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CENTRO UNIVERSITA´RIO DE SETE LAGOAS UNIFEMM Notas de Aula Introduc¸a˜o ao Ca´lculo Adimilton Soares da Silva Frederico Reis Marques de Brito Fevereiro - 2011 2 Suma´rio 1 CONJUNTOS NUME´RICOS 7 1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Conjunto N dos nu´meros naturais . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Conjunto Z dos nu´meros inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Conjunto Q dos nu´meros racionais . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7 Os nu´meros irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.9 Conjunto R dos nu´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.10 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.11 Ordenac¸a˜o dos reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.11.1 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.12 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.13 Mo´dulo de um nu´mero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.14 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.15 Exerc´ıcios Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.16 Respostas dos Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS 35 2.1 Potenciac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Produtos Nota´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5 Respostas dos Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3 4 SUMA´RIO 3 POLINOˆMIOS E EQUAC¸O˜ES ALGE´BRICAS 49 3.1 Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.1 Divisa˜o de Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4 Equac¸o˜es Alge´bricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4.1 Resoluc¸a˜o de equac¸o˜es do 1o e 2o graus: . . . . . . . . . 56 3.4.2 Equac¸o˜es de grau maior que dois . . . . . . . . . . . . 61 3.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.6 Respostas dos Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4 FUNC¸O˜ES 71 4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.3 Func¸a˜o Real de Varia´vel Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.5 Gra´fico de func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.7 Composic¸a˜o de Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.9 Func¸o˜es Invert´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.9.1 Func¸a˜o sobrejetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.9.2 Func¸a˜o injetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.9.3 Func¸a˜o Bijetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.9.4 Func¸a˜o inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.10 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.11 Func¸o˜es crescentes e decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.12 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.13 Respostas dos Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5 FUNC¸O˜ES DE 1o GRAU 95 5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.2 Gra´fico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.4 Crescimento e decrescimento da func¸a˜o do 1o grau . . . . . . . 97 5.5 Estudo de Sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.7 Aplicac¸o˜es da func¸a˜o de 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 SUMA´RIO 5 5.8 Respostas dos Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6 FUNC¸O˜ES QUADRA´TICAS 105 6.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.2 O Gra´fico de Uma Func¸a˜o Quadra´tica . . . . . . . . . . . . . 106 6.2.1 Zeros de uma Func¸a˜o Quadra´tica . . . . . . . . . . . . 108 6.2.2 Construc¸a˜o da Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.4 Respostas dos Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7 FUNC¸A˜O EXPONENCIAL 121 7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 7.1.1 Gra´fico de Uma Func¸a˜o Exponencial: . . . . . . . . . . 122 7.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7.3 Equac¸o˜es Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.5 Inequac¸o˜es exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.7 Respostas dos Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 8 LOGARITMOS 133 8.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.2 Sistema de logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 8.3 Propriedades Aritme´ticas dos Logaritmos . . . . . . . . . . . . 135 8.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 8.5 Mudanc¸a de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 8.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 8.7 Func¸a˜o logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 8.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 8.9 Respostas dos Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 9 TRIGONOMETRIA 147 9.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 9.2 Razo˜es Trigonome´tricas no Triaˆngulo Retaˆngulo . . . . . . . . 147 9.2.1 Aˆngulos nota´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 9.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 9.4 Arcos e aˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 9.5 O ciclo trigonome´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6 SUMA´RIO 9.6 Func¸o˜es trigonome´tricas circulares . . . . . . . . . . . . . . . 161 9.6.1 Func¸a˜o seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 9.6.2 Func¸a˜o cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 9.6.3 Func¸a˜o Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 9.6.4 Func¸a˜o Cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 9.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 9.8 Respostas dos Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Cap´ıtulo 1 CONJUNTOS NUME´RICOS 1.1 Introduc¸a˜o Os nu´meros foram criados pelos homens nas eras mais primitivas. A ide´ia de nu´mero inteiro positivo surgiu provavelmente pela necessidade pra´tica da con- tagem. Como sabemos, o homem das cavernas precisava, de alguma forma, contar o nu´mero de animais de seu rebanho. Naquela e´poca, a representac¸a˜o do resultado dessa contagem era bastante diferente da que usamos agora e e´prova´vel que cada pessoa tivesse sua maneira pro´pria de fazeˆ-lo. Fun- damentalmente, contar nada mais e´ que estabelecer uma comparac¸a˜o entre quantidades de elementos de conjuntos distintos. Por exemplo, a quantidade de pedrinhas em um saco com a quantidade de bois ou ovelhas, ou a quan- tidade de x´ıcaras com a quantidade de pires. Se sobre cada pires colocamos uma x´ıcara, de forma a na˜o sobrarem x´ıcaras nem pires, enta˜o esses dois conjuntos, dos pires e das x´ıcaras, tem a mesma quantidade de elementos. O 0, pensado como um nu´mero que representasse uma quantidade, surgiu bem depois, no se´culo IX d.C , por invenc¸a˜o dos povos hindus. Somente na era moderna, algebristas italianos iniciaram o uso sistema´tico dos nu´meros nega- tivos. Segundo MILIES1 , “O primeiro uso conhecido dos inteiros negativos encontra-se numa obra indiana, devida a Brahmagupta, de 628 d.C. aproxi- madamente, onde sa˜o interpretados como d´ıvidas. Desde seu aparecimento, eles suscitaram du´vidas quanto a sua legitimidade. Assim por exemplo, Stifel 1MILIES, Ce´sar Polcino. Breve Histo´ria da A´lgebra Abstrata, II Bienal da SBM, Salvador: Sociedade Brasileira de Matema´tica, 2006. pp 13. Dispon´ıvel em www.bienasbm.ufba.br/M18.pdf. 7 8 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS em 1543 ainda os chama de nu´meros absurdos e Cardano (...) os conside- rava soluc¸o˜es falsas de uma equac¸a˜o.”As frac¸o˜es tambe´m surgiram como uma ide´ia natural. A princ´ıpio, como uma resposta ao problema de se partilhar um ou mais bens de propriedade comum entre determinadas pessoas. E num esta´gio mais avanc¸ado pela necessidade das pessoas trocarem entre si bens de tipos diferentes. Por exemplo, um pastor deseja trocar com um agricultor carneiros por sacos de milho numa raza˜o de 3 carneiros para 10 sacos de milho. Os gregos antigos, a quem devemos boa parte da matema´tica, na˜o reconheciam outros nu´meros que na˜o os inteiros e os fraciona´rios. Essa ide´ia de um “nu´mero”que na˜o seja nem inteiro nem fraciona´rio e´, muito menos natural e intuitiva e surge num esta´gio muito mais avanc¸ado da civilizac¸a˜o com a necessidade da pra´tica da medic¸a˜o de segmentos e a´reas. Nas sec¸o˜es seguintes descreveremos brevemente esses tipos de nu´meros, mostrando suas principais propriedades e diferenc¸as entre um e outro. Em toda a matema´tica usamos a linguagem de conjuntos. O conceito de conjunto tem inu´meras aplicac¸o˜es e e´ basilar em Matema´tica. Por ser um conceito ta˜o primitivo na˜o tem uma definic¸a˜o formal. Para no´s, basta entender um conjunto como uma colec¸a˜o de objetos bem definidos, objetos esses a que chamamos de elementos do conjunto. O imprescind´ıvel e´ podermos saber quais sa˜o e quais na˜o sa˜o os elementos de um conjunto. Podemos descrever um conjunto de diversas formas. Uma delas consiste em dar uma descric¸a˜o inteiramente, listando todos os seus elementos. Nesse caso, os elementos devera˜o vir listados entre chaves, notac¸a˜o reservada para os conjuntos. Por exemplo: S = {a, e, i, o, u} . Aqui a, e, i, o e u sa˜o os elementos do conjunto e, indicamos isso escrevendo: a ∈ S; e ∈ S ; i ∈ S; o ∈ S; u ∈ S . Por outro lado, por exemplo b /∈ S. O conjunto S acima poderia tambe´m ser descrito atrave´s de uma pro- priedade espec´ıfica e caracter´ıstica de seus elementos: o conjunto das vogais. {vogais} . Essa segunda forma de representac¸a˜o de um conjunto e´ a forma construtiva e e´ bastante mais usual em Matema´tica, uma vez que na maior parte dos 1.1. INTRODUC¸A˜O 9 casos os conjuntos usados teˆm uma infinidade de elementos que, portanto, na˜o podem ser listados um a um. Vejamos um outro exemplo: A = {x tal que x e´ um nu´mero natural maior que 5 menor que 10} . O conjunto A esta´ descrito de forma construtiva, muito embora nesse caso possamos listar seus elementos: A = {6, 7, 8, 9}. Explicamos ainda que, para facilitar a notac¸a˜o, quando descrevemos um conjunto a partir das pro- priedades de seus elementos, a expressa˜o lingu¨´ıstica “tal que”e´ substitu´ıda pela notac¸a˜o matema´tica “;”. Assim: A = {x ; x e´ um nu´mero natural maior que 5 menor que 10} . Dois conjuntos A e B sa˜o ditos iguais, e escrevemos A = B, quando todo elemento de A for um elemento de B e quando todo elemento de B for um elemento de A. A ordem com que os elementos sa˜o listados na˜o e´ relevante. Por exemplo: A = {x, y, z} e B = {y, z, x} sa˜o conjuntos iguais. Dizemos que o conjunto A esta´ contido no conjunto B (ou, equiva- lentemente, que B conte´m A) quando todo elemento de A for tambe´m elemento de B. E, nesse caso, indicamos da seguinte forma A ⊂ B (leˆ-se: A esta´ contido em B, ou B conte´m A.) Por exemplo: Se X = {1, 2, 3} e Y = {0, 1, 3, 2, 7} enta˜o X ⊂ Y . Assim, podemos agora afirmar que os conjuntos A e B sa˜o iguais se, e somente se, A ⊂ B e B ⊂ A. Um conjunto que aparece frequentemente e´ o conjunto vazio, indicado como ∅ ou {}. Esse conjunto e´ caracterizado por na˜o ter nenhum elemento. Ou seja, para qualquer que seja o objeto y vale que y /∈ ∅. Sendo assim, observe que {∅} na˜o e´ uma representac¸a˜o va´lida do conjunto vazio (por queˆ?) Por fim, relembremos as operac¸o˜es ba´sicas entre dois conjuntos. Se A e B sa˜o conjuntos definimos a unia˜o de A e B como o conjunto formado por quaisquer elementos que pertenc¸am a A ou a B: A ∪B = {x ; x ∈ A ou x ∈ B}. A intersecc¸a˜o entre A e B e´ o conjunto formado pelos elementos que pertenc¸am simultaneamente a A e a B, ou seja, pelos elementos comuns a esses dois conjuntos: A ∩B = {x ; x ∈ A e x ∈ B} . 10 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS Exemplo: Se A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {3, 7, 9}, enta˜o: A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} e A ∩B = {3} . Encerramos essa sec¸a˜o apresentando alguns s´ımbolos que sa˜o utilizados com grande frequ¨eˆncia na Matema´tica e, em particular, nessas notas de aula. ∀ Para todo ⇒ Implica ⇔ Se e Somente Se ∴ logo 1.2 Conjunto N dos nu´meros naturais O conjunto dos nu´meros naturais e´ indicado por N e seus elementos sa˜o exa- tamente os nu´meros ordinais, por isso na˜o consideraremos 0 como nu´mero natural. Assim N = {1, 2, ..., n, ..} , em que n representa um nu´mero natural gene´rico. Dentre as principais caracter´ısticas de N destacam-se o fato de ele ser um conjunto infinito, ou seja com mais elementos que qualquer quantidade pre´-determinada, e o de que cada elemento, exceto o 1, ser obtido do anterior somando-se 1. No conjunto dos nu´meros naturais definimos duas operac¸o˜es, soma e multiplicac¸a˜o, para os quais N e´ fechado, isto e´, a soma e o produto de dois nu´meros naturais sa˜o ainda nu´meros naturais. Por outro lado, N na˜o e´ fechado com relac¸a˜o a` diferenc¸a, ja´ que 1−7 = −6 /∈ N, embora 1 ∈ N e 7 ∈ N. Observe que 7 − 1 = 6 ∈ N, mas isso na˜o e´ suficiente. Para que N fosse fechado com relac¸a˜o a` diferenc¸a seria necessa´rio que todas as diferenc¸as de elementos de N estivessem em N, o exemplo que demos mostra que isso nem sempre acontece. 1.2. CONJUNTO N DOS NU´MEROS NATURAIS 11 Da mesma forma N na˜o e´ fechado com relac¸a˜o a` divisa˜o e nesse caso sa˜o “raros”os exemplos em que a divisa˜o de elementos de N ainda esta´ em N. Por exemplo, 5 ∈ N e 2 ∈ N, mas 5 2 /∈ N, o que ja´ mostra o na˜o-fechamento. Os nu´meros naturais sa˜o normalmente representados na base decimal. Para essa representac¸a˜o usamos os chamados algarismos hindu-ara´bicos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 . Esse e´ um sistema posicional de numerac¸a˜o, ou seja, algarismos em posic¸o˜es diferentes tem interpretac¸o˜es diferentes, que usa as poteˆncias de 10. Por exemplo, quando escrevemos 1252, na verdade estamos nos referindo a 1252 = 2 + 5× 10 + 2× 102 + 1× 103 . Analogamente, 45079 = 9 + 7× 10 + 5× 103 + 4× 104 . De forma geral enta˜o adotamos a notac¸a˜o decimal seguinte: (anan−1 · · · a2a1a0)10 = a0+10×a1+102×a2+ · · ·+10n−1×an−1+10n×an . Oconjunto dos nu´meros naturais possui alguns subconjuntos impor- tantes: 1o O conjunto dos nu´meros naturais pares: {2, 4, ..., 2n, ..} com n ∈ N 2o O conjunto dos nu´meros naturais ı´mpares: {1, 3, ..., 2n+ 1, ..} com n ∈ N 3o O conjunto dos nu´meros primos: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ..} Observac¸a˜o 1.2.1. Vale lembrar que um nu´mero natural maior que 1 e´ primo se ele e´ divis´ıvel apenas por 1 e por ele mesmo. Note que, por essa definic¸a˜o, 1 na˜o e´ considerado um nu´mero primo. 12 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS 1.3 Conjunto Z dos nu´meros inteiros O conjunto dos nu´meros inteiros e´ o seguinte conjunto, composto dos nu´meros naturais, seus sime´tricos e o zero: Z = {...,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} . Uma vez que todos os elementos de N pertencem tambe´m a Z, N e´ subconjunto de Z, o que indicamos da seguinte forma: N ⊂ Z. O conjunto dos nu´meros inteiros tambe´m possui alguns subconjuntos nota´veis: 1o O conjunto dos inteiros na˜o nulos: Z∗ = {...,−4,−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4, ...} ; Z∗ = Z− {0} 2o O conjunto dos inteiros na˜o negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} ; 3o O conjunto dos inteiros positivos: Z∗+ = {1, 2, 3, 4, ...} = N . 4o O conjunto dos inteiros na˜o positivos: Z− = {...,−5,−4,−3,−2,−1, 0} 5o O conjunto dos inteiros negativos: Z∗− = {...,−5,−4,−3,−2,−1} O conjunto dos nu´meros inteiros e´ fechado com relac¸a˜o a` soma, ao produto e a` subtrac¸a˜o, ou seja, se somarmos, subtrairmos ou multiplicarmos dois nu´meros inteiros o resultado ainda sera´ um nu´mero inteiro. Entretanto, 1 ∈ Z e 7 ∈ Z, mas 1 7 /∈ Z, e, portanto, Z na˜o e´ fechado com relac¸a˜o a` divisa˜o. Por exemplo, se temos um bolo e o dividimos em duas partes, na˜o podemos nos referir a uma delas usando-se um nu´mero inteiro. Parece u´til enta˜o considerar um conjunto maior, em que seja poss´ıvel efetuar diviso˜es quaisquer (exceto por 0.). 1.4. EXERCI´CIOS 13 1.4 Exerc´ıcios 1. Sejam A = {x ∈ N ; |x e´ impar}, B = {x ∈ Z ; −3 ≤ x ≤ 4} e C = {x ∈ Z∗+ ; x < 6} . Encontre o conjunto D = (A ∩B)− C. 1.5 Conjunto Q dos nu´meros racionais A ide´ia de medir esta´ ligada a comparar, ou seja, quantas vezes uma deter- minada distaˆncia ou superf´ıcie e´ menor ou maior que determinada unidade adotada como padra˜o. Se, por exemplo, tentarmos medir a altura de um pre´dio com uma unidade como o metro, podemos obter eventualmente um nu´mero na˜o inteiro. Estar´ıamos diante da ide´ia de uma frac¸a˜o de metro. A comparac¸a˜o entre duas medidas, usando-se uma unidade comum, esta´ associada a` ide´ia de nu´mero racional. O conjunto dos inteiros racionais e´ formado por todos os nu´meros que podem ser escritos na forma a b , em que a e´ um inteiro qualquer e b, um inteiro qualquer diferente de zero. Esse conjunto e´ indicado por Q e pode ser representado assim: Q = {a b ; a ∈ Z e b ∈ Z∗} Note que quando b = 1 temos que a 1 = a ∈ Z o que mostra que Z ⊂ Q (Z e´ um subconjunto de Q). Observac¸a˜o 1.5.1. Porque na˜o existe divisa˜o por zero? De fato, imagine que b 0 = x, isto e´, que o resultado da divisa˜o de b por 0 fosse um nu´mero x. Como sabemos a divisa˜o e´ a operac¸a˜o inversa da multiplicac¸a˜o e, portanto, nesse caso, deveria valer que: b = 0 · x ⇒ b = 0 . Ou seja, ate´ aqui, conclu´ımos que para haver divisa˜o por zero o numerador(ou dividendo) tambe´m tem que ser zero. Assim, resta-nos apenas a pergunta, 14 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS por que na˜o e´ poss´ıvel fazer 0 0 ? E essa resposta e´ simples. Porque qualquer nu´mero poderia ser o resultado dessa divisa˜o. Poderia ser 5, ja´ que 5·0 = 0, mas tambe´m poderia ser 17, ja´ que 17 · 0 = 0. Dessa forma, ter´ıamos infinitos resultados, o que definitivamente na˜o e´ interessante. Portanto, na˜o existe divisa˜o por zero. O conjunto Q e´ infinito e ilimitado superior e inferiormente. Uma caracter´ıstica que o distingue bastante de Z e N, e´ que em Q na˜o existe a figura do “pro´ximo nu´mero”. Por exemplo, se perguntarmos qual e´ o primeiro nu´mero racional depois do 0, a resposta e´ que ele na˜o existe! De fato, dado um nu´mero racional x > 0 qualquer, sempre existe um nu´mero racional positivo menor que ele, por exemplo x 2 . (Pense nisso!) Em Q destacam-se os seguintes subconjuntos: Q∗: O conjunto dos racionais na˜o nulos Q+: O conjunto dos racionais na˜o negativos Q∗+: O conjunto dos racionais positivos Q−: O conjunto dos racionas na˜o positivos Q∗−: O conjunto dos racionais negativos Os nu´meros racionais sa˜o normalmente representados na forma de frac¸o˜es: 1 2 , 3 10 , 5 100 . Cabe aqui relembrar que todo nu´mero que possa ser escrito na forma a b , com a, b inteiros e b 6= 0, e´ racional. Tal representac¸a˜o na˜o e´ u´nica. De fato, na forma fraciona´ria, um mesmo nu´mero racional tem infini- tas representac¸o˜es. Por exemplo: 2 3 = 4 6 = 6 9 = 2n 3n , n ∈ N. A simplificac¸a˜o e´ usual exatamente para facilitar os ca´lculos. Dessa forma, e´ comum repre- sentarmos um nu´mero racional na forma fraciona´ria a b com a e b inteiros primos entre si, ou seja, sem fator comum. Essa forma de representac¸a˜o da frac¸a˜o e´ a chamada forma irredut´ıvel. O uso da forma irredut´ıvel na˜o e´ obrigato´ria, mas deseja´vel para evitar ca´lculos demasiados. Ha´ outra representac¸a˜o dos nu´meros racionais chamada de forma decimal. As frac¸o˜es 1 4 , 7 40 e 31 8 , por exemplo, podem ser representadas por 0, 25, 0, 175 e 3, 875 respectivamente, esses valores sa˜o obtidos dividindo o numerador pelo 1.5. CONJUNTO Q DOS NU´MEROS RACIONAIS 15 denominador. Esses nu´meros por conterem na representac¸a˜o decimal mais simples um nu´mero finito de algarismo, sa˜o chamados decimais exatos. Em alguns casos, porem, na˜o se obte´m resto nulo em nenhuma etapa da divisa˜o. Nesses casos surgem as d´ızimas perio´dicas, que sa˜o marcadas pela repetic¸a˜o infinita de algarismo apo´s a v´ırgula. A frac¸a˜o 11 6 pode ser repre- sentada por 1, 8333... = 1, 83¯, basta dividir 11 por 6. A frac¸a˜o que da´ origem a` d´ızima perio´dica e´ chamada de frac¸a˜o geratriz da d´ızima. Inversamente, no caso de termos a d´ızima perio´dica, e´ poss´ıvel achar a sua frac¸a˜o geratriz. Vejamos alguns exemplos. Exemplos: 1) Encontre frac¸a˜o geratriz da d´ızima 0, 5¯. Resoluc¸a˜o: Seja x = 0, 5¯ = 0, 555..., enta˜o 10x = 5, 555..., portanto 10x− x = (5, 555...)− (0, 555...) ⇒ 9x = 5 ⇒ x = 5 9 . 2) Encontre frac¸a˜o geratriz da d´ızima 2, 190. Resoluc¸a˜o: Seja y = 2, 19090..., portanto 1000y = 2190, 90 e 10y = 21, 90. Logo 990y = 1000y − 10y = 2190, 90− 21, 90⇒ y = 2169 990 . Simplificando por 9 temos que y = 241 110 . Vamos recordar as operac¸o˜es em Q. Somas e diferenc¸as devem ser feitas reduzindo-se as frac¸o˜es a denominadores comuns: a b ± c d = ad bd ± bc bd = ad± bc bd . Produtos sa˜o feitos multiplicando numeradores entre si e denominadores en- tre si: a b · c d = ac bd . 16 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS O inverso de um nu´mero racional na˜o-nulo a b e´ representado por ( a b )−1 e vale b a , ou seja, (a b )−1 = b a , a, b 6= 0 . Note que a b · (a b )−1 = a b · b a = 1 . A divisa˜o e´ feita multiplicando-se a primeira frac¸a˜o pelo inverso da segunda, desde que ela seja diferente de zero: a b : c d = a b · d c = ad bc , b, c, d 6= 0. Vejamos um exemplo: 2 5 + 3 7 = 14 35 + 15 35 = 29 35 2 5 − 3 7 = 14 35 − 15 35 = − 1 35 2 5 × 3 7 = 6 35 2 5 : 3 7 = 2 5 · 7 3 = 14 15 Para ordenarmos os nu´meros racionais, usaremos o seguinte princ´ıpio. Se os nu´meros racionais a b e c d teˆm denominadores positivos, enta˜o ab e´ maior que c d se, e somente se, a·d e´ maior do que c·b. Ou seja, a comparac¸a˜o e´ feita reduzindo-se as frac¸o˜es a um denominador comum (positivo!) e comparando- se a seguir, os numeradores. Assim, por exemplo: 6 7 > 4 5 , ja´ que 4 5 = 4× 7 5× 7 = 28 35 , 6 7 = 6× 5 7× 5 = 30 35 e 30 > 28 . 1.6 Exerc´ıcios 1. Escreva cada uma das frac¸o˜es na forma decimal: a) 1 3 b) 2 50 c) 1120 200 d) 1 30 e) 38 60 1.6. EXERCI´CIOS 17 2. Encontre a frac¸a˜o geratriz de cada d´ızima perio´dica: a) 0, 4 b) 1, 81 c) 0, 234 d) 18, 1 e) 1, 2415 3. Se 1 1 3 + 1 4 = p q , sendo p e q nu´meros inteiros positivos relativamente primos, determine o valor de p+ q. 4. a) Qual e´ o menor nu´mero inteiro maior que 17 6 ? b) Qual e´ o maior nu´mero inteiro menor que −1 4 ? 5. Encontre treˆs nu´meros racionais compreendidos entre 0, 8 e 97 99 . 6. Calcule, dando a resposta na forma fraciona´ria: (a) 3 5 − 5 2 · 2 7 (b) 1 3 4 + 5 2 − 1 8 (c) 0, 999...+ 1 5 + 1 3 3 5 − 1 5 7. Determine os valores das expresso˜es na forma decimal: (a) (0, 2)3 + (0, 16)2 (b) (0, 2).(0, 3) (3, 2)− (2, 0) 8. Diminuindo-se 6 anos da idade de Beatriz, obte´m-se os 3 5 de sua idade. Qual e´ a idade de Beatriz? 9. Um nu´mero de dois algarismos e´ tal que o algarismo das dezenas e´ igual a 3 4 do algarismo das unidades. Se os algarismos forem permutados entre si, obte´m-se um nu´mero que e´ 9 unidades maior que o primeiro. Qual e´ a soma dos dois algarismos? 18 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS 10. Treˆs torneiras despejam a´gua numa caixa. A primeira enche a caixa em 12 horas, a segunda em 6 horas e a terceira em 18 horas. Em uma hora, que parte da caixa ficara´ cheia, estando abertas as treˆs torneiras? 11. Apo´s ter corrido 2 7 de um percurso e, em seguida, caminhando 5 11 um atleta verificou que ainda faltavam 600 metros para o final do percurso. a) Qual o comprimento total do percurso? b) Quantos metros o atleta havia corrido? 12. Os amigos comeram uma terc¸a parte do bolo de aniversa´rio. Do restante do bolo, Andre´ comeu uma terc¸a parte. E, finalmente, Bernardo comeu uma terc¸a parte do que sobrou. Qual foi a frac¸a˜o do bolo que restou? 13. Qual e´ o nu´mero que devemos acrescentar a ambos os termos da frac¸a˜o 3 7 para que ela se torne igual a 1 2 ? 14. Sejam a, b ∈ Z, b 6= 0. Mostre que para todo n ∈ N vale que a b = 1 n + an− b nb . 15. O reverso de um nu´mero natural de dois algarismos e´ o nu´mero que se obte´m trocando a ordem dos algarismos. Por exemplo, o reverso de 57 e´ 75. Quais sa˜o os nu´umeros naturais de dois algarismos cuja soma com o seu reverso e´ um quadrado perfeito? 16. (a)Mostre que se b, d ∈ N e a b = c d enta˜o a+ c b+ d = a b . (b) Encontre o valor decimal de 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·+ 10000 7 + 14 + 21 + 28 + · · ·+ 70000. (c) Idem para 2 + 4 + 6 + · · ·+ 2000 3 + 6 + 9 + · · ·+ 2001. 17. Se a, b, c sa˜o nu´meros inteiros positivos distintos tais que b a− c = a+ b c = a b , qual o valor de a b ? 1.7. OS NU´MEROS IRRACIONAIS 19 1.7 Os nu´meros irracionais Como vimos na sec¸a˜o anterior, todo nu´mero racional pode ser escrito na forma decimal por uma representac¸a˜o finita (como −3 ou 2, 85, por exem- plo) ou infinita perio´dica (como 0, 3333... = 1 3 , por exemplo). Cabe enta˜o a seguinte pergunta: Sera´ que todo tipo de nu´mero tem uma representac¸a˜o decimal finita ou infinita perio´dica? A resposta e´ na˜o. Por exemplo, o nu´mero 0, 202002000200002000002 · · · tem representac¸a˜o decimal infinita e na˜o perio´dica. Ale´m desse, existem nu´meros important´ıssimos cuja representac¸a˜o decimal e´ infinita e na˜o se repete, e´ o caso dos conhecidos pi = 3, 1415926 · · · e √2 = 1, 4142135 · · · . Historicamente, os nu´meros racionais na˜o solucionaram todos os proble- mas envolvendo a geometria e a aritme´tica. Por exemplo, em determinadas figuras, alguns segmentos na˜o teˆm uma unidade de medida que caiba um nu´mero inteiro de vezes em cada um deles; sa˜o os chamados segmentos in- comensura´veis. Pita´goras e seus seguidores ja´ haviam percebido essa dificul- dade com relac¸a˜o a` diagonal de um quadrado de lado ` = 1. d 1 1 1 1 Aplicando o teorema de Pita´goras 2 no ∆ABC, obtemos d2 = 12 + 12 ⇒ d2 = 2⇒ d = √ 2 = 1, 4142... o qual na˜o pertence a Q pois ele tem representac¸a˜o infinita na˜o perio´dica. 2Num triaˆngulo retaˆngulo com hipotenusa (o maior dos lados do triaˆngulo retaˆngulo) medindo a e catetos medindo b e c vale a seguinte relac¸a˜o: a2 = b2 + c2 . 20 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS Fica evidente que nem sempre a raiz de um nu´mero racional e´ um nu´mero racional. Para que a teoria dos nu´meros racionais evolu´ısse foi necessa´rio o avanc¸o dos estudos sobre infinitos e geometria anal´ıtica. Foram gastos al- guns se´culos para que, entre tantas contribuic¸o˜es chegasse ao se´culo XIX com Dedekind (J.W.R. Dedekind, 1831-1916) e Cantor (Georg Cantor, 1845- 1918), dando um rigor cient´ıfico a essa teoria. O conjunto I dos irracionais e´ formado por nu´meros cuja representac¸a˜o decimal na˜o e´ finita e nem perio´dica. Exemplos: 1) O nu´mero pi = 3, 141592..., e´ o resultado da divisa˜o da medida do com- primento de uma circunfereˆncia pela medida do sue diaˆmetro. 2) O nu´mero e = 2, 718...,conhecido com nu´mero de Euler (Leonhard Eu- ler, 1707-1783). 3) Radicais do tipo √ 2 = 1, 4142...; √ 3 = 1, 7320...; √ 5 = 2, 2360..., e, de forma geral √ p, com p primo. 1.8 Exerc´ıcios 1. B = 3 √−0, 064 e´ um nu´mero racional ou irracional? 2. O conjunto dos nu´meros irracionais e´ fechado com relac¸a˜o a` qual(is) da(s) operac¸a˜o(o˜es) seguintes? (a) soma (b) diferenc¸a (c) produto 3. O que podemos garantir sobre xy se sabemos que x, y sa˜o irracionais? Pense nos seguintes nu´meros: √ 2 , √ 2 √ 2 , ( √ 2 √ 2 ) √ 2 . 1.9. CONJUNTO R DOS NU´MEROS REAIS 21 1.9 Conjunto R dos nu´meros reais O conjunto formado pelos nu´meros racionais e pelos nu´meros irracionais e´ chamado conjunto dos nu´meros reais e e´ representado por R, ou seja, R e´ constitu´ıdo de todos os nu´meros que tenham representac¸a˜o decimal finita ou infinita ( perio´dica ou na˜o ). Assim, temos: R = Q ∪ I, sendo Q ∩ I = ∅ . R Z N Q II Observac¸a˜o 1.9.1. Podemos pensar no conjunto dos nu´meros reais como sendo representado por uma reta numerada. Cada ponto da reta representa um nu´mero real e vice-versa. R e´ um conjunto infinito, ilimitado superiormente e inferiormente e tambe´m em R na˜o existe a ide´ia de nu´mero consecutivo, ou seja, na˜o existe um primeiro nu´mero real depois de um outro dado. Ale´m disso, diferente- mente dos conjuntos Q e Z, por exemplo, R e´ um conjunto cont´ınuo, num sentido (impreciso) de que seus elementos esta˜o dispostos sem “buracos”entre um e outro (para visualizar isso,pense em R como uma reta!). Definic¸a˜o 1.9.2. Dois nu´meros reais sa˜o ditos opostos (ou sime´tricos) um do outro quando apresentam soma zero, os pontos que o representam distam igualmente da origem. Podemos tomar como exemplo o nu´mero 3: o oposto de 3 e´ −3 e o oposto de −3 e´ 3, pois 3 + (−3) = 0. Definic¸a˜o 1.9.3. Dois nu´meros sa˜o inverso um do outro quando o produto entre eles resulta em 1. 22 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS Por exemplo, 4 5 e´ o inverso de 5 4 (e vice-versa) ou 0, 8 e´ o inverso de 1, 25 (e vice-versa). Observac¸a˜o 1.9.4. Todo nu´mero real, exceto o 0 tem inverso. (Por que o 0 na˜o tem inverso?) Propriedades de R A soma e produto em R gozam das seguintes propriedades: (i) R e´ fechado com relac¸a˜o a` somae ao produto, isto e´, ∀ a, b ∈ R, (a+ b), a · b ∈ R. (ii) A soma e´ comutativa: a+ b = b+ a ∀ a, b ∈ R. (iii) O produto e´ comutativo: a · b = b · a ∀ a, b ∈ R. (iv) A soma e´ associativa: (a+ b) + c = a+ (b+ c) ∀ a, b, c ∈ R. (v) O produto e´ associativo: (a · b) · c = a · (b · c) ∀ a, b, c ∈ R. (vi) Existe elemento neutro da soma: a+ 0 = a ∀ a ∈ R. (vii) Existe elemento neutro do produto: 1 · a = a ∀ a ∈ R. (viii) Todo nu´mero real tem sime´trico (inverso aditivo) em R: a+(−a) = 0. (ix) Todo nu´mero real a 6= 0 tem inverso multiplicativo em R: a · a−1 = 1. (x) O produto e´ distributivo com relac¸a˜o a` soma: a · (b + c) = a · b + a · c ∀ a, b, c ∈ R. Listamos a seguir algumas outras propriedades importantes que decorrem das anteriores: (A) a · 0 = 0 ∀a ∈ R. (B) Se a · b = 0 enta˜o a = 0 ou b = 0 (O “ou”e´ na˜o exclusivo). (C) Se a+ b = a+ c enta˜o b = c. (D) Se a · b = a · c e a 6= 0 enta˜o b = c. (E) (a± b)2 = a2 ± 2ab+ b2 ∀a, b ∈ R. (F) (a+ b) · (a− b) = a2 − b2 ∀a, b ∈ R. Voceˆ pode tentar provar essas propriedades ((A) ate´ (F))usando as de (i) a (x). E´ um exerc´ıcio bem interessante. Por exemplo, para provar a pro- priedade (C) basta somar (−a) aos dois membros da igualdade a+b = a+c. Ja´ em (E) e (F) use a distributividade do produto com relac¸a˜o a` soma e a comutatividade do produto. Usamos essas propriedades, por exemplo, na soluc¸a˜o de certas equac¸o˜es de segundo grau. Vejamos: 1.10. EXERCI´CIOS 23 (a) x2 − 5x = 0 x2− 5x = 0 ⇔ x · (x− 5) = 0 ⇔ x = 0 ou x− 5 = 0⇔ x = 0 ou x = 5 . Quais propriedades usamos aqui? (b) 2x2 − 50 = 0 2x2−50 = 0 ⇔ 2x2 = 50 ⇔ x2 = 25 ⇔ x2−25 = 0 ⇔ (x−5)·(x+5) = 0 ⇔ x = ±5 . E neste caso, quais as propriedades usadas? 1.10 Exerc´ıcios 1. Sendo y = 1 : 0, 1 e x = 2 : 0, 1, mostre que A = √ x y e B =√ x(y − 1) y irracionais, mas que A.B e´ racional. 2. Qual e´ o valor da expressa˜o √ 3 + 1√ 3− 1 + √ 3− 1√ 3 + 1 ? 3. Para facilitar os ca´lculos durante uma prova de Matema´tica, o pro- fessor escreveu no quadro a seguinte frase: “Adote pi = 22 7 , com boa aproximac¸a˜o”. Comente isso! 4. Observe as seguintes concluso˜es: Vamos chamar de x o nu´mero 2. Assim x = 2. Multiplicando os dois lados da igualdade por x obtemos x2 = 2x. Subtraindo 4 aos dois lados da igualdade: x2 − 4 = 2x − 4. Fatorando temos: (x−2) ·(x+2) = 2 ·(x−2). Agora, cancelamos o termo (x−2) comum aos dois membros da igualdade e obtemos: x+2 = 2, e como t´ınhamos escolhido x = 2 conclu´ımos que 2 + 2 = 2 ou seja 4 = 2. Uma conclusa˜o absurda! Descubra aonde esta´ o erro nessa argumentac¸a˜o. 24 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS 1.11 Ordenac¸a˜o dos reais Do que foi exposto anteriormente conclu´ımos que a cada ponto da reta core- sponde um u´nico nu´mero real e, reciprocamente, a cada nu´mero real asso- ciamos um u´nico ponto da reta; dizemos que existe uma correspondeˆncia biun´ıvoca entre os nu´meros reais e os pontos da reta (chamada de reta real). A partir dessa representac¸a˜o procuraremos observar algumas das pro- priedades mais importante dos nu´meros reais. Na reta real os nu´meros esta˜o ordenados; um nu´mero a e´ menor que qualquer nu´mero b colocado a` sua direita: a b Exprimimos assim: a e´ menor que b: a < b. Isso e´ equivalente a dizer que b e´ maior que a: b > a Segue, naturalmente, que todo nu´mero negativo e´ menor que qualquer nu´mero positivo, que os nu´meros negativos sa˜o menores que zero e que os positivos sa˜o maiores que zero. Como cada ponto da reta representa um u´nico nu´mero real, dados dois nu´meros reais x e y, e´ verdade que x = y ou x < y ou x > y, na˜o havendo outras possibilidades e na˜o sendo poss´ıvel a ocorreˆncia simultaˆnea de duas dessas relac¸o˜es. Expresso˜es do tipo x < y sa˜o chamadas desigualdades; x e y sa˜o os membros da desigualdade. Qualquer desigualdade pode ser escrita em sentido contra´rio, uma vez que: x menor que y (x < y) e´ equivalente a y maior que x (y > x). Aos escrevermos x ≤ y, queremos dizer que x e menor ou igual a y. 1.11. ORDENAC¸A˜O DOS REAIS 25 Tambe´m costumamos a escrever a < x < b para exprimir que o nu´mero x esta´ entre a e b, ou seja, que x e´ maior que a e ao mesmos tempo menor que b. Propriedades da Ordenac¸a˜o em R: Existem diversas propriedades da ordenac¸a˜o dos nu´meros reais, mas as prin- cipais sa˜o as seguintes: (1) Se a > b e c > d enta˜o a+ c > c+ d; (2) Se a > b e c < d enta˜o a− c > b− d; (3) Se a > b e c > 0 enta˜o a · c > b · c; (4) Se a > b e c < 0 enta˜o a · c < b · c; E´ bastante importante refletir sobre elas e se convencer de sua validade, ate´ o ponto em que elas se tornem absolutamente naturais. 1.11.1 Intervalos No conjunto do nu´meros reais destacaremos alguns subconjuntos impor- tantes, determinados por desigualdades, chamados de intervalos. Na reta real os nu´meros compreendidos entre a e b, incluindo o a e o b, constituem o intervalo fechado [a, b], ou seja: [a, b] = {x ∈ R ; a ≤ x ≤ b} Se excluirmos os nu´meros a e b, chamados de extremos do intervalo, teremos a b o intervalo aberto (a, b), ou seja: (a, b) = {x ∈ R ; a < x < b} . 26 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS a b Consideramos ainda intervalos mistos: (a, b] = {x ∈ R ; a < x ≤ b} (intervalo aberto a` esquerda e fechado a direita) a b [a, b) = {x ∈ R ; a ≤ x < b} (intervalo fechado a` esquerda e aberto a direita) a b Observac¸a˜o 1.11.1. A`s vezes sa˜o utilizados ] [ em lugar de ( ) para rep- resentar extremidades abertas em intervalos: ]a, b[= (a, b), [a, b[= [a, b), ]a, b] = (a, b] . Unia˜o e intersecc¸a˜o de intervalos Aplicamos as definic¸o˜es de unia˜o e intersecc¸a˜o de conjuntos na repre- sentac¸a˜o gra´fica dos intervalos, projetando-os numa mesma reta. Exemplos: Sejam os intervalos (-3,2] e [1,3] encontre: a) (−3, 2] ∪ [1, 3] Resoluc¸a˜o: Enta˜o: (−3, 2] ∪ [1, 3] = (−3, 3]. b) (−3, 2] ∩ [1, 3] Resoluc¸a˜o: Enta˜o: (−3, 2] ∩ [1, 3] = [1, 2] 1.12. EXERCI´CIOS 27 (-3,2] [1,3] (-3,2]U[1,3] 0 0 0 -3 2 1 3 3 -3 21 (-3,2] [1,3] 0 0 0 -3 2 1 3 3 -3 21 (-3,2] [1,3] U 1.12 Exerc´ıcios 1. Marque numa reta nume´rica representando R os seguintes nu´meros reais: −2, 5; 0, 75; 4; −pi; 0, 666 · · · ; 1, 525252 · · · ; √ 7. 2. Apresente um nu´mero real entre √ 2−√3 2 e √ 6−√2 4 . 3. Verdadeiro ou Falso: (Justifique sua resposta!) (a) Se a, b ∈ R∗ , a > b, enta˜o 1 a < 1 b . (b) Se a, b ∈ R , a > b > 0, enta˜o 1 a < 1 b . (c) Se x ∈ R e x2 > 9 enta˜o x > 3. (d) Se a, b ∈ R e a2 > b2, enta˜o a > b. (e) Se a, b ∈ R e a > b, enta˜o a2 > b2. 4. Mostre que se a e b sa˜o nu´meros reais positivos enta˜o √ ab ≤ a+ b 2 , 28 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS ou seja, a me´dia aritme´tica de dois nu´meros reais positivos e´ sempre maior ou igual a` me´dia geome´trica desses nu´meros. 5. Encontre todos os x ∈ R que satisfazem as desigualdades abaixo. Deˆ a resposta usando a notac¸a˜o de intervalo. (a) 2x− 5 < 9 (b) 3− 5x < 12 (c) 2− 3x > −2 (d) x2 > 1 (e) x2 < 1 (f) 1 x ≤ x (cuidado!) 6. Fac¸a a representac¸a˜o gra´fica de cada um dos seguintes intervalos: a) A = {x ∈ R ; x ≥ 2} b) B = {x ∈ R ; 0 ≤ x ≤ 3} c) C = (−∞, 2] d) D = [−7, 3[ 7. Determine a unia˜o e a intersecc¸a˜o dos seguintes intervalos: a) [1, 3]∪]2, 5] b) (−1, 4] ∪ [3, 7] c) (−∞, 5) ∪ [0, 6] d) [1, 3]∩]2, 5] e) (−8, 5)∩[0, 9] f) (1, 3]∩[2, 5]∪[1, 3]∩]2, 5] 1.13 Mo´dulo de um nu´mero real Existem situac¸o˜es em que o fato de um dado nu´mero ser positivo ou negativo na˜o e´ fundamental, importando apenas a distaˆncia do ponto que representa o nu´mero ao ponto de origem, o zero. Essa distancia e´ chamada valor absoluto ou mo´dulo do nu´mero. Assim o mo´dulo de 5 e´ igual ao mo´dulo de −5, uma vez que ambos esta˜oa igual distaˆncia do zero na reta real, que e´ 5 unidades. Notac¸a˜o: |5| = | − 5| = 5. Do que foi visto anteriormente conclu´ımos que, se um nu´mero real x e´ positivo, ele coincide com sue mo´dulo; se x e´ negativo, trocamos o o seu sinal, ou seja, tomamos o seu oposto, obtemos o seu mo´dulo. 1.13. MO´DULO DE UM NU´MERO REAL 29 Resumindo: Se x e´ positivo ou zero, enta˜o |x| = x. Se x e´ negativo, enta˜o |x| = −x. Por exemplo, se x = −pi, temos: | − pi| = −(−pi) = pi. Se x = 0, temos |0| = 0. Note que o mo´dulo de um nu´mero real nunca e´ negativo. Exemplo: Resolva a equac¸a˜o |x| = 7. Resolver uma equac¸a˜o significa encontrar todos os valores da inco´gnita, no caso x, num conjunto universo ( que, salvo menc¸a˜o em contra´rio e´ R ) que satisfazem a igualdade. No nosso caso, encontrar todos os nu´meros reais cujo mo´dulo vale 7. Como ha´ apenas dois nu´meros reais cujo mo´dulo vale 7, a saber ±7, essas sa˜o as soluc¸o˜es da equac¸a˜o. E´ importante observar que √ x2 = |x| e na˜o √x2 = x, uma vez que, por exemplo, √ (−3)2 = √9 = 3 = | − 3|. Um fato importante e´ o seguinte: Se a e b sa˜o dois nu´meros reais a expressa˜o |a− b| representa, geometricamente, a distaˆncia entre a e b. Por exemplo: |5 − 2| = 3 , | − 5 − 1| = 6, | − 2 − (−5)| = 3. ( Deixamos ao leitor a tarefa de provar esse resultado. ) Em particular, |a| representa, geometricamente, a distaˆncia entre o nu´mero real a e o nu´mero 0. Exemplo: Resolva a equac¸a˜o |x− 1| = 9. Podemos resolveˆ-la de forma simples usando a definic¸a˜o geome´trica do mo´dulo. |x− 1| representa a distaˆncia na reta real entre os nu´meros x e 1. Quer- emos assim encontrar todos os nu´meros reais x que distam 9 unidades do nu´mero 1. Obviamente ha´ apenas dois nu´meros reais nessas condic¸o˜es 1− 9 = −8 e 1 + 9 = 10. Assim S = {−8, 10}. 30 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS 1.14 Exerc´ıcios 1. Represente na reta real os pontos que satisfazem as seguintes relac¸o˜es: a) |x| = 3 b) |x| ≤ 0 c) |x| ≥ −1 d) |x| ≤ √5 2. Mostre que se a e b sa˜o dois nu´meros reais a expressa˜o |a − b| representa, geometricamente, a distaˆncia entre a e b. 3. Resolva as equac¸o˜es: (a) |x− 2| = 5 (b) |3− 2x| = 6 (c) |x+ 2| = 5 (d) |x+ 3|+ |x− 2| = 4 4. Encontre todos os valores poss´ıveis para a expressa˜o |x| x . 5. Represente usando mo´dulo o conjunto A = {x ∈ R;−3 ≤ x ≤ 3}. 6. Usando a notac¸a˜o de intervalos, expresse os conjuntos: a) B = {x ∈ R ; |x− 1| < 7} b) C = {x ∈ R ; |x− 3| > 4} c) D = {x ∈ R ; |x+ 2| ≥ 5} 1.15 Exerc´ıcios Suplementares 1. Determine todos os nu´meros naturais a, b tais que a−1 + b−1 = 1 . 2. Calcule (y−1 − z)−1 . 3. Resolva a equac¸a˜o: x = 1 + 1 1 + 1 x . 4. Resolva a inequac¸a˜o: |x− 3| − |x| ≤ 4− x . 1.16. RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS 31 5. Encontre todos os nu´meros x ∈ R tais que √x = x− 2. 6. Quais os valores poss´ıveis para a expressa˜o x− 4 |x− 4| + x− 2 |x− 2| + x− 3 |x− 3| e para quais x eles ocorrem? 1.16 Respostas dos Exerc´ıcios Sec¸a˜o 1.4 1) D = {−3,−1} Sec¸a˜o 1.6 1) a) 0, 333 · · · b) 0, 04 c) 5, 6 d)0, 0333 · · · e) 0, 6333 · · · 2) a) 4 9 b) 20 11 c) 116 495 d) 163 9 e) 4097 3300 3) 19 4) a) 4 b) −1 5) Ha´ infinitos nu´meros racionais entre eles. Por exemplo, 89 99 , 91 99 e 9599. 7) a) 0, 0336 b) 0, 05 8) 15 9) 7 32 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS 10) 36 11 horas. 11) a) 2310 b) 1710 12) 8 27 13) 1 15) 29, 38, 47, 56 e seus reversos. 16) b) 1 7 c) 1998 3003 17) 2 Sec¸a˜o 1.8 1) Racional. 2) Na˜o para todos os itens. Pense em exemplos que comprovem isso. Sec¸a˜o 1.10 1) A = √ 2, B = 3 √ 2 e A ·B = 6. Sec¸a˜o 1.12 2)Como os dois nu´meros sa˜o iguais, na˜o existe nu´mero real entre eles. 3) a)F b)V c)F d)F e)F 5)a)(−∞, 7) b) ( −9 5 ,∞ ) c) ( −∞, 4 3 ) d)(−∞,−1)∪(1,∞) e)(−1, 1) f)[−1, 0) ∪ [1,∞) 1.16. RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS 33 7)a)[1, 5] b)(−1, 7] c)(−∞, 6] d)(2, 3] e)[0, 5) f)[2, 3] Sec¸a˜o 1.14 1) a) x = ±3 b) x = 0 c) x ∈ R d) −√5 ≤ x ≤ √5 3) a) S = {−3, 7} b) S = {−3 2 , 9 2 } c) S = {−7, 3} d) S = ∅ 4) S = {−1, 1} 5) {x ∈ R ; |x| ≤ 3} Sec¸a˜o 1.15 2) y 1− zy , yz 6= 1. 3) S = { 1 + √ 5 2 , 1−√5 2 } 4) S = {x ∈ R;x ≤ 7} = (−∞, 7] 5) S = {4} 6) Chamando de s a soma: Se x > 4 enta˜o s = 3 Se 3 < x < 4 enta˜o s = 1 Se 2 < x < 3 enta˜o s = −1 Se x < 2 enta˜o s = −3 34 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS Cap´ıtulo 2 EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS 2.1 Potenciac¸a˜o Queremos aqui dar um significado preciso a` expresso˜es do tipo ab, em que a e´ um nu´mero real qualquer e b e´ um nu´mero racional. E´ claro que ja´ estamos ha´ muito acostumados a lidar com poteˆncias, mas e´ necessa´rio entender bem o que significam esses entes. 1- Expoentes naturais Seja a ∈ R um nu´mero real qualquer. Para n ∈ N, n ≥ 2 definimos an = a× a× · · · × a︸ ︷︷ ︸ n fatores , ou seja , an e´ o produto de a por si mesmo n vezes. Neste caso dizemos que a e´ base, n e´ o expoente e an e´ a n-e´sima poteˆncia de a. Exemplos: a)33 = 3 · 3 · 3 = 27 b)25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64 c)(1 2 )4 = 1 2 · 1 2 · 1 2 · 1 2 = 1 2·2·2·2 = 1 16 . 35 36 CAPI´TULO 2. EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS Propriedades da Potenciac¸a˜o 1) am · an = am+n Basta ver que: am · an = a× a× · · · × a︸ ︷︷ ︸ m fatores × a× a× · · · × a︸ ︷︷ ︸ n fatores ·an = a× a× · · · × a︸ ︷︷ ︸ (n+m) fatores = an+m . 2) a m an = am−n, para m > n. am an = m fatores︷ ︸︸ ︷ a× a× · · · × a a× a× · · · × a︸ ︷︷ ︸ n fatores = n fatores︷ ︸︸ ︷ a× a× · · · × a× (m−n) fatores︷ ︸︸ ︷ a× a× · · · × a a× a× · · · × a︸ ︷︷ ︸ n fatores . Como m > n podemos simplificar os n fatores do denominador com n fatores a no numerador e sobram (m−n) fatores a no numerador. Assim: am an = am−n. 3) (a · b)n = an · bn. (a · b)n = ab× ab× · · · × ab︸ ︷︷ ︸ n fatores = (a× a× · · · × a︸ ︷︷ ︸ n fatores )× (b× b× · · · × b︸ ︷︷ ︸ n fatores = anbn . 4) (a b )n = a n bn , (b 6= 0). De fato, (a · b)n = a b × a b × · · · × a b︸ ︷︷ ︸ n fatores = n fatores︷ ︸︸ ︷ a× a× · · · × a b× b× · · · × b︸ ︷︷ ︸ n fatores = an bn . 5) (am)n = am·n. Exemplo 2.1.1. Simplifique, usando as propriedades das poteˆncias: a) 35 · 34 · 3 · 32 = 35+4+1+2 = 312 2.1. POTENCIAC¸A˜O 37 b) (a · b · c)4 · a3 · b5 · c2 = a4 · b4 · c4 · a3 · b5 · c2 = a7 · b9 · c6. c) 2ax5 · 3ax4 = 6a2x9 2- Expoentes inteiros Ja´ temos definido o significado de an, com n um inteiro positivo qual- quer. Para estender a ide´ia de poteˆncia a expoentes inteiros, precisamos primeiramente definir o que significaria uma poteˆncia de expoente zero, a0. Por questo˜es te´cnicas vamos supor a 6= 0. Para que permanec¸am va´lidas as propriedades das poteˆncias, o ideal e´ definirmos a0 = 1, pois 1 = a2 a2 = a2−2 = a0 . E isso explica tambe´m porque exigimos que a 6= 0, ja´ que na˜o existe divisa˜o por zero. Da mesma forma precisamos definir poteˆncias de expoente negativo. Na verdade, basta defirmos poteˆncias de expoente −1. Seja a ∈ R, a 6= 0 um nu´mero real. Se n ∈ N definimos a−1 = 1 a . Isso se justifica pelos fatos de ja´ termos definido a0 = 1 e por a · a−1 = a0 = 1. Observe novamente a necessidade exigirmos a 6= 0. Agora podemos definir, de forma geral: Se a 6= 0, a−n = (an)−1 = 1 an . Observac¸a˜o 2.1.2. 1) a−n.am = 1 an .am = a m an = am−n. 2) a−n.a−m = 1 an . 1 am = 1 am.an = 1 an+m = a−n−m. Assim, todas as propriedades de poteˆncias de expoentes naturais permanecem va´lidas para expoentes inteiros. 38 CAPI´TULO 2. EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS Exemplos: a) a 2·a−3 a5 = a 2 a3·a5 = a −6. b)(2−3)2 = ( 1 23 )2 = 1 26 = 1 64 . 3- Expoentes Racionais Passamos agora a dar sentido ao simbolo a m n , a ∈ R, m, n ∈ Z, n 6= 0. Definimos a m n = ( n √ a)m = n √ am , em que a ≥ 0 se n for par diferente de zero. Tal definic¸a˜o se explica pelo fato de que queremos que prevalec¸am va´lidas as propriedades operato´rias entre poteˆncias de mesma base e, em particular, aquela que diz que (xd)e = xd·e. Note que: (a m n )n = am, o que justifica nossa definic¸a˜o a m n = ( n √ a)m = n √ am. Mais uma vez, observamos que, essa definic¸a˜o preserva as propriedades ba´sicas das poteˆncias: a) a p q · amn = a pq+mn b) (a p q ) m n = a pm qn c) a p q .b p q = (ab) p q 2.2 Exerc´ıcios 1. Simplifique as expresso˜es: (a) ( 3 √ 24)6 (b) √ 200√ 8 (c) 6 √ 24 · 32 · 57 (d) √√ 6 √ (23 · 3 · 64 · 42)24 (e) 6 √ 24 · 32 · 57 · 3√23 · 3 · 56 2.3. PRODUTOS NOTA´VEIS 39 (f) (a6b9c−3d12)0,33333... (g) a x+y ax−y 2. Determine o valor da expressa˜o: (x2 + y2 + 2)a·a 3−(a2)2 . 3. (OPM - 1995)Escreva os nu´meros abaixo em ordem crescente: 8 √ 3, 4 √ 9, 3 √ 27−1, 3 3 8 , 1, 4 √ 35, 3− 3 2 , 3 √ 92 . 4. Escreva da forma mais simplificada poss´ıvel, a expressa˜o: 3k+4 − 32 · 3k+1 9 · 3k+2 . 5. Dado n ∈ Z, n > 1, decida qual dos nu´meros e´ maior: n √ n+ 1 ou n+1 √ n . 6. A velocidade da luz no va´cuo e´ aproximadamente 3× 108 m/s. Deter- mine a distaˆncia, em metros, percorrida pela luz em um se´culo. 2.3 Produtos Nota´veis Produtos nota´veis sa˜o um grupo de produtos que aparecem de forma recor- rente em ca´lculos alge´bricos, e cujo uso simplifica bastante os ca´lculos. Todos esse produtos nota´veis sa˜o consequeˆncias da propriedade distributiva do pro- duto em relac¸a˜o a` soma: (a+ b) · (c+ d) = a · c+ a · d+ b · c+ b · d . Produto de binoˆmios com um termo comum (x+ a) · (x+ b) = x2 + ax+ bx+ ab = x2 + (a+ b)x+ ab . 40 CAPI´TULO 2. EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS Quadrado da soma de dois termos (x+ y)2 = (x+ y) · (x+ y) = x2 + xy + yx+ y2 = x2 + 2xy + y2 Quadrado da diferenc¸a de dois termos (x− y)2 = (x− y) · (x− y) = x2 − xy − yx+ y2 = x2 − 2xy + y2 Produto da soma pela diferenc¸a de dois termos (x+ y) · (x− y) = x2 − xy + yx− y2 = x2 − y2 Cubo da soma de dois termos (x+ y)3 = (x+ y) · (x+ y)2 = (x+ y) · (x2 + 2xy + y2) = x3 + 2x2y + xy2 + yx2 + 2xy2 + y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 Cubo da diferenc¸a de dois termos (x− y)3 = (x− y) · (x− y)2 = (x− y) · (x2 − 2xy + y2) = x3 − 2x2y + xy2 − yx2 + 2xy2 − y3 = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3 Exemplos: (a) (abc+ 3) · (abc+ 5) = (abc)2 + (3 + 5) · abc+ 3 · 5 = a2b2c2 + 8abc+ 15 (b) (x− 3) · (x+ 3) = x2 − 32 = x2 − 9 (c) (2a+ 5b)2 = (2a)2 + 2 · 2a · 5b+ (5b)2 = 4a2 + 20ab+ 25b2 2.3. PRODUTOS NOTA´VEIS 41 (d) (x2 + 1 x )3 = (x2)3 + 3(x2)2 1 x + 3x2 ( 1 x )2 + ( 1 x )3 = x6 + 3x4 1 x + 3x2 1 x2 + 1 x3 = x6 + 3x3 + 3 + 1 x3 . Por tratar-se de igualdades, elas sa˜o va´lidas nos “dois sentidos”, isto e´, por exemplo: (a+b)·(a−b) = a2−b2 e a2−b2 = (a+b)·(a−b). Dependendo do contexto pode nos ser u´til efetuar o produto ou, inversamente, fatora´-lo. Fatorar significa exatamente transformar uma expressa˜o alge´brica em outra equivalente na forma de um produto. Assim, por exemplo, ao escrevermos que x2 − 8x + 16 = (x− 4)2 estamos fatorando a expressa˜o x2 − 8x + 16. Essas fatorac¸o˜es sa˜o feitas, em geral, reconhecendo-se o uso dos produtos nota´veis acima listados ou da propriedade distributiva. Listaremos a` seguir alguns dos casos mais usuais de fatorac¸a˜o: ax+ ay = a(x+ y) x2 − y2 = (x+ y) · (x− y) a2 + 2ab+ b2 = (a+ b)2 a2 − 2ab+ b2 = (a− b)2 x3 − y3 = (x− y) · (x2 + xy + y2) x3 + y3 = (x+ y) · (x− xy + y2) Exemplos: 1) Fatore a expressa˜o: 15x2y3 − 3x2y − 6xy. Resoluc¸a˜o: Observe que nas treˆs parcelas dessa expressa˜o ha´ um fator comum: 3xy. Podemos enta˜o, usando a propriedade distributiva do produto em relac¸a˜o a` soma, colocar esse fator em evidencia, fatorando a expressa˜o. Assim: 15x2y3 − 3x2y − 6xy = 3xy · (5xy2 − x− 6) . 2)Fatore a expressa˜o: y3 + 10y2 + 25y . 42 CAPI´TULO 2. EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS Resoluc¸a˜o: Primeiro colocamos y em evidencia: y3 + 10y2 + 25y = y · (y2 + 10y + 25) . Em seguida reconhecemos que y2+10y+25 e´ um trinoˆmio quadrado perfeito, ou seja, e´ uma expressa˜o da forma (a+b)2. Aqui: a = y e b = 5. Portanto, y2 + 10y + 25 = (y + 5)2 e segue que: y3 + 10y2 + 25y = y · (y + 5)2 . 3)Fatore a expressa˜o: a4k − b4k . Resoluc¸a˜o: Essa expressa˜o e´ uma “diferenc¸a de dois quadrados” e se fatora como um produto da soma pela diferenc¸a: a4k − b4k = (a2k + b2k) · (a2k − b2k) . Observe que a expressa˜o (a2k − b2k) e´ outra diferenc¸a de quadrados e, portanto, tambe´m pode ser fatorada: (a2k − b2k) = (ak + bk) · (ak − bk) . Assim, temos: a4k − b4k = (a2k + b2k) · (ak + bk) · (ak − bk) . 4)Escreva a expressa˜o a4 + b4 como um produto de dois fatores. Resoluc¸a˜o: Aqui temos uma fatorac¸a˜o na˜o-trivial. Primeiramente vamos transformar a expressa˜o a4 + b4 num trinoˆmio quadrado perfeito, usando de um processo conhecido como “completamento de quadrados”: a4 + b4 = (a2)2 + (b2)2 = (a2)2 + (b2)2 + 2a2b2 − 2a2b2 = (a2 + b2)2 − 2a2b2 . O completamento de quadrados foi feito somando-se e subtraindo-se o termo 2a2b2 que era o termo que faltava para obtermos a expressa˜o (a2 + b2)2. Voltando a` expressa˜o alge´brica, temos: a4 + b4 = (a2 + b2)2 − 2a2b2 = (a2 + b2)2 − ( √ 2ab)2 , que e´ uma diferenc¸a de dois quadrados e pode novamente ser fatorada: a4+b4 = (a2+b2)2−2a2b2 = (a2+b2)2−( √ 2ab)2 = (a2+b2+ √ 2ab)·(a2+b2− √ 2ab). 2.4. EXERCI´CIOS 43 2.4 Exerc´ıcios 1. Use os produtos nota´veis para calcular da forma mais simples: (a) 9.9992 (b) 10022 (c) 5502 − 502 2. Determine: (a) ( √ 3 + √ 2)2 (b) ( √ 20−√80 +√5)2 3. Desenvolva a expressa˜o: (a+ b+ c)2 . 4. Simplifique a expressa˜o: [(x+ 2y)2 − (x− 2y)2]2 . 5. Escreva uma expressa˜o equivalente a (m−1 + n−1) · (m+ n)−1 usando expoentes sempre negativos. 6. Se y = abx a−x , encontre uma expressa˜o expl´ıcita para x em termos de a, b e y. 7. (a) Mostre que x3 + y3 = (x+ y) · (x2 − xy + y2). (b) Sabendo que (a+ a−1)2 = 3, determine o valor de a3 + a−3. 8. Simplifique: 2 3 √ 3 + 3 √ 0, 375− 7 3 √ 9 0, 024 + 3 √ 0, 003 . Obs: Nada de usar calculadora!!! 9. (OPM) O produto abaixo e´ um nu´mero inteiro. Determine-o: 6 √ 8(7 + 4 √ 3) · 3 √ 2 √ 6− 4 √ 2 . 44 CAPI´TULO 2. EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS 10. Verifique se cada igualdade abaixo e´ verdadeira ou falsa. Corrija as falsas de forma a torna´-las verdadeiras. (a) a2 · b5 = (ab)7 (b) 4a+ 5b = 9ab (c) x+ y − 3(z + w) = x+ y − 3z + w (d) 3x−1 = 1 3x (e) a+b a+c = b c (f) √ x2 = x (g) √ ab = √ a √ b (h) x · a b = ax bx (i) xa+xb x+xd = a+b 1+d (j) ab 2 = a 2 · b 2 (l) a2 · a3 = a5 (m) √ 2 + 4 √ 2a+ 4a = 2 √ a+ a (n) (x+ y)2 = x2 + y2 (o) 1 1−x y = y 1−x . 11. Simplifique as expresso˜es: (a) x3 − xy2 x2 + 2xy + y2 (b) x4 − y4 2x+ 2y (c) (x+ h)2 − x2 h (d) (x+ h)3 − x3 h (e) 1 x+h − 1 x h (f) a a+1 + a a−1 a a−1 − aa+1 2.4. EXERCI´CIOS 45 (g) x3 + x2y − xy2 − y3 x2 − 6x+ 9 · x− 3 x2 − y2 12. Escreva uma expressa˜o o mais simples poss´ıvel equivalente a: a+ b a− b − 4ab a2 − b2 − a− b a+ b . 13. Prove que se a ∈ Z enta˜o (a+ 1)2 − a2 e´ ı´mpar. 14. (Adaptado de questa˜o da OBM) (a) Simplifique a expressa˜o 1− 1 1− 1 1− 1 x . (b) Certa calculadora tem duas teclas especiais: A e B. A tecla A transforma o nu´mero x que esta´no visor em 1 x . A tecla B transforma o nu´mero x que esta´ no visor em 1 − x. Pedro tem um nu´mero no visor e aperta, sucessivamente, de forma alternada, as duas teclas: A,B,A,B,A,B,A,B,A,B · · · . Apo´s 1000 operac¸o˜es feitas por Pedro, o visor mostra o nu´mero 2004. Que nu´mero Pedro tinha inicialmente no visor? 15. Mostre que o nu´mero a = 19968 − 19958 e´ mu´ltiplo de 307. 16. Quantos nu´meros inteiros existem entre 897892 e 897902 que na˜o sa˜o quadrados perfeitos? 17. Sem usar uma calculadora, determine o valor de m sabendo que: m = √ 9876543212 − 987654321− 987654320 . 46 CAPI´TULO 2. EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS 2.5 Respostas dos Exerc´ıcios Sec¸a˜o 2.2 1) (a) 28 (b) 5 (c) 5 3 √ 12 · 6√5 (d) 211 · 35 (e) 250 · 3√36 · 6√5 (f) a2b3c−1d4 (g) a2y, a 6= 0. 2) 1 3) 3− 3 2 < 3 √ 27−1 < 1 < 8 √ 3 < 3 3 8 < 4 √ 9 < 4 √ 35 < 3 √ 92. 4) 2 3 5) n √ n+ 1 > n+1 √ n. 6) 9, 4608× 109m. Sec¸a˜o 2.4 1) (a) 99.980.001 (b) 1.004.004 (c) 300.000 2) (a) 5 + 2 √ 6 (b) 5 3) a2 + b2 + c2 + 2 · (ab+ ac+ bc). 4) 64x2y2 5) (mn)−1 6) Supondo a 6= 0, x = ya ab+y . 7) (b) 0. 8) −162 5 · 3√3 2.5. RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS 47 9) 2 10) Apenas os itens (g), (i) e (l) sa˜o verdadeiros. 11) (a) x(x−y) x+y , supondo que x+ y 6= 0. (b) (x−y)·(x 2+y2) 2 , supondo x+ y 6= 0. (c) 2x+ h, supondo h 6= 0. (d) 3x2 + 3xh+ h2, supondo h 6= 0. (e) 1 x(x+h) , supondo, x+ h 6= 0, x 6= 0 e a 6= 0. (f) a, supondo a 6= ±1 e a 6= 0. (g) x+y x−3 , supondo x 6= ±y e x 6= 3. 12) 0 14) (a) x (b) x = 2003 2004 . 15) Sugesta˜o: Fatore o ma´ximo poss´ıvel a expressa˜o a8 − b8. 16) 179.582 17) m = 987654320 48 CAPI´TULO 2. EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS Cap´ıtulo 3 POLINOˆMIOS E EQUAC¸O˜ES ALGE´BRICAS 3.1 Polinoˆmios As expresso˜es alge´bricas que estudamos no cap´ıtulo anterior sa˜o exemplos de polinoˆmios. A seguir faremos um estudo sobre os polinoˆmios em uma indeterminada. Definic¸a˜o 3.1.1. Um polinoˆmio na indeterminada x e a coeficientes reais e´ uma expressa˜o da forma P (x) = a0 + a1x+ a2x 2 + · · ·+ anxn, em que n ∈ N, a1, a2, a3, · · · , an ∈ R. Por exemplo, P (x) = 3 + 2x + 0, 5x2 e Q(x) = 1 + x2 − 3x7 sa˜o polinoˆmios, mas R(x) = x2 + x−1 na˜o. Para simplificar, representaremos por R[x] o conjunto de todos os polinoˆmios com coeficientes reais. Assim R[x] = {a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anxn ; n ∈ N e a1, a2, · · · , an ∈ R} . Definic¸a˜o 3.1.2. Se P (x) = a0 + a1x + a2x 2 + · · · + anxn e an 6= 0, dizemos que o grau de P (x) e´ n e anotamos assim: ∂P (x) = n ou assim gr(P (x)) = n. 49 50 CAPI´TULO 3. POLINOˆMIOS E EQUAC¸O˜ES ALGE´BRICAS Exemplos: (a) F (x) = 5x4 − 1 2 x2 −√7x− 8 e´ um polinoˆmio de grau 4. (b) G(x) = x 1 2 − x2 na˜o e´ um polinoˆmio. (c) H(x) = 5 e´ um polinoˆmio constante. Note que ∂H = 0. (d) O(x) = 0 e´ o polinoˆmio nulo. Observamos que o polinoˆmio nulo na˜o tem grau definido. Definic¸a˜o 3.1.3. Diremos que os polinoˆmios P (x), Q(x) ∈ R[x], P (x) = a+ 0 + a1x+ · · ·+ anxn e Q(x) = b0 + b1x+ · · · bmxm sa˜o iguais (ou ideˆnticos) se tiverem mesmo grau (n = m) e os coeficientes correspondentes forem iguais: a0 = b0, a1 = b1, · · · , an = bn. Exemplo: Determine os valores reais de a, b e c para que sejam iguais os polinoˆmios P (x) = (a+ b)x3 + (c− b)x2 + 3 e Q(x) = cx3 + x2 + (a− b)x+ (b+ c). Resoluc¸a˜o: P (x) = Q(x) se, e so´ se, a+ b = c c− b = 1 a− b = 0 b+ c = 3 Resolvendo esse sistema, obtemos: a = b = 1 e c = 2. Definic¸a˜o 3.1.4. Se P (x) = a0 + a1x+ a2x 2 + · · ·+ anxn e´ um polinoˆmio e c e´ um nu´mero real, definimos o valor nume´rico de P (x) em c como o resultado P (c) = a0 + a1c+ a2c 2 + · · ·+ ancn. Por exemplo, se P (x) = 3x3−5x2+4, o valor nume´rico de P (x) em −1 e´ obtido fazendo x = −1 no polinoˆmio e efetuando os ca´lculos: P (−1) = 3 · (−1)3 − 5 · (−1)2 + 4 = −3− 5 + 4 = −4 . Somamos(ou subtra´ımos) dois polinoˆmios somando (ou subtraindo) os coe- ficientes correspondentes e multiplicamos polinoˆmios, usando a distributivi- dade do produto em relac¸a˜o a` soma e a regra formal: xi · xj = xi+j. 3.2. EXERCI´CIOS 51 Assim: x2 · x5 = x7. Exemplos: Se P (x) = x2 + 3x+ 5 e Q(x) = 2x− 3. Enta˜o: P +Q = x2 + (3 + 2)x+ (5− 3) = x2 + 5x+ 2 ; P −Q = x2 + (3− 2)x+ 5− 2 = x2 + x− 3 ; Q− P = (0− 1)x2 + (2− 3)x+ (−3− 5) = −x2 − x− 8 ; P ·Q = (x2 + 3x+ 5) · (2x− 3) = 2x3 − 3x2 + 6x2 − 9x+ 10x− 15 = 2x3 + 3x2 + x− 15 ; 3 · P = 3x2 + 9x+ 15 . 3.2 Exerc´ıcios 1. Quais das seguintes expresso˜es representam polinoˆmios? Nas que forem, determine o grau. (a) F (x) = x2 + 2x4 − x−√5 (b) S(x) = x 2 3 − x+ 2 (c) G(y) = 7 √ 3y7 − 2y6 + 5 (d) H(x) = x23 (e) P (x) = (x5 − 3x2 + 1) · (x2 −√pi) (f) Q(x) = √ 3 + 1 (g) T (x) = 2 x3 − 7x 2. Discuta os poss´ıveis graus do polinoˆmio F (x) = (2b2 + b− 3)x3 + (b2 − 1)x2 + (2b+ 2)x+ 4 . 3. Sabendo que a e´ uma constante real e que P (x) = (3a + 2)x − 3 e G(x) = 2ax− 3a+ 5, determine as condic¸o˜es para que ∂(F ·G) = 2. 4. Encontre o valor de (a + b + c + d) sabendo que sa˜o ideˆnticos os polinoˆmios: P (x) = x3 − 2x+ 4 e Q(x) = ax3 + bx2 + cx+ d. 5. Em cada item, efetue as operac¸o˜es entre os polinoˆmios no anel R[x]: P (x) = 3x3+2x2+4x+1 , Q(x) = 4x2−1 , S(x) = 5x−4 , T (x) = x2−5x+3 52 CAPI´TULO 3. POLINOˆMIOS E EQUAC¸O˜ES ALGE´BRICAS (a) P +Q (b) Q− P (c) P ·Q (d) T · S − P ·Q (e) 3P − T (f) P · T 6. Qual e´ o grau do polinoˆmio Q(x) = (x−1)·(x−2)2·(x−3)3 · · · (x−10)30? 3.2.1 Divisa˜o de Polinoˆmios Na pra´tica, a divisa˜o de polinoˆmios e´ feita usando-se um algoritmo bastante similar ao da divisa˜o de inteiros. Dividimos o termo l´ıder do polinoˆmio dividendo pelo termo l´ıder do polinoˆmio divisor, em seguida multiplicamos o divisor pelo resultado, obtendo um novo polinoˆmio. Finalmente subtra´ımos o dividendo desse u´ltimo polinoˆmio e repetimos o processo, ate´ que o resto se anule ou tenha grau inferior ao do divisor. Exemplo: Encontre o quociente e o resto da divisa˜o de P (x) = 5x5+4x4+3x3+2x2+ x+ 1 por G(x) = x2 + x+ 1. Soluc¸a˜o: 5x5 + 4x4 + 3x3 + 2x2 + x + 1 x2 + x+ 1 −5x5 − 5x4 − 5x3 5x3 − x2 − x+ 4 −x4 − 2x3 + 2x2 + x + 1 x4 + x3 + x2 −x3 + 3x2 + x + 1 x3 + x2 + x 4x2 + 2x + 1 −4x2 − 4x − 4 −2x − 3 Obtemos o quociente Q(x) = 5x3 − x2 − x + 4 e resto R(x) = −2x − 3. Deixamos como exerc´ıcio verificar que P (x) = G(x) ·Q(x) +R(x). Um resultado conhecido como Lema da divisa˜o de Euclides para polinoˆmios afirma que quaisquer que sejam os polinoˆmios P (x), G(x) ∈ R[x], e´ poss´ıvel efetuar a divisa˜o de P (x) por G(x), de forma a obter um u´nico quociente Q(x) ∈ R[x] e um u´nico resto R(x) ∈ R[x] tais que: (i) P (x) = G(x) ·Q(x) +R(x) ; 3.2. EXERCI´CIOS 53 (ii) Ou R(x) = 0 ou ∂R(x) < ∂G(x). Ou seja, o resto e o quociente da divisa˜o de polinoˆmios existem e sa˜o u´nicos (so´ ha´ um quociente correto e um resto correto), desde que “verifiquem”a divisa˜o e que fac¸amos a divisa˜o ate´ que o resto se torne o polinoˆmio nulo (para o caso das diviso˜es exatas) ou que o grau do resto se torne menor que o do divisor. Pense no caso da divisa˜o de nu´meros inteiros, a “lo´gica”e´ bastante similar. Teorema 3.2.1. (Teorema de D’Alembert) Se P (x) ∈ R[x] e a ∈ R, o resto da divisa˜o de P (x) por (x− a) e´ p(a) . Demonstrac¸a˜o : Como sabemos o resto da divisa˜o de p(x) por (x− a) ou e´ nulo ou e´ de grau zero. Em qualquer caso, o resto e´ um polinoˆmio constante, digamos r ∈ R. Dessa forma, podemos escrever: p(x) = (x− a) · q(x) + r. Calculando p(x) para x = a obtemos: p(a) = (a− a) · q(a) + r ⇒ r = p(a). Para a divisa˜o de um polinoˆmio F (x) ∈ R[x] por polinoˆmios de primeiro grau do tipo x − a, podemos usar um dispositivo pra´tico, conhecido usual- mente como algoritmo de Briot-Ruffini.Por exemplo, para dividirmos F (x) = x5 − 3x3 − x2 + 2x + 1 por G(x) = x − 2, usamos um diagrama como o que se segue: 1 0 −3 −1 2 1 2 — 2 4 2 2 8 1 2 1 1 4 9 O quociente e´ Q(x) = x4+2x3+x2+x+6 e R(x) = 9 e´ o resto. Neste diagrama, na primeira linha dispomos os coeficientes de x, da direita para a esquerda, na ordem decrescente das poteˆncias de x, incluindo-se os eventuais coeficientes nulos (das poteˆncias que na˜o aparecem em F (x)), e na segunda linha a` esquerda colocamos o valor de a. Cada elemento da terceira linha e´ obtido somando-se os dois elementos da primeira e segunda linhas que se situam acima dele, com excec¸a˜o do primeiro elemento, que e´ uma simples repetic¸a˜o do coeficiente l´ıder de F (x). Os elementos da segunda linha sa˜o 54 CAPI´TULO 3. POLINOˆMIOS E EQUAC¸O˜ES ALGE´BRICAS obtidos multiplicando-se a pelo elemento da terceira linha situado na coluna anterior. O u´ltimo elemento da terceira linha e´ o resto e os demais sa˜o os coeficientes do quociente. Exemplos: 1) Encontre o quociente e o resto da divisa˜o de P (x) = 2x3 − 1 por x+ 3. Soluc¸a˜o: Sabemos que o resto e´ dado por P (−3) = 2 · (−3)3 − 1 = −55, pois x + 3 = x − (−3). Quanto ao quociente, precisamos usar o algoritmo da divisa˜o ou o de Briot-Ruffini: 2 0 0 −1 −3 — −6 18 −54 2 −6 18 −55 Obtendo quociente Q(x) = 2x2 − 6x+ 18. 2) Na divisa˜o de um polinoˆmio P (x) por (x2 − 3x + 5) o quociente e o resto encontrados foram (x2 + 1) e (3x − 5). Determine o polinoˆmio P (x). Soluc¸a˜o: Pelo Lema da Divisa˜o, temos: p(x) = (x2 + 1) · (x2 − 3x+ 5) + (3x− 5) = (x4 − 3x3 + 6x2 − 3x+ 5) + (3x− 5) = x4 − 3x3 + 6x2. 3) Um polinoˆmio P (x) ∈ R[x] e´ tal que P (1) = 4. O quociente da divisa˜o de P (x) por (x − 1) e´ dividido por (x − 2) e obte´m-se resto igual a 3. Encontre o resto da divisa˜o de P (x) por (x− 1) · (x− 2). Soluc¸a˜o: Como P (1) = 4, decorre que o resto da divisa˜o de P (x) por (x− 1) e´ 4: P (x) = (x− 1)Q1(x) + 4. Sendo 3 o resto da divisa˜o do quociente Q1(x) por (x− 2), temos: Q1(x) = (x− 2)Q2(x) + 3. Substituindo essa u´ltima igualdade na anterior, obtemos: P (x) = (x− 1) · (x− 2) ·Q2(x) + (3x+ 1). 3.3. EXERCI´CIOS 55 Dessa igualdade e´ fa´cil concluir que o resto da divisa˜o de P (x) por (x− 1)(x− 2) e´ (3x+ 1). 3.3 Exerc´ıcios 1. Em cada item, determine o quociente e o resto da divisa˜o de P (x) por G(x): (a) P (x) = x4 − 10x3 + 24x2 + 20x− 12 e G(x) = x2 − 6x− 5. (b) P (x) = 2x5 − 3x4 + 4x3 − 6x+ 8 e G(x) = x3 − x2 + x− 1 (c) P (x) = 3x3 − 7x2 + 4x− 5 e G(x) = 3x2 − x+ 2 (d) P (x) = x4 − 2x+ 3 e G(x) = x2 − 3x (e) P (x) = x7 − 32x+ 96 e G(x) = x8 − 5x (f) P (x) = x101 e G(x) = x2 − 1 2. Qual e´ o resto da divisa˜o do polinoˆmio 9x9+6x6+4x4+1 por x+1? 3. Determine o valor de a ∈ R para que P (x) = x3+(1−a)x2+6x−27 seja divis´ıvel por (x− a). 4. Ao dividirmos o polinoˆmio P (x) por (x+1) obtivemos resto 25 e ao divid´ı-lo por (x− 1) obtivemos resto 9. Encontre o resto da divisa˜o de P (x) por x2 − 1. 5. Determine o resto da divisa˜o do polinoˆmio f(x) = 2x5 − 15x3 + 12x2 + 7x− 6 por (x− 1) · (x− 2) · (x− 3). 6. Se n ∈ N, qual e´ o resto da divisa˜o de P (x) = 7x2n+1− 6x2n+4 por: (a) x+ 1 (b) 3x− 3 3.4 Equac¸o˜es Alge´bricas O interesse pelas equac¸o˜es alge´bricas e´ histo´rico. Desde a antiguidade, Dio- fanto, matema´tico Grego, ja´ se dedicava a estuda´-las. As equac¸o˜es de segundo grau (ou quadra´ticas) ja´ eram conhecidas e resolvidas pelos babiloˆnios 1700 56 CAPI´TULO 3. POLINOˆMIOS E EQUAC¸O˜ES ALGE´BRICAS anos A.C. A equac¸a˜o de terceiro grau foi objeto de interesse de valiosas mentes matema´ticas e sua soluc¸a˜o motivou uma disputa histo´rica entre al- guns renomados matema´ticos do se´culo XVI. Os nu´meros complexos foram “descobertos”, ou para sermos mais precisos, introduzidos, com o objetivo de resolver equac¸o˜es alge´bricas de terceiro grau. A verdade e´ que ate´ os dias de hoje as equac¸o˜es alge´bricas , ou polinomiais, em uma ou va´rias varia´veis, atraem a infinda´vel curiosidade dos matema´ticos e afixionados por Matema´tica e sa˜o usadas na soluc¸a˜o de diversos problemas pra´ticos ou de va´rias a´reas do conhecimento cient´ıfico. Definic¸a˜o 3.4.1. Uma equac¸a˜o alge´brica de grau n ≥ 1 em R e´ uma equac¸a˜o da forma P (x) = 0, em que P (x) ∈ R[x] e´ um polinoˆmio de grau n. Por exemplo, x4 − 5x2 + 2x + 2 = 0 e´ uma equac¸a˜o alge´brica de quarto grau. Em geral, o objetivo a ser alcanc¸ado quando nos deparamos com uma equac¸a˜o alge´brica e´ determinar todas as suas ra´ızes (ou soluc¸o˜es). Uma raiz de uma equac¸a˜o alge´brica, no nosso contexto, e´ um nu´mero real que satisfac¸a a igualdade. Por exemplo, e´ fa´cil ver que x = 1 e´ raiz da equac¸a˜o x4 − 5x2 + 2x + 2 = 0, uma vez que substituindo x = 1 obtemos uma igualdade verdadeira: 14 − 5 · 12 + 2 · 1 + 2 = 0 . Da mesma forma podemos ver que x = 2 na˜o e´ uma soluc¸a˜o: 24 − 5 · 22 + 2 · 2 + 2 = 16− 20 + 4 + 2 = 2 6= 0 . 3.4.1 Resoluc¸a˜o de equac¸o˜es do 1o e 2o graus: Chamamos equac¸a˜o do 1o grau na inco´gnita x a toda equac¸a˜o que pode ser escrita na forma ax+ b = 0 , onde a e´ diferente de 0: ax+ b = 0 (a e b sa˜o nu´meros reais e a 6= 0) . Uma equac¸a˜o do 1o grau pode ser resolvida usando as propriedades do cancelamento em R: ax+ b = 0 ⇒ 3.4. EQUAC¸O˜ES ALGE´BRICAS 57 ax = −b⇒ x = − b a . O me´dtodo de resoluc¸a˜o que utilizamos se baseia no fato de que podemos transformar uma equac¸a˜o em outra equac¸a˜o equivalente, mais simples. Para isso, podemos adicionar ou subtrair um mesmo nu´mero a ambos os membros da igualdade e multiplicar ou dividir ambos os membros de uma equac¸a˜o por um nu´mero diferente de zero (e como a 6= 0 ...). Exemplos: (a) x− 5 = 0⇒ x− 5 + 5 = 0 + 5⇒ x = 5 (b) 4x = 8⇒ 1 4 · 4x = 1 4 · 8⇒ x = 2. Reforc¸amos que resolver uma equac¸a˜o significa encontrar todos os valores (em seus domı´nios) que a satisfazem. No caso presente, nos interessa sempre determinar as ra´ızes reais de uma equac¸a˜o. Informalmente, podemos dizer que para resolver equac¸o˜es do 1o grau, a ide´ia e´ colocar as inco´gnitas de um lado do sinal (=) e os “nu´meros”do outro. Para assimilarmos, vamos resolver mais alguns exemplos. Exemplos: Resolva as equac¸o˜es: a)2x− 8 = 10⇒ 2x = 10 + 8⇒ 2x = 18⇒ x = 9. Logo S = {9}. b)3(x+5) = 4(x−1)⇒ 3x+ 15 = 4x− 4⇒ 3x− 4x = −15− 4⇒ −x = −19⇒ x = 19. Logo S = {19}. Denomina-se equac¸a˜o do segundo grau, toda a equac¸a˜o que pode ser escrita na forma ax2 + bx+ c = 0, com coeficientes nume´ricos a, b, c ∈ R e a 6= 0. 58 CAPI´TULO 3. POLINOˆMIOS E EQUAC¸O˜ES ALGE´BRICAS Exemplos: a) 2x2 + 3x+ 1 = 0 note que a = 2, b = 3 e c = 1. b) 5x2 − 4 = 0 note que a = 5, b = 0 e c = 4. Classificac¸a˜o das equac¸o˜es quadra´ticas: Incompletas: Se um dos coeficientes b ou c for nulo, temos uma equac¸a˜o do 2o grau incompleta. 1o caso: b = 0 Considere a equac¸a˜o do 2o grau incompleta: x2 − 9 = 0⇒ x2 = 9⇒ x = ±√9⇒ x = ±3 logo S = {−3, 3}. 2o caso: c = 0 Considere a equac¸a˜o do 2o grau incompleta: x2 − 8x = 0. Basta fatorar o fator comum x(x− 8) = 0 um produto de dois nu´meros reais e´ zero se x = 0 ou x− 8 = 0⇒ x = 8 logo S = {0, 8}. Completas: Quando b e c sa˜o diferentes de zero. Como na equac¸a˜o −x2 + 7x − 10 = 0, por exemplo. Como ja´ dissemos, quando lidamos com uma equac¸a˜o o objetivo e´ descobrir se ela admite ra´ızes e, nesse caso, se poss´ıvel, determina´-las. No caso das equac¸o˜es completas de segundo grau ax2 + bx + c = 0, a 6= 0, elas podem ser resolvidas por interme´dio da chamada Fo´rmula de Bha´skara: x = −b±√b2 − 4ac 2a . Essa fo´rmula que conhecemos desde o ensino fundamental para a soluc¸a˜o das equac¸o˜es quadra´ticas na verdade na˜o foi proposta por Bha´skara. Na realidade, os primeiros registros histo´ricos contam que os Mesopotaˆmios ja´ conheciam a soluc¸a˜o, dada em palavras,para essas equac¸o˜es ainda no se´culo XVII A.C. Bha´skara teria sido, provavelmente, o primeiro matema´tico a usar uma soluc¸a˜o que em muito se assemelha a fo´rmula que conhecemos, embora tambe´m descrita inteiramente com palavras. Bha´skara de Akaria foi cer- tamente um dos maiores matema´ticos hindus da histo´ria. Viveu no se´culo XII d.C (1114 a 1185, aproximadamente) e se interessou pela resoluc¸a˜o da equac¸a˜o quadra´tica quando se dedicou a resolver problemas sobre capital e 3.4. EQUAC¸O˜ES ALGE´BRICAS 59 investimentos comerciais e financeiros, que envolviam tal equac¸a˜o. A demonstrac¸a˜o dessa fo´rmula pode ser obtida com a te´cnica de comple- tamento de quadrados. Ela consiste em transformar a soma (ax2 + bx) num trinoˆmio quadrado perfeito, isto e´, em algo da forma (ux + v)2. Por exemplo, podemos resolver a equac¸a˜o x2 − 6x+ 8 = 0 usando essa te´cnica de completamento de quadrado. Comec¸amos por observar que x2 − 6x e´ uma expressa˜o que “lembra”o desenvolvimento de (x − 3)2. A diferenc¸a e´ que (x− 3)2 = x2 − 6x+ 9 e na equac¸a˜o original na˜o ha´ esse 9. Resolvemos isso assim: x2 − 6x = (x− 3)2 − 9 ⇒ x2 − 6x+ 8 = (x− 3)2 − 9 + 8 . Agora resolvemos uma equac¸a˜o mais simples: (x− 3)2 = 1 ⇒ x− 3 = ±1 ⇒ x = 4 ou x = 2 . Agora voltemos ao caso geral de resolver a equac¸a˜o quadra´tica ax2+bx+c = 0. Para facilitar, vamos comec¸ar dividindo a equac¸a˜o por a: x2 + b a x+ c a = 0. Em seguida, somamos e subtra´ımos o termo b 2 4a2 ao primeiro membro da equac¸a˜o, obtendo ( x+ b 2a )2 − b 2 4a2 + c a = 0, ou, equivalentemente, ( x+ b 2a )2 − b 2 − 4ac 4a2 = 0 . Chamando a expressa˜o b2 − 4ac = ∆, ficamos com :( x+ b 2a − √ ∆ 2a ) · ( x+ b 2a + √ ∆ 2a ) = 0, em que a u´ltima igualdade foi obtida fatorando a “diferenc¸a de dois quadra- dos” do primeiro membro. Como em R o produto de dois nu´meros so´ pode dar 0 quando um deles for 0, obtemos a fo´rmula que quer´ıamos: x = −b±√∆ 2a , 60 CAPI´TULO 3. POLINOˆMIOS E EQUAC¸O˜ES ALGE´BRICAS em que ∆ = b2 − 4ac. Assim, e´ poss´ıvel resolver, por meio de radicais, as equac¸o˜es quadra´ticas. As equac¸o˜es de terceiro e quarto graus tambe´m podem ser resolvidas por meio de radicais, embora a soluc¸a˜o seja bem mais complexa. Exemplo: Encontre as soluc¸o˜es da equac¸a˜o x2 − 2x− 3 = 0. Nessa equac¸a˜o temos que a = 1, b = −2 e c = −3 logo ∆ = b2 − 4ac = (−2)2 − 4(1)(−3) = 4 + 12 = 16 . Usando a Fo´rmula de Bha´skara: x = −b±√∆ 2a = −(−2)±√16 2(1) = 2± 4 2 . Portanto as ra´ızes sa˜o: x1 = −1 e x2 = 3, logo S = {−1, 3}. Note que se ∆ < 0 na˜o temos ra´ızes reais pois em R na˜o existe raiz quadrada de nu´mero negativo. Na verdade o nu´mero ∆ determina a quan- tidade de ra´ızes reais que a equac¸a˜o possui: ∆ < 0 Nenhuma raiz real. ∆ = 0 Duas ra´ızes reais e iguais. ∆ > 0 Duas ra´ızes reais e diferentes. Observac¸a˜o: Sejam x1 e x2 ra´ızes de uma equac¸a˜o do 2 o grau ax2 + bx+ c = 0 enta˜o temos que: x1 + x2 = − b a e x1 · x2 = c a . Deixamos ao leitor a tarefa de demonstrar essas igualdades. 3.4. EQUAC¸O˜ES ALGE´BRICAS 61 Exemplo: Calcule a soma e o produto da ra´ızes da equac¸a˜o x2 + 2x+ 1 = 0. Resoluc¸a˜o: Se x1 e x2 sa˜o ra´ızes de uma equac¸a˜o enta˜o: x1 + x2 = − b a = −2 1 = −2 e x1 · x2 = c a == 1 1 = 1 . 3.4.2 Equac¸o˜es de grau maior que dois Algumas equac¸o˜es de grau maior que 3 podem ser resolvidas atrave´s de uma mudanc¸a de varia´vel que as transforma numa equac¸a˜o quadra´tica. E´ o caso das equac¸o˜es biquadradas. Equac¸o˜es Biquadradas Equaca˜o biquadrada como o pro´prio nome diz, sa˜o equac¸o˜es nas quais esta˜o elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma e´ ax4 + bx2 + c = 0 . E´ um caso especial de equac¸o˜es de quarto grau que tem um me´todo sim- ples de resoluc¸a˜o. Exemplo: Resolva a seguinte equac¸a˜o de quarto grau: x4 − 5x2 + 4 = 0. Fazendo x2 = y substituindo na equac¸a˜o temos, y2 − 5y + 4 = 0 . Agora usamos a fo´rmula de Bha´skara: ∆ = (−5)2−4.1.4 = 9 e y = −(−5)± √ 9 2 = 5± 3 2 ⇒ y′ = 4 e y′′ = 1 . Como x2 = y, voltando a` varia´vel x, obtemos: x2 = 4⇒ x = ±2 e x2 = 1⇒ x = ±1 . 62 CAPI´TULO 3. POLINOˆMIOS E EQUAC¸O˜ES ALGE´BRICAS Portanto S = {±2,±1}. Como encontrar ra´ızes racionais? Quando precisamos resolver equac¸o˜es de grau maior que 2 que na˜o podem ser transformadas em equac¸o˜es quadra´ticas por meio de algum artif´ıcio, como mudanc¸a de varia´veis que vimos acima, estamos diante de um problema nada simples. Os me´todos de soluc¸a˜o variam de equac¸a˜o para equac¸a˜o. Num caso particular, o das equac¸o˜es alge´bricas com coeficientes inteiros ha´ um importante resultado, conhecido como Crite´rio de Existeˆncia de Ra´ızes Racionais que determina as ra´ızes racionais que um polinoˆmio desse tipo pode ter. Esse crite´rio e´ bastante utilizado para encontrar, por meio de busca e verificac¸a˜o, ra´ızes de um polinoˆmio e para, a partir delas, reduzir o grau da equac¸a˜o alge´brica associada. Teorema 3.4.2. Considere p(x) = c0+c1x+c2x 2+ · · ·+cnxn um polinoˆmio de grau n ≥ 1, com coeficientes inteiros. Se a b e´ irredut´ıvel e e´ raiz da equac¸a˜o p(x) = 0 enta˜o b e´ um divisor de cn e a um divisor de c0. E´ claro que podemos sempre considerar b positivo e deixar o sinal da frac¸a˜o a cargo apenas de a. Isso diminui o nu´mero de casos. Vamos a` alguns exemplos concretos. Exemplos: 1) Encontre as ra´ızes da equac¸a˜o g(x) = 2x3 + x2 + x− 1 = 0. Soluc¸a˜o: Pelo Crite´rio de Existeˆncia de Ra´ızes Racionais, se a b for uma raiz racional dessa equac¸a˜o enta˜o a e´ um divisor de −1 e b e´ um divisor positivo de 2⇒ a ∈ {±1} e b ∈ {1, 2}. Portanto, as possibilidades de ra´ızes racionais sa˜o as seguintes: a b ∈ { 1,−1, 1 2 , −1 2 } . Testando cada uma dessas “candidatas a ra´ızes”, g(1) = 3 , g(−1) = −3 , g(1 2 ) = 0 , g(−1 2 ) = −3 2 3.5. EXERCI´CIOS 63 verificamos que a u´nica raiz racional dessa equac¸a˜o e´ a = 1 2 . Atrave´s dessa raiz e´ poss´ıvel abaixar o grau da equac¸a˜o( esse e´ um artif´ıcil muito u´ltil! ) dividindo g(x) por (x− a): g(x) = (2x2 + 2x+ 2) · ( x− 1 2 ) . Resolvendo a equac¸a˜o de segundo grau x2 + x+ 1 = 0 determinamos as outras ra´ızes: x = −1±√5 2 . 2) Mostre que α = √ 3−√2 na˜o e´ um nu´mero racional. Soluc¸a˜o: Se α = √ 3 − √2 ⇒ √3 = α + √2. Elevando os membros dessa igualdade ao quadrado obtemos: 1− α2 = 2 √ 2α =⇒ α2 + 2 √ 2α+ 2 = 3 =⇒ (1− α2)2 = (2 √ 2α)2 =⇒ α4 − 10α2 + 1 = 0 . Conclu´ımos que α e´ uma raiz da equac¸a˜o: x4 − 10x2 + 1 = 0 (∗∗). Ora, pelo Crite´rio de Ra´ızes Racionais, se essa equac¸a˜o tiver alguma raiz racional ela deve ser ±1. Por verificac¸a˜o direta, vemos que nenhum desses nu´meros e´ raiz da equac¸a˜o. Conclusa˜o: A equac¸a˜o (∗∗) na˜o possui raiz racional. Como α e´ um nu´mero real raiz de (∗∗), decorre que α e´ irra- cional. 3.5 Exerc´ıcios 1. Esse e´ um antigo problema que pode ser facilmente resolvido usando-se equac¸o˜es alge´bricas: 64 CAPI´TULO 3. POLINOˆMIOS E EQUAC¸O˜ES ALGE´BRICAS Um cavalo e um burro caminhavam juntos, levando sobre os lombos pesadas cargas. Lamentava-se de seu torturante fardo o cavalo quando foi interrompido pelo burro: ‘De que te queixas? Se eu te tomasse um saco, minha carga passaria a ser o dobro da tua. Por outro lado, se eu te desse um saco, tua carga apenas se igualaria a minha.’ Dizei-me, senhores matema´ticos, quantos sacos levava o burro e quantos levava o cavalo? 2. Em cada beira de um rio ergue-se uma palmeira, uma defronte a outra. A altura de uma e´ de trinta coˆvados, enquanto a da outra e´ de 20 coˆvados. A distaˆncia entre seus troncos e´ de 50 coˆvados. Na copa de cada palmeira havia um pa´ssaro.
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