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Prof. Joaquim Rodrigues 1 FUNÇÃO DE 2º GRAU A função de 2º grau, ou função quadrática é aquela que possui a forma cbxxaxf ++= 2)( , com a, b e c reais e a ≠ 0. Tem uma grande aplicação prática, principalmente no cálculo de maximização e minimização. A ilustração acima, nos dá uma idéia de onde podemos encontrar algumas apli- cações da função de 2º grau. No 1º desenho temos um arco de ponte, o 2º desenho nos mostra uma ponte com passagem para o barco, a 3ª figura que nos mostra um coletor solar, embaixo, temos um túnel. Veja que com isso, percebemos que o gráfico da função de 2º grau descreve uma curva denominada parábola. Exemplos de função de 2º grau: a) 342 +−= xxy , onde a = 1, b = −4 e c = 3 b) 32)( 2 ++−= xxxf , onde a = −1, b = 2 e c = 3 Prof. Joaquim Rodrigues 2 CÁLCULO DOS ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Denomina-se zero ou raiz da função cbxxaxf ++= 2)( , o valor de x que anula a fun- ção, isto é 0)( =xf . Exemplos: Calcule os zeros (ou raízes) da função: a) 342 +−= xxy Basta igualar a função f(x) a zero, daí temos: 0342 =+− xx (agora temos uma equação de 2º grau, que pode ser resolvida pela fórmula de Bháskara) 02 =++ cbxxa ⇒ a b x 2 ∆±− = , onde ∆ é chamado de discriminante e é calcu- lado por acb 42 −=∆ . Note que esse discriminante ∆ é quem vai nos dizer a quantidade de raízes que pos- sui a equação de 2º grau. Se ∆ > 0 (isto é, positivo, significa que teremos duas raízes reais e diferentes na e- quação) Se ∆ = 0 (isto é, nulo, significa que teremos duas raízes reais e iguais, ou uma única raiz) Se ∆ < 0 (isto é, negativo, significa que não teremos nenhuma raiz real) Assim, voltando a nossa equação 0342 =+− xx , vamos calcular o valor de ∆ acb 42 −=∆ ⇒ 41216314)4( 2 =−=⋅⋅−−=∆ , como ∆ = 4 (positivo, então te- remos duas raízes reais e diferentes) a b x 2 ∆±− = ⇒ 2 24 12 4)4( ± = ⋅ ±−− =x ⇒ 1 2 2 2 24 == − =′x e 3 2 6 2 24 == + =′′x , logo, as raízes são: 1 e 3. b) 32)( 2 ++−= xxxf Igualando a função a zero, temos 0322 =++− xx (fica mais fácil fazer as contas, se multiplicarmos a expressão 0322 =++− xx por −1) O que temos agora 0322 =−− xx , calculando acb 42 −=∆ )3(14)2( 2 −⋅⋅−−=∆ 16124 =+=∆ , mais uma vez, teremos duas raízes reais e diferentes. a b x 2 ∆±− = ⇒ 2 42 12 16)2( ± = ⋅ ±−− =x ⇒ 1 2 2 2 42 −= − = − =′x e 3 2 6 2 42 == + =′′x , logo, as raízes são −1 e 3. Prof. Joaquim Rodrigues 3 c) xxxf 105)( 2 += Igualando a função a zero, temos 0105 2 =+ xx , e podemos notar que a equação de 2º grau que se apresentou é incompleta, pois está faltando o termo c, que neste caso, será zero. Fica mais fácil, então, no lugar de usar a fórmula de Bháskara, colocar o x em evi- dência, assim: 0105 2 =+ xx ⇒ 0)105( =+xx ⇒ 0=′x e 0105 =+x ⇒ 105 −=x ⇒ 5 10− =x ⇒ 2−=′′x , logo, as raízes são 0 e −2. d) 4)( 2 −= xxf Igualando a função a zero, temos 042 =−x , e também podemos notar que essa equação, também é incompleta, pois está faltando o termo b, que neste caso, é zero. Também fica mais fácil resolver sem usar a fórmula de Bháskara, assim: 042 =−x ⇒ 42 =x ⇒ 4±=x ⇒ 2±=x , logo, as raízes são −2 e 2. GRÁFICO Como vimos, na definição introdutória, o gráfico da função de 2º grau é uma curva de- nominada parábola, que terá concavidade voltada “para cima” se a > 0 ou voltada “pa- ra baixo” se a < 0. Concavidade voltada para cima (a > 0) Corta o eixo x em dois pontos, logo, temos duas raízes reais e diferentes, isto é, ∆ > 0 Corta o eixo x em um único ponto, logo, temos uma única raiz real, isto é, ∆ = 0 Não corta o eixo x, logo, não temos raízes reais, isto é, ∆ < 0 Prof. Joaquim Rodrigues 4 COORDENADAS DO VÉRTICE Podemos observar que, se a concavidade da parábola, estiver voltada “ para ci- ma” (ou seja a > 0), a parábola apresenta um ponto que é o “mais baixo” (ponto de mí- nimo da função), mas, se a concavidade estiver voltada “para baixo” (a < 0), então a parábola apresenta um ponto que é o “mais alto” (ponto de máximo da função). Esse ponto (mínimo ou máximo) é chamado de vértice ),( VV yxV da parábola e suas coor- denadas são a b xv 2 −= e a yv 4 ∆ −= , sendo que a reta que contém o vértice da parábola e é paralela ao eixo y é denominada de eixo de simetria. Eixo de simetria V (vértice) Eixo de simetria V (vértice) a > 0 a < 0 Concavidade voltada para baixo (a < 0) Corta o eixo x em dois pontos, logo, temos duas raízes reais e diferentes, isto é, ∆ > 0 Corta o eixo x em um único ponto, logo, temos uma única raiz real, isto é, ∆ = 0 Não corta o eixo x, logo, não temos raízes reais, isto é, ∆ < 0 Prof. Joaquim Rodrigues 5 Com esses dados, podemos calcular maximização ou minimização em várias situações: Exemplo: O lucro mensal de uma empresa é dado por 1610)( 2 −+−= xxxL , em que x é a quanti- dade vendida. a) Para que valores de x, o lucro é nulo, ou seja, não houve lucro? b) Qual será o valor de x para obtermos o maior lucro possível? c) Qual é esse maior lucro? Resolução a) se queremos saber, para que valor de x o lucro é nulo, basta igualar a função a zero )1(016102 −=−+− xx ⇒ 016102 =+− xx (usando a fórmula de Bháskara, te- mos) 2x =′ e 8x =′′ , ou seja, quando para x = 2 ou x = 8 b) basta calcular o xv, então temos: a b xv 2 −= ⇒ 5 2 10 12 )10( == ⋅ − −=vx , significa que quando vender 5 unidades, a empresa terá conseguido seu lucro máximo. c) agora é só calcular o yv, que nesse caso, fica mais fácil se substituirmos o xv na fun- ção assim, 1610)( 2 −+−= xxxL ⇒ 165105)5( 2 −⋅+−=L ⇒ 9165025)5( =−+−=L , ou seja, quando a empresa tiver conseguido vender 5 uni- dades, então terá o seu maior lucro que será de 9 unidades monetárias. EXERCÍCIOS Questão 01 Dadas as funções de IR em IR, marque com um X aquelas que são funções de 2º grau: a) ( ) 163)( 2 +−= xxxf b) ( ) xxy 42 +−= c) ( ) 82)( −= xxf d) ( ) 73)( += xxf e) ( ) xx xf 45)( 2 −= f) ( ) 6 5 8 2 −= xy g) ( ) 3 316)( x xf −= Questão 02 Dada a função 65)( 2 +−= xxxf , calcule: a) f(−1) b) f(0) c) f(1) d) f(2) e) f(3) Questão 03 Calcule os zeros (raízes) de cada função: a) 2452 −−= xxy b) 24 2 +−= xxy c) 96)( 2 +−= xxxf d) 9)( 2 −= xxf Prof. Joaquim Rodrigues 6 Questão 04 Dizer se as funções quadráticas abaixo têm concavidade voltada para cima ou para bai- xo: a) 432 2 +−= xxy b) 96)( 2 −+−= xxxf c) 2)( xxf = d) 162)( 2 +−= xxf Questão 05 O valor mínimo de y em 652 +−= xxy é: a) −0, 25 b) −0, 5 c) 0 d) 2, 5 e) 3, 0 Questão 06 A temperatura, em graus centígrados, no interior de uma câmara, é dada pela função Atttf +−= 7)( 2 , onde t é medido em minutos e A é constante. Se, no instante t = 0, a temperatura é de 10º C, o tempo gasto pra que a temperatura seja mínima, em minutos, é: a) 3, 5 b) 4, 0 c) 4, 5 d) 6, 5 e) 7, 5 Questão 07 Para um indivíduo sadio em repouso, o número N de batimentos cardíacos por minutovaria em função da temperatura ambiente t (em graus Celsius), segundo a função 9041,0)( 2 +−= tttN . Nessas condições, em qual tem- peratura o número de batimentos cardíacos por minuto é mínimo? a) 31º C b) 12, 4º C c) 20º C d) 25º C Prof. Joaquim Rodrigues 7 Questão 08 O físico francês Poiseuille, foi o primeiro a descobrir que o sangue flui mais perto do centro de uma artéria do que nas extremidades. Testes experimentais mostraram que a velocidade do sangue num ponto a r cm do eixo central de um vaso sanguíneo é dada pela função )()( 22 rRCrV −= em cm/s em que C é uma constante e R é o raio do vaso. Supondo, para um determinado vaso, que seja 4108,1 ⋅=C e 210−=R cm, calcule: a) a velocidade do sangue no eixo central do vaso sanguíneo; b) a velocidade do sangue no ponto médio entre as parede do vaso e o eixo central. Questão 09 Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em fun- ção do tempo (em segundos) pela expressão 233)( ttth −= , onde h é a altura máxima atingida em metros. a) Em que instante t o grilo retorna ao solo? b) Qual é a altura máxima, em metros, atingida pelo grilo? Questão 10 Uma espécie animal, cuja família no início era composta de 200 elementos, foi testada num laboratório sob a ação de uma certa droga. Constatou-se que a lei de sobrevivência nesta família obedecia à relação battn += 2)( em que n(t) é igual ao número de ele- mentos vivos no tempo t (dado em horas); a e b são parâmetros que dependem da droga ministrada. Sabe-se que a família desapareceu (morreu seu último elemento) quando t = 10h (após o início da experiência). Calcular quantos elementos tinha essa família 8 horas após o início da experiência. Questão 11 Num certo dia, numa praia, a temperatura atingiu o seu valor máximo às 14 horas. Su- ponhamos que, nesse dia, a temperatura f(t) em graus era uma função do tempo t, medi- do em horas, dada por 160)( 2 −+−= tbttf , quando 208 ≤≤ t . Obtenha: a) o valor de b; b) a temperatura máxima atingida nesse dia; Questão 12 De uma folha de papel retangular de 30 cm por 20 cm são retirados, de seus quatro can- tos, quadrados de lado x. Determine a expressão que indica a área da parte que sobrou em função de x. Prof. Joaquim Rodrigues 8 Questão 13 Os diretores de um centro esportivo desejam cercar uma quadra de basquete retangular e o espaço em volta dela com tela de alambrado. Tendo recebido 200 m de tela, os direto- res desejam saber quais devem ser as dimensões do terreno a cercar com tela para que a área seja a maior possível. Questão 14 Deseja-se construir uma casa térrea de forma retangular. O retângulo onde a casa será construída tem 80 m de perímetro. Calcule as dimensões desse retângulo sabendo que a área de sua região deve ser a maior possível. Questão 15 Um fazendeiro precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizando-se de uma tela de 16 metros de comprimento. Sabendo que o fazendeiro vai usar um muro como fundo do galinheiro, determine as dimensões do mesmo para que a sua área seja máxi- ma. Questão 16 O espaço percorrido S por um corpo em queda livre, durante um certo tempo t, é dado pela função 29,4)( ttS = . Considerando que um corpo está em queda livre: a) Qual é o espaço, em metros, que ele percorre após 3s? b) Em quanto tempo ele percorre 122, 5m? Questão 17 Uma bola é lançada ao ar. Suponha que a altura h, em metros, t segundos após o lança- mento, seja 642 ++−= tth . Determine: a) o instante em que a bola atinge a sua altura máxima; b) a altura máxima atingida pela bola; c) quantos segundos depois de lançada, ela toca o solo? x x y Prof. Joaquim Rodrigues 9 Questão 18 A trajetória de uma bola, num chute a gol, descreve aproximadamente uma parábola. Supondo que a sua altura h, em metros, t segundos após o chute, seja dada pela fórmula tth 62 +−= , determinar: a) em que instante a bola atinge a altura má- xima? b) qual é a altura máxima atingida pela bola? Questão 19 Nos acidentes de trânsito, uma das preocupações dos especialistas em tráfego é desco- brir qual a velocidade do veículo antes da colisão. Uma das fórmulas utilizadas é 250 1,0 2v vd += na qual v é a velocidade, em quilômetros por hora, desenvolvida pelo veículo antes do choque e d, a distância, em metros, que o mesmo percorre desde que o motorista pressente o acidente até o mesmo parar. Essa é uma função do 2º grau que relaciona uma distância, muitas vezes determinada pelas marcas de pneus na pista, após utilização brusca dos freios, e a velocidade que o carro trafegava. Quantos metros percorre um carro a 80 km/h, desde o momento em que vê o obstáculo, até o carro pa- rar? Questão 20 O impacto de colisão I (energia cinética) de um automóvel com massa m e velocidade v é dado pela fórmula 2vmkI = . Se a velocidade triplica, o que acontece ao impacto de colisão de um carro de 1.000 kg? Questão 21 Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de certo produto é dado pela fórmula 000.3802 +−= xxC . Nessas condições, calcule: a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo. b) o valor mínimo do custo. Questão 22 A receita diária de um estacionamento para automóveis é 25100 ppR −= , em que p é o preço cobrado por dia de estacionamento por carro. a) Qual o preço que deve ser cobrado para dar uma receita diária de R$ 375,00? b) Qual o preço que deve ser cobrado para que a receita seja máxima? Prof. Joaquim Rodrigues 10 Questão 23 Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula L = R − C, em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa em que se produziu x unidades, verificou-se que 2000.6)( xxxR −= e xxxC 000.2)( 2 −= . Nessas condições, qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo? Questão 24 A venda de x milhares de unidades de um determinado CD-ROM produzido para mi- crocomputadores Compaq gera uma receita dada por 27 xxR −= unidades monetárias. O custo para produzir estas unidades é dado por 5+= xC unidades monetárias (u.m). Nestas condições: a) determine o valor do lucro máximo (em u.m) b) o nível de produção x para que o lucro seja máximo. Questão 25 Define-se custo médio de produção Cm (x) o valor de produção de uma peça de um lote de x peças. Assim, o custo médio é calculado dividindo-se o custo total pelo número de peças produzidas: x xC xCm )()( = . Se o custo médio de produção de certa mercadoria é dado por x xxCm 103)( ++−= e a função receita é dada por 2210)( xxxR −= (x é dado em milhares), obtenha o número de peças a serem produzidas para que o lucro seja má- ximo. Questão 26 O custo médio de fabricação de x unidades de um produto é x x xCm ++= 20000.2)( e a função receita é 22200)( xxxR −= . Nestas condições, obtenha a quantidade que deve ser produzida e vendida para maximizar o lucro. Questão 27 Um sitiante plantou 30 abacateiros e cada árvore produz 100 abacates em média. Pre- tendendo aumentar o número de árvores, o sitiante consultou um especialista que o in- formou que cada árvore nova plantada fará diminuir em 2 abacates o número médio produzido pelas árvores. Nestas condições, quantas árvores ele deverá plantar para obter o número máximo de abacates? Questão 28 Para uma determinada viagem, foi fretado uma avião com 100 lugares. Cada pessoa de- ve pagar à companhia R$ 500,00 além de uma taxa de R$ 6,00 para cada lugar não ocu- pado do avião.a) Qual a receita arrecadada se compareceram 80 pessoas para a viagem? b) Qual a receita máxima que pode ser arrecadada nas condições do problema? Prof. Joaquim Rodrigues 11 RESPOSTAS 1. a, b, f 2. a) 12 b) 6 c) 2 d) 0 e) 0 3. a) −3 e 8 b) não existe raiz real c) 3 d) −3 e 3 4. a) para cima b) para baixo c) para cima d) para baixo 5. A 6. A 7. C 8. a) 1,8 cm/s b) 1,35 cm/s 9. a) após 1 s b) 0,75 m 10. 72 elementos 11. a) 28 b) 36º C 12. 6004)( 2 +−= xxA 13. 50 x 50 14. 20 x 20 15. x = 4 e y = 8 16. a) 44,1 m b) 5 s 17. a) 2 s b) 10 m c) 5,16 s 18. a) 3 s b) 9 m 19. 33,6 m 20. O impacto será 9 vezes maior 21. a) 40 b) R$ 1.400,00 22. a) 5 ou 15 b) 10 23. 2.000 24. a) 4 b) 3 25. 3.500 peças 26. 30 unidades 27. 10 28. a) R$ 49.600,00 b) R$ 50.416,00
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