exame

Prévia do material em texto

Lógica Matemática - Exame Final
Rogério Eduardo da Silva
13 de dezembro de 2012
“A educação exige os maiores cuidados porque influi sobre toda a vida.”
(Sêneca)
Sobre Lógica Proposicional responda:
1. (1.0pt) Determinar por tabela-verdade se a fórmula abaixo é uma tautologia, con-
tradição ou contingência: (P∨ ∼ R)→ (Q∧ ∼ R)
2. (1.0pt/cada) Demonstre a validade dos seguintes argumentos através das regras de
inferência e equivalência (indique a regra sendo aplicada a cada passo da prova):
(a) {P → Q,Q→ R,R→ P, P →∼ R} `∼ P∧ ∼ R
(b) {T → P ∧ S,Q→∼ P,R→∼ S,R ∨Q} `∼ T
(c) {R ∨ S,∼ T →∼ P,R→∼ Q} ` P ∧Q→ S ∧ T (use demonstração condicional)
(d) {P ∧Q↔∼ R,∼ R→∼ P,∼ Q→∼ R} ` Q (use demonstração por absurdo)
3. (1.0pt) Determine a forma normal conjuntiva e disjuntiva equivalentes: (P ↑ Q)↔ P
Sobre Lógica de Primeira Ordem responda:
1. (1.0pt/cada) Determine o valor verdade {V, F} (a interpretação Φ) de cada uma
das fórmulas abaixo, em seu respectivo domínio. Faça os cálculos em separado e
preencha a tabela abaixo.
Domínios
Num. Reais Inteiros Positivos {-5, -3.5, 0, 1, 1.1, 5.6, 10, 100.1}
∀x(x2 ≥ 2x)
∀x∃y(x2y2 = 1)
2. (2.0pts) Dado o enunciado abaixo, prove que ama(john, garfield):
• ∀x∃y(animal(x) ∧ pessoa(y)→ ama(y, x))
• ∀x(mamifero(x) ∨ ave(x) ∨ peixe(x)→ animal(x))
• ∀x(cao(x) ∨ gato(x)→ mamifero(x))
• gato(garfield)
• cao(oddie)
• pessoa(john)
• pessoa(lizzie)
1
Argumentos válidos fundamentais:
Adição (AD) P ` P ∨Q ou P ` Q ∨ P
Simplificação (SIMP) P ∧Q ` P ou P ∧Q ` Q
Conjunção (CONJ) P,Q ` P ∧Q ou P,Q ` Q ∧ P
Absorção (ABS) P → Q ` P → (P ∧Q)
Modus Ponens (MP) P → Q,P ` Q
Modus Tollens (MT) P → Q,∼ Q `∼ P
Silogismo Disjuntivo (SD) P ∨Q,∼ P ` Q ou P ∨Q,∼ Q ` P
Silogismo Hipotético (SH) P → Q,Q→ R ` P → R
Dilema Construtivo (DC) P → Q,R→ S, P ∨R ` Q ∨ S
Dilema Destrutivo (DD) P → Q,R→ S,∼ Q∨ ∼ S `∼ P∨ ∼ R
Equivalências Notáveis:
Idempotência (ID) P ⇔ P ∧ P ou P ⇔ P ∨ P
Comutação (COM) P ∧Q⇔ Q ∧ P ou P ∨Q⇔ Q ∨ P
Associação (ASSOC) P ∧ (Q ∧R)⇔ (P ∧Q) ∧R ou P ∨ (Q ∨R)⇔ (P ∨Q) ∨R
Distribuição (DIST) P ∧(Q∨R)⇔ (P ∧Q)∨(P ∧R) ou P ∨(Q∧R)⇔ (P ∨Q)∧(P ∨R)
Dupla Negação (DN) P ⇔∼∼ P
De Morgan (DM) ∼ (P ∧Q)⇔∼ P∨ ∼ Q ou ∼ (P ∨Q)⇔∼ P∧ ∼ Q
Condicional (COND) P → Q⇔∼ P ∨Q
Bicondicional (BICOND) P ↔ Q⇔ (P → Q) ∧ (Q→ P )
Contraposição (CP) P → Q⇔∼ Q→∼ P
Exportação-Importação (EI) P ∧Q→ R⇔ P → (Q→ R)
2