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Aula 04 - Definição Intuitiva 
de Derivada. Interpretação 
Geométrica da Derivada. 
Objetivos da Aula
• Explorar a idéia intuitiva de derivada, por meio da idéia da taxa de 
variação de uma função;
• Interpretar geometricamente a definição de derivada de uma 
função;
• Favorecer o desenvolvimento da capacidade de interpretar e 
resolver problemas, relacionando o conteúdo à prática profissional.
Taxa de Variação
Velocidade e aceleração são conceitos que todos conhecemos. 
Quando dirigimos um carro, podemos medir a distância percorrida 
num certo intervalo de tempo. O velocímetro marca, a cada instante, 
a velocidade. Se pisarmos no acelerador ou no freio, percebemos que 
a velocidade muda. Então sentimos a aceleração.
Suponhamos que um corpo se move em linha reta e que s = s(t) 
represente o espaço percorrido pelo móvel até o instante t. Então no 
intervalo de tempo t = t1 - t, onde t1 = t + t, o corpo sofre um 
deslocamento.
 s = s(t1) – s(t).
 s = s(t + t) – s(t).
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Definimos a velocidade média nesse intervalo de tempo 
como o quociente
isto é, a velocidade média é o quociente do espaço percorrido pelo 
tempo gasto em percorrê-lo.
De forma geral, a velocidade média nada nos diz sobre a velocidade 
do corpo no instante t. Para obtermos a velocidade instantânea do 
corpo no instante t, calculamos sua velocidade média em instantes de 
tempo t cada vez menores. A velocidade instantânea, ou velocidade 
no instante t, é o limite das velocidades médias quando t se aproxima 
de zero, isto é,
Logo esse limite é a derivada da função s = s(t) em relação a t. 
Portanto,
Se f for uma função dada pela equação
 s=f(t)
e uma partícula se mover ao longo de uma reta, de tal forma que 
s seja o número de unidades da distância orientada da partícula a 
um ponto fixo na reta em t unidades de tempo, então a velocidade 
instantânea da partícula em t unidades de tempo será v unidades 
de velocidade, onde se a derivada existir.
Bem, já vimos que quando um corpo se move em linha reta de acordo 
com a equação do movimento s = s(t), a sua velocidade é dada por 
v = s’(t).
Sabemos que a velocidade representa a razão de variação do 
deslocamento por unidade de variação do tempo. Assim, a derivada 
s’(t) é a taxa de variação da funç ão s(t) por unidade de variação t.
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Toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. 
Dada uma função y = f(x), quando a variável independente varia de 
x a x = x, a correspondente variação de y será y = f(x+ x) – f(x). O 
quociente representa a taxa média de variação de y em relação a x.
A derivada é a taxa instantânea de 
variação ou simplesmente taxa de variação de y em relação a x.
A interpretação da derivada como uma razão de variação em 
aplicações práticas nas mais diversas ciências.
Analisaremos, agora, alguns exemplos de aplicações nas áreas de 
matemática, biologia, física e economia, sem deixar de enfatizar 
que existem outras áreas que utilizam as derivadas como 
ferramenta essencial.
Exemplos:
1º) Sabemos que a área de um quadrado é função de seu lado. 
Determinar:
(a) a taxa de variação média da área de um quadrado em relação 
ao lado quando este varia de 2,5 a 3 m;
(b) a taxa de variação da área em relação ao lado quando este 
mede 4 m.
Solução: 
Sejam A a área do quadrado e L seu lado. Sabemos que A = L².
(a) A taxa média de variação de A em relação a L quando L varia 
de 2,5 m a 3 m é dada por 
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(b) A taxa de variação da área em relação ao lado é dada por
Queremos calcular a taxa de variação instantânea quando Lo = 4 m, 
que pode ser determinada por
Então, a derivada da área A’(L0) em relação ao lado (L0) é igual a 2 L0. 
Assim quando L0 = 4, temos
Portanto, quando L0 = 4 m, a taxa de variação da área do quadrado 
será de 8 m² por variação de 1 metro do comprimento do lado.
2º) Um cubo de metal com aresta x é expandido uniformemente 
como conseqüência de ter sido aquecido. Calcule:
a) A taxa de variação média de seu volume em relação à aresta quando 
x aumenta de (i)[2 a 2,2cm], (ii)[2 a 2,1cm] e (iii)[2 a 2,01cm].
b) A taxa de variação instantânea de seu volume em relação à aresta 
no instante em que x = 2 centímetros. 
Solução:
a) Como o volume de um cubo é dado por V = x³, seja a função 
definida por f(x) = x³. Então, a taxa de variação média de V em relação 
a x quando este varia de x0 a x0 + x é:
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Na parte (i) vemos que quando o comprimento da aresta do cubo 
varia de 2 a 2,2 cm, a variação no volume é de 2,648 cm³ e a taxa de 
variação média do volume é 13,24 cm³ por centímetros de variação 
no comprimento da aresta. As interpretação para as partes (ii) e (iii) 
são similares.
 
b) Geralmente, se x varia de uma quantidade x de x0 para x0 
+ x centímetros, então, o volume y varia de uma quantidade 
correspondente. Conseqüentemente, a taxa de variação instantânea 
de y em relação a x é dado por
para x0 = 2, temos: 
3º) Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores 
de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia 
depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia de 
epidemia) é, aproximadamente, dado por
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(a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t0 = 4 ?
(b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t0 = 8 ?
(c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia ?
Solução: 
A taxa com que a epidemia se propaga é dada pela razão de variação 
da função em relação a t. 
Portanto, para um tempo t0 qualquer, essa taxa é dada por
(a) No tempo t0 = 4, temos 
Logo, no tempo t0 = 4, a moléstia está se alastrando à razão de 48 
pessoas por dia.
(b) No tempo t = 8, temos 
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Portanto no tempo t = 8 a epidemia está totalmente controlada.
(c) Como o tempo foi contado em dias, a partir do 1º dia de epidemia, 
o 5º dia correspondente à variação de t de 4 para 5. O número de 
pessoas atingidas pela moléstia durante o quinto dia será dado por
No item (a), vimos que no tempo t0 = 4 (início do 5º), a epidemia se 
alastra a uma taxa de 48 pessoas por dia. No item (c), calculamos que, 
durante o 5º, dia 43 pessoas serão atingidas. Essa diferença ocorreu 
porque a taxa de propagação da moléstia se modificou no decorrer 
do dia.
4) Se s=f(t) for uma posição de uma partícula que está se movendo em 
uma reta, então representa a velocidade média sobre um período 
de tempo t, e representa a velocidade instantânea (a taxa 
de variação do deslocamento em relação ao tempo). A posição da 
partícula é dada pela equação 
, onde t é medido em segundos e em metros.
(a) Encontre a velocidade no instante t;
(b) Qual é a velocidade depois de 2 s? Depois de 4 s?
Solução: 
(a) A velocidade no tempo t é dada pela a taxa de variação do 
deslocamento em relação ao tempo, ou seja, a derivada da função da 
posição.
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(b) A velocidade de 2 s é a velocidade instantânea quando t0 = 2, isto é,
e a velocidade de 4 s é a velocidade instantânea quando t0 = 4, isto é,
5º) Suponha que C(x) é o custo total que uma companhia incorre numa 
produção de x unidades de um certo produto. A função C é chamada de 
função custo. Se o número de itensproduzido estiver crescendo de x1 para 
x2,, o custo adicional será C = C (x1) - C (x2) e a taxa média de variação do 
custo será
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Solução: 
O limite dessa grandeza quando isto é, a taxa de variação 
instantânea de variação do custo em relação ao número de itens 
produzidos, é chamado de custo marginal pelos economistas:
Uma vez que x pode usualmente assumir somente valores inteiros, 
pode não fazer sentido tomar x, mas podemos sempre substituir C(x) 
por uma função aproximativa.
Uma vez que x pode usualmente assumir somente valores inteiros, 
pode não fazer sentido tomar x, mas podemos sempre substituir 
C(x) por uma função aproximativa.
Fazendo x = 1 e n muito grande (tal que x é pequeno comparado 
com n), temos 
Assim, o custo marginal de produção n unidades é aproximadamente 
igual ao custo da produção de mais uma unidade.
Em geral, é apropriado representar uma função custo por um polinômio
Onde a representa os custos gerais indiretos (aluguel, aquecimento, 
manutenção), e os outros termos representam o custo de matérias primas, 
mão-de-obra e assim por diante. (O custo das matérias primas pode 
ser proporcional a x, devido aos custos de horas extras e ineficiências 
envolvidas em operações de larga escala.)
Por exemplo, suponha que uma companhia estimou que o custo (em 
dólares) de produção de x itens é 
Então, a função custo marginal é
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O custo marginal no nível de produção de 500 itens é
Isso dá a taxa, segundo a qual os custos estão crescendo em relação ao 
nível de produção quando x = 500 e prediz o custo dos 501 primeiros 
itens é
6º) A administração da Companhia de Pneus Titan descobriu que a 
função demanda semanal para seus pneus Super Titan é dada por 
p=f(x)=144-x²]
onde p é medido em dólares e x é medido em milhares 
O gráfico da função demanda p=144-x²
a. Calcule a taxa de variação média do preço unitário do pneu se a 
quantidade em demanda estiver entre 5000 e 6000 pneus, entre 5000 
e 5100 pneus;
b. Qual a taxa de variação instantânea do preço unitário quando a 
quantidade em demanda é de 5000 unidades ?
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Solução:
a) A taxa de variação média do preço unitário do pneu, quando a 
quantidade em demanda está entre x e x + x é dada por
Para calcularmos a taxa de variação média quando a quantidade 
em demanda está entre 5000 e 6000 pneus (isto é, no intervalo 
[5,6]) , tomamos 
ou seja, -$11 por 1000 pneus.(Lembre-se de que x é medido em 
milhares). Analogicamente, tomando 
logo, concluímos que a taxa de variação média, quando as quantidades 
em demanda estão entre 5000 e 5100 e entre 5000 e 5010, são -$10,10 
e -$10;01 por 1000 pneus, respectivamente.
b. Quando a quantidade em demanda é de x unidades, a taxa de 
variação instantânea do preço unitário dos pneus é dada por
 usando o resultado da 
parte (a), vem:
Em particular, a taxa de variação instantânea do preço unitário do 
pneu, quando a quantidade em demanda é de 5000, é dada por -2(5), 
ou -$10 por 1000 pneus.
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Interpretação Geométrica da Derivada
Veremos inicialmente que a derivada representa a inclinação de uma 
curva num ponto.
Então vamos definir a inclinação de uma curva y=f(x) para, em 
seguida, encontrar a equação da reta tangente.
 
Seja y=f(x) uma curva definida no intervalo (a, b), na figura ao lado.
Sejam P(x1, y1) e Q(x2, y2) dois pontos distintos da curva .
Seja s a reta secante que passa pelos pontos P e Q. Considerando o 
triângulo retângulo PMQ, na figura, temos que a inclinação da reta s 
(ou coeficiente angular de s) é: 
Suponhamos agora que, mantendo P fixo, Q se mova sobre a curva 
em direção a P. Diante disto, a inclinação da reta secante s variará. A 
medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P, a inclinação 
da secante s varia cada vez menos, tendendo para o valor limite 
constante como mostra a figura ao lado.
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Esse valor limite, é chamado inclinação da reta tangente à curva no 
ponto P.
Definição
uma curva y=f(x), seja P(x1, y1) um ponto sobre ela. A inclinação da 
reta tangente à curva no ponto P é dada por
 quando o limite existe.
Fazendo x 2= x1 + x podemos reescrever o limite (1) na forma
Portanto, conhecendo a inclinação da reta tangente à curva no ponto 
P, podemos encontrar a equação da reta tangente à curva em P.
Equação da Reta Tangente
Se a função f(x) é contínua em x1, então a reta tangente à curva y=f(x) em 
P(x1,f(x1)) é :
(1)A reta que passa por P tendo a inclinação 
 se este limite existe. 
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Neste caso a equação 
Exemplos
Solução: 
1º) Obter a reta tangente e o esboço do gráfico da função , no ponto 
P de abscissa 2.
Seja temos:
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A figura abaixo mostra um esboço do gráfico e um segmento da reta 
tangente (2,4)
Tabela de construção do gráfico
e inclinação da reta tangente
Sendo m(2) = 4
2º) Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico da função definida 
por no ponto (x1, y1).
Solução: 
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Tabela de construção do gráfico
e inclinação da reta tangente
Para fazer um esboço do gráfico da função neste exemplo, colocamos 
pontos no gráfico e um segmento da reta tangente em alguns deles. 
Os valores de x são tomados arbitrariamente e o valor funcional 
correspondente é calculado pela equação dada, o valor de m é 
calculado a partir da função . Os resultados são apresentados na tabela 
e um esboço do gráfico é gerado. É importante determinar os pontos 
onde o gráfico possui tangente horizontal. Como uma reta horizontal 
possui inclinação zero, esses pontos são encontrados ao resolvermos 
em x1, à equação . Fazendo os cálculos para esse exemplo temos 3x² 
- 3 = 0, resultando x1 = 1. Assim sendo, nos pontos com abscissas -1 
e 1 a reta tangente é paralela ao eixo do x.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo: 
Thomson, 2001.
FLAMMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mírian Buss. Cálculo A. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 1992
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LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: 
Harbra,1988.
STEWART, James. Cálculo Volume I. São Paulo: Pioneira Thomson 
Learning, 2003.