da função. 
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Consideremos, por exemplo, a função ( ) 3xxf = . 
Temos: ( ) 23xxf =′ 
Para ( ) 000 =′⇒= fx 
Observamos que a derivada é nula quando 0=x . 
Entretanto, para ( ) 00 >′⇒< xfx e para ( ) 00 >′⇒> xfx . 
Isto significa que a função é crescente nas vizinhanças do ponto 0=x , o que caracteriza 
que este ponto não pode ser extremante da função. 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Percebemos que a função é estritamente crescente, portanto não possui Máximo e nem 
Mínimo Relativos. 
O ponto 0=x , neste caso em particular, recebe o nome de Ponto de Inflexão Horizontal da 
função, isto é, ponto em que a curva muda de concavidade. 
 
O2: Os pontos em que se tem ( ) 0=′ xf são chamados de Pontos Críticos da função e são os 
possíveis pontos de Máximo ou Mínimo Relativos dessa função. 
 
y 
0 
x 
( ) 3xxf =