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Matemática Superior - UVB
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Aula 01
Definição intuitiva de Limite 
Objetivos da Aula
Os objetivos desta aula visam permitir a você trabalhar com 
problemas que envolvam cálculos mais complexos do dia-a-dia do 
administrador, identificando vários tipos de funções matemáticas 
como limites e continuidade de funções. Além disso, pretende-se 
discutir de modo sucinto as técnicas de derivações: interpretação 
do conceito de derivadas, derivação sucessiva, aplicações da 
derivada, máximos e mínimos; as equações diferenciais: definições 
e interpretações geométricas; e a integração de funções: 
indefinida e definida. Por último, iremos conceituar o limite de 
forma intuitiva.
Ao final desta aula, você deverá estar apto a compreender 
melhor certos cálculos complexos presentes no dia-a-dia do 
administrador, bem como deverá estar apto a identificar tipos de 
funções matemáticas fundamentais para a formação profissional 
em Administração. 
Introdução ao Cálculo
O século XVII foi extremamente produtivo para o desenvolvimento da 
matemática, graças em grande parte à invenção do cálculo, realizada 
por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz.
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Motivados pela resolução de problemas físicos (como encontrar 
a reta tangente a uma curva num dado ponto da curva) e também 
por problemas geométricos (como encontrar a área da região 
plana limitada por uma curva arbitrária), eles impulsionaram o 
desenvolvimento do cálculo, transformando-o em uma ferramenta 
indispensável para a solução de problemas práticos do nosso 
cotidiano, tais como:
•Como determinar a taxa de variação do lucro de uma empresa em 
relação ao tempo;
•Como determinar o crescimento populacional de uma cidade em 
relação ao tempo; 
•Como determinar a taxa de variação de vendas de um certo produto 
em relação à propaganda; 
•Como determinar o fluxo de renda futura acumulado por uma 
empresa em relação a um certo período de tempo.
Assim sendo, o estudo do problema da reta tangente motivou o 
desenvolvimento do cálculo diferencial, que se baseia no conceito 
de derivada de uma função. 
Por outro lado, o estudo do problema da área levou à criação do cálculo 
integral, que se baseia no conceito de antiderivada de uma função. 
Neste sentido, a formulação das definições de derivada e integral 
é baseada em um conceito mais fundamental: o de limite de uma 
função, que será apresentado a seguir, explorando-se inicialmente 
uma idéia intuitiva.
Limite na vida prática
Observemos algumas situações de nosso cotidiano nas quais estão 
presentes a idéia intuitiva de limite.
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1. Se o câmbio do dólar americano tende a estabilizar-se em 
torno de R$ 3,00 (3 reais), então o valor pago por 100 dólares 
estabiliza-se em R$ 300,00. Logo podemos falar que o limite 
( valor pago por 100 dólares) é igual a R$ 300,00, quando o 
valor pago por 1 dólar tende a R$ 3,00.
2. Imagine uma placa metálica quadrada que se expande 
uniformemente por ser aquecida. Se x é o comprimento 
do lado, a área da placa é dada por A = x². Evidentemente, 
quando x se avizinha de 3, a área da placa A tende a 9. 
Expressamos isto dizendo que quando x se aproxima de 3, 
x² se aproxima de 9 como um limite. 
Simbolicamente, escreveremos: onde a notação “ x -> 3 “ 
indica x tende a 3 e “ lim “ significa “ o limite de “. 
3. Suponhamos agora que você esteja dirigindo um automóvel.
Se o acelerador for calçado para baixo em torno de 2 cm, 
então a velocidade se manterá próxima aos 80 km/h. Logo, 
podemos dizer que o limite (a velocidade instantânea de 
automóvel) é igual a 80 km/h, quando o acelerador tender a 
2 cm para baixo.
 Matematicamente escrevemos esta situação por meio da 
seguinte expressão:
 onde v(x) é a velocidade instantânea do automóvel, e x é a 
medida em centímetros calcada no acelerador.
4. Para fechamos a idéia, considere v(t) = , a função 
que nos fornece a velocidade média de um carro.
 
Suponhamos que temos que calcular o valor de v(t), quando 
t se aproxima de 2 (sem atingí-lo). Observaremos que, à 
medida que os valores de t se aproximam de 2 pela direita 
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(valores maiores que 2) ou pela esquerda (valores menores 
que 2), os valores da velocidade média correspondentes 
também se aproximam cada vez mais de 16m/s.
Para melhor compreensão, observe a tabela e o gráfico:
Uma função f(x) tem limite L, quando x se aproxima de a, denotado 
por lim f(x) = L, logo, podemos fazer o valor de f(x) tão próximo 
do número L quanto x a quisermos, tomando x suficiente próximo 
(mas não igual) a “a”.
Então podemos concluir que, quando t se aproxima de 2 segundos 
tanto pela direita como pela esquerda, v(t) se aproxima de 16m/s, e 
escreveremos:
Observe que o ponto t=2 não pertence ao domínio da função v [ por 
esta razão , o ponto (2,16), indicado por um pequeno “salto”, não está 
definido no gráfico de v, mostrado acima ]. 
Isto, no entanto, é irrelevante porque o valor de v(t) em t=2 não 
desempenha nenhum papel no calculo de limite.
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Pelos exemplos expostos anteriormente, nos leva à seguinte definição 
informal de limite:
Observação Importante: Já sabemos que para t = 2 , a função 
v(x) = não está definida. Vejamos o que acontece se tentamos 
calcular o limite de v(x), quando x tende a 2, denotado por:
substituindo t = 2 nesta expressão, temos:
(resulta numa indeterminação)
Essa indeterminação pode ser contornada simplificando a expressão 
t² - 4 da seguinte forma:
t² - 4 = t² - 2² = (t - 2)(t + 2) (diferença de dois quadrados) substituindo 
a expressão fatorada na função limite, o termo (t -2) será cancelado, 
contornando assim a indeterminação:
v(x) = 4t + 8 é a forma fatorada da função mostrada no gráfico 
anteriormente.
Como podemos perceber para o estudo de limite, é fundamental que 
o aluno tenha conhecimento de algumas fatorações a fim de contornar 
as indeterminações. Vejamos agora alguns casos de fatoração:
Diferença de dois quadrados
(a² - b²) = (a - b)(a + b)
Exemplo: x² - 25 = x² - 5² = (x - 5)(x + 5)
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Trinômio quadrado perfeito
a² + 2ab + b² = (a + b)²
Exemplo: x² + 8x + 16 = (x + 4)²
a² - 2ab + b² = (a - b)²
Exemplo: x² - 6x + 9 = (x - 3)²
Soma de dois cubos
(a³ + b³) = (a + b)(a² - ab + b²) 
Exemplo: x³ + 8 = x³ + 2³ = (x + 2)(x² - 2x + 2²)
Diferença de dois cubos
(a³ - b³) = (a - b)(a² + ab + b²) 
Exemplo: x³ - 27 = x³ - 3³ = (x - 3)(x² + 3x + 3²)
Trinômio do 2º grau
Seja f(x) = ax² + bx + c = 0 e a 0. Se 0 e x’ e x’’ são as raízes da 
função f, então f(x) pode ser fatorada da seguinte forma:
f(x) = a(x - x’)(x - x’’)
As raízes de f(x) = ax² + bx + c podem ser determinadas pela fórmula 
de Bhaskara:
Exemplo: fatore o trinômio x² - 7x + 12.
Inicialmente, calcularemos as raízes da equação pela fórmula de 
Bhaskara:
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1o. passo: determinar o valor de (delta). Não se esqueça que tem 
que ser maior ou igual a zero, 
a equação não possui raízes reais. 
a = 1, b = - 7 e c = 12
2o. passo: Determinar as raízes pela fórmula de Bhaskara
3o. passo: Com as raízes determinadas x’ = 4 e x” = 3 , substituir pela 
forma fatorada da equação: 
a(x - x’)(x - x’’) = 1(x - 4)(x - 3) = (x - 4)(x - 3)
Finalmente, escreveremos a equação na forma fatorada, conforme 
abaixo: 
x² - 7x + 12 = (x - 4)(x - 3)
Atividade extra (Essencial para o entendimentoda próxima aula)
Simplifique as seguintes expressões:
Solução:
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O numerador é um trinômio do 2º grau que pode ser escrito na forma 
a(x - x’)(x - x’’), e inicialmente encontraremos as raízes da equação 
x² + x - 2.
1o. passo: Determinar o valor de (delta)
 a = 1, b = 1 e c = -2 
 = b² - 4ac
 = 1² - 4.1.(-2) = 1 + 8 = 9
2o. passo: Determinar as raízes pela fórmula de Bhaskara
3o. passo: Com as raízes determinadas x’ = 1 e x” = - 2 , substituir pela 
forma fatorada da equação:
a(x - x’)(x - x’’) = 1(x - 1)(x - ( -2)) = (x - 1)(x + 2)
Logo, x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2)
O denominador x² - 4 é uma diferença de dois quadrados, logo pode 
ser fatorado em: x² - 4 = x² - 2² = (x - 2)(x + 2).
Portanto, reescrevendo-se a expressão pela forma fatorada, resulta em:
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b)
Solução:
Inicialmente, vamos fatorar o numerador que é uma diferença de dois 
cubos: X³ - 64 = x³ - 4³ = (x - 4)(x² + 4x + 4²) = (x - 4)(x² + 4x + 16) 
Em seguida, substituiremos a forma fatorada pela expressão, 
resultando na seguinte simplificação:
Solução:
No numerador, temos um caso de fatoração chamado de fator comum.
Neste caso, colocaremos em evidência o fator comum da expressão, 
que é 5x, logo: 25x² + 5x = 5x(5x + 1)
Substituindo-se a forma fatorada pela expressão, resulta-se na 
seguinte simplificação:
 
 
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Resposta:
d) x + 3
e) x - 1
Nesta aula vimos como trabalhar com problemas que envolvem 
cálculos complexos, dando um enfoque especial às expressões 
matemáticas que incorporam limites e continuidade de funções. 
Vários tipos de cálculos foram exemplificados a fim de esclarecer sua 
praticidade no campo profissional do Administrador. 
Referências Bibliográficas
HARIKI, Seiji & ABDOUNUR, Oscar J. Matemática Aplicada: 
Administração, Economia, Contabilidade. São Paulo: Saraiva, 1999.
MEDEIROS DA SILVA, Sebastião et alii. Matemática para os cursos de 
economia, administração, ciências contábeis. vol. 1 - 5. São Paulo: 
Atlas, 1999.
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TAN, S.T. Matemática aplicada à administração e economia. São Paulo: 
IOB Thomson, 2001.
Sugestões Bibliográficas
BARBANTI, Luciano & MALACRIDA JR., Sergio A. Matemática Superior: Um 
primeiro curso de cálculo. São Paulo: Ed. Pioneira, 1999.
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. São Paulo: Harbra, 1994.
DANTE, L. ROBERTO. Matemática: contexto & aplicação. São Paulo: 
Ática,1999.
Links
http://www.math.com