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Matemática Superior - UVB
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Aula 10
Derivadas de Outras Funções 
Elementares
Objetivos da Aula
Estudar as curvas exponenciais e logarítmicas, suas propriedades, 
suas relações, processos de diferenciação e aplicações.
Logaritmos
Logaritmo de x na Base b (definição)
Observe que o logaritmo log é definido somente para valores 
positivos de x.
Exemplo 1:
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Exemplo 2:
Resolva cada uma das seguintes equações em x:
Observação:
Dois sistemas de logaritmos amplamente usados são os sistemas de 
logaritmos comuns, que usa o número 10 na base, e o sistema de 
logaritmos naturais, que usa o número irracional e = 2,71828... na 
base. Também é comum, na prática, escrever log para e 
Vejamos agora como é a notação logarítmica
O sistema de logaritmos naturais é bastante usado em trabalhos 
teóricos. O uso de logaritmos naturais, mais do que logaritmos em 
outras bases, freqüentemente leva a expressões mais simples.
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Propriedades de Logaritmos
Atenção:
Não confunda a expressão log m/n (Propriedade 2) com a expressão 
log m/log n. Por exemplo,
Exemplo 3:
Expanda e simplifique as seguintes expressões:
Solução:
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Funções Logarítmicas e Seus Gráficos
Seja b e n números positivos, e b diferente de 1, então a expressão log 
b n é um número real.
Um jeito fácil de obter o gráfico da função logarítmica y = log b x é 
construindo uma tabela de valores do logaritmo (base b). Entretanto, 
outro método mais instrutivo é baseado na exploração da estreita 
relação entre funções logarítmicas e exponenciais.
Se um ponto (u , v) pertence ao gráfico de y = log b x, então:
Mas também podemos escrever esta equação na forma exponencial 
como
Assim o ponto (v , u) pertencente ao gráfico da função y = b x. Veremos 
também a relação entre os pontos (u , v) e (v , u) e a reta y = x (Figura 
1). Se pensarmos na reta y = x como um espelho, então o ponto (v , u) 
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é a imagem especular do ponto (u , v). Da mesma forma o ponto (u , v) 
é a imagem especular do ponto (v , u). Podemos tirar vantagem desta 
relação para a ajudar a construir o gráfico das funções logarítmicas. 
Por exemplo, se queremos desenhar o gráfico de y = log b x, onde 
b > 1, então precisamos somente desenhar a imagem especular do 
gráfico de y = b x em relação à reta y = x (Figura 2).
Propriedades Que Relacionam as Funções 
Exponencial e Logarítmica.
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Exemplo 1:
Esboce o gráfico da função y = ln x.
Solução:
Primeiro esboçamos o gráfico de . Então, o gráfico desejado é 
obtido traçando a imagem espectral do gráfico de em relação 
à reta y = x.
O gráfico de y = ln x é a imagem especular do gráfico de y = e x.
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Propriedades dos Expoentes
Agora veja alguns exemplos do uso das propriedades dos expoentes:
 
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Solução:
Inicialmente, como já vimos, o domínio da função exponencial y = f (x) 
= 2 x é o conjunto dos números reais. Depois, colocando x = 0 temos 
y = 2 0 = 1, valor onde f intercepta o eixo do y. não há intersecção 
no eixo do x, pois não existem valores de x para os quais y = 0. Para 
encontrar o domínio de f considere a seguinte tabela.
Vemos definir, a partir destes cálculos, que 2 decresce e se aproxima 
de zero à medida que x decresce ilimitadamente e que 2 cresce sem 
limites com o crescimento ilimitado dos valores de x. Portanto, o 
domínio de f é o intervalo (0 , ), ou seja, o conjunto dos números 
reais positivos. 
Finalmente, esboçaremos o gráfico de abaixo.
Veja o gráfico abaixo:
y = b x é uma função crescente de x se b > 1, uma função constante 
se b = 1, e uma função decrescente se < b < 1.
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Propriedades da Função Exponencial
Aplicações da função exponencial e logarítmica.
O crescimento exponencial é característico de certos fenômenos 
naturais. No entanto, de modo geral, não se apresenta na forma ax, 
mas sim modificado por constantes características do fenômeno, 
como em:
Exemplo 1:
O número de bactérias de uma cultura, t horas apos o inicio de 
certo experimento, é dado pela expressão 
Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento 
a cultura terá 38.400 bactérias?
Solução:
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Exemplo 2:
Chama-se de montante (M) a quantia que uma pessoa deve receber 
após aplicar um capital C, a juros compostos, a uma taxa i durante um 
tempo t. O montante pode ser calculado pela fórmula . 
Supondo que o capital aplicado é de R$ 200000,00 a uma taxa 12% ao 
ano durante 3 anos, qual é o montante no final da aplicação?
Supondo que o capital aplicado é de R$ 200000,00 a uma taxa 12% ao 
ano durante 3 anos, qual é o montante no final da aplicação?
Solução
Exemplo 3:
Em quantos anos 500 g de uma substância radioativa, que se 
desintegra a uma taxa de 3% ao ano, se reduzira a 100 g ?
Use , em que Q é a massa da substância, r é a taxa 
e t é o tempo em anos.
Solução:
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Derivada Da Função Logarítmica
Nesta seção iremos usar a diferenciação implícita para encontrar as 
derivadas das funções logarítmicas log a x e, em particular, a função 
logarítmica natural y = ln x.
Prova: 
Diferenciando essa equação implicitamente em relação a x, usando a 
fórmula obteremos
e logo
Se pusermos a = e na fórmula [ 1 ], então o fator ln a no lado direito 
torna-se ln e = 1, e obtemos a fórmula para a derivada da função 
logarítmica natural log e x = ln x:
Comparando as fórmulas [ 1 ] e [ 2 ] vemos uma das principais razões 
para os logaritmos naturais (logaritmos com base e) serem usados em 
cálculo. A fórmula de diferenciação é a mais simples quando a = e, 
pois ln e = 1.
Exemplo 1:
Para usar a Regra da Cadeia vamos . Então y = ln u; logo:
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Em geral, se combinarmos a fórmula [ 2 ] com a Regra da Cadeia, como 
no exemplo [ 1 ], obtemos
Exemplo 2:
Encontre
Solução:
Usando [ 3 ], temos
Exemplo 3:
Diferencie
Solução:
Dessa vez o logaritmo é a função de dentro; logo, a Regra da Cadeia dá
Exemplo 4:
Diferencie 
Solução:
Usando a fórmula [ 1 ] com a = 10, temos
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Exemplo 5:
Encontre
Solução 1:
Solução 2:
Se primeiro simplificarmos a função dada usando as leis do logaritmo, 
então a diferenciação ficará mais fácil:
Essa resposta pode ser deixada como escrito, mas se usássemos um 
denominador comum obteríamos a mesma resposta da solução 1.
Exemplo 6:
Encontre 
Solução:
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O resultado do exemplo 6 vale a pena ser lembrado:
A derivada de ln x
Exemplo 1:
Calcule a derivada das seguintes funções:
Solução:
a) Usando a regra do produto, obtemos
b) Usando a regra do quociente, obtemos
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Regra da Cadeia Para Funções Logarítmicas
Exemplo 1:
Encontre a derivada de 
Solução:
Usando a regra da cadeia para funções logarítmicas vemos que
Na hora de derivar funções envolvendo logaritmos, as regras 
dos logaritmos podem ser úteis, como iremos mostrar no 
próximo exemplo.
Exemplo 2 :
Encontrea derivada de
Solução :
Primeiro reescreveremos a função dada usando as 
propriedades dos logaritmos:
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derivando usando a regra da cadeia para funções 
logarítmicas obteremos
Diferenciação Logarítmica
Este processo não só simplifica os cálculos das derivadas de certas 
funções, mas também nos permite calcular derivadas de funções que 
não poderiam ser derivadas de outra forma usando as técnicas vistas 
até o momento.
Exemplo 1:
Usando a diferenciação logarítmica derive
Solução:
Primeiro, tomamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação 
dada, obtendo
Depois, usando as propriedades dos logaritmos para reescrever o 
lado direito desta equação, obtendo
Se derivarmos os dois lados da equação teremos
(Usando a regra da cadeia para funções logarítmicas)
Para calcular a expressão do lado esquerdo, note que y é uma função de 
x. Portanto, escrevendo y = f (x) para lembrarmos deste fato, teremos
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(Usando a regra da cadeia para funções logarítmicas)
Portanto, teremos,
Finalmente, resolvendo y’, temos
Veremos agora um resumo dos passos envolvendo a 
diferenciação logarítmica.
1. Aplique o logaritmo natural dos dois lados da equação e use 
as propriedades dos logaritmos para escrever uma “expressão 
complicada” como uma soma de termos simples.
2. Derive os dois lados da equação em relação a x.
3. Resolva a equação resultante para .
Derivada da Função Exponencial
Exemplo 1:
Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções:
Solução:
a) Usando a regra do produto, temos
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b) Usando a regra geral da potência, temos
Aplicando a Regra da Cadeia Para Funções 
Exponenciais
Para ver este resultado, observe que h(x) = g[f (x)], onde g(x) = e x, 
então, pela regra da cadeia h’(x) = g’(f (x)) f ’ (x) = e f (x) f ’ (x)
pois g’(x) = e x
Para se lembrar da regra da cadeia para funções exponenciais, observe 
que temos neste caso a seguinte forma
Exemplo 1:
Derive a função
Solução:
Usando a regra do produto, seguida da regra da cadeia, temos
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Exemplo 2:
Derive a função
Solução:
Usando a regra do quociente, seguida da regra da cadeia, teremos
Referências Bibliográficas
TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo: 
Thomson, 2001.
LEITHOLD, L. O Matemática Aplicada à Economia e Administração. São 
Paulo: Harbra, 1988.
STEWART JAMES, Cálculo Vol. I. 4ª Ed. São Paulo: Pioneira Thomson 
Learning, 2003.
 
DANTE, L. ROBERTO. Matemática: Contexto & Aplicação. São Paulo: 
Ática,1999.