UNIFEMM -Introdução ao cálculo

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CENTRO UNIVERSITA´RIO DE SETE LAGOAS
UNIFEMM
Notas de Aula
Introduc¸a˜o ao Ca´lculo
Adimilton Soares da Silva
Frederico Reis Marques de Brito
Fevereiro - 2011
2
Suma´rio
1 CONJUNTOS NUME´RICOS 7
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Conjunto N dos nu´meros naturais . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Conjunto Z dos nu´meros inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Conjunto Q dos nu´meros racionais . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Os nu´meros irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9 Conjunto R dos nu´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.10 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.11 Ordenac¸a˜o dos reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.11.1 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.12 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.13 Mo´dulo de um nu´mero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.14 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.15 Exerc´ıcios Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.16 Respostas dos Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS 35
2.1 Potenciac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Produtos Nota´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Respostas dos Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3
4 SUMA´RIO
3 POLINOˆMIOS E EQUAC¸O˜ES ALGE´BRICAS 49
3.1 Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1 Divisa˜o de Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Equac¸o˜es Alge´bricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.1 Resoluc¸a˜o de equac¸o˜es do 1o e 2o graus: . . . . . . . . . 56
3.4.2 Equac¸o˜es de grau maior que dois . . . . . . . . . . . . 61
3.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6 Respostas dos Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4 FUNC¸O˜ES 71
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3 Func¸a˜o Real de Varia´vel Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5 Gra´fico de func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.7 Composic¸a˜o de Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.9 Func¸o˜es Invert´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.9.1 Func¸a˜o sobrejetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.9.2 Func¸a˜o injetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.9.3 Func¸a˜o Bijetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.9.4 Func¸a˜o inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.10 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.11 Func¸o˜es crescentes e decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.12 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.13 Respostas dos Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5 FUNC¸O˜ES DE 1o GRAU 95
5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2 Gra´fico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4 Crescimento e decrescimento da func¸a˜o do 1o grau . . . . . . . 97
5.5 Estudo de Sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.7 Aplicac¸o˜es da func¸a˜o de 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
SUMA´RIO 5
5.8 Respostas dos Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6 FUNC¸O˜ES QUADRA´TICAS 105
6.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2 O Gra´fico de Uma Func¸a˜o Quadra´tica . . . . . . . . . . . . . 106
6.2.1 Zeros de uma Func¸a˜o Quadra´tica . . . . . . . . . . . . 108
6.2.2 Construc¸a˜o da Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.4 Respostas dos Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7 FUNC¸A˜O EXPONENCIAL 121
7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.1.1 Gra´fico de Uma Func¸a˜o Exponencial: . . . . . . . . . . 122
7.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.3 Equac¸o˜es Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.5 Inequac¸o˜es exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.7 Respostas dos Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8 LOGARITMOS 133
8.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.2 Sistema de logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.3 Propriedades Aritme´ticas dos Logaritmos . . . . . . . . . . . . 135
8.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.5 Mudanc¸a de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.7 Func¸a˜o logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.9 Respostas dos Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9 TRIGONOMETRIA 147
9.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.2 Razo˜es Trigonome´tricas no Triaˆngulo Retaˆngulo . . . . . . . . 147
9.2.1 Aˆngulos nota´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.4 Arcos e aˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.5 O ciclo trigonome´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6 SUMA´RIO
9.6 Func¸o˜es trigonome´tricas circulares . . . . . . . . . . . . . . . 161
9.6.1 Func¸a˜o seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.6.2 Func¸a˜o cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
9.6.3 Func¸a˜o Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9.6.4 Func¸a˜o Cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.8 Respostas dos Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Cap´ıtulo 1
CONJUNTOS NUME´RICOS
1.1 Introduc¸a˜o
Os nu´meros foram criados pelos homens nas eras mais primitivas. A ide´ia de
nu´mero inteiro positivo surgiu provavelmente pela necessidade pra´tica da con-
tagem. Como sabemos, o homem das cavernas precisava, de alguma forma,
contar o nu´mero de animais de seu rebanho. Naquela e´poca, a representac¸a˜o
do resultado dessa contagem era bastante diferente da que usamos agora
e e´prova´vel que cada pessoa tivesse sua maneira pro´pria de fazeˆ-lo. Fun-
damentalmente, contar nada mais e´ que estabelecer uma comparac¸a˜o entre
quantidades de elementos de conjuntos distintos. Por exemplo, a quantidade
de pedrinhas em um saco com a quantidade de bois ou ovelhas, ou a quan-
tidade de x´ıcaras com a quantidade de pires. Se sobre cada pires colocamos
uma x´ıcara, de forma a na˜o sobrarem x´ıcaras nem pires, enta˜o esses dois
conjuntos, dos pires e das x´ıcaras, tem a mesma quantidade de elementos. O
0, pensado como um nu´mero que representasse uma quantidade, surgiu bem
depois, no se´culo IX d.C , por invenc¸a˜o dos povos hindus. Somente na era
moderna, algebristas italianos iniciaram o uso sistema´tico dos nu´meros nega-
tivos. Segundo MILIES1 , “O primeiro uso conhecido dos inteiros negativos
encontra-se numa obra indiana, devida a Brahmagupta, de 628 d.C. aproxi-
madamente, onde sa˜o interpretados como d´ıvidas. Desde seu aparecimento,
eles suscitaram du´vidas quanto a sua legitimidade. Assim por exemplo, Stifel
1MILIES, Ce´sar Polcino. Breve Histo´ria da A´lgebra Abstrata, II Bienal da SBM,
Salvador: Sociedade Brasileira de Matema´tica, 2006. pp 13.
Dispon´ıvel em www.bienasbm.ufba.br/M18.pdf.
7
8 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS
em 1543 ainda os chama de nu´meros absurdos e Cardano (...) os conside-
rava soluc¸o˜es falsas de uma equac¸a˜o.”As frac¸o˜es tambe´m surgiram como uma
ide´ia natural. A princ´ıpio, como uma resposta ao problema de se partilhar
um ou mais bens de propriedade comum entre determinadas pessoas. E num
esta´gio mais avanc¸ado pela necessidade das pessoas trocarem entre si bens
de tipos diferentes. Por exemplo, um pastor deseja trocar com um agricultor
carneiros por sacos de milho numa raza˜o de 3 carneiros para 10 sacos de
milho. Os gregos antigos, a quem devemos boa parte da matema´tica, na˜o
reconheciam outros nu´meros que na˜o os inteiros e os fraciona´rios. Essa ide´ia
de um “nu´mero”que na˜o seja nem inteiro nem fraciona´rio e´, muito menos
natural e intuitiva e surge num esta´gio muito mais avanc¸ado da civilizac¸a˜o
com a necessidade da pra´tica da medic¸a˜o de segmentos e a´reas. Nas sec¸o˜es
seguintes descreveremos brevemente esses tipos de nu´meros, mostrando suas
principais propriedades e diferenc¸as entre um e outro.
Em toda a matema´tica usamos a linguagem de conjuntos. O conceito
de conjunto tem inu´meras aplicac¸o˜es e e´ basilar em Matema´tica. Por ser
um conceito ta˜o primitivo na˜o tem uma definic¸a˜o formal. Para no´s, basta
entender um conjunto como uma colec¸a˜o de objetos bem definidos, objetos
esses a que chamamos de elementos do conjunto. O imprescind´ıvel e´
podermos saber quais sa˜o e quais na˜o sa˜o os elementos de um conjunto.
Podemos descrever um conjunto de diversas formas. Uma delas consiste
em dar uma descric¸a˜o inteiramente, listando todos os seus elementos. Nesse
caso, os elementos devera˜o vir listados entre chaves, notac¸a˜o reservada para
os conjuntos. Por exemplo:
S = {a, e, i, o, u} .
Aqui a, e, i, o e u sa˜o os elementos do conjunto e, indicamos isso
escrevendo:
a ∈ S; e ∈ S ; i ∈ S; o ∈ S; u ∈ S .
Por outro lado, por exemplo b /∈ S.
O conjunto S acima poderia tambe´m ser descrito atrave´s de uma pro-
priedade espec´ıfica e caracter´ıstica de seus elementos: o conjunto das vogais.
{vogais} .
Essa segunda forma de representac¸a˜o de um conjunto e´ a forma construtiva
e e´ bastante mais usual em Matema´tica, uma vez que na maior parte dos
1.1. INTRODUC¸A˜O 9
casos os conjuntos usados teˆm uma infinidade de elementos que, portanto,
na˜o podem ser listados um a um.
Vejamos um outro exemplo:
A = {x tal que x e´ um nu´mero natural maior que 5 menor que 10} .
O conjunto A esta´ descrito de forma construtiva, muito embora nesse caso
possamos listar seus elementos: A = {6, 7, 8, 9}. Explicamos ainda que,
para facilitar a notac¸a˜o, quando descrevemos um conjunto a partir das pro-
priedades de seus elementos, a expressa˜o lingu¨´ıstica “tal que”e´ substitu´ıda
pela notac¸a˜o matema´tica “;”. Assim:
A = {x ; x e´ um nu´mero natural maior que 5 menor que 10} .
Dois conjuntos A e B sa˜o ditos iguais, e escrevemos A = B, quando
todo elemento de A for um elemento de B e quando todo elemento de
B for um elemento de A. A ordem com que os elementos sa˜o listados na˜o
e´ relevante. Por exemplo: A = {x, y, z} e B = {y, z, x} sa˜o conjuntos
iguais.
Dizemos que o conjunto A esta´ contido no conjunto B (ou, equiva-
lentemente, que B conte´m A) quando todo elemento de A for tambe´m
elemento de B. E, nesse caso, indicamos da seguinte forma A ⊂ B (leˆ-se:
A esta´ contido em B, ou B conte´m A.) Por exemplo: Se X = {1, 2, 3}
e Y = {0, 1, 3, 2, 7} enta˜o X ⊂ Y . Assim, podemos agora afirmar que os
conjuntos A e B sa˜o iguais se, e somente se, A ⊂ B e B ⊂ A.
Um conjunto que aparece frequentemente e´ o conjunto vazio, indicado
como ∅ ou {}. Esse conjunto e´ caracterizado por na˜o ter nenhum elemento.
Ou seja, para qualquer que seja o objeto y vale que y /∈ ∅. Sendo assim,
observe que {∅} na˜o e´ uma representac¸a˜o va´lida do conjunto vazio (por
queˆ?)
Por fim, relembremos as operac¸o˜es ba´sicas entre dois conjuntos. Se A e
B sa˜o conjuntos definimos a unia˜o de A e B como o conjunto formado
por quaisquer elementos que pertenc¸am a A ou a B:
A ∪B = {x ; x ∈ A ou x ∈ B}.
A intersecc¸a˜o entre A e B e´ o conjunto formado pelos elementos que
pertenc¸am simultaneamente a A e a B, ou seja, pelos elementos comuns a
esses dois conjuntos:
A ∩B = {x ; x ∈ A e x ∈ B} .
10 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS
Exemplo:
Se A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {3, 7, 9}, enta˜o:
A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} e A ∩B = {3} .
Encerramos essa sec¸a˜o apresentando alguns s´ımbolos que sa˜o utilizados
com grande frequ¨eˆncia na Matema´tica e, em particular, nessas notas de aula.
∀ Para todo
⇒ Implica
⇔ Se e Somente Se
∴ logo
1.2 Conjunto N dos nu´meros naturais
O conjunto dos nu´meros naturais e´ indicado por N e seus elementos sa˜o exa-
tamente os nu´meros ordinais, por isso na˜o consideraremos 0 como nu´mero
natural. Assim
N = {1, 2, ..., n, ..} ,
em que n representa um nu´mero natural gene´rico.
Dentre as principais caracter´ısticas de N destacam-se o fato de ele ser
um conjunto infinito, ou seja com mais elementos que qualquer quantidade
pre´-determinada, e o de que cada elemento, exceto o 1, ser obtido do anterior
somando-se 1.
No conjunto dos nu´meros naturais definimos duas operac¸o˜es, soma e
multiplicac¸a˜o, para os quais N e´ fechado, isto e´, a soma e o produto de
dois nu´meros naturais sa˜o ainda nu´meros naturais.
Por outro lado, N na˜o e´ fechado com relac¸a˜o a` diferenc¸a, ja´ que 1−7 =
−6 /∈ N, embora 1 ∈ N e 7 ∈ N. Observe que 7 − 1 = 6 ∈ N, mas isso
na˜o e´ suficiente. Para que N fosse fechado com relac¸a˜o a` diferenc¸a seria
necessa´rio que todas as diferenc¸as de elementos de N estivessem em N, o
exemplo que demos mostra que isso nem sempre acontece.
1.2. CONJUNTO N DOS NU´MEROS NATURAIS 11
Da mesma forma N na˜o e´ fechado com relac¸a˜o a` divisa˜o e nesse caso sa˜o
“raros”os exemplos em que a divisa˜o de elementos de N ainda esta´ em N.
Por exemplo, 5 ∈ N e 2 ∈ N, mas 5
2
/∈ N, o que ja´ mostra o na˜o-fechamento.
Os nu´meros naturais sa˜o normalmente representados na base decimal.
Para essa representac¸a˜o usamos os chamados algarismos hindu-ara´bicos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 .
Esse e´ um sistema posicional de numerac¸a˜o, ou seja, algarismos em posic¸o˜es
diferentes tem interpretac¸o˜es diferentes, que usa as poteˆncias de 10. Por
exemplo, quando escrevemos 1252, na verdade estamos nos referindo a
1252 = 2 + 5× 10 + 2× 102 + 1× 103 .
Analogamente,
45079 = 9 + 7× 10 + 5× 103 + 4× 104 .
De forma geral enta˜o adotamos a notac¸a˜o decimal seguinte:
(anan−1 · · · a2a1a0)10 = a0+10×a1+102×a2+ · · ·+10n−1×an−1+10n×an .
Oconjunto dos nu´meros naturais possui alguns subconjuntos impor-
tantes:
1o O conjunto dos nu´meros naturais pares:
{2, 4, ..., 2n, ..} com n ∈ N
2o O conjunto dos nu´meros naturais ı´mpares:
{1, 3, ..., 2n+ 1, ..} com n ∈ N
3o O conjunto dos nu´meros primos:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ..}
Observac¸a˜o 1.2.1. Vale lembrar que um nu´mero natural maior que 1 e´
primo se ele e´ divis´ıvel apenas por 1 e por ele mesmo. Note que, por essa
definic¸a˜o, 1 na˜o e´ considerado um nu´mero primo.
12 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS
1.3 Conjunto Z dos nu´meros inteiros
O conjunto dos nu´meros inteiros e´ o seguinte conjunto, composto dos nu´meros
naturais, seus sime´tricos e o zero:
Z = {...,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} .
Uma vez que todos os elementos de N pertencem tambe´m a Z, N e´
subconjunto de Z, o que indicamos da seguinte forma: N ⊂ Z.
O conjunto dos nu´meros inteiros tambe´m possui alguns subconjuntos
nota´veis:
1o O conjunto dos inteiros na˜o nulos:
Z∗ = {...,−4,−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4, ...} ; Z∗ = Z− {0}
2o O conjunto dos inteiros na˜o negativos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} ;
3o O conjunto dos inteiros positivos:
Z∗+ = {1, 2, 3, 4, ...} = N .
4o O conjunto dos inteiros na˜o positivos:
Z− = {...,−5,−4,−3,−2,−1, 0}
5o O conjunto dos inteiros negativos:
Z∗− = {...,−5,−4,−3,−2,−1}
O conjunto dos nu´meros inteiros e´ fechado com relac¸a˜o a` soma, ao produto
e a` subtrac¸a˜o, ou seja, se somarmos, subtrairmos ou multiplicarmos dois
nu´meros inteiros o resultado ainda sera´ um nu´mero inteiro. Entretanto,
1 ∈ Z e 7 ∈ Z, mas 1
7
/∈ Z, e, portanto, Z na˜o e´ fechado com relac¸a˜o a`
divisa˜o. Por exemplo, se temos um bolo e o dividimos em duas partes, na˜o
podemos nos referir a uma delas usando-se um nu´mero inteiro. Parece u´til
enta˜o considerar um conjunto maior, em que seja poss´ıvel efetuar diviso˜es
quaisquer (exceto por 0.).
1.4. EXERCI´CIOS 13
1.4 Exerc´ıcios
1. Sejam
A = {x ∈ N ; |x e´ impar}, B = {x ∈ Z ; −3 ≤ x ≤ 4} e C = {x ∈ Z∗+ ; x < 6} .
Encontre o conjunto D = (A ∩B)− C.
1.5 Conjunto Q dos nu´meros racionais
A ide´ia de medir esta´ ligada a comparar, ou seja, quantas vezes uma deter-
minada distaˆncia ou superf´ıcie e´ menor ou maior que determinada unidade
adotada como padra˜o. Se, por exemplo, tentarmos medir a altura de um
pre´dio com uma unidade como o metro, podemos obter eventualmente um
nu´mero na˜o inteiro. Estar´ıamos diante da ide´ia de uma frac¸a˜o de metro.
A comparac¸a˜o entre duas medidas, usando-se uma unidade comum, esta´
associada a` ide´ia de nu´mero racional.
O conjunto dos inteiros racionais e´ formado por todos os nu´meros que
podem ser escritos na forma
a
b
, em que a e´ um inteiro qualquer e b, um
inteiro qualquer diferente de zero. Esse conjunto e´ indicado por Q e pode
ser representado assim:
Q = {a
b
; a ∈ Z e b ∈ Z∗}
Note que quando b = 1 temos que
a
1
= a ∈ Z o que mostra que Z ⊂ Q
(Z e´ um subconjunto de Q).
Observac¸a˜o 1.5.1. Porque na˜o existe divisa˜o por zero?
De fato, imagine que b
0
= x, isto e´, que o resultado da divisa˜o de b por
0 fosse um nu´mero x. Como sabemos a divisa˜o e´ a operac¸a˜o inversa da
multiplicac¸a˜o e, portanto, nesse caso, deveria valer que:
b = 0 · x ⇒ b = 0 .
Ou seja, ate´ aqui, conclu´ımos que para haver divisa˜o por zero o numerador(ou
dividendo) tambe´m tem que ser zero. Assim, resta-nos apenas a pergunta,
14 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS
por que na˜o e´ poss´ıvel fazer 0
0
? E essa resposta e´ simples. Porque qualquer
nu´mero poderia ser o resultado dessa divisa˜o. Poderia ser 5, ja´ que 5·0 = 0,
mas tambe´m poderia ser 17, ja´ que 17 · 0 = 0. Dessa forma, ter´ıamos
infinitos resultados, o que definitivamente na˜o e´ interessante. Portanto, na˜o
existe divisa˜o por zero.
O conjunto Q e´ infinito e ilimitado superior e inferiormente. Uma
caracter´ıstica que o distingue bastante de Z e N, e´ que em Q na˜o existe a
figura do “pro´ximo nu´mero”. Por exemplo, se perguntarmos qual e´ o primeiro
nu´mero racional depois do 0, a resposta e´ que ele na˜o existe! De fato, dado
um nu´mero racional x > 0 qualquer, sempre existe um nu´mero racional
positivo menor que ele, por exemplo
x
2
. (Pense nisso!)
Em Q destacam-se os seguintes subconjuntos:
Q∗: O conjunto dos racionais na˜o nulos
Q+: O conjunto dos racionais na˜o negativos
Q∗+: O conjunto dos racionais positivos
Q−: O conjunto dos racionas na˜o positivos
Q∗−: O conjunto dos racionais negativos
Os nu´meros racionais sa˜o normalmente representados na forma de frac¸o˜es:
1
2
,
3
10
,
5
100
. Cabe aqui relembrar que todo nu´mero que possa ser escrito na
forma
a
b
, com a, b inteiros e b 6= 0, e´ racional. Tal representac¸a˜o na˜o e´
u´nica. De fato, na forma fraciona´ria, um mesmo nu´mero racional tem infini-
tas representac¸o˜es. Por exemplo:
2
3
=
4
6
=
6
9
=
2n
3n
, n ∈ N. A simplificac¸a˜o
e´ usual exatamente para facilitar os ca´lculos. Dessa forma, e´ comum repre-
sentarmos um nu´mero racional na forma fraciona´ria a
b
com a e b inteiros
primos entre si, ou seja, sem fator comum. Essa forma de representac¸a˜o da
frac¸a˜o e´ a chamada forma irredut´ıvel. O uso da forma irredut´ıvel na˜o e´
obrigato´ria, mas deseja´vel para evitar ca´lculos demasiados.
Ha´ outra representac¸a˜o dos nu´meros racionais chamada de forma decimal.
As frac¸o˜es
1
4
,
7
40
e
31
8
, por exemplo, podem ser representadas por 0, 25, 0, 175
e 3, 875 respectivamente, esses valores sa˜o obtidos dividindo o numerador pelo
1.5. CONJUNTO Q DOS NU´MEROS RACIONAIS 15
denominador. Esses nu´meros por conterem na representac¸a˜o decimal mais
simples um nu´mero finito de algarismo, sa˜o chamados decimais exatos.
Em alguns casos, porem, na˜o se obte´m resto nulo em nenhuma etapa da
divisa˜o. Nesses casos surgem as d´ızimas perio´dicas, que sa˜o marcadas pela
repetic¸a˜o infinita de algarismo apo´s a v´ırgula. A frac¸a˜o
11
6
pode ser repre-
sentada por 1, 8333... = 1, 83¯, basta dividir 11 por 6.
A frac¸a˜o que da´ origem a` d´ızima perio´dica e´ chamada de frac¸a˜o geratriz
da d´ızima. Inversamente, no caso de termos a d´ızima perio´dica, e´ poss´ıvel
achar a sua frac¸a˜o geratriz. Vejamos alguns exemplos.
Exemplos:
1) Encontre frac¸a˜o geratriz da d´ızima 0, 5¯.
Resoluc¸a˜o:
Seja x = 0, 5¯ = 0, 555..., enta˜o 10x = 5, 555..., portanto
10x− x = (5, 555...)− (0, 555...) ⇒ 9x = 5 ⇒ x = 5
9
.
2) Encontre frac¸a˜o geratriz da d´ızima 2, 190.
Resoluc¸a˜o:
Seja y = 2, 19090..., portanto 1000y = 2190, 90 e 10y = 21, 90. Logo
990y = 1000y − 10y = 2190, 90− 21, 90⇒ y = 2169
990
.
Simplificando por 9 temos que y =
241
110
.
Vamos recordar as operac¸o˜es em Q. Somas e diferenc¸as devem ser feitas
reduzindo-se as frac¸o˜es a denominadores comuns:
a
b
± c
d
=
ad
bd
± bc
bd
=
ad± bc
bd
.
Produtos sa˜o feitos multiplicando numeradores entre si e denominadores en-
tre si:
a
b
· c
d
=
ac
bd
.
16 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS
O inverso de um nu´mero racional na˜o-nulo a
b
e´ representado por
(
a
b
)−1
e
vale b
a
, ou seja, (a
b
)−1
=
b
a
, a, b 6= 0 .
Note que
a
b
·
(a
b
)−1
=
a
b
· b
a
= 1 .
A divisa˜o e´ feita multiplicando-se a primeira frac¸a˜o pelo inverso da segunda,
desde que ela seja diferente de zero:
a
b
:
c
d
=
a
b
· d
c
=
ad
bc
,
b, c, d 6= 0.
Vejamos um exemplo:
2
5
+
3
7
=
14
35
+
15
35
=
29
35
2
5
− 3
7
=
14
35
− 15
35
= − 1
35
2
5
× 3
7
=
6
35
2
5
:
3
7
=
2
5
· 7
3
=
14
15
Para ordenarmos os nu´meros racionais, usaremos o seguinte princ´ıpio. Se
os nu´meros racionais a
b
e c
d
teˆm denominadores positivos, enta˜o ab
e´ maior
que c
d
se, e somente se, a·d e´ maior do que c·b. Ou seja, a comparac¸a˜o e´ feita
reduzindo-se as frac¸o˜es a um denominador comum (positivo!) e comparando-
se a seguir, os numeradores. Assim, por exemplo: 6
7
> 4
5
, ja´ que
4
5
=
4× 7
5× 7 =
28
35
,
6
7
=
6× 5
7× 5 =
30
35
e 30 > 28 .
1.6 Exerc´ıcios
1. Escreva cada uma das frac¸o˜es na forma decimal:
a)
1
3
b)
2
50
c)
1120
200
d)
1
30
e)
38
60
1.6. EXERCI´CIOS 17
2. Encontre a frac¸a˜o geratriz de cada d´ızima perio´dica:
a) 0, 4 b) 1, 81 c) 0, 234 d) 18, 1 e) 1, 2415
3. Se
1
1
3
+
1
4
=
p
q
, sendo p e q nu´meros inteiros positivos relativamente
primos, determine o valor de p+ q.
4. a) Qual e´ o menor nu´mero inteiro maior que
17
6
?
b) Qual e´ o maior nu´mero inteiro menor que −1
4
?
5. Encontre treˆs nu´meros racionais compreendidos entre 0, 8 e
97
99
.
6. Calcule, dando a resposta na forma fraciona´ria:
(a)
3
5
− 5
2
· 2
7
(b)
1
3
4
+
5
2
− 1
8
(c) 0, 999...+
1
5
+
1
3
3
5
− 1
5
7. Determine os valores das expresso˜es na forma decimal:
(a) (0, 2)3 + (0, 16)2
(b)
(0, 2).(0, 3)
(3, 2)− (2, 0)
8. Diminuindo-se 6 anos da idade de Beatriz, obte´m-se os
3
5
de sua idade.
Qual e´ a idade de Beatriz?
9. Um nu´mero de dois algarismos e´ tal que o algarismo das dezenas e´ igual
a
3
4
do algarismo das unidades. Se os algarismos forem permutados
entre si, obte´m-se um nu´mero que e´ 9 unidades maior que o primeiro.
Qual e´ a soma dos dois algarismos?
18 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS
10. Treˆs torneiras despejam a´gua numa caixa. A primeira enche a caixa
em 12 horas, a segunda em 6 horas e a terceira em 18 horas. Em uma
hora, que parte da caixa ficara´ cheia, estando abertas as treˆs torneiras?
11. Apo´s ter corrido
2
7
de um percurso e, em seguida, caminhando
5
11
um
atleta verificou que ainda faltavam 600 metros para o final do percurso.
a) Qual o comprimento total do percurso?
b) Quantos metros o atleta havia corrido?
12. Os amigos comeram uma terc¸a parte do bolo de aniversa´rio. Do restante
do bolo, Andre´ comeu uma terc¸a parte. E, finalmente, Bernardo comeu
uma terc¸a parte do que sobrou. Qual foi a frac¸a˜o do bolo que restou?
13. Qual e´ o nu´mero que devemos acrescentar a ambos os termos da frac¸a˜o
3
7
para que ela se torne igual a
1
2
?
14. Sejam a, b ∈ Z, b 6= 0. Mostre que para todo n ∈ N vale que
a
b
=
1
n
+
an− b
nb
.
15. O reverso de um nu´mero natural de dois algarismos e´ o nu´mero que
se obte´m trocando a ordem dos algarismos. Por exemplo, o reverso de
57 e´ 75. Quais sa˜o os nu´umeros naturais de dois algarismos cuja soma
com o seu reverso e´ um quadrado perfeito?
16.
(a)Mostre que se b, d ∈ N e a
b
=
c
d
enta˜o
a+ c
b+ d
=
a
b
.
(b) Encontre o valor decimal de
1 + 2 + 3 + 4 + · · ·+ 10000
7 + 14 + 21 + 28 + · · ·+ 70000.
(c) Idem para
2 + 4 + 6 + · · ·+ 2000
3 + 6 + 9 + · · ·+ 2001.
17. Se a, b, c sa˜o nu´meros inteiros positivos distintos tais que
b
a− c =
a+ b
c
=
a
b
, qual o valor de
a
b
?
1.7. OS NU´MEROS IRRACIONAIS 19
1.7 Os nu´meros irracionais
Como vimos na sec¸a˜o anterior, todo nu´mero racional pode ser escrito na
forma decimal por uma representac¸a˜o finita (como −3 ou 2, 85, por exem-
plo) ou infinita perio´dica (como 0, 3333... = 1
3
, por exemplo). Cabe enta˜o
a seguinte pergunta: Sera´ que todo tipo de nu´mero tem uma representac¸a˜o
decimal finita ou infinita perio´dica? A resposta e´ na˜o. Por exemplo, o nu´mero
0, 202002000200002000002 · · ·
tem representac¸a˜o decimal infinita e na˜o perio´dica. Ale´m desse, existem
nu´meros important´ıssimos cuja representac¸a˜o decimal e´ infinita e na˜o se
repete, e´ o caso dos conhecidos pi = 3, 1415926 · · · e √2 = 1, 4142135 · · · .
Historicamente, os nu´meros racionais na˜o solucionaram todos os proble-
mas envolvendo a geometria e a aritme´tica. Por exemplo, em determinadas
figuras, alguns segmentos na˜o teˆm uma unidade de medida que caiba um
nu´mero inteiro de vezes em cada um deles; sa˜o os chamados segmentos in-
comensura´veis. Pita´goras e seus seguidores ja´ haviam percebido essa dificul-
dade com relac¸a˜o a` diagonal de um quadrado de lado ` = 1.
d
1
1
1
1
Aplicando o teorema de Pita´goras 2 no ∆ABC, obtemos
d2 = 12 + 12 ⇒ d2 = 2⇒ d =
√
2 = 1, 4142...
o qual na˜o pertence a Q pois ele tem representac¸a˜o infinita na˜o perio´dica.
2Num triaˆngulo retaˆngulo com hipotenusa (o maior dos lados do triaˆngulo retaˆngulo)
medindo a e catetos medindo b e c vale a seguinte relac¸a˜o:
a2 = b2 + c2 .
20 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS
Fica evidente que nem sempre a raiz de um nu´mero racional e´ um nu´mero
racional. Para que a teoria dos nu´meros racionais evolu´ısse foi necessa´rio o
avanc¸o dos estudos sobre infinitos e geometria anal´ıtica. Foram gastos al-
guns se´culos para que, entre tantas contribuic¸o˜es chegasse ao se´culo XIX
com Dedekind (J.W.R. Dedekind, 1831-1916) e Cantor (Georg Cantor, 1845-
1918), dando um rigor cient´ıfico a essa teoria. O conjunto I dos irracionais e´
formado por nu´meros cuja representac¸a˜o decimal na˜o e´ finita e nem perio´dica.
Exemplos:
1) O nu´mero pi = 3, 141592..., e´ o resultado da divisa˜o da medida do com-
primento de uma circunfereˆncia pela medida do sue diaˆmetro.
2) O nu´mero e = 2, 718...,conhecido com nu´mero de Euler (Leonhard Eu-
ler, 1707-1783).
3) Radicais do tipo
√
2 = 1, 4142...;
√
3 = 1, 7320...;
√
5 = 2, 2360..., e, de
forma geral
√
p, com p primo.
1.8 Exerc´ıcios
1. B = 3
√−0, 064 e´ um nu´mero racional ou irracional?
2. O conjunto dos nu´meros irracionais e´ fechado com relac¸a˜o a` qual(is)
da(s) operac¸a˜o(o˜es) seguintes?
(a) soma
(b) diferenc¸a
(c) produto
3. O que podemos garantir sobre xy se sabemos que x, y sa˜o irracionais?
Pense nos seguintes nu´meros:
√
2 ,
√
2
√
2
, (
√
2
√
2
)
√
2 .
1.9. CONJUNTO R DOS NU´MEROS REAIS 21
1.9 Conjunto R dos nu´meros reais
O conjunto formado pelos nu´meros racionais e pelos nu´meros irracionais e´
chamado conjunto dos nu´meros reais e e´ representado por R, ou seja, R e´
constitu´ıdo de todos os nu´meros que tenham representac¸a˜o decimal finita ou
infinita ( perio´dica ou na˜o ). Assim, temos:
R = Q ∪ I, sendo Q ∩ I = ∅ .
R
Z N
Q
II
Observac¸a˜o 1.9.1. Podemos pensar no conjunto dos nu´meros reais como
sendo representado por uma reta numerada. Cada ponto da reta representa
um nu´mero real e vice-versa.
R e´ um conjunto infinito, ilimitado superiormente e inferiormente e
tambe´m em R na˜o existe a ide´ia de nu´mero consecutivo, ou seja, na˜o existe
um primeiro nu´mero real depois de um outro dado. Ale´m disso, diferente-
mente dos conjuntos Q e Z, por exemplo, R e´ um conjunto cont´ınuo, num
sentido (impreciso) de que seus elementos esta˜o dispostos sem “buracos”entre
um e outro (para visualizar isso,pense em R como uma reta!).
Definic¸a˜o 1.9.2. Dois nu´meros reais sa˜o ditos opostos (ou sime´tricos) um
do outro quando apresentam soma zero, os pontos que o representam distam
igualmente da origem.
Podemos tomar como exemplo o nu´mero 3: o oposto de 3 e´ −3 e o
oposto de −3 e´ 3, pois 3 + (−3) = 0.
Definic¸a˜o 1.9.3. Dois nu´meros sa˜o inverso um do outro quando o produto
entre eles resulta em 1.
22 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS
Por exemplo,
4
5
e´ o inverso de
5
4
(e vice-versa) ou 0, 8 e´ o inverso de
1, 25 (e vice-versa).
Observac¸a˜o 1.9.4. Todo nu´mero real, exceto o 0 tem inverso. (Por que o
0 na˜o tem inverso?)
Propriedades de R
A soma e produto em R gozam das seguintes propriedades:
(i) R e´ fechado com relac¸a˜o a` somae ao produto, isto e´, ∀ a, b ∈ R,
(a+ b), a · b ∈ R.
(ii) A soma e´ comutativa: a+ b = b+ a ∀ a, b ∈ R.
(iii) O produto e´ comutativo: a · b = b · a ∀ a, b ∈ R.
(iv) A soma e´ associativa: (a+ b) + c = a+ (b+ c) ∀ a, b, c ∈ R.
(v) O produto e´ associativo: (a · b) · c = a · (b · c) ∀ a, b, c ∈ R.
(vi) Existe elemento neutro da soma: a+ 0 = a ∀ a ∈ R.
(vii) Existe elemento neutro do produto: 1 · a = a ∀ a ∈ R.
(viii) Todo nu´mero real tem sime´trico (inverso aditivo) em R: a+(−a) = 0.
(ix) Todo nu´mero real a 6= 0 tem inverso multiplicativo em R: a · a−1 = 1.
(x) O produto e´ distributivo com relac¸a˜o a` soma: a · (b + c) = a · b + a ·
c ∀ a, b, c ∈ R.
Listamos a seguir algumas outras propriedades importantes que decorrem
das anteriores:
(A) a · 0 = 0 ∀a ∈ R.
(B) Se a · b = 0 enta˜o a = 0 ou b = 0 (O “ou”e´ na˜o exclusivo).
(C) Se a+ b = a+ c enta˜o b = c.
(D) Se a · b = a · c e a 6= 0 enta˜o b = c.
(E) (a± b)2 = a2 ± 2ab+ b2 ∀a, b ∈ R.
(F) (a+ b) · (a− b) = a2 − b2 ∀a, b ∈ R.
Voceˆ pode tentar provar essas propriedades ((A) ate´ (F))usando as de
(i) a (x). E´ um exerc´ıcio bem interessante. Por exemplo, para provar a pro-
priedade (C) basta somar (−a) aos dois membros da igualdade a+b = a+c.
Ja´ em (E) e (F) use a distributividade do produto com relac¸a˜o a` soma e a
comutatividade do produto.
Usamos essas propriedades, por exemplo, na soluc¸a˜o de certas equac¸o˜es
de segundo grau. Vejamos:
1.10. EXERCI´CIOS 23
(a) x2 − 5x = 0
x2− 5x = 0 ⇔ x · (x− 5) = 0 ⇔ x = 0 ou x− 5 = 0⇔ x = 0 ou x = 5 .
Quais propriedades usamos aqui?
(b) 2x2 − 50 = 0
2x2−50 = 0 ⇔ 2x2 = 50 ⇔ x2 = 25 ⇔ x2−25 = 0 ⇔ (x−5)·(x+5) = 0 ⇔ x = ±5 .
E neste caso, quais as propriedades usadas?
1.10 Exerc´ıcios
1. Sendo y = 1 : 0, 1 e x = 2 : 0, 1, mostre que A =
√
x
y
e B =√
x(y − 1)
y
irracionais, mas que A.B e´ racional.
2. Qual e´ o valor da expressa˜o
√
3 + 1√
3− 1 +
√
3− 1√
3 + 1
?
3. Para facilitar os ca´lculos durante uma prova de Matema´tica, o pro-
fessor escreveu no quadro a seguinte frase: “Adote pi =
22
7
, com boa
aproximac¸a˜o”. Comente isso!
4. Observe as seguintes concluso˜es:
Vamos chamar de x o nu´mero 2. Assim x = 2. Multiplicando
os dois lados da igualdade por x obtemos x2 = 2x. Subtraindo
4 aos dois lados da igualdade: x2 − 4 = 2x − 4. Fatorando temos:
(x−2) ·(x+2) = 2 ·(x−2). Agora, cancelamos o termo (x−2) comum
aos dois membros da igualdade e obtemos: x+2 = 2, e como t´ınhamos
escolhido x = 2 conclu´ımos que 2 + 2 = 2 ou seja 4 = 2. Uma
conclusa˜o absurda! Descubra aonde esta´ o erro nessa argumentac¸a˜o.
24 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS
1.11 Ordenac¸a˜o dos reais
Do que foi exposto anteriormente conclu´ımos que a cada ponto da reta core-
sponde um u´nico nu´mero real e, reciprocamente, a cada nu´mero real asso-
ciamos um u´nico ponto da reta; dizemos que existe uma correspondeˆncia
biun´ıvoca entre os nu´meros reais e os pontos da reta (chamada de reta
real). A partir dessa representac¸a˜o procuraremos observar algumas das pro-
priedades mais importante dos nu´meros reais.
Na reta real os nu´meros esta˜o ordenados; um nu´mero a e´ menor que
qualquer nu´mero b colocado a` sua direita:
a b
Exprimimos assim:
a e´ menor que b: a < b.
Isso e´ equivalente a dizer que b e´ maior que a: b > a
Segue, naturalmente, que todo nu´mero negativo e´ menor que qualquer
nu´mero positivo, que os nu´meros negativos sa˜o menores que zero e que os
positivos sa˜o maiores que zero.
Como cada ponto da reta representa um u´nico nu´mero real, dados dois
nu´meros reais x e y, e´ verdade que x = y ou x < y ou x > y, na˜o havendo
outras possibilidades e na˜o sendo poss´ıvel a ocorreˆncia simultaˆnea de duas
dessas relac¸o˜es.
Expresso˜es do tipo x < y sa˜o chamadas desigualdades; x e y sa˜o os
membros da desigualdade. Qualquer desigualdade pode ser escrita em sentido
contra´rio, uma vez que:
x menor que y (x < y) e´ equivalente a y maior que x (y > x).
Aos escrevermos x ≤ y, queremos dizer que x e menor ou igual a y.
1.11. ORDENAC¸A˜O DOS REAIS 25
Tambe´m costumamos a escrever a < x < b para exprimir que o nu´mero
x esta´ entre a e b, ou seja, que x e´ maior que a e ao mesmos tempo menor
que b.
Propriedades da Ordenac¸a˜o em R:
Existem diversas propriedades da ordenac¸a˜o dos nu´meros reais, mas as prin-
cipais sa˜o as seguintes:
(1) Se a > b e c > d enta˜o a+ c > c+ d;
(2) Se a > b e c < d enta˜o a− c > b− d;
(3) Se a > b e c > 0 enta˜o a · c > b · c;
(4) Se a > b e c < 0 enta˜o a · c < b · c;
E´ bastante importante refletir sobre elas e se convencer de sua validade,
ate´ o ponto em que elas se tornem absolutamente naturais.
1.11.1 Intervalos
No conjunto do nu´meros reais destacaremos alguns subconjuntos impor-
tantes, determinados por desigualdades, chamados de intervalos.
Na reta real os nu´meros compreendidos entre a e b, incluindo o a e o
b, constituem o intervalo fechado [a, b], ou seja:
[a, b] = {x ∈ R ; a ≤ x ≤ b}
Se excluirmos os nu´meros a e b, chamados de extremos do intervalo, teremos
a b
o intervalo aberto (a, b), ou seja:
(a, b) = {x ∈ R ; a < x < b} .
26 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS
a b
Consideramos ainda intervalos mistos:
(a, b] = {x ∈ R ; a < x ≤ b} (intervalo aberto a` esquerda e fechado a
direita)
a b
[a, b) = {x ∈ R ; a ≤ x < b} (intervalo fechado a` esquerda e aberto a
direita)
a b
Observac¸a˜o 1.11.1. A`s vezes sa˜o utilizados ] [ em lugar de ( ) para rep-
resentar extremidades abertas em intervalos:
]a, b[= (a, b), [a, b[= [a, b), ]a, b] = (a, b] .
Unia˜o e intersecc¸a˜o de intervalos
Aplicamos as definic¸o˜es de unia˜o e intersecc¸a˜o de conjuntos na repre-
sentac¸a˜o gra´fica dos intervalos, projetando-os numa mesma reta.
Exemplos:
Sejam os intervalos (-3,2] e [1,3] encontre:
a) (−3, 2] ∪ [1, 3]
Resoluc¸a˜o:
Enta˜o: (−3, 2] ∪ [1, 3] = (−3, 3].
b) (−3, 2] ∩ [1, 3]
Resoluc¸a˜o:
Enta˜o: (−3, 2] ∩ [1, 3] = [1, 2]
1.12. EXERCI´CIOS 27
(-3,2]
[1,3]
(-3,2]U[1,3]
0
0
0
-3
2
1
3
3
-3
21
(-3,2]
[1,3]
0
0
0
-3
2
1
3
3
-3
21
(-3,2] [1,3]
U
1.12 Exerc´ıcios
1. Marque numa reta nume´rica representando R os seguintes nu´meros
reais:
−2, 5; 0, 75; 4; −pi; 0, 666 · · · ; 1, 525252 · · · ;
√
7.
2. Apresente um nu´mero real entre
√
2−√3
2
e
√
6−√2
4
.
3. Verdadeiro ou Falso: (Justifique sua resposta!)
(a) Se a, b ∈ R∗ , a > b, enta˜o 1
a
<
1
b
.
(b) Se a, b ∈ R , a > b > 0, enta˜o 1
a
<
1
b
.
(c) Se x ∈ R e x2 > 9 enta˜o x > 3. (d) Se a, b ∈ R e a2 > b2,
enta˜o a > b.
(e) Se a, b ∈ R e a > b, enta˜o a2 > b2.
4. Mostre que se a e b sa˜o nu´meros reais positivos enta˜o
√
ab ≤ a+ b
2
,
28 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS
ou seja, a me´dia aritme´tica de dois nu´meros reais positivos e´ sempre
maior ou igual a` me´dia geome´trica desses nu´meros.
5. Encontre todos os x ∈ R que satisfazem as desigualdades abaixo. Deˆ
a resposta usando a notac¸a˜o de intervalo.
(a) 2x− 5 < 9
(b) 3− 5x < 12
(c) 2− 3x > −2
(d) x2 > 1
(e) x2 < 1
(f)
1
x
≤ x (cuidado!)
6. Fac¸a a representac¸a˜o gra´fica de cada um dos seguintes intervalos:
a) A = {x ∈ R ; x ≥ 2}
b) B = {x ∈ R ; 0 ≤ x ≤ 3}
c) C = (−∞, 2]
d) D = [−7, 3[
7. Determine a unia˜o e a intersecc¸a˜o dos seguintes intervalos:
a) [1, 3]∪]2, 5] b) (−1, 4] ∪ [3, 7] c) (−∞, 5) ∪ [0, 6]
d) [1, 3]∩]2, 5] e) (−8, 5)∩[0, 9] f) (1, 3]∩[2, 5]∪[1, 3]∩]2, 5]
1.13 Mo´dulo de um nu´mero real
Existem situac¸o˜es em que o fato de um dado nu´mero ser positivo ou negativo
na˜o e´ fundamental, importando apenas a distaˆncia do ponto que representa o
nu´mero ao ponto de origem, o zero. Essa distancia e´ chamada valor absoluto
ou mo´dulo do nu´mero. Assim o mo´dulo de 5 e´ igual ao mo´dulo de −5,
uma vez que ambos esta˜oa igual distaˆncia do zero na reta real, que e´ 5
unidades.
Notac¸a˜o: |5| = | − 5| = 5.
Do que foi visto anteriormente conclu´ımos que, se um nu´mero real x e´
positivo, ele coincide com sue mo´dulo; se x e´ negativo, trocamos o o seu sinal,
ou seja, tomamos o seu oposto, obtemos o seu mo´dulo.
1.13. MO´DULO DE UM NU´MERO REAL 29
Resumindo:
Se x e´ positivo ou zero, enta˜o |x| = x.
Se x e´ negativo, enta˜o |x| = −x.
Por exemplo, se x = −pi, temos:
| − pi| = −(−pi) = pi.
Se x = 0, temos |0| = 0.
Note que o mo´dulo de um nu´mero real nunca e´ negativo.
Exemplo: Resolva a equac¸a˜o |x| = 7.
Resolver uma equac¸a˜o significa encontrar todos os valores da inco´gnita,
no caso x, num conjunto universo ( que, salvo menc¸a˜o em contra´rio e´ R )
que satisfazem a igualdade. No nosso caso, encontrar todos os nu´meros reais
cujo mo´dulo vale 7. Como ha´ apenas dois nu´meros reais cujo mo´dulo vale
7, a saber ±7, essas sa˜o as soluc¸o˜es da equac¸a˜o.
E´ importante observar que
√
x2 = |x| e na˜o √x2 = x, uma vez que, por
exemplo,
√
(−3)2 = √9 = 3 = | − 3|.
Um fato importante e´ o seguinte: Se a e b sa˜o dois nu´meros reais a
expressa˜o |a− b| representa, geometricamente, a distaˆncia entre a e b. Por
exemplo: |5 − 2| = 3 , | − 5 − 1| = 6, | − 2 − (−5)| = 3. ( Deixamos ao
leitor a tarefa de provar esse resultado. ) Em particular, |a| representa,
geometricamente, a distaˆncia entre o nu´mero real a e o nu´mero 0.
Exemplo: Resolva a equac¸a˜o |x− 1| = 9.
Podemos resolveˆ-la de forma simples usando a definic¸a˜o geome´trica do mo´dulo.
|x− 1| representa a distaˆncia na reta real entre os nu´meros x e 1. Quer-
emos assim encontrar todos os nu´meros reais x que distam 9 unidades
do nu´mero 1. Obviamente ha´ apenas dois nu´meros reais nessas condic¸o˜es
1− 9 = −8 e 1 + 9 = 10. Assim S = {−8, 10}.
30 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS
1.14 Exerc´ıcios
1. Represente na reta real os pontos que satisfazem as seguintes relac¸o˜es:
a) |x| = 3 b) |x| ≤ 0 c) |x| ≥ −1 d) |x| ≤ √5
2. Mostre que se a e b sa˜o dois nu´meros reais a expressa˜o |a − b|
representa, geometricamente, a distaˆncia entre a e b.
3. Resolva as equac¸o˜es:
(a) |x− 2| = 5 (b) |3− 2x| = 6 (c) |x+ 2| = 5
(d) |x+ 3|+ |x− 2| = 4
4. Encontre todos os valores poss´ıveis para a expressa˜o
|x|
x
.
5. Represente usando mo´dulo o conjunto A = {x ∈ R;−3 ≤ x ≤ 3}.
6. Usando a notac¸a˜o de intervalos, expresse os conjuntos:
a) B = {x ∈ R ; |x− 1| < 7}
b) C = {x ∈ R ; |x− 3| > 4}
c) D = {x ∈ R ; |x+ 2| ≥ 5}
1.15 Exerc´ıcios Suplementares
1. Determine todos os nu´meros naturais a, b tais que
a−1 + b−1 = 1 .
2. Calcule
(y−1 − z)−1 .
3. Resolva a equac¸a˜o:
x = 1 +
1
1 +
1
x
.
4. Resolva a inequac¸a˜o:
|x− 3| − |x| ≤ 4− x .
1.16. RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS 31
5. Encontre todos os nu´meros x ∈ R tais que √x = x− 2.
6. Quais os valores poss´ıveis para a expressa˜o
x− 4
|x− 4| +
x− 2
|x− 2| +
x− 3
|x− 3|
e para quais x eles ocorrem?
1.16 Respostas dos Exerc´ıcios
Sec¸a˜o 1.4
1) D = {−3,−1}
Sec¸a˜o 1.6
1)
a) 0, 333 · · · b) 0, 04 c) 5, 6 d)0, 0333 · · · e) 0, 6333 · · ·
2)
a) 4
9
b) 20
11
c) 116
495
d) 163
9
e) 4097
3300
3) 19
4)
a) 4 b) −1
5) Ha´ infinitos nu´meros racionais entre eles. Por exemplo, 89
99
, 91
99
e 9599.
7)
a) 0, 0336 b) 0, 05
8) 15
9) 7
32 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS
10) 36
11
horas.
11)
a) 2310 b) 1710
12) 8
27
13) 1
15) 29, 38, 47, 56 e seus reversos.
16)
b) 1
7
c) 1998
3003
17) 2
Sec¸a˜o 1.8
1) Racional.
2) Na˜o para todos os itens. Pense em exemplos que comprovem isso.
Sec¸a˜o 1.10
1) A =
√
2, B = 3
√
2 e A ·B = 6.
Sec¸a˜o 1.12
2)Como os dois nu´meros sa˜o iguais, na˜o existe nu´mero real entre eles.
3)
a)F b)V c)F d)F e)F
5)a)(−∞, 7) b)
(
−9
5
,∞
)
c)
(
−∞, 4
3
)
d)(−∞,−1)∪(1,∞) e)(−1, 1)
f)[−1, 0) ∪ [1,∞)
1.16. RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS 33
7)a)[1, 5] b)(−1, 7] c)(−∞, 6] d)(2, 3] e)[0, 5) f)[2, 3]
Sec¸a˜o 1.14
1)
a) x = ±3 b) x = 0 c) x ∈ R d) −√5 ≤ x ≤ √5
3)
a) S = {−3, 7} b) S = {−3
2
, 9
2
} c) S = {−7, 3} d) S = ∅
4) S = {−1, 1}
5) {x ∈ R ; |x| ≤ 3}
Sec¸a˜o 1.15
2)
y
1− zy , yz 6= 1.
3) S =
{
1 +
√
5
2
,
1−√5
2
}
4) S = {x ∈ R;x ≤ 7} = (−∞, 7]
5) S = {4}
6) Chamando de s a soma:
Se x > 4 enta˜o s = 3
Se 3 < x < 4 enta˜o s = 1
Se 2 < x < 3 enta˜o s = −1
Se x < 2 enta˜o s = −3
34 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS NUME´RICOS
Cap´ıtulo 2
EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS
2.1 Potenciac¸a˜o
Queremos aqui dar um significado preciso a` expresso˜es do tipo ab, em que a
e´ um nu´mero real qualquer e b e´ um nu´mero racional. E´ claro que ja´ estamos
ha´ muito acostumados a lidar com poteˆncias, mas e´ necessa´rio entender bem
o que significam esses entes.
1- Expoentes naturais
Seja a ∈ R um nu´mero real qualquer. Para n ∈ N, n ≥ 2 definimos
an = a× a× · · · × a︸ ︷︷ ︸
n fatores
,
ou seja , an e´ o produto de a por si mesmo n vezes. Neste caso dizemos
que a e´ base, n e´ o expoente e an e´ a n-e´sima poteˆncia de a.
Exemplos:
a)33 = 3 · 3 · 3 = 27
b)25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64
c)(1
2
)4 = 1
2
· 1
2
· 1
2
· 1
2
= 1
2·2·2·2 =
1
16
.
35
36 CAPI´TULO 2. EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS
Propriedades da Potenciac¸a˜o
1) am · an = am+n
Basta ver que:
am · an = a× a× · · · × a︸ ︷︷ ︸
m fatores
× a× a× · · · × a︸ ︷︷ ︸
n fatores
·an = a× a× · · · × a︸ ︷︷ ︸
(n+m) fatores
= an+m .
2) a
m
an
= am−n, para m > n.
am
an
=
m fatores︷ ︸︸ ︷
a× a× · · · × a
a× a× · · · × a︸ ︷︷ ︸
n fatores
=
n fatores︷ ︸︸ ︷
a× a× · · · × a×
(m−n) fatores︷ ︸︸ ︷
a× a× · · · × a
a× a× · · · × a︸ ︷︷ ︸
n fatores
.
Como m > n podemos simplificar os n fatores do denominador com n
fatores a no numerador e sobram (m−n) fatores a no numerador. Assim:
am
an
= am−n.
3) (a · b)n = an · bn.
(a · b)n = ab× ab× · · · × ab︸ ︷︷ ︸
n fatores
= (a× a× · · · × a︸ ︷︷ ︸
n fatores
)× (b× b× · · · × b︸ ︷︷ ︸
n fatores
= anbn .
4) (a
b
)n = a
n
bn
, (b 6= 0).
De fato,
(a · b)n = a
b
× a
b
× · · · × a
b︸ ︷︷ ︸
n fatores
=
n fatores︷ ︸︸ ︷
a× a× · · · × a
b× b× · · · × b︸ ︷︷ ︸
n fatores
=
an
bn
.
5) (am)n = am·n.
Exemplo 2.1.1. Simplifique, usando as propriedades das poteˆncias:
a) 35 · 34 · 3 · 32 = 35+4+1+2 = 312
2.1. POTENCIAC¸A˜O 37
b) (a · b · c)4 · a3 · b5 · c2 = a4 · b4 · c4 · a3 · b5 · c2 = a7 · b9 · c6.
c) 2ax5 · 3ax4 = 6a2x9
2- Expoentes inteiros
Ja´ temos definido o significado de an, com n um inteiro positivo qual-
quer. Para estender a ide´ia de poteˆncia a expoentes inteiros, precisamos
primeiramente definir o que significaria uma poteˆncia de expoente zero, a0.
Por questo˜es te´cnicas vamos supor a 6= 0. Para que permanec¸am va´lidas as
propriedades das poteˆncias, o ideal e´ definirmos a0 = 1, pois
1 =
a2
a2
= a2−2 = a0 .
E isso explica tambe´m porque exigimos que a 6= 0, ja´ que na˜o existe divisa˜o
por zero. Da mesma forma precisamos definir poteˆncias de expoente negativo.
Na verdade, basta defirmos poteˆncias de expoente −1. Seja a ∈ R, a 6= 0
um nu´mero real. Se n ∈ N definimos a−1 = 1
a
. Isso se justifica pelos fatos
de ja´ termos definido a0 = 1 e por a · a−1 = a0 = 1. Observe novamente a
necessidade exigirmos a 6= 0.
Agora podemos definir, de forma geral:
Se a 6= 0, a−n = (an)−1 = 1
an
.
Observac¸a˜o 2.1.2.
1) a−n.am = 1
an
.am = a
m
an
= am−n.
2) a−n.a−m = 1
an
. 1
am
= 1
am.an
= 1
an+m
= a−n−m.
Assim, todas as propriedades de poteˆncias de expoentes naturais permanecem
va´lidas para expoentes inteiros.
38 CAPI´TULO 2. EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS
Exemplos:
a) a
2·a−3
a5
= a
2
a3·a5 = a
−6.
b)(2−3)2 = ( 1
23
)2 = 1
26
= 1
64
.
3- Expoentes Racionais
Passamos agora a dar sentido ao simbolo a
m
n , a ∈ R, m, n ∈ Z, n 6= 0.
Definimos
a
m
n = ( n
√
a)m = n
√
am ,
em que a ≥ 0 se n for par diferente de zero. Tal definic¸a˜o se explica pelo fato
de que queremos que prevalec¸am va´lidas as propriedades operato´rias entre
poteˆncias de mesma base e, em particular, aquela que diz que (xd)e = xd·e.
Note que:
(a
m
n )n = am,
o que justifica nossa definic¸a˜o a
m
n = ( n
√
a)m = n
√
am.
Mais uma vez, observamos que, essa definic¸a˜o preserva as propriedades ba´sicas
das poteˆncias:
a) a
p
q · amn = a pq+mn
b) (a
p
q )
m
n = a
pm
qn
c) a
p
q .b
p
q = (ab)
p
q
2.2 Exerc´ıcios
1. Simplifique as expresso˜es:
(a) (
3
√
24)6
(b)
√
200√
8
(c)
6
√
24 · 32 · 57
(d)
√√
6
√
(23 · 3 · 64 · 42)24
(e)
6
√
24 · 32 · 57 · 3√23 · 3 · 56
2.3. PRODUTOS NOTA´VEIS 39
(f) (a6b9c−3d12)0,33333...
(g) a
x+y
ax−y
2. Determine o valor da expressa˜o:
(x2 + y2 + 2)a·a
3−(a2)2 .
3. (OPM - 1995)Escreva os nu´meros abaixo em ordem crescente:
8
√
3,
4
√
9,
3
√
27−1, 3
3
8 , 1,
4
√
35, 3−
3
2 ,
3
√
92 .
4. Escreva da forma mais simplificada poss´ıvel, a expressa˜o:
3k+4 − 32 · 3k+1
9 · 3k+2 .
5. Dado n ∈ Z, n > 1, decida qual dos nu´meros e´ maior:
n
√
n+ 1 ou n+1
√
n .
6. A velocidade da luz no va´cuo e´ aproximadamente 3× 108 m/s. Deter-
mine a distaˆncia, em metros, percorrida pela luz em um se´culo.
2.3 Produtos Nota´veis
Produtos nota´veis sa˜o um grupo de produtos que aparecem de forma recor-
rente em ca´lculos alge´bricos, e cujo uso simplifica bastante os ca´lculos. Todos
esse produtos nota´veis sa˜o consequeˆncias da propriedade distributiva do pro-
duto em relac¸a˜o a` soma:
(a+ b) · (c+ d) = a · c+ a · d+ b · c+ b · d .
Produto de binoˆmios com um termo comum
(x+ a) · (x+ b) = x2 + ax+ bx+ ab = x2 + (a+ b)x+ ab .
40 CAPI´TULO 2. EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS
Quadrado da soma de dois termos
(x+ y)2 = (x+ y) · (x+ y) = x2 + xy + yx+ y2 = x2 + 2xy + y2
Quadrado da diferenc¸a de dois termos
(x− y)2 = (x− y) · (x− y) = x2 − xy − yx+ y2 = x2 − 2xy + y2
Produto da soma pela diferenc¸a de dois termos
(x+ y) · (x− y) = x2 − xy + yx− y2 = x2 − y2
Cubo da soma de dois termos
(x+ y)3 = (x+ y) · (x+ y)2 = (x+ y) · (x2 + 2xy + y2)
= x3 + 2x2y + xy2 + yx2 + 2xy2 + y3
= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Cubo da diferenc¸a de dois termos
(x− y)3 = (x− y) · (x− y)2 = (x− y) · (x2 − 2xy + y2)
= x3 − 2x2y + xy2 − yx2 + 2xy2 − y3
= x3 − 3x2y + 3xy2 − y3
Exemplos:
(a) (abc+ 3) · (abc+ 5) = (abc)2 + (3 + 5) · abc+ 3 · 5 = a2b2c2 + 8abc+ 15
(b) (x− 3) · (x+ 3) = x2 − 32 = x2 − 9
(c) (2a+ 5b)2 = (2a)2 + 2 · 2a · 5b+ (5b)2 = 4a2 + 20ab+ 25b2
2.3. PRODUTOS NOTA´VEIS 41
(d)
(x2 +
1
x
)3 = (x2)3 + 3(x2)2
1
x
+ 3x2
(
1
x
)2
+
(
1
x
)3
= x6 + 3x4
1
x
+ 3x2
1
x2
+
1
x3
= x6 + 3x3 + 3 +
1
x3
.
Por tratar-se de igualdades, elas sa˜o va´lidas nos “dois sentidos”, isto e´,
por exemplo: (a+b)·(a−b) = a2−b2 e a2−b2 = (a+b)·(a−b). Dependendo
do contexto pode nos ser u´til efetuar o produto ou, inversamente, fatora´-lo.
Fatorar significa exatamente transformar uma expressa˜o alge´brica em outra
equivalente na forma de um produto. Assim, por exemplo, ao escrevermos
que x2 − 8x + 16 = (x− 4)2 estamos fatorando a expressa˜o x2 − 8x + 16.
Essas fatorac¸o˜es sa˜o feitas, em geral, reconhecendo-se o uso dos produtos
nota´veis acima listados ou da propriedade distributiva.
Listaremos a` seguir alguns dos casos mais usuais de fatorac¸a˜o:
ax+ ay = a(x+ y)
x2 − y2 = (x+ y) · (x− y)
a2 + 2ab+ b2 = (a+ b)2
a2 − 2ab+ b2 = (a− b)2
x3 − y3 = (x− y) · (x2 + xy + y2)
x3 + y3 = (x+ y) · (x− xy + y2)
Exemplos:
1) Fatore a expressa˜o: 15x2y3 − 3x2y − 6xy.
Resoluc¸a˜o:
Observe que nas treˆs parcelas dessa expressa˜o ha´ um fator comum: 3xy.
Podemos enta˜o, usando a propriedade distributiva do produto em relac¸a˜o a`
soma, colocar esse fator em evidencia, fatorando a expressa˜o. Assim:
15x2y3 − 3x2y − 6xy = 3xy · (5xy2 − x− 6) .
2)Fatore a expressa˜o:
y3 + 10y2 + 25y .
42 CAPI´TULO 2. EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS
Resoluc¸a˜o:
Primeiro colocamos y em evidencia:
y3 + 10y2 + 25y = y · (y2 + 10y + 25) .
Em seguida reconhecemos que y2+10y+25 e´ um trinoˆmio quadrado perfeito,
ou seja, e´ uma expressa˜o da forma (a+b)2. Aqui: a = y e b = 5. Portanto,
y2 + 10y + 25 = (y + 5)2 e segue que:
y3 + 10y2 + 25y = y · (y + 5)2 .
3)Fatore a expressa˜o:
a4k − b4k .
Resoluc¸a˜o:
Essa expressa˜o e´ uma “diferenc¸a de dois quadrados” e se fatora como um
produto da soma pela diferenc¸a:
a4k − b4k = (a2k + b2k) · (a2k − b2k) .
Observe que a expressa˜o (a2k − b2k) e´ outra diferenc¸a de quadrados e,
portanto, tambe´m pode ser fatorada:
(a2k − b2k) = (ak + bk) · (ak − bk) .
Assim, temos:
a4k − b4k = (a2k + b2k) · (ak + bk) · (ak − bk) .
4)Escreva a expressa˜o a4 + b4 como um produto de dois fatores.
Resoluc¸a˜o:
Aqui temos uma fatorac¸a˜o na˜o-trivial. Primeiramente vamos transformar a
expressa˜o a4 + b4 num trinoˆmio quadrado perfeito, usando de um processo
conhecido como “completamento de quadrados”:
a4 + b4 = (a2)2 + (b2)2 = (a2)2 + (b2)2 + 2a2b2 − 2a2b2 = (a2 + b2)2 − 2a2b2 .
O completamento de quadrados foi feito somando-se e subtraindo-se o termo
2a2b2 que era o termo que faltava para obtermos a expressa˜o (a2 + b2)2.
Voltando a` expressa˜o alge´brica, temos:
a4 + b4 = (a2 + b2)2 − 2a2b2 = (a2 + b2)2 − (
√
2ab)2 ,
que e´ uma diferenc¸a de dois quadrados e pode novamente ser fatorada:
a4+b4 = (a2+b2)2−2a2b2 = (a2+b2)2−(
√
2ab)2 = (a2+b2+
√
2ab)·(a2+b2−
√
2ab).
2.4. EXERCI´CIOS 43
2.4 Exerc´ıcios
1. Use os produtos nota´veis para calcular da forma mais simples:
(a) 9.9992
(b) 10022
(c) 5502 − 502
2. Determine:
(a) (
√
3 +
√
2)2
(b) (
√
20−√80 +√5)2
3. Desenvolva a expressa˜o:
(a+ b+ c)2 .
4. Simplifique a expressa˜o:
[(x+ 2y)2 − (x− 2y)2]2 .
5. Escreva uma expressa˜o equivalente a (m−1 + n−1) · (m+ n)−1 usando
expoentes sempre negativos.
6. Se y = abx
a−x , encontre uma expressa˜o expl´ıcita para x em termos de a,
b e y.
7.
(a) Mostre que x3 + y3 = (x+ y) · (x2 − xy + y2).
(b) Sabendo que (a+ a−1)2 = 3, determine o valor de a3 + a−3.
8. Simplifique:
2
3
√
3 + 3
√
0, 375− 7 3
√
9
0, 024
+ 3
√
0, 003 .
Obs: Nada de usar calculadora!!!
9. (OPM) O produto abaixo e´ um nu´mero inteiro. Determine-o:
6
√
8(7 + 4
√
3) · 3
√
2
√
6− 4
√
2 .
44 CAPI´TULO 2. EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS
10. Verifique se cada igualdade abaixo e´ verdadeira ou falsa. Corrija as
falsas de forma a torna´-las verdadeiras.
(a) a2 · b5 = (ab)7
(b) 4a+ 5b = 9ab
(c) x+ y − 3(z + w) = x+ y − 3z + w
(d) 3x−1 = 1
3x
(e) a+b
a+c
= b
c
(f)
√
x2 = x
(g)
√
ab =
√
a
√
b
(h) x · a
b
= ax
bx
(i) xa+xb
x+xd
= a+b
1+d
(j) ab
2
= a
2
· b
2
(l) a2 · a3 = a5
(m)
√
2 + 4
√
2a+ 4a = 2
√
a+ a
(n) (x+ y)2 = x2 + y2
(o) 1
1−x
y
= y
1−x .
11. Simplifique as expresso˜es:
(a)
x3 − xy2
x2 + 2xy + y2
(b)
x4 − y4
2x+ 2y
(c)
(x+ h)2 − x2
h
(d)
(x+ h)3 − x3
h
(e)
1
x+h
− 1
x
h
(f)
a
a+1
+ a
a−1
a
a−1 − aa+1
2.4. EXERCI´CIOS 45
(g)
x3 + x2y − xy2 − y3
x2 − 6x+ 9 ·
x− 3
x2 − y2
12. Escreva uma expressa˜o o mais simples poss´ıvel equivalente a:
a+ b
a− b −
4ab
a2 − b2 −
a− b
a+ b
.
13. Prove que se a ∈ Z enta˜o (a+ 1)2 − a2 e´ ı´mpar.
14. (Adaptado de questa˜o da OBM)
(a) Simplifique a expressa˜o
1− 1
1− 1
1− 1
x
.
(b) Certa calculadora tem duas teclas especiais: A e B. A tecla A
transforma o nu´mero x que esta´no visor em 1
x
. A tecla B transforma
o nu´mero x que esta´ no visor em 1 − x. Pedro tem um nu´mero no
visor e aperta, sucessivamente, de forma alternada, as duas teclas:
A,B,A,B,A,B,A,B,A,B · · · .
Apo´s 1000 operac¸o˜es feitas por Pedro, o visor mostra o nu´mero 2004.
Que nu´mero Pedro tinha inicialmente no visor?
15. Mostre que o nu´mero a = 19968 − 19958 e´ mu´ltiplo de 307.
16. Quantos nu´meros inteiros existem entre 897892 e 897902 que na˜o sa˜o
quadrados perfeitos?
17. Sem usar uma calculadora, determine o valor de m sabendo que:
m =
√
9876543212 − 987654321− 987654320 .
46 CAPI´TULO 2. EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS
2.5 Respostas dos Exerc´ıcios
Sec¸a˜o 2.2
1)
(a) 28 (b) 5 (c) 5 3
√
12 · 6√5 (d) 211 · 35
(e) 250 · 3√36 · 6√5 (f) a2b3c−1d4 (g) a2y, a 6= 0.
2) 1
3) 3−
3
2 <
3
√
27−1 < 1 < 8
√
3 < 3
3
8 < 4
√
9 <
4
√
35 <
3
√
92.
4) 2
3
5) n
√
n+ 1 > n+1
√
n.
6) 9, 4608× 109m.
Sec¸a˜o 2.4
1)
(a) 99.980.001 (b) 1.004.004 (c) 300.000
2)
(a) 5 + 2
√
6 (b) 5
3) a2 + b2 + c2 + 2 · (ab+ ac+ bc).
4) 64x2y2
5) (mn)−1
6) Supondo a 6= 0, x = ya
ab+y
.
7)
(b) 0.
8) −162
5
· 3√3
2.5. RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS 47
9) 2
10) Apenas os itens (g), (i) e (l) sa˜o verdadeiros.
11)
(a) x(x−y)
x+y
, supondo que x+ y 6= 0.
(b) (x−y)·(x
2+y2)
2
, supondo x+ y 6= 0.
(c) 2x+ h, supondo h 6= 0.
(d) 3x2 + 3xh+ h2, supondo h 6= 0.
(e) 1
x(x+h)
, supondo, x+ h 6= 0, x 6= 0 e a 6= 0.
(f) a, supondo a 6= ±1 e a 6= 0.
(g) x+y
x−3 , supondo x 6= ±y e x 6= 3.
12) 0
14)
(a) x
(b) x = 2003
2004
.
15) Sugesta˜o: Fatore o ma´ximo poss´ıvel a expressa˜o a8 − b8.
16) 179.582
17) m = 987654320
48 CAPI´TULO 2. EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS
Cap´ıtulo 3
POLINOˆMIOS E EQUAC¸O˜ES
ALGE´BRICAS
3.1 Polinoˆmios
As expresso˜es alge´bricas que estudamos no cap´ıtulo anterior sa˜o exemplos
de polinoˆmios. A seguir faremos um estudo sobre os polinoˆmios em uma
indeterminada.
Definic¸a˜o 3.1.1. Um polinoˆmio na indeterminada x e a coeficientes reais
e´ uma expressa˜o da forma
P (x) = a0 + a1x+ a2x
2 + · · ·+ anxn,
em que n ∈ N, a1, a2, a3, · · · , an ∈ R.
Por exemplo, P (x) = 3 + 2x + 0, 5x2 e Q(x) = 1 + x2 − 3x7 sa˜o
polinoˆmios, mas R(x) = x2 + x−1 na˜o.
Para simplificar, representaremos por R[x] o conjunto de todos os
polinoˆmios com coeficientes reais. Assim
R[x] = {a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anxn ; n ∈ N e a1, a2, · · · , an ∈ R} .
Definic¸a˜o 3.1.2. Se P (x) = a0 + a1x + a2x
2 + · · · + anxn e an 6= 0,
dizemos que o grau de P (x) e´ n e anotamos assim: ∂P (x) = n ou assim
gr(P (x)) = n.
49
50 CAPI´TULO 3. POLINOˆMIOS E EQUAC¸O˜ES ALGE´BRICAS
Exemplos:
(a) F (x) = 5x4 − 1
2
x2 −√7x− 8 e´ um polinoˆmio de grau 4.
(b) G(x) = x
1
2 − x2 na˜o e´ um polinoˆmio.
(c) H(x) = 5 e´ um polinoˆmio constante. Note que ∂H = 0.
(d) O(x) = 0 e´ o polinoˆmio nulo. Observamos que o polinoˆmio nulo na˜o
tem grau definido.
Definic¸a˜o 3.1.3. Diremos que os polinoˆmios P (x), Q(x) ∈ R[x],
P (x) = a+ 0 + a1x+ · · ·+ anxn e Q(x) = b0 + b1x+ · · · bmxm
sa˜o iguais (ou ideˆnticos) se tiverem mesmo grau (n = m) e os coeficientes
correspondentes forem iguais:
a0 = b0, a1 = b1, · · · , an = bn.
Exemplo:
Determine os valores reais de a, b e c para que sejam iguais os polinoˆmios
P (x) = (a+ b)x3 + (c− b)x2 + 3 e Q(x) = cx3 + x2 + (a− b)x+ (b+ c).
Resoluc¸a˜o:
P (x) = Q(x) se, e so´ se, 
a+ b = c
c− b = 1
a− b = 0
b+ c = 3
Resolvendo esse sistema, obtemos: a = b = 1 e c = 2.
Definic¸a˜o 3.1.4. Se P (x) = a0 + a1x+ a2x
2 + · · ·+ anxn e´ um polinoˆmio
e c e´ um nu´mero real, definimos o valor nume´rico de P (x) em c como
o resultado P (c) = a0 + a1c+ a2c
2 + · · ·+ ancn.
Por exemplo, se P (x) = 3x3−5x2+4, o valor nume´rico de P (x) em −1
e´ obtido fazendo x = −1 no polinoˆmio e efetuando os ca´lculos:
P (−1) = 3 · (−1)3 − 5 · (−1)2 + 4 = −3− 5 + 4 = −4 .
Somamos(ou subtra´ımos) dois polinoˆmios somando (ou subtraindo) os coe-
ficientes correspondentes e multiplicamos polinoˆmios, usando a distributivi-
dade do produto em relac¸a˜o a` soma e a regra formal:
xi · xj = xi+j.
3.2. EXERCI´CIOS 51
Assim: x2 · x5 = x7.
Exemplos:
Se P (x) = x2 + 3x+ 5 e Q(x) = 2x− 3. Enta˜o:
P +Q = x2 + (3 + 2)x+ (5− 3) = x2 + 5x+ 2 ;
P −Q = x2 + (3− 2)x+ 5− 2 = x2 + x− 3 ;
Q− P = (0− 1)x2 + (2− 3)x+ (−3− 5) = −x2 − x− 8 ;
P ·Q = (x2 + 3x+ 5) · (2x− 3) = 2x3 − 3x2 + 6x2 − 9x+ 10x− 15
= 2x3 + 3x2 + x− 15 ;
3 · P = 3x2 + 9x+ 15 .
3.2 Exerc´ıcios
1. Quais das seguintes expresso˜es representam polinoˆmios? Nas que forem,
determine o grau.
(a) F (x) = x2 + 2x4 − x−√5
(b) S(x) = x
2
3 − x+ 2
(c) G(y) = 7
√
3y7 − 2y6 + 5
(d) H(x) = x23
(e) P (x) = (x5 − 3x2 + 1) · (x2 −√pi)
(f) Q(x) =
√
3 + 1
(g) T (x) = 2
x3
− 7x
2. Discuta os poss´ıveis graus do polinoˆmio
F (x) = (2b2 + b− 3)x3 + (b2 − 1)x2 + (2b+ 2)x+ 4 .
3. Sabendo que a e´ uma constante real e que P (x) = (3a + 2)x − 3 e
G(x) = 2ax− 3a+ 5, determine as condic¸o˜es para que ∂(F ·G) = 2.
4. Encontre o valor de (a + b + c + d) sabendo que sa˜o ideˆnticos os
polinoˆmios: P (x) = x3 − 2x+ 4 e Q(x) = ax3 + bx2 + cx+ d.
5. Em cada item, efetue as operac¸o˜es entre os polinoˆmios no anel R[x]:
P (x) = 3x3+2x2+4x+1 , Q(x) = 4x2−1 , S(x) = 5x−4 , T (x) = x2−5x+3
52 CAPI´TULO 3. POLINOˆMIOS E EQUAC¸O˜ES ALGE´BRICAS
(a) P +Q
(b) Q− P
(c) P ·Q
(d) T · S − P ·Q
(e) 3P − T
(f) P · T
6. Qual e´ o grau do polinoˆmio Q(x) = (x−1)·(x−2)2·(x−3)3 · · · (x−10)30?
3.2.1 Divisa˜o de Polinoˆmios
Na pra´tica, a divisa˜o de polinoˆmios e´ feita usando-se um algoritmo bastante
similar ao da divisa˜o de inteiros. Dividimos o termo l´ıder do polinoˆmio
dividendo pelo termo l´ıder do polinoˆmio divisor, em seguida multiplicamos o
divisor pelo resultado, obtendo um novo polinoˆmio. Finalmente subtra´ımos
o dividendo desse u´ltimo polinoˆmio e repetimos o processo, ate´ que o resto
se anule ou tenha grau inferior ao do divisor.
Exemplo:
Encontre o quociente e o resto da divisa˜o de P (x) = 5x5+4x4+3x3+2x2+
x+ 1 por G(x) = x2 + x+ 1.
Soluc¸a˜o:
5x5 + 4x4 + 3x3 + 2x2 + x + 1 x2 + x+ 1
−5x5 − 5x4 − 5x3 5x3 − x2 − x+ 4
−x4 − 2x3 + 2x2 + x + 1
x4 + x3 + x2
−x3 + 3x2 + x + 1
x3 + x2 + x
4x2 + 2x + 1
−4x2 − 4x − 4
−2x − 3
Obtemos o quociente Q(x) = 5x3 − x2 − x + 4 e resto R(x) = −2x − 3.
Deixamos como exerc´ıcio verificar que P (x) = G(x) ·Q(x) +R(x).
Um resultado conhecido como Lema da divisa˜o de Euclides para
polinoˆmios afirma que quaisquer que sejam os polinoˆmios P (x), G(x) ∈
R[x], e´ poss´ıvel efetuar a divisa˜o de P (x) por G(x), de forma a obter um
u´nico quociente Q(x) ∈ R[x] e um u´nico resto R(x) ∈ R[x] tais que:
(i) P (x) = G(x) ·Q(x) +R(x) ;
3.2. EXERCI´CIOS 53
(ii) Ou R(x) = 0 ou ∂R(x) < ∂G(x).
Ou seja, o resto e o quociente da divisa˜o de polinoˆmios existem e sa˜o u´nicos
(so´ ha´ um quociente correto e um resto correto), desde que “verifiquem”a
divisa˜o e que fac¸amos a divisa˜o ate´ que o resto se torne o polinoˆmio nulo
(para o caso das diviso˜es exatas) ou que o grau do resto se torne menor que o
do divisor. Pense no caso da divisa˜o de nu´meros inteiros, a “lo´gica”e´ bastante
similar.
Teorema 3.2.1. (Teorema de D’Alembert) Se P (x) ∈ R[x] e a ∈ R, o resto
da divisa˜o de P (x) por (x− a) e´ p(a) .
Demonstrac¸a˜o : Como sabemos o resto da divisa˜o de p(x) por (x− a)
ou e´ nulo ou e´ de grau zero. Em qualquer caso, o resto e´ um polinoˆmio
constante, digamos r ∈ R. Dessa forma, podemos escrever:
p(x) = (x− a) · q(x) + r.
Calculando p(x) para x = a obtemos:
p(a) = (a− a) · q(a) + r ⇒ r = p(a).
Para a divisa˜o de um polinoˆmio F (x) ∈ R[x] por polinoˆmios de primeiro
grau do tipo x − a, podemos usar um dispositivo pra´tico, conhecido usual-
mente como algoritmo de Briot-Ruffini.Por exemplo, para dividirmos
F (x) = x5 − 3x3 − x2 + 2x + 1 por G(x) = x − 2, usamos um diagrama
como o que se segue:
1 0 −3 −1 2 1
2 — 2 4 2 2 8
1 2 1 1 4 9
O quociente e´ Q(x) = x4+2x3+x2+x+6 e R(x) = 9 e´ o resto. Neste
diagrama, na primeira linha dispomos os coeficientes de x, da direita para a
esquerda, na ordem decrescente das poteˆncias de x, incluindo-se os eventuais
coeficientes nulos (das poteˆncias que na˜o aparecem em F (x)), e na segunda
linha a` esquerda colocamos o valor de a. Cada elemento da terceira linha
e´ obtido somando-se os dois elementos da primeira e segunda linhas que se
situam acima dele, com excec¸a˜o do primeiro elemento, que e´ uma simples
repetic¸a˜o do coeficiente l´ıder de F (x). Os elementos da segunda linha sa˜o
54 CAPI´TULO 3. POLINOˆMIOS E EQUAC¸O˜ES ALGE´BRICAS
obtidos multiplicando-se a pelo elemento da terceira linha situado na coluna
anterior. O u´ltimo elemento da terceira linha e´ o resto e os demais sa˜o os
coeficientes do quociente.
Exemplos:
1) Encontre o quociente e o resto da divisa˜o de P (x) = 2x3 − 1 por x+ 3.
Soluc¸a˜o: Sabemos que o resto e´ dado por P (−3) = 2 · (−3)3 − 1 = −55,
pois x + 3 = x − (−3). Quanto ao quociente, precisamos usar o algoritmo
da divisa˜o ou o de Briot-Ruffini:
2 0 0 −1
−3 — −6 18 −54
2 −6 18 −55
Obtendo quociente Q(x) = 2x2 − 6x+ 18.
2) Na divisa˜o de um polinoˆmio P (x) por (x2 − 3x + 5) o quociente e
o resto encontrados foram (x2 + 1) e (3x − 5). Determine o polinoˆmio
P (x).
Soluc¸a˜o: Pelo Lema da Divisa˜o, temos:
p(x) = (x2 + 1) · (x2 − 3x+ 5) + (3x− 5)
= (x4 − 3x3 + 6x2 − 3x+ 5) + (3x− 5)
= x4 − 3x3 + 6x2.
3) Um polinoˆmio P (x) ∈ R[x] e´ tal que P (1) = 4. O quociente da divisa˜o
de P (x) por (x − 1) e´ dividido por (x − 2) e obte´m-se resto igual a 3.
Encontre o resto da divisa˜o de P (x) por (x− 1) · (x− 2).
Soluc¸a˜o: Como P (1) = 4, decorre que o resto da divisa˜o de P (x) por
(x− 1) e´ 4:
P (x) = (x− 1)Q1(x) + 4.
Sendo 3 o resto da divisa˜o do quociente Q1(x) por (x− 2), temos:
Q1(x) = (x− 2)Q2(x) + 3.
Substituindo essa u´ltima igualdade na anterior, obtemos:
P (x) = (x− 1) · (x− 2) ·Q2(x) + (3x+ 1).
3.3. EXERCI´CIOS 55
Dessa igualdade e´ fa´cil concluir que o resto da divisa˜o de P (x) por
(x− 1)(x− 2) e´ (3x+ 1).
3.3 Exerc´ıcios
1. Em cada item, determine o quociente e o resto da divisa˜o de P (x) por
G(x):
(a) P (x) = x4 − 10x3 + 24x2 + 20x− 12 e G(x) = x2 − 6x− 5.
(b) P (x) = 2x5 − 3x4 + 4x3 − 6x+ 8 e G(x) = x3 − x2 + x− 1
(c) P (x) = 3x3 − 7x2 + 4x− 5 e G(x) = 3x2 − x+ 2
(d) P (x) = x4 − 2x+ 3 e G(x) = x2 − 3x
(e) P (x) = x7 − 32x+ 96 e G(x) = x8 − 5x
(f) P (x) = x101 e G(x) = x2 − 1
2. Qual e´ o resto da divisa˜o do polinoˆmio 9x9+6x6+4x4+1 por x+1?
3. Determine o valor de a ∈ R para que P (x) = x3+(1−a)x2+6x−27
seja divis´ıvel por (x− a).
4. Ao dividirmos o polinoˆmio P (x) por (x+1) obtivemos resto 25 e ao
divid´ı-lo por (x− 1) obtivemos resto 9. Encontre o resto da divisa˜o
de P (x) por x2 − 1.
5. Determine o resto da divisa˜o do polinoˆmio
f(x) = 2x5 − 15x3 + 12x2 + 7x− 6
por (x− 1) · (x− 2) · (x− 3).
6. Se n ∈ N, qual e´ o resto da divisa˜o de P (x) = 7x2n+1− 6x2n+4 por:
(a) x+ 1
(b) 3x− 3
3.4 Equac¸o˜es Alge´bricas
O interesse pelas equac¸o˜es alge´bricas e´ histo´rico. Desde a antiguidade, Dio-
fanto, matema´tico Grego, ja´ se dedicava a estuda´-las. As equac¸o˜es de segundo
grau (ou quadra´ticas) ja´ eram conhecidas e resolvidas pelos babiloˆnios 1700
56 CAPI´TULO 3. POLINOˆMIOS E EQUAC¸O˜ES ALGE´BRICAS
anos A.C. A equac¸a˜o de terceiro grau foi objeto de interesse de valiosas
mentes matema´ticas e sua soluc¸a˜o motivou uma disputa histo´rica entre al-
guns renomados matema´ticos do se´culo XVI. Os nu´meros complexos foram
“descobertos”, ou para sermos mais precisos, introduzidos, com o objetivo
de resolver equac¸o˜es alge´bricas de terceiro grau. A verdade e´ que ate´ os
dias de hoje as equac¸o˜es alge´bricas , ou polinomiais, em uma ou va´rias
varia´veis, atraem a infinda´vel curiosidade dos matema´ticos e afixionados por
Matema´tica e sa˜o usadas na soluc¸a˜o de diversos problemas pra´ticos ou de
va´rias a´reas do conhecimento cient´ıfico.
Definic¸a˜o 3.4.1. Uma equac¸a˜o alge´brica de grau n ≥ 1 em R e´ uma
equac¸a˜o da forma
P (x) = 0,
em que P (x) ∈ R[x] e´ um polinoˆmio de grau n.
Por exemplo, x4 − 5x2 + 2x + 2 = 0 e´ uma equac¸a˜o alge´brica de quarto
grau.
Em geral, o objetivo a ser alcanc¸ado quando nos deparamos com uma
equac¸a˜o alge´brica e´ determinar todas as suas ra´ızes (ou soluc¸o˜es). Uma
raiz de uma equac¸a˜o alge´brica, no nosso contexto, e´ um nu´mero real que
satisfac¸a a igualdade. Por exemplo, e´ fa´cil ver que x = 1 e´ raiz da equac¸a˜o
x4 − 5x2 + 2x + 2 = 0, uma vez que substituindo x = 1 obtemos uma
igualdade verdadeira:
14 − 5 · 12 + 2 · 1 + 2 = 0 .
Da mesma forma podemos ver que x = 2 na˜o e´ uma soluc¸a˜o:
24 − 5 · 22 + 2 · 2 + 2 = 16− 20 + 4 + 2 = 2 6= 0 .
3.4.1 Resoluc¸a˜o de equac¸o˜es do 1o e 2o graus:
Chamamos equac¸a˜o do 1o grau na inco´gnita x a toda equac¸a˜o que pode ser
escrita na forma ax+ b = 0 , onde a e´ diferente de 0:
ax+ b = 0 (a e b sa˜o nu´meros reais e a 6= 0) .
Uma equac¸a˜o do 1o grau pode ser resolvida usando as propriedades do
cancelamento em R:
ax+ b = 0 ⇒
3.4. EQUAC¸O˜ES ALGE´BRICAS 57
ax = −b⇒
x = − b
a
.
O me´dtodo de resoluc¸a˜o que utilizamos se baseia no fato de que podemos
transformar uma equac¸a˜o em outra equac¸a˜o equivalente, mais simples. Para
isso, podemos adicionar ou subtrair um mesmo nu´mero a ambos os membros
da igualdade e multiplicar ou dividir ambos os membros de uma equac¸a˜o por
um nu´mero diferente de zero (e como a 6= 0 ...).
Exemplos:
(a) x− 5 = 0⇒ x− 5 + 5 = 0 + 5⇒ x = 5
(b) 4x = 8⇒ 1
4
· 4x = 1
4
· 8⇒ x = 2.
Reforc¸amos que resolver uma equac¸a˜o significa encontrar todos os valores
(em seus domı´nios) que a satisfazem. No caso presente, nos interessa sempre
determinar as ra´ızes reais de uma equac¸a˜o.
Informalmente, podemos dizer que para resolver equac¸o˜es do 1o grau, a
ide´ia e´ colocar as inco´gnitas de um lado do sinal (=) e os “nu´meros”do outro.
Para assimilarmos, vamos resolver mais alguns exemplos.
Exemplos:
Resolva as equac¸o˜es:
a)2x− 8 = 10⇒ 2x = 10 + 8⇒ 2x = 18⇒ x = 9.
Logo S = {9}.
b)3(x+5) = 4(x−1)⇒ 3x+ 15 = 4x− 4⇒ 3x− 4x = −15− 4⇒ −x = −19⇒
x = 19.
Logo S = {19}.
Denomina-se equac¸a˜o do segundo grau, toda a equac¸a˜o que pode ser escrita
na forma ax2 + bx+ c = 0, com coeficientes nume´ricos a, b, c ∈ R e a 6= 0.
58 CAPI´TULO 3. POLINOˆMIOS E EQUAC¸O˜ES ALGE´BRICAS
Exemplos:
a) 2x2 + 3x+ 1 = 0 note que a = 2, b = 3 e c = 1.
b) 5x2 − 4 = 0 note que a = 5, b = 0 e c = 4.
Classificac¸a˜o das equac¸o˜es quadra´ticas:
Incompletas: Se um dos coeficientes b ou c for nulo, temos uma equac¸a˜o
do 2o grau incompleta.
1o caso: b = 0
Considere a equac¸a˜o do 2o grau incompleta:
x2 − 9 = 0⇒ x2 = 9⇒ x = ±√9⇒ x = ±3 logo S = {−3, 3}.
2o caso: c = 0
Considere a equac¸a˜o do 2o grau incompleta: x2 − 8x = 0.
Basta fatorar o fator comum x(x− 8) = 0 um produto de dois nu´meros reais
e´ zero se x = 0 ou x− 8 = 0⇒ x = 8 logo S = {0, 8}.
Completas: Quando b e c sa˜o diferentes de zero. Como na equac¸a˜o
−x2 + 7x − 10 = 0, por exemplo. Como ja´ dissemos, quando lidamos com
uma equac¸a˜o o objetivo e´ descobrir se ela admite ra´ızes e, nesse caso, se
poss´ıvel, determina´-las. No caso das equac¸o˜es completas de segundo grau
ax2 + bx + c = 0, a 6= 0, elas podem ser resolvidas por interme´dio da
chamada Fo´rmula de Bha´skara:
x =
−b±√b2 − 4ac
2a
.
Essa fo´rmula que conhecemos desde o ensino fundamental para a soluc¸a˜o
das equac¸o˜es quadra´ticas na verdade na˜o foi proposta por Bha´skara. Na
realidade, os primeiros registros histo´ricos contam que os Mesopotaˆmios ja´
conheciam a soluc¸a˜o, dada em palavras,para essas equac¸o˜es ainda no se´culo
XVII A.C. Bha´skara teria sido, provavelmente, o primeiro matema´tico a usar
uma soluc¸a˜o que em muito se assemelha a fo´rmula que conhecemos, embora
tambe´m descrita inteiramente com palavras. Bha´skara de Akaria foi cer-
tamente um dos maiores matema´ticos hindus da histo´ria. Viveu no se´culo
XII d.C (1114 a 1185, aproximadamente) e se interessou pela resoluc¸a˜o da
equac¸a˜o quadra´tica quando se dedicou a resolver problemas sobre capital e
3.4. EQUAC¸O˜ES ALGE´BRICAS 59
investimentos comerciais e financeiros, que envolviam tal equac¸a˜o.
A demonstrac¸a˜o dessa fo´rmula pode ser obtida com a te´cnica de comple-
tamento de quadrados. Ela consiste em transformar a soma (ax2 + bx)
num trinoˆmio quadrado perfeito, isto e´, em algo da forma (ux + v)2. Por
exemplo, podemos resolver a equac¸a˜o x2 − 6x+ 8 = 0 usando essa te´cnica
de completamento de quadrado. Comec¸amos por observar que x2 − 6x e´
uma expressa˜o que “lembra”o desenvolvimento de (x − 3)2. A diferenc¸a e´
que (x− 3)2 = x2 − 6x+ 9 e na equac¸a˜o original na˜o ha´ esse 9. Resolvemos
isso assim:
x2 − 6x = (x− 3)2 − 9 ⇒ x2 − 6x+ 8 = (x− 3)2 − 9 + 8 .
Agora resolvemos uma equac¸a˜o mais simples:
(x− 3)2 = 1 ⇒ x− 3 = ±1 ⇒ x = 4 ou x = 2 .
Agora voltemos ao caso geral de resolver a equac¸a˜o quadra´tica ax2+bx+c =
0. Para facilitar, vamos comec¸ar dividindo a equac¸a˜o por a:
x2 +
b
a
x+
c
a
= 0.
Em seguida, somamos e subtra´ımos o termo b
2
4a2
ao primeiro membro da
equac¸a˜o, obtendo (
x+
b
2a
)2
− b
2
4a2
+
c
a
= 0,
ou, equivalentemente, (
x+
b
2a
)2
− b
2 − 4ac
4a2
= 0 .
Chamando a expressa˜o b2 − 4ac = ∆, ficamos com :(
x+
b
2a
−
√
∆
2a
)
·
(
x+
b
2a
+
√
∆
2a
)
= 0,
em que a u´ltima igualdade foi obtida fatorando a “diferenc¸a de dois quadra-
dos” do primeiro membro. Como em R o produto de dois nu´meros so´ pode
dar 0 quando um deles for 0, obtemos a fo´rmula que quer´ıamos:
x =
−b±√∆
2a
,
60 CAPI´TULO 3. POLINOˆMIOS E EQUAC¸O˜ES ALGE´BRICAS
em que ∆ = b2 − 4ac.
Assim, e´ poss´ıvel resolver, por meio de radicais, as equac¸o˜es quadra´ticas.
As equac¸o˜es de terceiro e quarto graus tambe´m podem ser resolvidas por
meio de radicais, embora a soluc¸a˜o seja bem mais complexa.
Exemplo:
Encontre as soluc¸o˜es da equac¸a˜o x2 − 2x− 3 = 0.
Nessa equac¸a˜o temos que a = 1, b = −2 e c = −3 logo
∆ = b2 − 4ac = (−2)2 − 4(1)(−3) = 4 + 12 = 16 .
Usando a Fo´rmula de Bha´skara:
x =
−b±√∆
2a
=
−(−2)±√16
2(1)
=
2± 4
2
.
Portanto as ra´ızes sa˜o: x1 = −1 e x2 = 3, logo S = {−1, 3}.
Note que se ∆ < 0 na˜o temos ra´ızes reais pois em R na˜o existe raiz
quadrada de nu´mero negativo. Na verdade o nu´mero ∆ determina a quan-
tidade de ra´ızes reais que a equac¸a˜o possui:
∆ < 0 Nenhuma raiz real.
∆ = 0 Duas ra´ızes reais e iguais.
∆ > 0 Duas ra´ızes reais e diferentes.
Observac¸a˜o:
Sejam x1 e x2 ra´ızes de uma equac¸a˜o do 2
o grau ax2 + bx+ c = 0 enta˜o
temos que:
x1 + x2 = − b
a
e x1 · x2 = c
a
.
Deixamos ao leitor a tarefa de demonstrar essas igualdades.
3.4. EQUAC¸O˜ES ALGE´BRICAS 61
Exemplo:
Calcule a soma e o produto da ra´ızes da equac¸a˜o x2 + 2x+ 1 = 0.
Resoluc¸a˜o:
Se x1 e x2 sa˜o ra´ızes de uma equac¸a˜o enta˜o:
x1 + x2 = − b
a
= −2
1
= −2 e x1 · x2 = c
a
==
1
1
= 1 .
3.4.2 Equac¸o˜es de grau maior que dois
Algumas equac¸o˜es de grau maior que 3 podem ser resolvidas atrave´s de uma
mudanc¸a de varia´vel que as transforma numa equac¸a˜o quadra´tica. E´ o caso
das equac¸o˜es biquadradas.
Equac¸o˜es Biquadradas
Equaca˜o biquadrada como o pro´prio nome diz, sa˜o equac¸o˜es nas quais
esta˜o elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma e´
ax4 + bx2 + c = 0 .
E´ um caso especial de equac¸o˜es de quarto grau que tem um me´todo sim-
ples de resoluc¸a˜o.
Exemplo:
Resolva a seguinte equac¸a˜o de quarto grau: x4 − 5x2 + 4 = 0.
Fazendo x2 = y substituindo na equac¸a˜o temos,
y2 − 5y + 4 = 0 .
Agora usamos a fo´rmula de Bha´skara:
∆ = (−5)2−4.1.4 = 9 e y = −(−5)±
√
9
2
=
5± 3
2
⇒ y′ = 4 e y′′ = 1 .
Como x2 = y, voltando a` varia´vel x, obtemos:
x2 = 4⇒ x = ±2 e x2 = 1⇒ x = ±1 .
62 CAPI´TULO 3. POLINOˆMIOS E EQUAC¸O˜ES ALGE´BRICAS
Portanto S = {±2,±1}.
Como encontrar ra´ızes racionais?
Quando precisamos resolver equac¸o˜es de grau maior que 2 que na˜o podem
ser transformadas em equac¸o˜es quadra´ticas por meio de algum artif´ıcio, como
mudanc¸a de varia´veis que vimos acima, estamos diante de um problema nada
simples. Os me´todos de soluc¸a˜o variam de equac¸a˜o para equac¸a˜o. Num caso
particular, o das equac¸o˜es alge´bricas com coeficientes inteiros ha´ um
importante resultado, conhecido como Crite´rio de Existeˆncia de Ra´ızes
Racionais que determina as ra´ızes racionais que um polinoˆmio desse tipo
pode ter. Esse crite´rio e´ bastante utilizado para encontrar, por meio de busca
e verificac¸a˜o, ra´ızes de um polinoˆmio e para, a partir delas, reduzir o grau
da equac¸a˜o alge´brica associada.
Teorema 3.4.2. Considere p(x) = c0+c1x+c2x
2+ · · ·+cnxn um polinoˆmio
de grau n ≥ 1, com coeficientes inteiros. Se a
b
e´ irredut´ıvel e e´ raiz da
equac¸a˜o p(x) = 0 enta˜o b e´ um divisor de cn e a um divisor de c0.
E´ claro que podemos sempre considerar b positivo e deixar o sinal da
frac¸a˜o a cargo apenas de a. Isso diminui o nu´mero de casos.
Vamos a` alguns exemplos concretos.
Exemplos:
1) Encontre as ra´ızes da equac¸a˜o g(x) = 2x3 + x2 + x− 1 = 0.
Soluc¸a˜o: Pelo Crite´rio de Existeˆncia de Ra´ızes Racionais, se a
b
for uma raiz
racional dessa equac¸a˜o enta˜o a e´ um divisor de −1 e b e´ um divisor
positivo de 2⇒ a ∈ {±1} e b ∈ {1, 2}. Portanto, as possibilidades de ra´ızes
racionais sa˜o as seguintes:
a
b
∈
{
1,−1, 1
2
, −1
2
}
.
Testando cada uma dessas “candidatas a ra´ızes”,
g(1) = 3 , g(−1) = −3 , g(1
2
) = 0 , g(−1
2
) = −3
2
3.5. EXERCI´CIOS 63
verificamos que a u´nica raiz racional dessa equac¸a˜o e´ a = 1
2
. Atrave´s dessa
raiz e´ poss´ıvel abaixar o grau da equac¸a˜o( esse e´ um artif´ıcil muito u´ltil! )
dividindo g(x) por (x− a):
g(x) = (2x2 + 2x+ 2) ·
(
x− 1
2
)
.
Resolvendo a equac¸a˜o de segundo grau
x2 + x+ 1 = 0
determinamos as outras ra´ızes:
x =
−1±√5
2
.
2) Mostre que α =
√
3−√2 na˜o e´ um nu´mero racional.
Soluc¸a˜o: Se α =
√
3 − √2 ⇒ √3 = α + √2. Elevando os membros dessa
igualdade ao quadrado obtemos:
1− α2 = 2
√
2α =⇒
α2 + 2
√
2α+ 2 = 3 =⇒
(1− α2)2 = (2
√
2α)2 =⇒
α4 − 10α2 + 1 = 0 .
Conclu´ımos que α e´ uma raiz da equac¸a˜o:
x4 − 10x2 + 1 = 0 (∗∗).
Ora, pelo Crite´rio de Ra´ızes Racionais, se essa equac¸a˜o tiver alguma raiz
racional ela deve ser ±1. Por verificac¸a˜o direta, vemos que nenhum desses
nu´meros e´ raiz da equac¸a˜o. Conclusa˜o: A equac¸a˜o (∗∗) na˜o possui raiz
racional. Como α e´ um nu´mero real raiz de (∗∗), decorre que α e´ irra-
cional.
3.5 Exerc´ıcios
1. Esse e´ um antigo problema que pode ser facilmente resolvido usando-se
equac¸o˜es alge´bricas:
64 CAPI´TULO 3. POLINOˆMIOS E EQUAC¸O˜ES ALGE´BRICAS
Um cavalo e um burro caminhavam juntos, levando sobre os lombos
pesadas cargas. Lamentava-se de seu torturante fardo o cavalo quando
foi interrompido pelo burro: ‘De que te queixas? Se eu te tomasse um
saco, minha carga passaria a ser o dobro da tua. Por outro lado, se
eu te desse um saco, tua carga apenas se igualaria a minha.’ Dizei-me,
senhores matema´ticos, quantos sacos levava o burro e quantos levava o
cavalo?
2. Em cada beira de um rio ergue-se uma palmeira, uma defronte a outra.
A altura de uma e´ de trinta coˆvados, enquanto a da outra e´ de 20
coˆvados. A distaˆncia entre seus troncos e´ de 50 coˆvados. Na copa
de cada palmeira havia um pa´ssaro.